A -Y és a Y- átalakítás bemutatása. Kiss László április havában

Átírás

1 A -Y és a Y- átalakítás bemutatása Kiss László április havában

2 -Y átalakítás ohmos ellenállásokra Mint ismeretes, az elektrotechnikai gyakorlatban többször előfordul olyan kapcsolási kép, ami a megszokott (egyszerű) módszerrel nem oldható meg. Ez azt jelenti, hogy az egymáshoz csatlakozó ellenállások sem sorosan, sem párhuzamosan nem számíthatók, mivel közöttük csomópont, tehát áramelágazás található. Ebben az esetben segít a -Y átalakítás. Ezt ellenállás-hű, (más néven impedanciahű) átalakításnak is nevezzük, hiszen a keletkező Y alakzat azonos pontok felől nézve ugyanakkora ellenállást (impedanciát) képvisel mint a kiinduló alakzat. A -Y átalakítás egy algoritmus, aminek az elsajátítása mindenki számára egyszerű. Az egyszerű átalakítási szabályok alkalmazásával csak helyes eredmény adódhat Kiss László 2

3 A -Y átalakítás levezetése 1. Az alapáramkörök felrajzolása. A R ABY A R AB R 12 R 1 R 2 R 13 R 23 B R 3 C B C Kiss László 3

4 A -Y átalakítás levezetése 2. Az átalakítási elv tisztázása. A delta alakzat bármely két pontja között mérhető egy-egy ellenállás érték. Ezek rendre a következők: R AB, R AC és R BC. A csillag alakzat azonos betűjellel ellátott kapcsai között szintén mérhető egy-egy ellenállásérték. Ezek rendre a következők: R ABY, R ACY és R BCY. 3. Az átalakítás akkor egyenértékű, ha a két alakzat azonos betűkkel jelölt kapocspárjai között azonos ellenállás mérhető, tehát írható, hogy: R AB =R ABY, R AC =R ACY, és R BC =R BCY. Az előző dián látható az A-B kapocspárra vonatkozó mérési elrendezés 4. Fel kell írni a két hálózat azonos pontjai között az eredő ellenállások egyenlőségét. I. R AB = R 1 x R 2 + R 3 R ABY = R 12 + R 13 II. R AC = R 2 x R 1 + R 3 R ACY = R 12 + R 23 III. R BC = R 3 x R 1 + R 2 R BCY = R 13 + R Kiss László 4

5 A -Y átalakítás levezetése 5. Tehát: I. R 1 x R 2 + R 3 = R 12 + R 13 II. R 2 x R 1 + R 3 = R 12 + R 23 III. R 3 x R 1 + R 2 = R 13 + R Kifejtve az egyenleteket: I. egyenlet R 1 R 2 + R 1 R 3 R 1 + R 2 + R 3 = R 12 + R 13 II. egyenlet R 2 R 1 + R 2 R 3 R 1 + R 2 + R 3 = R 12 + R 23 III. egyenlet R 3 R 1 + R 3 R 2 R 1 + R 2 + R 3 = R 13 + R Kiss László 5

6 A -Y átalakítás levezetése 7. Az a cél, hogy kifejezzük a három egyenletből a három ismeretlen ellenállást, amelyek rendre a következők: R 12, R 13 és R 23. Például, fejezzük ki R 13 értékét! Ennek érdekében egy kis matematika. 8. Adjuk össze I.-et és III.-at, majd ebből az összegből vonjuk ki II.-őt. A I. és III. összege: R 1 R R 1 R 3 + R 2 R 3 = R R 1 + R 2 + R R 13 + R 23 3 És miután a II.-őt kivontuk belőle: 2 R 1 R 3 = 2 R R 1 + R 2 + R vel való egyszerűsítés után és a nevezőt egyszerűbb alakba írva kapjuk az eredményt: R 13 = R 1 R 3 Ω R Az R 12 és R 23 is a meghatározása is a fenti módon történik. Gyakorlásképpen hasznos elvégezni a számítást Kiss László 6

7 A Y- átalakítás levezetése 1. Mint az eddigiekből kiderült a két átalakítás egyenértékű hálózatokat eredményez. Most sorra vesszük a inverz műveleteket, amelynek során a csillag hálózatból deltát tudunk készíteni. 2. Az alapáramkör felrajzolásával kezdjük. R ABY A A R AB R 12 R 1 R 2 R 13 R 23 B C C B R Kiss László 7

8 A Y- átalakítás levezetése 3. A csillag kapcsolás deltává való átalakításának az az alapgondolata, hogy ha a 7-es dián látható két alakzat ugyanazon pontjait páronként rövidre zárjuk, akkor az eredő ellenállásuk szintén páronként nem változik. Ezt az alábbi ábrán teszem szemléletessé. A A R ABY R AB R 12 R 1 R 2 B R 13 R 23 C B R 3 C Értelemszerűen a lila színű rövidzárat az óramutató járásával ellentétesen minden mérésnél tovább mozgatjuk. A 10-es dián ennek felelnek meg az egyenletek Kiss László 8

9 A Y- átalakítás levezetése 4. Célunk még, hogy formailag ugyanolyan egyenleteket kapjunk, mint a delta-csillag átalakítás során. 5. Ennek érdekében a vezetésekre kell áttérni és akkor (csak formailag) valóban kinézetre ugyanolyan egyenleteket kapunk majd, mint a delta csillag átalakítás során. G 12Y = 1 G R 13Y = 1 G 12Y R 23Y = 1 13Y R 23Y G 1 = 1 G R 2 = 1 G 1 R 3 = 1 2 R 3 6. Következhet az egyenletrendszerek felírása a két kapcsolásra. Ez a következő dián látható Kiss László 9

10 A Y- átalakítás levezetése G ABY = G 12 x G 13 + G 23 és G BCY = G 13 x G 12 + G 23 és G ACY = G 23 x G 12 + G 13 G AB = G 1 + G 2 és G BC = G 1 + G 3 és G AC = G 2 + G 3 I. G ABY = G AB II. G BCY = G BC III. G ACY = G AC I. G 12 x G 13 + G 12 = G 1 + G 2 II. G 13 x G 12 + G 23 = G 1 + G 3 III. G 23 x G 12 + G 13 = G 2 + G 3 A következő dián kifejtjük az egyenleteket Kiss László 10

11 I. G 12 G 13 + G 12 G 23 G 12 + G 13 + G 23 = G 1 + G 2 II. G 13 G 12 + G 13 G 23 G 12 + G 13 + G 23 = G 1 + G 3 III. G 23 G 12 + G 23 G 13 G 12 + G 13 + G 23 = G 2 + G 3 A Y- átalakítás levezetése I. +III. G 12 G G 12 G 23 + G 23 G 13 G 12 + G 13 + G 23 = G G 2 + G 3 I. +III. II. 2 G 12 G 23 G 12 + G 13 + G 23 = 2 G 2 2-vel egyszerűsítve és a nevezőt egyszerűbb alakba írva kapjuk az eredményt. G 2 = G 12 G 23 G R 2 = 1 G Kiss László 11

12 A -Y és Y- átalakítás összefoglalása Mint már említettem az átalakítás egy egyszerű algoritmus, ami könnyen elsajátítható. Célszerű mind a két esetben a hiányzó tagok meghatározásához a levezetéseket önállóan elvégezni, ezzel is elmélyítve az átalakítás lépéseit. A teljességhez tartozik, hogy magának a levezetésnek a mindennapi gyakorlatban nincs szerepe, az inkább a megértést szolgálja. A napi gyakorlat számára elegendőek a végső összefüggések ismerete. Ezeket az összefüggéseket és a hozzájuk tartozó kapcsolásokat vizsgálva mindenki megállapíthatja az egyszerű törvényszerűséget, amelyek alapján már a képleteket sem kell megjegyezni, csupán a rendező elvet Kiss László 12

13 A -Y és Y- átalakítás összefoglalása A rendező elv a -Y átalakításnál a következő: A csillag alakzat egy adott ellenállása egyenlő, a delta alakzatban az őt közrefogó ellenállásoknak a szorzata osztva a delta hálózatban lévő ellenállások összegével. R 12 = R 1 R 2 Ω ; R R 13 = R 1 R 3 Ω ; R R 23 = R 2 R 3 R A rendező elv a Y- átalakításnál a következő: A delta alakzat egy adott vezetése egyenlő, a csillagalakzatban az őt közrefogó vezetések szorzata osztva csillag hálózatban lévő vezetések összegével. Az így meghatározott vezetés reciproka a kérdéses ellenállás értéke. Ω. G 1 = G 12 G 13 G S ; G 2 = G 12 G 23 G S ; G 3 = G 13 G 23 G S. R 1 = 1 G 1 Ω ; R 2 = 1 G 2 Ω ; R 3 = 1 G 3 Ω Kiss László 13

14 Eredményes tanulást és gyakorlást mindenkinek Ebből csak akkor lesz tudás, ha az érdeklődő levezeti önállóan az átalakításokat, és elkészít néhány gyakorló feladatot.