Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
|
|
- Botond Orosz
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra Berényi Dániel, Lakatos Andor, Samu Bence István, Zelei Ambrus Utolsó módosítás dátuma: 218. október 9. /MSC/Mechanisms-Mechanizmusok/Calc/Denavit-Hartenberg/D-H_Khalil-Dombre-22_v2_Cylindric3DoFExample.nb /MSC/Mechanisms-Mechanizmusok/Calc/Denavit-Hartenberg/D-H_Khalil-Dombre-22_v2_3DoFExample.nb 1
2 Tartalomjegyzék 1. Hengerkoordinátás (PRP) robot Célkit zés Denavit-Hartenberg paraméterek, homogén transzformációk és direkt kinematika Inverz kinematikai számítások Pozíció szinten Sebesség szinten Az általános tömegmátrix számítása A súlyponti pozíciókra vonatkozó Jakobi mátrixok A szögsebességek Jakobi mátrixai Általános tömegmátrix Gömbi koordinátás (RRP) robot Célkit zés Denavit-Hartenberg paraméterek, homogén transzformációk és direkt kinematika Inverz kinematikai számítások Pozíció szinten Sebesség szinten A forgatás különböz reprezentációinak szemléltetése A forgatási mátrix közvetlen felírása a bázisvektorok alapján Tengely-szög reprezentáció Az orientáció reprezentációja Euler-szögekkel (zxz eset) Egységkvaterniók Az általános tömegmátrix számítása A súlyponti pozíciókra vonatkozó Jakobi mátrixok A szögsebességek Jakobi mátrixai Általános tömegmátrix
3 1. Hengerkoordinátás (PRP) robot 1.1. Célkit zés Egy három szabadsági fokú (3 DoF) hengerkoordinátás robot példáján mutatjuk be a Denavit-Hartenberg módszer alkalmazását és néhány forgatási reprezentációt Denavit-Hartenberg paraméterek, homogén transzformációk és direkt kinematika Az alábbiakban áttekintjük a robot szabadsági fokait az 1. ábra alapján: q 3 koordináta: eltolás d 3 távolsággal z 3 mentén (x 3 távolsága x 2 -t l mérve), q 2 koordináta: forgatás ϑ 2 szöggel z 2 körül (x 2 szöge x 1 -t l mérve), q 1 koordináta: eltolás d 1 távolsággal z 1 mentén (x 1 távolsága x -t l mérve). 1. ábra. Balra: a robot szerkezeti felépítésének vázlata; jobbra: a szegmensekhez kötött koordináta-rendszerek (minden koordináta-rendszer jobbsodrású) 1. táblázat. A Denavit-Hartenberg paraméterek táblázata. i α i a i ϑ i d i 1. q 1 (t) 2. q 2 (t) 3. 9 q 3 (t) A homogén transzformációs mátrix általános alakját az (1) adja, amelybe a D-H táblázat értékeit behelyettesítve megkapjuk a T 1, a 1 T 2 és a 2 T 3 transzformációs mátrixokat, amelyek a szomszédos koordináta-rendszerek közt adnak átjárást: i 1 T i = T 1 = c ϑi s ϑi a i c αi s ϑi c αi c ϑi s αi d i s αi s αi s ϑi s αi c ϑi c αi d i c αi 1 q 1, 1 T 2 =, (1) c 2 s 2 s 2 c 2 1 3, 2 T 3 = 1 q 3. (2)
4 Megjegyzés: a rövidebb írásmód érdekében bevezetjük a s αi := sin (α i ), c αi := cos (α i ), s i := sin (q i ), c i := cos (q i ), (3) El állíthatóak azok az T i transzformációs mátrixok, amelyek az egyes i-edik lokális koordináta-rendszerekb l a globálisba képeznek: T 1 = T 1 = 1 q 1. (4) T 2 = T 1 1 T 2 = T 3 = T 1 1 T 2 2 T 3 = c 2 s 2 s 2 c 2 1 q 1 c 2 s 2 q 3 s 2 s 2 c 2 q 3 c 2 1 q 1. (5). (6) A T 3 transzformációval felírható a végberendezés r TCP pozícióvektora a globális rendszerben q 3 s 2 r TCP = T 3 3 r TCP = T 3 = q 3 c 2 q 1, (7) 1 1 ahol 3 r TCP a végberendezés lokális koordináta-rendszerben megadott helyvektora. Ezzel készen áll a direkt kinematikai számítás a végberendezésre. A kapott eredmény egyezik a szemlélettel Inverz kinematikai számítások A végberendezés r d TCP (t) pozíciója a globális koordináta-rendszerben el van írva (el írt pálya). A q i csuklóváltozókra 3 db nemlineáris algebrai egyenlet adódik a (7) alapján: Pozíció szinten q 3 sin q 2 = x d TCP(t), (8) q 3 cos q 2 = y d TCP(t), (9) q 1 = z d TCP(t). (1) A (8)-(1) nemlineáris algebrai egyenletrendszer most zárt alakban megoldható. Az els két egyenlet hányadosából: amellyel kifejezhet ek az általános koordináták: tan q 2 = xd TCP ytcp d, (11) q 1 = z d TCP, (12) q 2 = atan2(x d TCP, ytcp), d (13) q 3 = (x d TCP )2 + (ytcp d )2. (14) 4
5 Bonyolultabb esetben Newton-Raphson iterációval oldhatóak meg az egyenletek, de a gyakorlatban tipikusabb a következ alfejezetben bemutatott sebesség szint inverz kinematikai megoldás Sebesség szinten Sebesség szinten lineáris egyenletrendszert kapunk a q i csuklósebességekre. Általánosan megfogalmazva a (8)- (1) egyenletrendszert: r TCP (q) = r d TCP(t), (15) amit id szerint deriválva kapjuk: r TCP (q) q q = ṙ d TCP(t), azaz J TCP q = v d TCP, amivel q = J 1 TCP v d TCP. (16) A végberendezés pozíciójára vonatkozó Jakobi mátrix a példánk esetén: J TCP = q r 3 c 2 s 2 TCP = q 3 s 2 c 2 (17) q Most egyszer eset áll fenn, mert J TCP négyzetes (3x3) és det( J TCP ) = q 3, ami csak q 3 szinguláris. = esetben 1.4. Az általános tömegmátrix számítása A súlyponti pozíciókra vonatkozó Jakobi mátrixok A tömegmátrix el állításához szükséges a súlyponti pozíciókra vonatkozó Jakobi mátrixok felírása. 2. ábra. Az egyes tagok súlypontjainak pozíciói Megadjuk a pozícióvektorok a lokális koordináta-rendszerekben, majd a (4)-(6) transzformációs mátrixok segítségével felírjuk a globális rendszerben (h 1, h 2 és h 3 geometriai paraméterekkel): 5
6 1 r C1 = 2 r C2 = 3 r C3 = h 1 h 2 h 3, (18), (19) (2) r C1 = T 1 1 r C1 = r C2 = T 2 2 r C2 = r C3 = T 3 3 r C3 = q 1 h 1 h 2 s 2 h 2 c 2 q 1 (q 3 h 3 )s 2 (q 3 h 3 )c 2 q 1, (21), (22) (23) A súlyponti pozíciók ismeretében felírhatók a súlyponti pozíciókra vonatkozó Jakobi mátrixok. Azok segítségével pedig könnyen számíthatóak a súlyponti sebességek: J v1 = r C1 q = J v2 = r C2 q = J v3 = r C3 q = h 2 c 2 h 2 s 2, (24) (q 3 h 3 )c 2 s 2 (q 3 h 3 )s 2 c 2, (25), (26) v C1 = J v1 q, (27) v C2 = J v2 q, (28) v C3 = J v3 q. (29) A szögsebességek Jakobi mátrixai A szögsebességek felírásához szükségünk van a forgatási mátrixokra. Ezeket a T i transzrmációs mátrixokból vehetünk ki, mivel ezek felépítése mindig [ R ] T i = i p i. (3) 1 A forgatási mátrixok és id szerinti deriváltjaik: R 1 = R 2 = R 3 = 1 1 c 2 s 2 s 2 c 2 1 c 2 s 2 s 2 c 2 1, (31), (32), (33) Ṙ 1 = Ṙ 2 = Ṙ 3 = s 2 c 2 c 2 c 2 s 2 c 2 c 2 s 2, (34) q 2, (35) q 2. (36) A szögsebesség tenzorokat a forgatási mátrixból és annak deriváltjából számítjuk. A forgatási tenzor elemeib l pedig megalkothatók a szögsebesség vektorok, végül a koordináták szerinti deriválással a szögsebességekre vonatkozó Jakobi mátrixok: [ω ] i = ( Ṙ ) T i R i, [ω ] i = ω z ω y ω z ω x ω y ω x 6, J ωi = ω i q. (37)
7 [ω ] 1 = [ω ] 2 = [ω ] 3 = q 2 q 2 q 2 q 2, (38), (39), (4) ω 1 = ω 2 = ω 3 = q 2 q 2, (41), (42), (43) J ω1 = J ω2 = J ω3 = 1 1, (44), (45). (46) Ezek után a szögsebesség már a koordináták lineáris függvényeként számítható: ω i = J ωi q. (47) Vegyük észre, hogy ω 2 = ω 3, hiszen a 2. és 3. tag között prizmatikus megvezetés van, ami nem tesz lehet vé relatív szögelfordulást. A szögsebességek Jakobi mátrixa az ε i csuklótípust jelöl paraméter (ε i = prizmatikus csuklóra, ε i = 1 rotációs csuklóra), és a z i globális koordináta-rendszerben megadott bázisvektorok segítségével írható fel algoritmikusan: J ωi = [ ε 1 z 1 ; ε k z k ;... ε i z i ; ;... ]. (48) Általános tömegmátrix A T = 1/2 q T H q kinetikus energia segítségével levezettük a tömegmátrix számításának módját: H = 3 m i J v i J vi + 3 J ω i R i i Θ Ci R i J ωi = (49) i=1 i=1 = H v + H ω = (5) = H v1 + H v2 + H v3 + H ω1 + H ω2 + H ω3. (51) A sebességekre és szögsebességekre vonatkozó része a tömegmátrixnak: m 1 + m 2 + m 3 H v = h 2 2 m 2 + (h 3 q 3 ) 2 m 3, (52) m 3 H ω = Θ 2z + Θ 3y, (53) amihez felhasználtuk, hogy a súlypontra számított tehetetlenségi nyomatéki mátrix a lokális koordináta-rendszerekben: Θ ix i Θ Ci = Θ iy, (54) Θ iz 7
8 2. Gömbi koordinátás (RRP) robot 2.1. Célkit zés Egy három szabadsági fokú (3 DoF) gömbi koordinátás robot példáján mutatjuk be a Denavit-Hartenberg módszer alkalmazását Denavit-Hartenberg paraméterek, homogén transzformációk és direkt kinematika Az alábbiakban áttekintjük a robot szabadsági fokait az 3. ábra alapján: q 3 koordináta: eltolás d 3 távolsággal z 3 mentén (x 3 távolsága x 2 -t l mérve), q 2 koordináta: forgatás ϑ 2 szöggel z 2 körül (x 2 szöge x 1 -t l mérve), q 1 koordináta: forgatás ϑ 1 szöggel z 1 körül (x 1 szöge x -t l mérve). 3. ábra. Balra fent: a robot szerkezeti felépítésének vázlata alaphelyzetben és > csuklókoordinátákkal; jobbra fent: a szegmensekhez kötött koordináta-rendszerek (minden koordináta-rendszer jobbsodrású); alul: oldalnézet 2. táblázat. A Denavit-Hartenberg paraméterek táblázata. i α i a i ϑ i d i 1. q 1 (t) d q 2 (t) 3. 9 q 3 (t) A homogén transzformációs mátrix általános alakját az (55) adja, amelybe a D-H táblázat értékeit behelyettesítve megkapjuk a T 1, a 1 T 2 és a 2 T 3 transzformációs mátrixokat, amelyek a szomszédos koordináta- 8
9 rendszerek közt adnak átjárást: i 1 T i = T 1 = c ϑi s ϑi a i c αi s ϑi c αi c ϑi s αi d i s αi s αi s ϑi s αi c ϑi c αi d i c αi c 1 s s 1 c 1 d 1, 1 T 2 =, (55) c 2 s 2 1 s 2 c 2 Megjegyzés: a rövidebb írásmód érdekében bevezetjük a, 2 T 3 = 1 q 3. (56) s αi := sin (α i ), c αi := cos (α i ), s i := sin (q i ), c i := cos (q i ), (57) El állíthatóak azok az T i transzformációs mátrixok, amelyek az egyes i-edik lokális koordináta-rendszerekb l a globálisba képeznek: T 1 = T 1 = T 2 = T 1 1 T 2 = c 1 s s 1 c 1 d 1 T 3 = T 1 1 T 2 2 T 3 = c 1 c 2 c 1 s 2 s 1 s 1 c 2 s 1 s 2 c 1 s 2 c 2 d 1. (58) c 1 c 2 s 1 c 1 s 2 q 3 c 1 s 2 s 1 c 2 c 1 s 1 s 2 q 3 s 1 s 2 s 2 c 2 d 1 + q 3 c 2. (59). (6) A T 3 transzformációval felírható a végberendezés r TCP pozícióvektora a globális rendszerben (a + q 3 )c 1 s 2 r TCP = T 3 3 r TCP = T 3 a = (a + q 3 )s 1 s 2 d 1 + (a + q 3 )c 2, (61) 1 1 ahol 3 r TCP a végberendezés lokális koordináta-rendszerben megadott helyvektora a =.2[m] geometriai paraméterrel. Ezzel készen áll a direkt kinematikai számítás a végberendezésre. A kapott eredmény egyezik a szemlélettel Inverz kinematikai számítások A végberendezés r d TCP (t) pozíciója a globális koordináta-rendszerben el van írva (el írt pálya). A q i csuklóváltozókra 3 db nemlineáris algebrai egyenlet adódik a (61) alapján: (a + q 3 )c 1 s 2 = x d TCP(t) (62) (a + q 3 )s 1 s 2 = y d TCP(t) (63) d 1 + (a + q 3 )c 2 = z d TCP(t) (64) 9
10 4. ábra. Balra: TCP (szerszámközéppont) pozíció a szerkezeti ábrán (koordináta rendszerek a középs ábrán); középen: a koordináta-rendszerek a fejezetben megadott r d TCP (t) = [, 1,.5] végpont pozícióhoz tartozó speciális helyzetben; jobbra: inverz kinematika d 1 = esetén Pozíció szinten A (62)-(64) nemlineáris algebrai egyenletrendszer zárt alakú megoldása a jelen példában létezik. Speciális helyzetben (a szemléltetés céljából), amikor az el írt pozíció a 4. középs ábrának megfelel en r d TCP(t) = 1.5 [m], akkor a csuklóváltozókra a megoldás: q 1 = 9, q 2 = 9, q 3 =.8 [m]. Általános esetre, paraméteresen is megoldható az inverz kinematikai feladat: ( ) q 1 = cos 1 x = atan2(y, x) π, (66) x 2 + y 2 (65) ( ) q 2 = cos 1 z d 1, x 2 + y 2 + (z d 1 ) 2 (67) q 3 = x 2 + y 2 + (z d 1 ) 2 a (68) az x := x d TCP, y := y d TCP és z := z d TCP rövidítésekkel. A d 1 = egyszer sítéssel a 4. ábra szemlélteti az inverz kinematikai számítást. Bonyolult esetben Newton-Raphson iterációval érdemes megoldani az inverz kinematikai egyenleteket, de a gyakorlatban tipikusabb a következ alfejezetben bemutatott sebesség szint inverz kinematikai megoldás Sebesség szinten Sebesség szinten lineáris egyenletrendszert kapunk a q i csuklósebességekre. Általánosan megfogalmazva a (62)- (64) egyenletrendszert: r TCP (q) = r d TCP(t), (69) amit id szerint deriválva kapjuk: r TCP (q) q q = ṙ d TCP(t), azaz J TCP q = v d TCP, amivel q = J 1 TCP v d TCP. (7) 1
11 A végberendezés pozíciójára vonatkozó Jakobi mátrix a példánk esetén: J TCP = (a + q r 3 )s 1 s 2 (a + q 3 )c 1 c 2 c 1 s 2 TCP = (a + q 3 )c 1 s 2 (a + q 3 )s 1 s 2 s 1 s 2 q (a + q 3 )s 2 c 2. (71) Most egyszer eset áll fenn, mert J TCP négyzetes (3x3), tehát az esetek többségében invertálható. Szinguláris helyzetben azonban nem invertálható. A szinguláris helyzetet az adja meg, amikor a Jakobi mátrix determinánsa nulla, azaz det( J TCP ) = (a + q 3 ) 2 s 2 =, (72) ami csak q 3 = a esetben fordul el (ami zikailag nem lehetséges) vagy q 2 = szöghelyzetben. A szingularitás szemléletes magyarázata q 2 = esetben az, hogy ebben a teljesen kinyújtott helyzetben a q 1 szöget hiába változtatjuk, az nem idézi el a szerszámközéppont pozícióváltozását (lásd: 5. ábra). 5. ábra. Szinguláris konguráció q 2 = esetén Megjegyzés: ha az 3 r TCP lokális helyvektor nem csak z komponenseket tartalmaz, akkor, más lesz a szinguláris konguráció A forgatás különböz reprezentációinak szemléltetése A forgatás reprezentációit a 6. ábrán látható speciális kongurációban vizsgáljuk (lásd: fejezetben megadott konguráció). 6. ábra. Balra: a robot szerkezeti felépítésének vázlata a fejezetben megadott kongurációban; jobbra: a koordináta rendszerek és a szerszámközéppont helyvektora 11
12 A forgatási mátrix közvetlen felírása a bázisvektorok alapján A 3-as koordináta-rendszerb l a -ás koordináta-rendszerbe forgató mátrixot kapjuk, ha a 3-as krdsz bázisait megadjuk a -ás krdsz-ben, és egy 3 3-as mátrixba rendezzük: x 3 = 1, x 3 = Tengely-szög reprezentáció 1, x 3 = 1, R 3 = 1 1. (73) A Rodrigues-formula a forgatási tengelyt megadó egységvektorból és a forgatási szögb l megadja az R 3 ( n, ϑ) forgatási mátrixot. A Rodrigues-formula megfordításával a forgatási mátrixból kiszámítható a forgatási szög ( Tr( ϑ = cos 1 ) ( ) R 3 ) 1 1 = cos 1 = 12, (74) 2 2 majd a ϑ forgatási szög ismeretében a forgatás tengelyéhez tartozó keresztszorzat mátrix: R 3 T R 3 [n ] = = = (75) 2 sin ϑ Ebb l annak ismeretében, hogy [n ] = n z n y n z n x n y n x, a forgatást megadó egységvektor: n = 1/ 3 1/ 3 1/ 3 (76) formában adódik, ahogy ezt a 7. ábra is mutatja. A q 1 és q 2 koordinátákkal való 9 -os forgatás kompozíciója egy 12 -os forgatás. 7. ábra. A q 1 és q 2 menti 9 -os forgatások kompozíciója Az orientáció reprezentációja Euler-szögekkel (zxz eset) A zxz forgatási sorrend esetén az Euler-paraméterekkel el állított forgatási mátrix a következ R(α, β, γ) = c α c γ s α c β s γ c α s γ s α c β c γ s α s β s α c γ + c α c β s γ s α s γ + c α c β c γ c α s β s β s γ s β c γ c β, (77) 12
13 amely az egyes forgatások R(α, β, γ) = R α R β R γ kompozíciójaként áll el (els forgatás z körül: R α, második forgatás x körül: R β, harmadik forgatás z körül: R γ ): R α (α) = c α s α s α c α 1, R β (β) = c β s β s β c β, R γ (γ) = c γ s γ s γ c γ 1. (78) Az orientációt reprezentáló α, β és γ szögek az (77) forgatási mátrix bekeretezett elemeib l számíthatók: β = atan2( R 2 3 (1, 3) + R 2 3 (2, 3), R 3 (3, 3)) = q 2 = 9, (79) α = atan2( R 3 (1, 3)/s β, R 3 (2, 3)/s β ) =, (8) γ = atan2( R 3 (3, 1)/s β, R 3 (3, 2)/s β ) = 9. (81) 8. ábra. Balra: a robot szegmenseihez kötött lokális koordináta-rendszerek; jobbra: az egyes Euler-forgatások koordináta-rendszerei Megjegyzés: létezik olyan forgatási sorrend választás, amikor az Euler-szögek a csuklószögekkel egyeznek meg: mindig z körül kell ehhez forgatnunk Egységkvaterniók Alkalmazzuk a korábban levezetett formulákat: e = Tr( R 3 ) + 1 = R 3 (1, 1) + 1 Tr( R 3 ) (82) e 1 = 4 2 R 3 (2, 2) + 1 Tr( R 3 ) = 1 2 (83) e 2 = 4 2 R 3 (3, 3) + 1 Tr( R 3 ) = 1 2 (84) e 3 = 4 = 1 2 (85) (86) 2.5. Az általános tömegmátrix számítása A súlyponti pozíciókra vonatkozó Jakobi mátrixok A tömegmátrix el állításához szükséges a súlyponti pozíciókra vonatkozó Jakobi mátrixok felírása. 13
14 9. ábra. Az egyes tagok súlypontjainak pozíciói (a 3. és a 4. ábráknak megfelel kongurációkban szemléltetve) Megadjuk a pozícióvektorok a lokális koordináta-rendszerekben, majd a (58)-(6) transzformációs mátrixok segítségével felírjuk a globális rendszerben (d 1, p 2 és p 3 geometriai paraméterekkel): 1 r C1 = 2 r C2 = 3 r C3 = d 1 /2 p 2 p 3, (87), (88), (89) r C1 = T 1 1 r C1 = r C2 = T 2 2 r C2 = r C3 = T 3 3 r C3 = d 1 /2 p 2 c 1 s 2 p 2 s 1 s 2 d 1 + p 2 c 2, (9) (q 3 + p 3 )c 1 s 2 (q 3 + p 3 )s 1 s 2 d 1 + (q 3 + p 3 )c 2, (91). (92) A súlyponti pozíciók ismeretében felírhatók a súlyponti pozíciókra vonatkozó Jakobi mátrixok. Azok segítségével pedig könnyen számíthatóak a súlyponti sebességek: J v1 = r C1 q = J v2 = r C2 q = J v3 = r C3 q =, (93) p 2 s 1 s 2 p 2 c 1 c 2 p 2 c 1 s 2 p 2 s 1 c 2 p 2 s 2, (94) (q 3 + p 3 )s 1 s 2 (q 3 + p 3 )c 1 c 2 c 1 s 2 (q 3 + p 3 )c 1 s 2 (q 3 + p 3 )s 1 c 2 s 1 s 2 (q 3 + p 3 )s 2 c 2, (95) v C1 = J v1 q, (96) v C2 = J v2 q, (97) v C3 = J v3 q. (98) 14
15 A szögsebességek Jakobi mátrixai A szögsebességek felírásához szükségünk van a forgatási mátrixokra. Ezeket a T i transzrmációs mátrixokból vehetünk ki, mivel ezek felépítése mindig T i = [ R i p i 1 ]. (99) A forgatási mátrixok és id szerinti deriváltjaik: R 1 = R 2 = R 3 = c 1 s 1 s 1 c 1 1 c 1 c 2 c 1 s 2 s 1 s 1 c 2 s 1 s 2 c 1 s 2 c 2 c 1 c 2 s 1 c 1 s 2 s 1 c 2 c 1 s 1 s 2 s 2 c 2. (1).(11).(12) Ṙ 1 = Ṙ 2 = Ṙ 3 = q 1 s 1 q 1 c 1 q 1 c 1 q 1 s 1, (13) q 1 s 1 c 2 q 2 c 1 s 2 q 1 s 1 s 2 q 2 c 1 c 2 c 1 q 1 q 1 c 1 c 2 q 2 s 1 s 2 q 1 c 1 s 2 q 2 s 1 c 2 s 1 q 1 q 2 c 2 q 2 s 2 q 1 s 1 c 2 q 2 c 1 s 2 c 1 q 1 q 1 s 1 s 2 q 2 c 1 c 2 q 1 c 1 c 2 q 2 s 1 s 2 s 1 q 1 q 1 c 1 s 2 q 2 s 1 c 2 q 2 c 2 q 2 s 2,(14).(15) A szögsebesség tenzorokat a forgatási mátrixból és annak deriváltjából számítjuk. A forgatási tenzor elemeib l pedig megalkothatók a szögsebesség vektorok, végül a koordináták szerinti deriválással a szögsebességekre vonatkozó Jakobi mátrixok: [ω ] i = ( Ṙ ) T i R i, [ω ] i = ω z ω y ω z ω x ω y ω x, J ωi = ω i q. (16) [ω ] 1 = [ω ] 2 = [ω ] 3 = q 1 q q 1 q 2 c 1 q 1 q 2 s 1 q 2 c 1 q 2 s 1 q 1 q 2 c 1 q 1 q 2 s 1 q 2 c 1 q 2 s 1, (17),(18),(19) ω 1 = ω 2 = ω 3 = q 1 q 2 s 1 q 2 c 1 q 1 q 2 s 1 q 2 c 1 q 1, (11),(111),(112) J ω1 = J ω2 = J ω3 = s 1 c 1 s 1 c 1, (113),(114).(115) Ezek után a szögsebesség már a koordináták lineáris függvényeként számítható: ω i = J ωi q. (116) Vegyük észre, hogy ω 2 = ω 3, hiszen a 2. és 3. tag között prizmatikus megvezetés van, ami nem tesz lehet vé relatív szögelfordulást. A szögsebességek Jakobi mátrixa az ε i csuklótípust jelöl paraméter (ε i = prizmatikus csuklóra, ε i = 1 rotációs csuklóra), és a z i globális koordináta-rendszerben megadott bázisvektorok segítségével írható fel algoritmikusan: J ωi = [ ε 1 z 1 ; ε k z k ;... ε i z i ; ;... ]. (117) 15
16 Általános tömegmátrix A T = 1/2 q T H q kinetikus energia segítségével levezettük a tömegmátrix számításának módját: H = 3 m i J v i J vi + 3 J ω i R i i Θ Ci R i J ωi = (118) i=1 i=1 = H v + H ω = (119) = H v1 + H v2 + H v3 + H ω1 + H ω2 + H ω3. (12) A sebességekre és szögsebességekre vonatkozó része a tömegmátrixnak: m 2 p 2 2 s2 2 + m 3(q 3 + p 3 ) 2 s 2 2 H v = m 2 p m 3(q 3 + p 3 ) 2, (121) m 3 Θ 1z + Θ 2x s Θ 2yc Θ 3xs Θ 3zc 2 2 H ω = Θ 2z + Θ 3y, (122) amihez felhasználtuk, hogy a súlypontra számított tehetetlenségi nyomatéki mátrix a lokális koordináta-rendszerekben: Θ ix i Θ Ci = Θ iy, (123) Θ iz 16
Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. IX. Előadás. Robot manipulátorok I. Alapfogalmak. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA IX. Előadás Robot manipulátorok I. Alapfogalmak Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Robot manipulátorok definíciója és alkalmazásai Manipulátorok szerkezete
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenCsuklós mechanizmus tervezése és analízise
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt
RészletesebbenAz ipari robotok definíciója
Robot manipulátorok Az ipari robotok definíciója Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely merev testek (szegmensek) sorozatából áll, melyeket összeillesztések (csuklók, ízületek) kapcsolnak össze A
RészletesebbenTartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév
Tartalom Motiváció Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Transzformációk Transzformációk általában Nevezetes affin
RészletesebbenSzámítógépes geometria (mester kurzus)
2010 sz, Debreceni Egyetem Csuklós szerkezetek animációja (Kép 1985-b l: Tony de Peltrie) Csontváz-modellek Csuklós szerkezet (robotkar) A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
RészletesebbenMODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenTárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
RészletesebbenValasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Tartalom 1 Motiváció 2 Transzformációk Transzformációk általában 3 Nevezetes
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenStatikailag határozatlan tartó vizsgálata
Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenAz R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész
Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenIntelligens hatlábú robot kinematikai vizsgálata
Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola Intelligens hatlábú robot kinematikai vizsgálata Füvesi Viktor I. éves doktorandusz Tel: +6-46-565111/1144 e-mail: elkfv@uni-miskolc.hu Témavezető: Dr.
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
RészletesebbenMA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
RészletesebbenA térbeli mozgás leírásához
A térbeli mozgás leírásához Az idők során már többször foglalkoztunk a címbeli témával; az előzmények vagyis a korábbi dolgozatok: ~ KD : Az R forgató mátrix I Az R forgató mátrix II ~ KD : A véges forgatás
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenMozgásmodellezés. Lukovszki Csaba. Navigációs és helyalapú szolgáltatások és alkalmazások (VITMMA07)
TÁVKÖZLÉSI ÉS MÉDIAINFORMATIKAI TANSZÉK () BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM (BME) Mozgásmodellezés Lukovszki Csaba Áttekintés» Probléma felvázolása» Szabadsági fokok» Diszkretizált» Hibát
Részletesebben1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenÜtközések elemzése energia-impulzus diagramokkal II. A relativisztikus rakéta
Ütközések elemzése energia-impulzus diagramokkal II. A relativisztikus rakéta Bokor Nándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Fizika Tanszék 1111 Budapest, Budafoki u. 8. Ebben a cikkben olyan
RészletesebbenINTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK
INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1 ROBOTMANIPULÁTOROK KINEMATIKÁJA Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 2 1.1 ROBOTMANIPULÁTOROK GEOMETRIAI MODELLJE
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebbent, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész
A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem
Részletesebben