Mozgatható térlefedő szerkezetek

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mozgatható térlefedő szerkezetek"

Jakab Szőke
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Mozgatható térlefedő szerkezetek TDK Konferencia 2010 Szilárdságtani és tartószerkezeti szekció

2 Tartalomjegyzék 1

3 Absztrakt 2

4 Bevezetés 3

5 Az alakzat mozgásának görbületre gyakorolt hatása 4

6 Teljes összenyomódás 5

7 Az alakzat szerkesztése általános görbére 6

8 7

9 Merevségi vizsgálatok A szerkezet mozgásának és megtámasztásának módját megismerendő, merevségi vizsgálatot végeztem. Rácsos tartóval modelleztem a rendszert, az élekbe rácsrudakat feltételezve. Mivel a lapok háromszöglapok, a rudak merevek a lapok síkjaiban, tehát elmozdulás tényleg csak ott jöhet létre, ahol a szerkezet lapokból felépítve is mozogna. A statikai határozottság meghatározására a Szabó J. Roller B.: Rúdszerkezetek Elmélete és Számítása (3), valamint Dr. Gáspár Zsolt: Tartók Statikája (4) című könyvekben található módszert használtam. A módszer mátrix alakba rendezi a rudak geometriáját, és ezt a mátrixot vizsgálva osztályozza a szerkezetet. A megtámasztásokat többféleképp is lehet kezelni, én a gátolt elmozdulások irányába álló rudakat tételeztem fel, és az így létrejövő alakzat geometriai mátrixának rangját határoztam meg. A mátrix sorai a rácsrudakat (illetve a megtámasztást jelképező rudakat) jelentik, oszlopai pedig a csomópontok vetületi egyensúlyi egyenleteit, csomópontonként 3-at. Amelyik csomópontokban jelen van egy rúd, azokba az oszlopokba kell beírni a rúd vektorának adott irányú vetületét, a csomópontból kifelé mutatva (húzott rudat feltételezve). A mátrix rangja jellemzi a szerkezetet. Ha a mátrix négyzetes, a csomóponti egyenletek és az ismeretlen rúderők száma azonos, a statikai határozottság szükséges feltétele teljesül. Ahhoz, hogy az elégséges feltétel is teljesüljön, az egyenleteknek lineárisan függetleneknek kell legyenek, a mátrix rangja ilyenkor megegyezik sorainak és oszlopainak számával. Amennyivel kisebb a fokszáma a négyzetes mátrixnak az oldalainak méreténél, annyiszor egyszerre határozatlan és túlhatározott a szerkezet. Ha több oszlopa van a mátrixnak, mint sora, az több egyensúlyi egyenletet jelent, mint ahány ismeretlen van, tehát a szerkezet túlhatározott. Ha több sora van, mint oszlopa, akkor a szerkezet határozatlan, lévén több ismeretlen van, mint ahány egyenlet. Téglalap alakú mátrixnál a rang és a hosszabb oldal különbsége adja a határozatlanság illetve túlhatározottság fokszámát. A mátrixok rangjának megállapításához a MATLAB nevű programot használtam. Mivel nem képes paraméteresen dolgozni, felvettem egy konkrét geometriát, és annak a mátrixát vittem be. Parabolaívre szerkesztettem az alakzatot, x;y sík volt a parabola síkja, pedig az egyenlete. A rudak vetületeinek fölírásához szögek helyett aránypárokat használtam, az adott irányú hosszat leosztva a rúd teljes hosszával. Ezáltal kizárólag a csúcspontok koordinátáinak ismeretében felírható a mátrix, hiszen a vetületi és valós hosszak a végpontok koordinátáinak a különbségei. A következőképp néz ki például az 5-6. rúd 5. számú csomópontbeli x irányú vetülete: A második koordináta ( ) mindig az, amelyik csomópontba írjuk a rúd vetületét, az első koordináta ) pedig a rúd másik vége. Először egy kisebb, 12 rúdból álló darabot vizsgáltam (10. ábra). A rudakból egy 12x21-es mátrix adódott, míg a statikai határozottsághoz négyzetes mátrix szükséges =9 irányú megtámasztással statikailag határozottá tehető a szerkezet, ha a mátrix rangja 12. Ez teljesült. Az ábrán ezek a megtámasztások a piros rudak. A teljes mátrix vizsgálatából kiderült, hogy a mátrix rangja 21, tehát a szerkezet ezekkel a megtámasztásokkal statikailag határozott. A szerkezet szélein a függőleges megtámasztás is statikailag határozott állapotot adott, tehát egy oromfallal remekül stabilizálható a szerkezet vége. 8

10 A mozgatás hatását is vizsgálni tudtam, egyrészt a mátrix azon elemein keresztül, ahol szerepelt z irányú komponens, másrészt az y irányú komponenseket vizsgálva, az összenyomódás görbületet megváltoztató hatása miatt. A mátrix rangja akkor csökken le, ha egy sora vagy oszlopa 0 sorrá változik. Ez két esetben történhet: Teljesen sík állapotban (t=t max ) az alakzatnak nem lesz y irányú kiterjedése, az y-t tartalmazó elemek 0-k lesznek. Teljes összenyomódás esetén (t=0) az alakzat z tengelyirányú komponenst tartalmazó elemei lesznek 0-k. Előbbi eset egy olyan háromcsuklós tartóra hasonlít, aminek egy tengelybe esnek a csuklói, utóbbi pedig egy olyanhoz, aminek a szélső csuklói egy pontba esnek. Ezután két ilyen alakzatot soroltam, vízszintesen (11. ábra). Ha csak a megtámasztás nélküli szerkezet 36x23-as mátrixát vettem, annak is egyel kisebb, lett a rangja, mint a sorainak (kisebb méretének) a száma. Mivel a sorokban a rudak szerepeltek, és egy felesleges volt belőlük, ez azt jelentette, hogy a szerkezet belsőleg statikailag határozatlan. Ez azonban csak úgy lehetséges, hogy eközben túlhatározott is, hiszen megfelelő megtámasztásokkal négyzetessé tehető a mátrix (az ismeretlenek és egyenletek száma egyenlő lesz akkor). A megtámasztott szerkezet mátrixának rangja 35 lett, egyel kisebb, mint oszlopainak és sorainak száma. Tehát a megtámasztott szerkezet egyszeresen határozatlan és túlhatározott. 9

11 Ez belátható például úgy, hogy megnézzük az antiprizmát a két előzőekben vizsgált, 12 rúdnyi rész csatlakozásánál. Ahhoz, hogy határozott térrácsot kapjunk, A és B pont közt szükség lenne egy rúdra. Mi azonban ezt a rudat máshová tettük, tehát itt létrehoztunk egy túlhatározott részt, ahová a rúd került ott pedig egy határozatlant. Ebből az következik, hogy ahány ilyen belső antiprizma van az alakzatdarabban, annyiszorosan határozatlan és túlhatározott a rendszer. Ez igaz akkor is, ha szélesebb darabot veszünk, és a belső antiprizmák nem csak egy sorban, hanem egymás mellet eltolva is elhelyezkednek. Belső antiprizma az, amelyiket alkotó rudak nem csatlakoznak külső támaszhoz. Maga a túlhatározottság pedig helyén is való, mivel egy mozgó szerkezetről van szó. Egy másik módja, hogy a határozatlanság és túlhatározottság fokát belássuk az, hogy tudunk-e olyan rudat találni, amit sajátfeszültség alá helyezve a csatlakozó rudak erői nem számíthatók, illetve hány darab rúd eltávolítása után határozhatók meg. Az eltávolított rudak száma adja meg a határozatlanság és túlhatározottság fokát. Ezzel a módszerrel is igazolható a fenti megállapítás a túlhatározottsági és határozatlansági fokról. A szerkezetet tehát hosszirányban merevíteni szükséges, célszerűen oldható kapcsolatokkal, hogyha mozgatni is szeretnénk felállítása után. Ha csak az építés megkönnyítésére használjuk a szerkezet mozgási képességét, állandó merevítést is használhatunk. 10

12 Alkalmazások, összegzés 11

13 Kivágható makett 12

14 13

Hasonló dokumentumok

A síkbeli Statika egyensúlyi egyenleteiről

1 A síkbeli Statika egyensúlyi egyenleteiről Statikai tanulmányaink egyik mérföldköve az egyensúlyi egyenletek belátása és sikeres alkalmazása. Most egy erre vonatkozó lehetséges tanulási / tanítási útvonalat