Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig. Szögfüggvények alapjai

Átírás

1 Szögfüggvények alapjai Értelmezés derékszögű háromszögekben Két derékszögű háromszög hasonlóságát teljesen meghatározza egyik szögük nagysága, így oldalaik aránya mindig megegyezik, függetlenül hosszuktól. Ezeket az arányokat hagyományosan az ismert (például ) szög szögfüggvényeivel (trigonometrikus függvényeivel) írhatjuk le: Szinusz (sinus): sin = val szemközti befogó = a átfogó c Koszinusz (cosinus): cos = val szomszédos befogó = b átfogó c Tangens (tangens): tg = val szemközti befogó val szomszédos befogó = a b Kotangens (cotangens): ctg = val szomszédos befogó = b val szemközti befogó a Szekáns (secans): sec = átfogó val szomszédos befogó = c b Koszekáns (cosecans): csc = átfogó val szemközti befogó = c a Hagyományosan hat fontos szögfüggvény alakult ki (sin, cos, tg, ctg, sec, csc ) (ezek közül négyet használnak gyakrabban (sin, cos, tg, ctg ), de csak kettő tekinthető igazán alapvetőnek (sin, cos ), a többi ezekből racionális műveletekkel kapható), melyek fentebb láthatóak. Korábban más szögfüggvényeket is használtak, ilyen például a versin = (1 cos ) és az exsec = (sec 1), de ezek mára már kikoptak.

2 Szemléltetés egységsugarú kör segítségével Az egységsugarú körben a sin értékei a sugár ( szög) és a körív metszéspontjának koordinátáiból olvasható le, a sin -t az y 0, tehát a második koordináta jelöli onként (2 ) ugyanaz lesz egy szög sinusa. Az egységsugarú körben a cos értékei a sugár ( szög) és a körív metszéspontjának koordinátáiból olvasható le, a cos -t az x 0, tehát az első koordináta jelöli onként (2 ) ugyanaz lesz egy szög cosinusa. Az egységsugarú körben a tg értékei a sugár ( szög) és a kör jobb oldalán lévő, y tengellyel párhuzamos érintője metszéspontjának koordinátáiból olvasható le, a tg -t az y 0, tehát a második koordináta jelöli onként ( ) ugyanaz lesz egy szög tangense. 2

3 Az egységsugarú körben a ctg értékei a sugár ( szög) és a kör felett lévő, x tengellyel párhuzamos érintője metszéspontjának koordinátáiból olvasható le, a ctg -t az x 0, tehát az első koordináta jelöli. 180 onként ( ) ugyanaz lesz egy szög kotangense. Segítség néhány nevezetes sin és cos érték leolvasására az egységsugarú körben. (Tehát pl. 30 esetén a sin = 1 3, a cos = ) 2 2 Szögek nagysága az egységkör különböző negyedeiben I. sin = sin(180 ) cos = cos(360 ) tg = tg(180 ) ctg = ctg(180 ) II. sin = sin(180 ) cos = cos(180 ) tg = tg(180 ) ctg = ctg(180 ) III. sin = sin( 180 ) cos = cos( 180 ) tg = tg( 180 ) ctg = ctg( 180 ) IV. sin = sin(360 ) cos = cos(360 ) tg = tg(360 ) ctg = ctg(360 ) = 60 esetén: sin = 3 2 = 0,866 = y 0 cos = 1 2 = 0,5 = x 0 tg = 3 = 1,73 ctg = 1 3 = 0,577 3

4 Szögfüggvény összefüggések A sin és cos értékei mindig 1 és 1 közé esnek 1 sin 1 és 1 cos 1 A sin 2 az egész kifejezés négyzetét jelenti sin 2 = (sin ) 2, de sin 2 sin 2 A értéke a trigonometriában jellemzően nem 3,14, hanem 180 (lásd "Radián" rész) sin = cos ( ) csc = sec 2 ( ) = 1 2 sin cos = sin ( ) sec = csc 2 ( ) = 1 2 tg = ctg ( sin ) = = 1 2 cos ctg sin 2 + cos 2 = 1 cos ctg = tg ( cos ) = = 1 2 sin tg Addíciós tételek 1) 2) 4) 6) 7) 8) 9) sin( + ) = sin cos + cos sin sin( ) = sin cos cos sin 3) cos( + ) = cos cos sin sin cos( ) = cos cos + sin sin 5) tg( + ) = tg( ) = tg +tg 1 tg tg tg tg 1+tg tg sin(2 ) = 2 sin cos cos(2 ) = cos 2 sin 2 tg(2 ) = 2 tg 1 tg 2 (ism.) Egy irányvektor +90 -os elforgatottjának koordinátáit megkapjuk, ha az eredeti vektor koordinátáit felcseréljük, majd az első koordináta előjelét megváltoztatjuk. Pl. a v(3; 1) vektor elforgatottja: v +90 ( 1; 3). 4

5 1) és 3) addíciós tételek v irányszögű irányvektor v(cos ; sin ) v = cos i + sin j v = sin i + cos j Az u vektort kétféleképp bonthatjuk fel: - az i - j koordinátarendszerben: u = cos( + ) i + sin( + ) j - a v - v koordinátarendszerben: u = cos v + sin v u = cos (cos i + sin j) + sin ( sin i + cos j) u = cos cos i + cos sin j sin sin i + sin cos j u = (cos cos sin sin ) i + (cos sin + sin cos ) j u = cos( + ) i + sin( + ) j cos( + ) = cos cos sin sin sin( + ) = cos sin + sin cos 2) és 4) addíciós tételek (ism.) tg( ) = tg sin( ) = sin cos( ) = + cos sin( ) = sin( + ( )) = sin cos( ) + cos sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos( + ( )) = cos cos( ) sin sin( ) = cos cos + sin sin 5) és 6) addíciós tételek tg( + ) = sin( + ) sin cos +cos sin = cos( + ) cos cos sin sin = sin cos sin +cos cos cos cos cos sin sin 1 cos cos = tg +tg 1 tg tg tg( ) = tg( + ( )) = tg +tg( ) 1 tg tg( ) = tg tg 1+tg tg 7), 8) és 9) addíciós tételek sin(2 ) = sin( + ) = sin cos + cos sin = 2 sin cos cos(2 ) = cos( + ) = cos cos sin sin = cos 2 sin 2 tg(2 ) = tg( + ) = tg +tg 1 tg tg = 2 tg 1 tg 2 5

6 A könyv megvásárolható egyben, nyomtatva - ára szintenként 4000 Ft A könyv készítője: Koczog András matematikus, biológus info@matematikam.hu Forrás info@matematikam.hu Matematika korrepetálás, felkészítés Online matematika feladatok Letölthető matematika feladatsorok Matematika könyvem témakörei, fejezetei A tanítás és matek facebook oldala Üzenet a könyvvel és az oktatással kapcsolatban Évek óta foglalkozom matematika oktatással - az általános iskolás korosztálytól kezdve az érettségizőkön át egészen az egyetemi szintig készítek fel diákokat a különböző megmérettetésekre. Végzettségemet tekintve okleveles matematikus és biológus vagyok, illetve webszerkesztő és hivatásos túravezető. Szerencsémre ezekre nem mint feladat, hanem mint hobbi tudok tekinteni, így továbbra is lelkesen képzem magamat ezen területeken ban sikerült befejeznem a jegyzetet, majd 2014-ben a diplomám megszerzése után újra nekiláttam a fejezetek "modernizálásának", az egész anyagot kibővítettem, és igyekeztem még inkább használhatóvá tenni. Most már teljes bizonyossággal elmondhatom, hogy a könyv elég a közép- és az emelt szintű érettségihez is. Reklám info@turaoldal.hu Minden, ami túrázás, túlélés, természet A Kárpát-medence és környékének élővilága Cikkek a túrázással és a természettel kapcsolatban A turaoldal.hu lapok facebook oldala Üzenet a természettel és a túrázással kapcsolatban 6