Csuklós mechanizmus tervezése és analízise
|
|
- Bertalan Takács
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt helyzetben megtalálható legyen. A hajtókar három előírt helyzete a P Q egyenesének három helyzetével adott, azaz a P pontjának P 1, P 2 és P 3 koordinátájával, és a P Q egyenes kiindulási (y tengellyel párhuzamos) irányának α 2 és α 3 szögű elfordulásával. A mechanizmus EGHA lánca az előbbi lánc forgattyúkarjának két szélső helyzete közötti mozgását kell megvalósítania. A mechanizmus E, A és D csuklópontja rögzített. Meghatározandók a szerkezet főbb geomatriai méretei, azaz az egyes karok hosszai. 1. ábra. Megtervezendő mechanizmus Tervezési adatok: A(0; 0) m P 1 (0,2; 1) m α 2 = 45 ω 04 = 10 rad s D(1; 0) m P 2 (0,5; 0,8) m α 3 = 90 E( 0,6; 0) m P 3 (0,8; 0,6) m P Q = 0,5 m A mechanizmus méreteinek meghatározását követően elvégzendő a szerkezet pozíció- sebesség- és gyorsulásanalízise valamint erőjátékának elemzése a 4-es kar egy teljes körbefordulása során. A 4-es tagot állandó ω 04 szögsebességgel forgatjuk, M 04 hajtó nyomatékkal. Legyen az 1- es tag háromszögalapú, a 2-es tag négyszögalapú hasáb, míg a többi tagot rúdszerű alkatrésznek tekintjük. 1
2 2. A mechanizmus méreteinek számítása 2.1. Az ABCD lánc méreteinek meghatározása A 2. ábra a mechanizmust a három megkívánt helyzetében ábrázolja az xy koordináta-rendszerben. A jelölt szögek előjelesek, értékük akkor pozitívak, ha óramutató járásával ellentétes irányúak (+z irányú forgás). 2. ábra. A mechanizmus kívánt helyzetei A méretek számítása során a négycsuklós mechanizmus mindkét oldali ágára vektorhurkok egyenleteit írhatjuk fel mindhárom kívánt pozícióban. A számításba vett vektorokat a 3. ábra egyes rajzai szemléltetik. A bal oldali ág vektorait az 1-es forgattyú A pontjából (csukló) a B pontjába (csukló) mutató W, a 2-es tag B pontjából a P pontjába mutató Z és az A csuklóból a P pontba mutató R helyvektorok alkotják. Az egyes helyzetekhez tartozó vektorokat az 1, 2, 3 indexekkel láttuk el. A jobb oldali ág vektorai az előző mintájára a 3-es forgattyú D piontjából a C pontjába mutató U, a 2-es tag C pontjából a P pontjába mutató S és az D csuklóból a P pontba mutató R helyvektorok alkotják. A bal oldali ág három helyzetére ennek megfelelően a következőt írhatjuk: W 1 + Z 1 = R 1, W 2 + Z 2 = R 2, W 3 + Z 3 = R 3. (1a) (1b) (1c) Jelöljük w-vel a W vektor hosszát (az 1-es forgattyúkar hossza:a és B közötti távolság) és z-vel a Z vektor hosszát (a 2-es tag B és P pontja közötti távolság). Ezek a mennyiségek időben 2
3 állandók. A bevezetett jelölésekkel, és az ábrán jelölt szögekkel a W és Z vektorok felírhatók az xy koordináta-rendszerben. Az első helyzetben például: W 1 = w(cos ϑ e x + sin ϑ e y ), Z 1 = z(cos ϕ e x + sin ϕ e y ). (2a) (2b) A másik két helyzetben hasonlóan járunk el, az egyes szögekben tapasztalható eltéréseket is figyelembe véve. Vegyük észre, hogy a Z 2 és Z 3 vektorok elfordulása az eredeti irányhoz képest megegyezik a kívánt α 2 és α 3 elfordulásokkal, mivel a Z vektor a 2-es taghoz kötött. 3. ábra. Vektorhurkok Az R helyvektorok pedig az A pontból P pont tervezett helyeire mutató vektor. A bal 3
4 oldali ágra ezek rendre az R 1 = 0,2 e x + 1 e y m, R 2 = 0,5 e x + 0,8 e y m, R 3 = 0,8 e x + 0,6 e y m (3a) (3b) (3c) módon írhatók fel. A (2) alatti alakot és a (3) alatti értékeket az (1) egyenletekbe beírva a w (cos ϑ e x + sin ϑ e y ) + z (cos ϕ e x + sin ϕ e y ) = 0,2 e x + 1 e y, w (cos(ϑ + β 2 ) e x + sin(ϑ + β 2 ) e y ) + z (cos(ϕ + α 2 ) e x + sin(ϕ + α 2 ) e y ) = 0,5 e x + 0,8 e y, (4b) w (cos(ϑ + β 3 ) e x + sin(ϑ + β 3 ) e y ) + z (cos(ϕ + α 3 ) e x + sin(ϕ + α 3 ) e y ) = 0,8 e x + 0,6 e y vektoregyenleteket kapjuk. Az egyenletek e x és e y skaláregyenleteit véve végül a (4a) (4c) f 1 = w cos ϑ + z cos ϕ 0,2 = 0, f 2 = w sin ϑ + z sin ϕ 1 = 0, f 3 = w cos(ϑ + β 2 ) + z cos(ϕ + α 2 ) 0,5 = 0, f 4 = w sin(ϑ + β 2 ) + z sin(ϕ + α 2 ) 0,8 = 0, f 5 = w cos(ϑ + β 3 ) + z cos(ϕ + α 3 ) 0,8 = 0, f 6 = w sin(ϑ + β 3 ) + z sin(ϕ + α 3 ) 0,6 = 0 (5a) (5b) (5c) (5d) (5e) (5f) nemlineáris egyenletrendszert kapjuk. Az egyenletrendszer független változói a w, z hosszak és a ϑ, ϕ, β 2, β 3 szögek.az egyenletrendszer tömören az f i (w, z, ϑ, ϕ, β 2, β 3 ), i = 1,..., 6 alakban írható fel, azaz összesen hat egyenlet áll rendelkezésre a hat ismeretlen meghatározására A nemlineáris egyenletrendszert numerikus úton oldjuk meg. A használt algoritmusnak szüksége lehet az egyenletrendszer Jacobi-mátrixára, melyet a következőképp épül fel: [ ] J = f 1 w f 1 z f 2 w.... f 6 w... f 1 ϑ f 1 ϕ f 1 β 2 f 1 β 3 Így az (5) egyenletrendszer Jacobi mátrixa a cos ϑ cos ϕ w sin ϑ z sin ϕ 0 0 sin ϑ sin ϕ w cos ϑ z cos ϕ 0 0 [ ] J = cos(ϑ + β 2 ) cos(ϕ + α 2 ) w sin(ϑ + β 2 ) z sin(ϕ + α 2 ) w sin(ϑ + β 2 ) 0 sin(ϑ + β 2 ) sin(ϕ + α 2 ) w cos(ϑ + β 2 ) z cos(ϕ + α 2 ) w cos(ϑ + β 2 ) 0 cos(ϑ + β 3 ) cos(ϕ + α 3 ) w sin(ϑ + β 3 ) z sin(ϕ + α 3 ) 0 w sin(ϑ + β 3 ) sin(ϑ + β 3 ) sin(ϕ + α 3 ) w cos(ϑ + β 3 ) z cos(ϕ + α 3 ) 0 w cos(ϑ + β 3 ) (7) alakban írható. Matematikai szoftverrel megoldva az egyenletrendszert végül a w = 1,06567 m z = 0,12278 m ϑ = 1,26410 rad ϕ = 3,27181 rad β 2 = 0,26301 rad β 3 = 0,52006 rad eredményeket kapjuk. (6) 4
5 A lánc jobb oldali ágánál hasonlóan járunk el. Az előírt három helyzetre vonatkozó vektorhurkok a U i + S i = G i, i = 1, 2, 3 (8) egyenletekkel írhatók fel, ahol a P pontba mutató helyvektorok G 1 = 0,8 e x + 1 e y m, G 2 = 0,5 e x + 0,8 e y m, G 3 = 0,2 e x + 0,6 e y m, (9a) (9b) (9c) míg az U és S vektorokat a (2) alatti felíráshoz hasonlóan a 3. ábrán jelölt szögekkela (2) továbbá a vektorok u és s hosszaival. Az egyenleteket kirészletezve írhatjuk, hogy u (cos σ e x + sin σ e y ) + s (cos ψ e x + sin ψ e y ) = 0,8 e x + 1 e y, (10a) u (cos(σ + γ 2 ) e x + sin(σ + γ 2 ) e y ) + s (cos(ψ + α 2 ) e x + sin(ψ + α 2 ) e y ) = 0,5 e x + 0,8 e y, (10b) u (cos(σ + γ 3 ) e x + sin(σ + γ 3 ) e y ) + s (cos(ψ + α 3 ) e x + sin(ψ + α 3 ) e y ) = 0,2 e x + 0,6 e y (10c) Az egyenletek e x és e y skaláregyenleteit véve ugyanúgy egy hatismeretlenes hat egyenletből álló nemlineáris egyenletrendszert kapunk: f 1 = u cos σ + s cos ψ + 0,8 = 0, f 2 = u sin σ + s sin ψ 1 = 0, f 3 = u cos(σ + γ 2 ) + s cos(ψ + α 2 ) + 0,5 = 0, f 4 = u sin(σ + γ 2 ) + s sin(ψ + α 2 ) 0,8 = 0, f 5 = u cos(σ + γ 3 ) + s cos(ψ + α 3 ) + 0,2 = 0, f 6 = u sin(σ + γ 3 ) + s sin(ψ + α 3 ) 0,6 = 0. (11a) (11b) (11c) (11d) (11e) (11f) Az egyenletrendszert numerikus eljárással megoldva végül a u = 0,96022 m s = 0,38777 m σ = 2,04825 rad ψ = 2,75232 rad γ 2 = 0,32876 rad γ 3 = 0,42240 rad eredményeket kapjuk. Az így meghatározott méretekkel az ABCD lánc az előírt helyzeteken keresztülhalad. A BC kar hosszát valamely pozícióban felírt vektorhurokkal számítható, pl. V 1 = R 0 + U 1 W 1 (12) ahol R 0 = AD = 1 ex m, az állványon lévő, A-ból D-be mutató, rögzített vektor. A számított értékekkel V 1 = 0,23702 e x 0,16311 e y v = V 1 = 0,28772 m (13a) (13b) A későbbiek kedvéért kiszámítjuk a B-ből a P és Q pontok felé húzott egyenesek és a BC egyenes által bezárt δ P = CBP és δ Q = CBQ szögeket, valamint hajtókar S 2 súlypontjának helyét és annak a B ponttól mért távolságát, illetve a BC egyenes és a B-ből S 2 -be húzott egyenes által bezárt δ S2 = CBS 2 szöget lásd a 4. ábrát. A számításhoz az 1 indexszel ellátott pozíciókhoz tartozó koordinátákat használjuk. 5
6 4. ábra. A 2-es hajtókar egyes szögei A keresett szögek skaláris szorzat segítségével meghatározhatók: V δ P = arccos 1 Z 1 V 1 Z 1 = arccos V 1 Z 1 vz V δ Q = arccos 1 B 1 Q 1 V 1 = 1,1998 rad B 1 Q 1 (14b) = 2,4086 rad (14a) A Q pont pozíciójának meghatározásához még célszerű bevezetni a r BQ = B 1 Q 1 jelölést, melynek értéke r BQ = 0,53011 m. A súlypont számításánál a BCQP négyszöget két háromszögre bontjuk, lásd az 5. ábrát melyek súlypontjainak ismeretében a négyszög súlypontja meghatározható. Az egyes háromszögek súlypontjai a 5. ábra. A 2-es hajtókar súlypontja r SI = 1 3 ( r B 1 + r Q1 + r P1 ) = 0,24058 e x + 0,83865 e y m (15) r SII = 1 3 ( r B 1 + r Q1 + r C1 ) = 0,36017 e x + 0,78959 e y m (16) képletekkel számíthatók, míg a négyszög súlypontja r S2 = A I r SI + A II r SII A I + A II = 0,32431 e x + 0,80430 e y m (17) ahol az A I és A II háromszög területek az oldalaikat alkotó vektorok vektoriális szorzatával számítható: A I = 1 B 1 P 1 B 1 Q 1, A II = 1 B 1 Q 1 B 1 C 1. (18) 2 2 A súlypont ismeretében számítható a BS távolság: s 2 = B 1 S 2 = 0,21166 m, és a δ S2 szög: B 1 S 2 δ S2 = arccos Z 1 B 1 S 2 Z 1 = arccos B 1 S 2 Z 1 B = 0,95591 rad (19) 1 S 2 z 6
7 2.2. Az EGHA lánc méreteinek meghatározása A lánc méreteit szerkesztési eljárással határozzuk meg. A pontos szerkesztés érdekében 2D-s tervező szoftvert alkalmazunk, így a számértékeket a CAD rendszer számítási pontosságának megfelelően kapjuk. Lépések (lásd 6. ábra): 1. Vegyünk fel két egymásra merőleges egyenest, hogy azok az A és E pontokon menjenek át. (Az AE átmérőjű Thalész körrel is szerkeszthető.) A két egymásra merőleges egyenes metszéspontját jelöljük H -vel. 2. Az A ponton áthaladó egyenes két oldalára vegyünk fel két egyenest oly módon, hogy az egyenessel bezárt szögük az 1-es tag által megtett legnagyobb szögelfordulásának fele legyen. Jelen esetben mindkét oldalra β 3 2 = 14,89863 fokot mérünk fel. 3. Az előbb felvett két egyenes és az EH egyenes metszéspontjait jelöljük H 1 és H 3 pontokkal. 4. A H 1 H távolsággal körözzünk az E pont körül. Ahol a kör metszi az EH egyenest, jelöljük G 1 illetve G 3 pontokkal. 6. ábra. Mozgató lánc szerkesztése A szerkesztés során az AH egyenes irányának felvétele szabad választás eredménye, így elviekben végtelen sok megoldás születhet. Egy adott szerkesztés után a méreteket leolvasva kapjuk, hogy: r EG = EG 1 = 0, m r GH = G 1 H 1 = 0, m r HA = H 1 A = 0, m (20a) (20b) (20c) Az 1 és 3 indexek az 1-es illetve 3-as pozícióhoz tartozó pontokat jelöli. A H 1 pont koordinátái: H 1 ( 0, ; 0, ) m. A mechanizmus 1-es tagja ennek megfelelően a HAB háromszöggel jelzett merev test. A δ HAB = HAB szöget az r H1 és r B1 vektorok által bezárt szögeként számítjuk: δ HAB = arccos r H 1 r B1 r HA w = 1,1103 rad (21) 7
8 Az 1-es tag súlypontjának helye a HAB háromszög súlypontja, melynek helyvektora az 1 indexszel jelölt pozícióban r S1 = 1 3 ( r H 1 + r A + r B1 ) = 0, e x + 0, e y m. (22) Az S 1 pont A ponttól mért s 1 távolsága s 1 = AS 1 = 0,41405 m, míg az s 1 és HA szakaszok által bezárt δ S1 = HAS 1 szög pedig δ S1 = arccos r H 1 r S1 r HA s 1 = 0,87659 rad. (23) A számított hosszméreteket és szögeket a 7. ábra szemlélteti. 7. ábra. Szögek és méretek az 1-es tagban 3. A mechanizmus kinematikai analízise A mechanizmus kinematikai analízisébe a helyzetének, sebesség- és gyorsulásállapotának meghatározása tartozik. Az említett vizsgálatokat elvben minden időpontban végre lehet hajtani. A jelen feladatban a bemeneti szögsebesség időben állandó, ezért elég a hajtott forgattyú egy teljes fordulatára vizsgálni, azaz a t 0 = 0 s-tól a t 1 = 2π = 0,62832 s-ig terjedő időtartamban ω vizsgálódni. Ezt az időintervallumot több időpillanatra osztjuk fel, és ezek mindegyikében elvégezzük a kijelölt vizsgálatokat. A felosztást oly módon végezzük, hogy a hajtott forgattyú minden 2 elfordulására végezzünk számítást, azaz t = t 1 = 0, másodpercenként Helyzetanalízis A szerkezet analízisét az 1 indexhez tartozó pozíciótól kezdjük. Elsődleges koordinátának a hajtott forgattyú x tengellyel bezárt ϕ 04 ismert szögét tekintjük. A keresett mennyiségek a másodlagos koordináták az egyes tagok x tengellyel bezárt szöge, azaz a ϕ 01, ϕ 02, ϕ 03 és ϕ 05 szögek. A szerkezet helyzetét vektorhurkok felírásával szeretnénk meghatározni. A két láncra vonatkozó vektorhurok: EG + GH + HA + AE = 0 (24a) AB + BC + CD + DA = 0. (24b) 8
9 φ05 φ03 y B φ02 C P 2 1 Q 3 φ04 H δhab 5 φ01 G E 4 A D x 8. ábra. Helyzetmeghatározás A vektorhurkok skalár egyenletei a 8. ábrának megfelelően f 1 = r EG cos ϕ 04 + r GH cos ϕ 05 r HA cos ϕ 01 AE = 0 f 2 = r EG sin ϕ 04 + r GH sin ϕ 05 r HA sin ϕ 01 = 0 f 3 = w cos (ϕ 01 δ HAB ) + v cos ϕ 02 + u cos ϕ 03 AD = 0 f 4 = w sin (ϕ 01 δ HAB ) + v sin ϕ 02 + u sin ϕ 03 = 0 (25a) (25b) (25c) (25d) Az egyenletrendszert megoldva minden időpillanatban megkapjuk a mechanizmus helyzetét meghatározó paramétereket. Így például a 2-es tag szöghelyzetét az idő függvényében a 9. ábra mutatja. ϕ 02 ( ) t (s) ábra. 2-es tag szöghelyzete 9
10 A szögkoordináták ismeretében a szerkezet bármelyik pontjának megadható a helyzete. Így például a P, Q és S 2 pontok xy koordinátái: P x = w cos(ϕ 01 δ HAB ) + z cos(ϕ 02 δ P ) P y = w sin(ϕ 01 δ HAB ) + z sin(ϕ 02 δ P ) Q x = w sin(ϕ 01 δ HAB ) + r BQ sin(ϕ 02 δ Q ) Q y = w cos(ϕ 01 δ HAB ) + r BQ cos(ϕ 02 δ Q ) S 2x = w cos(ϕ 01 δ HAB ) + s 2 cos(ϕ 02 δ S2 ) S 2y = w sin(ϕ 01 δ HAB ) + s 2 sin(ϕ 02 δ S2 ) (26a) (26b) (26c) (26d) (26e) (26f) A számolt értékekkel megrajzolhatók a pontok pályagörbéi, melyeket a 10. ábra szemléltet. Az ábrán vastag vonallal vannak a P Q szakasz előírt helyzetei feltüntetve. y (m) P, Q és S 2 pályái P Q S ábra. Pályagörbék x (m) 3.2. Sebességanalízis A mechanizmus sebességállapotának leírásához az egyes tagok szögsebességének ismerete szükséges. A szögsebességek számításához képezzük a (25) skalár egyenletek idő szerinti deriváltjait, melyekből a r EG sin(ϕ 04 ) ϕ 04 r GH sin(ϕ 05 ) ϕ 05 + r HA sin(ϕ 01 ) ϕ 01 = 0 r EG cos(ϕ 04 ) ϕ 04 + r GH cos(ϕ 05 ) ϕ 05 r HA cos(ϕ 01 ) ϕ 01 = 0 w sin (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 01 v sin(ϕ 02 ) ϕ 02 u sin(ϕ 03 ) ϕ 03 = 0 w cos (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 01 + v cos(ϕ 02 ) ϕ 02 + u cos(ϕ 03 ) ϕ 03 = 0 (27a) (27b) (27c) (27d) 10
11 lineáris egyenletrendszert kapjuk. Figyelembe véve, hogy a ϕ 01, ϕ 02, ϕ 03, ϕ 04 és ϕ 05 szöghelyzetek deriváltjai rendre a ω 01, ω 02, ω 03, ω 04 és ω 05 szögsebességek, az egyenletrendszert az alábbi formában írhatjuk: r GH sin(ϕ 05 ) r HA sin(ϕ 01 ) 0 0 ω 05 r EG sin(ϕ 04 )ω 04 r GH cos(ϕ 05 ) r HA cos(ϕ 01 ) 0 0 ω 01 0 w sin (ϕ 01 δ HAB ) v sin(ϕ 02 ) u sin(ϕ 03 ) ω 02 = r EG cos(ϕ 04 )ω w cos (ϕ 01 δ HAB ) v cos(ϕ 02 ) u cos(ϕ 03 ) ω 03 0 }{{} J (28) ahol az egyenletrendszer együttható mátrixa a (25) nemlineáris egyenletrendszer J Jacobi mátrixa. Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a keresett szögsebesség értékeket. Így például az 1-es, 2-es, 3-as és 5-ös tag szögsebességét az idő függvényében a 11. ábra mutatja. ω ( rad s ) ω ω 02 ω 03 ω t (s) 11. ábra. Szögsebességek A szögsebességek ismeretében bármely pont sebessége számítható. Az 1-es tag S 1 és a 2-es tag S 2 súlypontjának sebessége például v S1 = ω 01 r S1 v S2 = ω 01 r }{{ B + ω } 02 r }{{ BS2 } v B v BS2 (29a) (29b) módon számítható Gyorsulásanalízis A mechanizmus gyorsulásállapotának leírásához az egyes tagok szögsebességének és szöggyorsulásának ismerete szükséges. A szöggyorsulások számításához képezzük a (27) egyenletek idő szerinti deriváltjait, melyekből a r EG cos(ϕ 04 ) ϕ 2 04 r EG sin(ϕ 04 ) ϕ 04 r GH cos(ϕ 05 ) ϕ 2 05 r GH sin(ϕ 05 ) ϕ r HA cos(ϕ 01 ) ϕ r HA sin(ϕ 01 ) ϕ 01 = 0 (30a) r EG sin(ϕ 04 ) ϕ r EG cos(ϕ 04 ) ϕ 04 r GH sin(ϕ 05 ) ϕ r GH cos(ϕ 05 ) ϕ r HA sin(ϕ 01 ) ϕ 2 01 r HA cos(ϕ 01 ) ϕ 01 = 0 (30b) 11
12 w cos (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 2 01 w sin (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 01 v cos(ϕ 02 ) ϕ 2 02 v sin(ϕ 02 ) ϕ 02 u cos(ϕ 03 ) ϕ 2 03 u sin(ϕ 03 ) ϕ 03 = 0 (30c) w sin (ϕ 01 δ HAB ) ϕ w cos (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 01 v sin(ϕ 02 ) ϕ v cos(ϕ 02 ) ϕ 02 u sin(ϕ 03 ) ϕ u cos(ϕ 03 ) ϕ 03 = 0 (30d) lineáris egyenletrendszert kapjuk a ϕ 01 = ε 01, ϕ 02 = ε 02, ϕ 03 = ε 03, és ϕ 05 = ε 05 szögsebességek meghatározására. Figyelembe véve, hogy ϕ 04 = ω 01 = ε 04 = 0 az egyenletrendszer tömörebb alakban J ε = b (31) írható, ahol J a 3.2. pontban értelemezett Jacobi mátrix, ε = ε 05 ε 01 ε 02 ε 03 az ismeretlen szöggyorsulásokat tartalmazó vektor, míg b = (32) r EG cos(ϕ 04 )ω r GH cos(ϕ 05 )ω 2 05 r HA cos(ϕ 01 )ω 2 01 r EG sin(ϕ 04 )ω r GH sin(ϕ 05 )ω 2 05 r HA sin(ϕ 01 )ω 2 01 w cos (ϕ 01 δ HAB ) ω v cos(ϕ 02 )ω u cos(ϕ 03 )ω 2 03 w sin (ϕ 01 δ HAB ) ω v sin(ϕ 02 )ω u sin(ϕ 03 )ω 2 03 (33) az egyenletrendszer jobb oldala. Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a szöggyorsulások értékeit, melyeket a 12. ábra szemléltet. ε ( rad s 2 ) ε 01 ε 02 ε 03 ε t (s) ábra. Szöggyorsulások A szöggyorsulások és szögsebességek ismeretében bármely pont gyorsulása kiszámítható. Így például az 1-es és 2-es tagok súlypontjának gyorsulása a S1 = a AS1 = ε 01 r S1 ω 2 01 r S 1 a S2 = a AB + a BS2 = ε 01 r B ω 2 01 r B + ε 02 r BS2 ω 2 01 r BS 2 (34a) (34b) 12
13 4. A mechanizmus erőjátéka A szerkezet külső és belső erőit a teljes erőjáték módszerével oldjuk meg. Ehhez a mechanizmust szétbontjuk tagjaira, és mindegyikre külön-külön felírjuk a rá vonatkozó egyenleteket. A tagok mozgását leíró egyenletek az impulzus- és perdülettétel síkmozgást végző testekre érvényes alakját használjuk. Célunk, hogy meghatározzuk a szükséges M 04 hajtó nyomatékot. A szerkezet szétbontását a 3-as taggal kezdjük, melyre ható külső- és belső erők és erőpárok, a tehetetlenségi erő és erőpár, valamint az erővektorok x és y irányú komponensei a 13. ábrán vannak feltüntetve. F23x C F23 F23y -m3as3y -m3as3 -J3ε03 S2 -m3as3x 3 F03x D F03 F03y 13. ábra. A 3-as tagra ható erők és erőpárok A többi tag és az azokra ható külső és belső erők és erőpárok a 14. és a 15 ábrákon szerepelnek. F21=-F12 P B -m2as2 F32=-F23 -J3ε03 F12 S2 C -J2ε02 -m1as1 Q 2 F51 H 1 S1 A F ábra. A 2-es és 1-es tagokra ható erők és erőpárok -J5ε05 -m5as5 H F15=-F51 -J4ε04 M04 -m4as4 E F04 G 5 S5 F54=-F45 G S4 F ábra. A 2-es és 1-es tagokra ható erők és erőpárok 13
14 Az egyes tagokra vonatkozó egyenleteket a következők szerint írhatjuk. 3-as test: F 03 + F 23 = m 3 a S3 r S3 C F 23 + r S3 D F 03 J 3 ε 03 (35a) (35b) skaláregyenletei: F 03x + F 23x = m 3 a S3 x F 03y + F 23y = m 3 a S3 y x S3 CF 23y y S3 CF 23x + x S3 DF 03y y S3 DF 03x + = J 3 ε 03 (36a) (36b) (36c) 2-es test: F 12 + F 32 = m 2 a S2 r S2 C F 32 + r S2 B F 12 = J 2 ε 02 (37a) (37b) skaláregyenletei (kihasználva a F 32 = F 23 egyenlőséget): F 12x F 23x = m 2 a S2 x F 12y F 23y = m 2 a S2 y x S2 CF 23y + y S2 CF 23x + x S2 BF 12y y S2 BF 12x = J 2 ε 02 (38a) (38b) (38c) 1-es test: F 01 + F 51 + F 21 = m 1 a S1 r S1 A F 01 + r S1 B F 21 + r S1 H F 51 = J 1 ε 01 (39a) (39b) skaláregyenletei (kihasználva a F 21 = F 12 egyenlőséget): F 01x + F 51x F 12x = m 1 a S1 x F 01y + F 51y F 12y = m 1 a S1 y x S1 AF 01y y S1 AF 01x x S1 BF 12y + y S1 BF 12x + x S1 HF 51y y S1 HF 51x = J 1 ε 01 (40a) (40b) (40c) 5-ös test: F 45 + F 15 = m 5 a S5 r S5 G F 45 + r S5 H F 15 = J 5 ε 05 (41a) (41b) skaláregyenletei (kihasználva a F 15 = F 51 egyenlőséget): F 45x F 51x = m 5 a S5 x F 45y F 51y = m 5 a S5 y x S5 GF 45y y S5 GF 45x x S5 HF 51y y S5 HF 51x = J 5 ε 05 (42a) (42b) (42c) 4-es test: F 04 + F 54 = m 4 a S4 r S4 E F 04 + r S4 G F 54 + M 04 = J 4 ε 04 (43a) (43b) 14
15 skaláregyenletei (kihasználva a F 54 = F 45 egyenlőséget): F 04x F 45x = m 4 a S4 x F 04y F 45y = m 4 a S4 y x S4 EF 04y y S4 EF 04x x S4 GF 45y + y S4 GF 45x + M 04 = J 4 ε 04 = 0 (44a) (44b) (44c) A skaláregyenletek egy lineáris egyenletrendszert alkotnak, melyet a következőképp írhatunk: ahol A az egyenletrendszer együttható mártixa A f = b (45) y S3D x S3D y S3C x S3C y S2C x S2C y S2B x S2B A= y S1B x S1B y S1A x S1A y S1H x S1H y S5H x S5H y S5G x S5G y S4G x S4G y S4E x S4E 1 (46) míg f az ismeretlen erő és erőpár koordinátákat tartalmazó mátrix és b az egyenletrendszer jobb oldala: F 03x m 3 a S3x F 03y m 3 a S3y F 23x J 3 ε 03 F 23y m 2 a S2x F 12x m 2 a S2y F 12y J 2 ε 02 F 01x m 1 a S1x f = F 01y b = m 1 a S1y (47) F 51x J 1 ε 01 F 51y m 5 a S5x F 45x m 5 a S5y F 45y J 5 ε 05 F 04x m 4 a S4x F 04y m 4 a S4y M 04 0 Az egyenletrendszert megoldva a keresett hajtó nyomatékot a 16. ábra, míg a támasztóerők és belső erők nagyságát a 17. ábra szemlélteti az idő függvényében 15
16 M 04 (Nm) M F (N) ábra. Hajtó nyomaték F 03 F 23 F 12 F 01 F 51 F 45 F 04 t (s) ábra. Külső és belső erők t (s) 16
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenPélda keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált
RészletesebbenBME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3
BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenSegédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január
RészletesebbenPélda: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén
Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 20. Az 1. ábrán vázolt síkgörbe rúd méretei és terhelése ismert.
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenAz M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege:
1. feladat Határozza meg a T i támadáspontú F i erőrendszer nyomatékát az A pontra. T 1 ( 3, 0, 5 ) T 1 ( 0, 4, 5 ) T 1 ( 3, 4, 2 ) F 1 = 0 i + 300 j + 0 k F 2 = 0 i 100 j 400 k F 3 = 100 i 100 j + 500
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenEllipszis átszelése. 1. ábra
1 Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának bal alsó sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenX i = 0 F x + B x = 0. Y i = 0 A y F y + B y = 0. M A = 0 F y 3 + B y 7 = 0. B x = 200 N. B y =
1. feladat a = 3 m b = 4 m F = 400 N φ = 60 fok Első lépésként alkossuk meg a számítási modellt. A kényszereket helyettesítsük a bennük ébredő lehetséges erőkkel (második ábra). Az F erő felbontásával
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
RészletesebbenIMPULZUS MOMENTUM. Impulzusnyomaték, perdület, jele: N
IPULZUS OENTU Impulzusnyomaték, perdület, jele: N Definíció: Az (I) impulzussal rendelkező test impulzusmomentuma egy tetszőleges O pontra vonatkoztatva: O I r m Az impulzus momentum vektormennyiség: két
RészletesebbenFizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat
Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
RészletesebbenAlkalmazott Mechanika Tanszék. Széchenyi István Egyetem
Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 2013. szeptember 6. 1. Folytonos
RészletesebbenA csoport. Statika ZH feladat. Határozza meg az erőrendszer nyomatékát a F pontra! a = 3 m b = 4 m c = 4 m
Stata ZH-1. 215. 1. 14. A csoport 1. feladat Határozza meg az erőrendszer nyomatéát a F pontra! a = 3 m b = 4 m c = 4 m F 1 = 5 N F 2 = 1 N M = 5 Nm M = + 4 + 3 4 F 1 = 2 = + 12 16 + 9 + 16 3 + 4 F 2 =
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenMODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
Részletesebben1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenEgy másik érdekes feladat. A feladat
Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Részletesebben6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenÉrdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon
Érdekes geometriai számítások 7. Folytatjuk a sorozatot. 7. Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon Korábbi dolgozatainkban már többféle módon is bemutattuk
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenOptika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető
Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal
RészletesebbenAz elliptikus hengerre írt csavarvonalról
1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása
RészletesebbenStatikailag határozatlan tartó vizsgálata
Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenAlapmőveletek koncentrált erıkkel
Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A
Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A
RészletesebbenKeresztezett pálcák II.
Keresztezett pálcák II Dolgozatunk I részéen a merőleges tengelyű pálcák esetét vizsgáltuk Most nézzük meg azt az esetet amikor a pálcák tengelyei nem merőlegesen keresztezik egymást Ehhez tekintsük az
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenA csavarvonal axonometrikus képéről
A avarvonal axonometrikus képéről Miután egyre jobban megy a Graph ingyenes függvény - ábrázoló szoftver használata, kipróbáltuk, hogy tudunk - e vele avarvonalat ábrázolni, axonometrikusan. A válasz:
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenA K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-
A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- Forgatónyomaték meghatározása G Á L A T A Egy erő forgatónyomatékkal hat egy pontra, ha az az erővel össze van kötve. Például
RészletesebbenNégycsuklós mechanizmus modelljének. Adams. elkészítése, kinematikai vizsgálata,
A példa megnevezése: A példa száma: A példa szintje: Modellezõ rendszer: Kapcsolódó TÁMOP tananyag rész: A feladat rövid leírása: Négycsuklós mechanizmus modellezése SZIE-K2 alap közepes - haladó Adams
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Részletesebben1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD
1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD = DA AB + BC CD AB BC + CD DA. Első megoldás: A húrnégyszögnek az A, B, C, ill. D csúcsoknál levő szögét jelölje rendre α, β, γ, ill. δ, azab,
RészletesebbenAz éjszakai rovarok repüléséről
Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel
Részletesebben