Segédlet: Kihajlás. Készítette: Dr. Kossa Attila BME, Műszaki Mechanikai Tanszék május 15.

Átírás

1 Segédlet: Kihajlás Készítette: Dr. Kossa ttila BME, Műszaki Mechanikai Tanszék május 15. Jelen segédlet célja tömören összefoglalni a hosszú nyomott rudak kihajlásra történő ellenőrzését. segédlet nem tér ki a részletes levezetésekre, ehelyett a végképletek gyakorlati alkalmazását mutatja be. kihajláshoz tartozó részletes levezetések szakkönyvekben megtalálhatóak 1. következőkben bemutatott összefüggések középpontosan terhelt nyomott rudakra vonatkoznak. Elsőként a rúd karcsúságát (karcsúsági tényező) definiáljuk. Ez egy olyan dimenzótlan skalár szám aminek segítségével el tudjuk dönteni, hogy a vizsgált nyomott rúd esetén melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számításához. karcsúságot rendszerint λ-val jelöljük és az alábbiak szerint számítjuk:, (1) ahol l 0 [m] a kihajló hosszúság, [m] pedig a keresztmetszet minimális inerciasugara. 1. ábra. kihajló hosszúság változása a megfogási módoktól függően z l 0 értéke a rúd hosszától és a rúdvégek megfogásától függ, számítása: l 0 = c l, (2) ahol l a vizsgált rúd tényleges hossza, c pedig a rúdvégek megtámasztásától függő konstans, melynek értékét különböző esetekre a 1. ábra foglalja össze. 1.a esetén alul befogás van, felül pedig szabad vég. 1.b-nél alul és felül is csuklós megfogás szerepel, vagyis a keresztmetszet a végeknél elfordulhat. 1.c annyiban különbözik a b) esettől, hogy alul befogás kényszer van, vagyis a végkeresztmetszet elfordulása zérus kell legyen. Legvégül, a d) esetén alul befogás, míg 1 Például: Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981., Sz. D. Ponomarjov: Szilárdsági számítások a gépészetben, 7. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966., Pattantyús Á. G.: Gépész- és villamosmérnökök kézikönyve, 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest,

2 felül egy olyan jellegű megvezetést alkalmazunk, hogy a keresztmetszet ne tudjon elfordulni a rúdvégnél. keresztmetszet minimális inerciasugarának számítása: =, (3) ahol I 2 a keresztmetszet 2-es főtengelyére számított másodrendű nyomaték, vagyis a fő másodrendű nyomatékokból a kisebb. zért ezzel kell számolni mert a rúd a kisebb ellenállás "irányába" fog kihajlani, ez pedig a legkisebb másodrendű nyomatékkal rendelkező tengely. (3)-ban jelenti a keresztmetszet területét. Mindezek után a karcsúság (λ) és a rúd anyagának ismeretében eldönthető, hogy melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számításához. Ehhez a 2.ábrát kell megvizsgálnunk. z ábrán bemutatott 3 különböző esetet az 1. táblázat foglalja össze. 2. ábra. különböző elméletek érvényességi tartománya 1. táblázat. különböző elméletek érvényességi tartománya lkalmazandó elmélet λ < λ F Folyáshatár λ F < λ < λ 0 Tetmajer-egyenes λ 0 < λ Euler-hiperbola λ F és λ 0 karcsúságok a rúd anyagától függő értékek, néhány anyag esetére a 2. táblázat ad iránymutatást 2. 2 táblázat adatai a Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, könyv oldaláról származnak. 2

3 2. táblázat. Kihajlással kapcsolatos anyagjellemzők néhány anyag esetén Szakítószilárdság Folyáshatár Tetmajer-képlet nyag σ sz [MPa] σ F [MPa] [MPa] λ F λ , 14λ Szénacél , 62λ , 82λ Ötvözött acél , 3λ Dúralumínium , 2λ Öntöttvas 0,053λ 2 12λ Fenyőfa 30 0, 2λ Tölgyfa 37, 5 0, 25λ λ < λ F Ebben az esetben a rúd karcsúsága olyan kicsi (zömök rúd), hogy a kihajlás jelensége nem számottevő, emiatt a törőfeszültség értéke az anyag folyáshatárával egyenlő, vagyis σ t = σ F. (4) λ F < λ < λ 0 Létezik egy átmeneti tartomány a karcsú (λ 0 < λ) és zömök (λ < λ F ) rudak között, ahol a törőfeszültséget a Tetmajer-féle képlettel számítjuk, ami egy egyenesnek az egyenlete: σ t = a bλ. (5) fenti egyenletben szereplő a és b paraméterek az anyagtól függő konstansok. Néhány anyag esetére a 2. táblázat közli a Tetmajer-egyenes egyenletét 3. λ 0 < λ Ebbe a tartományba tartoznak a karcsú rudak. Ebben az esetben a törőfeszültséget az Euler-féle képlettel számítjuk: ( π ) 2E, σ t = (6) λ ahol E az anyag rugalmassági modulusa. törőfeszültség ismeretében a törőerő azf t = σ t összefüggéssel számítható. z Euler-féle számítás esetén a törőerő számítható közvetlenül a ( ) 2 π F t = I 2 E (7) l 0 összefüggéssel is. z ellenőrzés utolsó lépése, hogy a kiszámított törőerőt összehasonlítjuk a rúd tényleges terhelésével (F). Ha F F t, akkor a rúd kihajlás szempontjából nem felel meg. 3 Öntöttvas esetén a Tetmajer-képlet egy parabolát definiál, nem egyenest. 3

4 z ellenőrzés algoritmusának rövid összefoglalása: 1. keresztmetszet geometria adatainak meghatározása: I 2,,. 2. rúdvégek megfogásának jellegének vizsgálata, ennek ismeretében a kihajló hosszúság számítása: l karcsúság számítása: λ. 4. Karcsúság ismeretében a megfelelő számítási képlet kiválasztása: Folyáshatár vagy Tetmajer-képlet vagy Euler-képlet. 5. Törőerő számítása. 6. Törőerő összehasonlítása a tényleges nyomóterheléssel. Kihajlás szempontjából megfelel vagy nem felel meg? Példa Két rúd a B csuklón keresztül csatlakozik. z egyik rúd másik végén (C) befogást alkalmazunk, míg a másik rúdnál görgős támaszt (). z elrendezést és a kiindulási adatokat a 3. ábra mutatja. BC rúd keresztmetszete a b méretű téglalap. 3. ábra. kihajló hosszúság változása a megfogási módoktól függően Feladatok: a) Határozzuk meg a BC-rúd kihajlással szembeni biztonsági tényezőjét! b) Hogyan változik a biztonsági tényező értéke ha h értékét 20 %-kal csökkentjük? c) Hogyan változik a biztonsági tényező értéke ha b értékét a háromszorosára vesszük? d) Hogyan változik a biztonsági tényező hahértéket a duplájára növeljük és az helyen csuklós támaszt alkalmazunk a görgős helyett? e) Legyen a BC-rúd keresztmetszete kör. Mekkora legyen a d átmérő, ha a kihajlással szemben 3x-os biztonságot szeretnénk elérni? 4

5 Megoldás BC rudat terhelő nyomóerő értéke az pontra felírt nyomatéki egyenletből kifejezhető: F = pt 2 a) keresztmetszet geometria adatainak számítása: I 2 = ab3 12 = 100 kn. (8) = ab = mm 2, (9) = = ,333 mm 4, 3 (10) = = b 12 = 5,7735 mm. (11) BC rudat a C keresztmetszetben befogtuk, viszont a B végének oldalirányú mozgása nem gátolt. Emiatt a 1.a ábra szerinti esettel van dolgunk, vagyis a kihajló hosszúság értéke: karcsúsági tényező számítása: l 0 = 2h = 640 mm. (12) = 110,851. (13) Mivel λ > λ 0, emiatt az Euler-féle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőerő számítása: ( ) 2 π F t = I 2 E = 160,638 kn. (14) Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező: l 0 n = F t F = 1, (15) b) megváltozott kihajló hosszúság számítása: karcsúsági tényező értéke ez esetben: l 0 = 2(0,8h) = 512 mm. (16) = 88,681. (17) Mivel λ 0 < λ < λ 0, emiatt ennél az esetnél már nem az Euler-féle képletet, hanem a Tetmajerféle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőfeszültség számítása: Vagyis a törőerő: σ t = 308 1,14 λ = 206,904 MPa. (18) F t = σ t = 206,904 kn. (19) Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező ebben az esetben: n = F t F = 2, (20) 5

6 c) b növelésével változnak a keresztmetszet geometriai adatai. Fontos észrevenni, hogy az előző esetekhez képesti merőleges tengely lesz most a 2-es tengely, vagyis ennek megfelelően kell I 2 -t számolni: karcsúsági tényező értéke: = a(3b) = mm 2, (21) I 2 = 3b(a)3 = mm 4, (22) 12 = = 14,439 mm. (23) = 44,3405. (24) Mivel λ < λ F, emiatt a törőfeszültség értéke a folyáshatárral egyenlő: törőerő számítása ennek megfelelően: Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező: σ t = σ F = 240 MPa. (25) F t = σ t = 720 kn. (26) n = F t F = 7,2. (27) d) Ha az helyen csuklós támaszt alkalmazunk, akkor a BC-rúd B vége nem tud vízszintes irányba elmozdulni, vagyis az a 1.c ábra szerinti eset áll elő. kihajló hosszúság - figyelembe véve, hogy a h hosszt pedig a duplájára növeljük - ez esetben: l 0 = 0,7(2h) = 448 mm. (28) keresztmetszet geometria jellemzői nem változtak. karcsúsági tényező értéke: = 448 = 77,596. (29) 5,7735 Mivel λ 0 < λ < λ 0, emiatt ennél az esetnél a Tetmajer-féle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőfeszültség számítása: Vagyis a törőerő: Tehát a kihajlással szembeni biztonság: σ t = 308 1,14 λ = 219,541 MPa. (30) F t = σ t = 219,541 kn. (31) n = F t F = 2, (32) 6

7 e) Ha 3x-os biztonságot szeretnénk elérni akkor a törőerő értéke F t = nf = = 300 kn (33) kell legyen. Méretezés során viszont előre nem tudjuk megmondani, hogy a meghatározni kívánt keresztmetszet esetén melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számítására. Emiatt iterációra van szükség. Vagyis feltételezzük például, hogy Euler-féle képletet kell használni, és ennek alapján számítjuk a d-t. Ezután, a keresztmetszet geometriájának ismeretében, már számítható a karcsúság (amit az elején még nem ismertünk). mennyiben λ > λ F értéket kapunk akkor jogos volt a feltételezés. Ha nem, akkor hasonló gondolatmenet alapján vizsgáljuk a Tetmajer-képlet érvényességét és a folyáshatárra való ellenőrzést. fenti gondolatmenetet követve feltételezzük elsőként, hogy az Euler-képletet kell használnunk. (7) képletből a szükséges I 2 kifejezhető: I 2 = F t E ( ) 2 l0 = π Ebből számítható a keresett átmérő: N MPa d = 4 64 π z átmérő ismeretében már számítható a rúd karcsúsága: = d2 π 4 = 884,468 mm2, = ( ) mm = ,735 mm 4. (34) π = 33,558 mm. (35) = 8,3895 mm, = 2h = 76,285. (36) Mivel a λ > λ F feltétel nem teljesül, emiatt nem az Euler-képletet kell alkalmazni! Vizsgáljuk meg, hogy a Tetmajer-féle képlet alkalmazása esetén milyen eredményre jutunk. megadott biztonság esetén a törőfeszültség értéke: σ t = n F = = = d 2 π z anyagra megadott Tetmajer-képletből is felírhatjuk a törőfeszültség értékét: ahol a karcsúsági tényező: = ,863 d 2. (37) σ t = 308 1,14λ, (38) = l 0 = 4l 0 d = 2560 d. (39) fenti egyenletbe d-t mm-ben kell behelyettesíteni. Visszaírva λ-t (38)-ba kapjuk, hogy σ t = ,4. (40) d Egyenlővé téve a (37) és (40) egyenleteket, d-re vonatkozólag egy másodfokú egyenletet kapunk: ,863 = ,4, (41) d 2 d 308d ,4d ,863 = 0, (42) 7

8 melynek megoldásai: d 1 = 40,2709, d 1 = 30,7956. (43) Tehát a keresett átmérő értéke d = 40, 2709 mm. karcsúság értéke számítható (39) segítségével: λ = 63,57. Mivel a karcsúság a λ F < λ < λ 0 tartományba esik emiatt a Tetmajer-képletet kell alkalmazni, vagyis a d-re kapott érték a keresett megoldás. Megjegyzés: fenti, e) pontbeli méretezési feladat paraméteresen is elvégezhető. Vezessük le általános esetre a méretezést. Legyen a rúd terhelése F, az elérni kívánt biztonsági tényező n, a Tetmajer-képlet alakja σ t = a bλ, a rúd hossza l, a megfogás módját jellemző konstans c. Határozzuk meg a szükséges d átmérőt mind az Euler-féle képlet, mind a Tetmajer-féle képlet alkalmazásával! Vizsgáljuk elsőként az Euler-féle képletet. szükséges törőerő értéke a biztonsági tényező figyelembe vételével: F t = nf. (44) törőerő felírása az Euler-féle képlet segítségével: ( ) 2 π F t = I 2 E. (45) l 0 Egyenlővé téve a fenti két egyenletet, és beírva I 2 képletét kapjuk, hogy ( ) 2 π nf = I 2 E, (46) nf = l 0 ( π cl ) 2 d 4 π 4nF (cl) 2 64 E d = 2 4 π 3 E Tetmajer-képlet alkalmazása esetén a törőerő értéke: ahol a karcsúság számítása:. (47) F t = (a bλ), (48) = cl = 4cl d. (49) Egyenlővé téve (44) és (48) egyenleteket, d-re vonatkozólag egy másodfokú egyenletet kapunk: nf = (a bλ), (50) 4nF d 2 π = a 4bcl d, (51) ad 2 4bcld 4nF π = 0, (52) melynek a pozitív megoldása d = 2bcl a + (2bcl a ) 2 + 4nF aπ. (53) két megoldás a hozzájuk kapcsolódó elméletek érvényességi tartományán belül alkalmazható. Vagyis a (47) szerinti megoldás akkor adja a tényleges megoldást ha a vele számolt karcsúságra teljesül, hogy λ > λ F. (53) megoldás pedig akkor szolgáltatja a tényleges megoldást, ha a vele számított karcsúságra teljesül, hogy λ F < λ < λ 0. 8