Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
|
|
- Ödön Kerekes
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 07 érettségin át az egyetemig Logaritmus és exponenciális egyenletek Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk általános egyenletek megoldására. Ezeken felül a logaritmus és exponenciális definíciók és összefüggésekre és ötletekre lesz csak szükségünk, hogy képesek legyünk elvégezni a feladatokat. Határozzuk meg a logaritmus értékét: log 3 9 =, mert 3 = 9 log 8 = 3, mert 8 3 = log 6 =, mert = 6 log = log 9 = log = Hatvány azonosságok és logaritmus definíciójának segítségével számítsuk ki: 5 +3 log 5 = log 5 = 5 5 log 5 3 = 5 3 = lg 8 = (0 6+lg 8 ) = 0 6+ lg 8 = 0 3+lg 8 = 0 3+lg 9 = lg 9 = = 009 Hozzuk egyszerűbb alakra az azonosságok és definíció segítségével: log k x+3 log k y = log k x +log k y 3 = log 5 log k k 5 k (x + y 3 + k 5 ) Egyenletek megoldásának néhány módja Új alap és számológép használata x = 5 log x = log 5 x log = x = log 5 x = log 5 = lg 5 =,3 lg / vesszük a két oldal logaritmusát / azonosságot használva kivisszük a hatvány kitevőjét / új, 0-es alapra térünk át, hogy számológéppel számolhasunk Azonos hatványalap és összevonása 5 5 x x + 5 x = 55 / összevonjuk az ismeretlent tartalmazó hatványokat 5 x = 55 5 x = 5 / vesszük az oldalak logaritmusát log 5 5 x = log 5 5 x log 5 5 = log 5 5 x = Több azonos hatványalap és összevonása 3 x + 3 x+ = x+ + x+ / azonosságok segítségével felbontjuk a kitevőket 3 x x = x + x 6 / 3 3 x x = x 6 + x 8 / összevonjuk a tagokat 8 3 x = 5 x 3 x = x,5x = 5 = 7 8 lg,5 x = x lg,5 = lg 7 x = lg 7 : lg,5 =,6 / : 8 / : x / vesszük a két oldal 0-es alapú logaritmusát (számológéppel) / azonosság alapján kiemeljük a log-on belüli ismeretlent
2 07 érettségin át az egyetemig Hasonló alapú hatványalapok átírása x+ = 9 (x ) x+ = 3 (x ) / észrevesszük, hogy átírhatóak az alapok 3 hatványaira / rendezzük a hatványkitevőket x+3 x = x+3 x = x = 3 x / exp.fgv.szig.mon x = x / 0-ra redukálunk x 3x 0 = 0 x ; = b± b ac a x = 3+3 x = 3 3 = 3± 9+ 0 = 6 = = 0 =,5 / II. fokú egyenlet megoldása = 3± 69 = 3±3 Alapátírással, hatványazonosságokkal és értékkészletvizsgálattal 3 x 5 x 3 = 5, / észrevesszük, hogy 5, = 7 5 = 33 5 ha nem láttuk meg, akkor vesszük a 0-es alapú logaritmusokat és számológéppel oldjuk 3 x 5 x 3 = 33 5 / 5 / : x 5 x = / kiemelünk azonossággal a b = (a + b) (a b) (3 x+ ) x 5 x = / hatványszorzat azonosság (3 x+ 5) x = / vizsgálat egy hatvány értéke akkor és csak akkor, ha az alapja, vagy a kitevője 0 3 x+ 5 = / : 5 3 x+ = 5 = 5 / vesszük a két oldal 0-es alapú logaritmusát (számológéppel) lg 3 x+ = lg 5 (x + ) lg 3 = lg 5 x = lg 5 lg 3 x = 3,6 x = 0 x = / log azonossággal kivisszük a hatványkitevőket / : lg 3 / Másodfokú egyenletre vezető logaritmussal 3 x+ 3 x+ = 6 / azonosságok segítségével felbontjuk a kitevőket 3 x 3 3 x 3 = x 9 3 x = 6 / : 3 3 x 3 3 x = 5 / 3 x y y 3 y = 5 y 3y 5 = 0 y ; = b± b ac a y = x = 9 x = = 3± 9+ 5 = 8 = 9 / 0-ra redukálunk = 3± 5 = 3±5 y = 3 5 = = 6 3 x = 6 ellentmondás, 3 x > 0
3 07 érettségin át az egyetemig Logaritmus azonossággal és definícióval lg(x 6) + lg(x ) = 3 lg 5 kikötés: x 6 > 0 x > 6 x > 0 x > 7 lg(x 6) + lg(x ) = 3 lg 5 / közös alapú logaritmusra hozni lg(x 6) + lg(x ) = lg 000 lg 5 / azonosságok segítségével összevonni lg[(x 6)(x )] = lg ( / log.fgv.szig.mon. (x 6)(x ) = 0 / zárójel kibontás x x x + 8 = 0 x 6x + = 0 x ; = b± b ac a x = 6+8 x = 6 8 = 6± 676 = = 6±8 = kikötésnek nem felel meg / 0-ra redukálás Logaritmus definíció segítségével log log 3 log x = = log 3 log x 3 = log x 9 = x / log definíció szerint haladunk lépésenként Logaritmus definíció segítségével log [ + log 5 (3 + log 3 x)] = = + log 5 (3 + log 3 x) / / logaritmus definíció szerint = log 5 (3 + log 3 x) / logaritmus definíció szerint 5 = 3 + log 3 x / 3 = log 3 x / logaritmus definíció szerint 3 = x = 9 Kikötéssel egyeztetve ellentmondás lg(3x 5) lg(x ) = kikötés: lg(3x 5) lg(x ) 3x 5 > 0 x > 5 3 x > 0 x > lg(x ) 0 x x = / lg(x ) lg(3x 5) = lg(x ) / log.fgv.szig.mon. 3x 5 = x / +5 / x x = x = nem megoldás, mivel ellent mond a kikötésnek Közös logaritmus alapra áttéréssel log 6 x + log x = log 36 x 3 log 6 x log 6 x = log 6 x 3 log 6 x = 3 x = 6 6 / áttérünk 6-os alapú logaritmusra / log 6 x / ( ) / log def szerint 3
4 07 érettségin át az egyetemig Új hatványalappal és azonos alapú logaritmussal, definícióval és gyökös egyenlettel x log x = 5 / észrevesszük a hatványát x log x = 9 log x log x = log 9 = 9 = 9 / vesszük a -es alapú logaritmusukat log x log x = (log x) = 9 / log azonossággal kivisszük a hatványkitevőt / log x = 3 log x = 3 x = 3 = 8 x = 3 = 8 Grafikus megoldással 3 x = x + az egyenlet két oldalát függvényként kezelem és ábrázolom: x 3,9 x,6 Egyenlőtlenség reláció fordulással log 0,5 (x ) < log 0,5 3 x > 3 x > 5 log.fgv.szig.mon.csökken (csökken, tehát fordul a reláció!)
5 07 érettségin át az egyetemig A könyv megvásárolható egyben, nyomtatva - ára szintenként 000 Ft A könyv készítője: Koczog András matematikus, biológus info@matematikam.hu Forrás info@matematikam.hu Matematika korrepetálás, felkészítés Online matematika feladatok Letölthető matematika feladatsorok Matematika könyvem témakörei, fejezetei A tanítás és matek facebook oldala Üzenet a könyvvel és az oktatással kapcsolatban Évek óta foglalkozom matematika oktatással - az általános iskolás korosztálytól kezdve az érettségizőkön át egészen az egyetemi szintig készítek fel diákokat a különböző megmérettetésekre. Végzettségemet tekintve okleveles matematikus és biológus vagyok, illetve webszerkesztő és hivatásos túravezető. Szerencsémre ezekre nem mint feladat, hanem mint hobbi tudok tekinteni, így továbbra is lelkesen képzem magamat ezen területeken. 008-ban sikerült befejeznem a jegyzetet, majd 0-ben a diplomám megszerzése után újra nekiláttam a fejezetek "modernizálásának", az egész anyagot kibővítettem, és igyekeztem még inkább használhatóvá tenni. Most már teljes bizonyossággal elmondhatom, hogy a könyv elég a közép- és az emelt szintű érettségihez is. Reklám info@turaoldal.hu Minden, ami túrázás, túlélés, természet A Kárpát-medence és környékének élővilága Cikkek a túrázással és a természettel kapcsolatban A turaoldal.hu lapok facebook oldala Üzenet a természettel és a túrázással kapcsolatban 5
Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig. Szögfüggvények alapjai
Szögfüggvények alapjai Értelmezés derékszögű háromszögekben Két derékszögű háromszög hasonlóságát teljesen meghatározza egyik szögük nagysága, így oldalaik aránya mindig megegyezik, függetlenül hosszuktól.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenFeladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
RészletesebbenHatvány gyök logaritmus
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!
Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus
Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat
Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Részletesebben2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások
00-0XX Középszint Eponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( ) log + + =, ahol valós szám és b) cos = 4 sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont)
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?
RészletesebbenMatematika 11. évfolyam
Matematika 11. évfolyam Tanmenet Másodfokúra visszavezethető magasabb rendű egyenletek, másodfokú egyenletrendszerek 1. Másodfokú egyenletek (ismétlés) 2. Másodfokú egyenletrendszerek (behelyettesítő módszer)
RészletesebbenÉrettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél
Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
RészletesebbenV.7. NÉPSZÁMLÁLÁS. A feladatsor jellemzői
V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Eponenciális egyenletek felírása és megoldása szöveges feladatok alapján. Szöveges feladatok alapján modellt alkotunk, amely alkalmas eponenciálisan
RészletesebbenEGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
RészletesebbenMatematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )
Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése
RészletesebbenP ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP
J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Részletesebben2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenOSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A
RészletesebbenMATEMATIKA A 10. évfolyam
MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonan szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,
RészletesebbenGyakorló feladatsor a matematika érettségire
Gyakorló feladatsor a matematika érettségire 1. Definiálja két halmaz unióját és metszetét!. Mit értünk mértani sorozaton? Adja meg egy tetszőleges mértani sorozat első öt elemét! 3. Mondja ki Pitagorasz-tételét!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenBudapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet. A Bevezető matematika tárgy gyakorlati anyaga
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet A Bevezető matematika tárgy gyakorlati anyaga Összeállította: Kádasné Dr. V. Nagy Éva egyetemi docens Szerkesztette: Nagy Ilona BME Budapest
RészletesebbenMatematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
RészletesebbenÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)
Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenI. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
RészletesebbenAz osztályozó vizsgák tematikája matematikából évfolyam
Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 9 12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc. A vizsgázónak 4-5 különböző
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Részletesebben2) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 42. Adja meg a háromszög hiányzó adatait!
Szinusztétel 1) Egy háromszög két oldalának hossza 3 és 5 cm. Az 5 cm hosszú oldallal szemközti szög 70. Adja ) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 4.
RészletesebbenTANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos
RészletesebbenI. rész. 1. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
Paróczay József, 00. november Emelt szintű érettségi feladatsor és megoldása Összeállította: Paróczay József 00. november I. rész. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget
RészletesebbenNagy Ilona 2013.06.01.
Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-
RészletesebbenTétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180
Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög
RészletesebbenEgy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenA logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint
TÁMOP-..4-08/2-2009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA. évfolyam középszint
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Részletesebben13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra
Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenLogaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!
Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
RészletesebbenTANMENET. a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
RészletesebbenTanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához
ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2
RészletesebbenKövetelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete, eszköz jellegű
Részletesebben