Alkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
|
|
- Irén Szabó
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések EIC Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1
2 Ismeretek, képességek, célok Lineáris leképezés különböző ekvivalens definíciói. Lineáris transzformáció mátrixa különböző bázisokban. Hasonlóság és a hasonlóságra invariáns tulajdonságok. Vetítés, merőleges vetítés mátrixa. Legjobb közelítés tétele. Egyenletrendszer optimális megoldása, és annak kiszámítása. Lineáris és polinomiális regresszió. Pszeudoinverz tulajdonságai, kiszámítása, és az optimális megoldása kiszámítása. 2
3 Mátrixleképezés, lineáris leképezés
4 A mátrixleképezés fogalma D D A : R n R m ; x Ax képtér: Im(A) = O(A), magtér: Ker(A) = N (A) P a = (a 1, a 2, a 3 ) R 3, A : R 3 R 3 : x a x. M Az a x vektori szorzat koordinátás alakban: a 1 x y = a x = a 2 1 a x 2 = 2 x 3 a 3 x 2 a 3 x 1 a 1 x 3 a 3 x 3 a 1 x 2 a 2 x 1 a 3 x 2 + a 2 x 3 0 a = a 3 x 1 a 1 x 3 = 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 x 1 + a 1 x 2 a 2 a 1 0 x 1 x 2 x 3 3
5 Műveletek mátrixleképezések között Á A + B = C A + B = C Á ca = C ca = C Á XY = Z X Y = Z Á B = A 1 B = A 1 4
6 Mátrixleképezések tulajdonságai Á Á A : R n R m egy tetszőleges mátrixleképezés, x, y R n, c, d R: A(cx + dy) = ca(x) + da(y), (A megőrzi a lineáris kombinációt) A(cx) = ca(x), (a leképezés homogén) A(x + y) = A(x) + A(y), (a leképezés additív) Á A0 = 0 Á Á Tetszőleges altér képe altér. Tetszőleges affin altér képe affin altér. 5
7 Lineáris leképezés D Legyen V és W két F test fölötti vektortér. Azt mondjuk, hogy az A : V W leképezés lineáris, ha homogén és additív, lineáris transzformáció, ha V = W. P deriválás: D : V W : f D(f) = f D(cf) = (cf) = cf = cd(f), és D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f) + D(g). P P integrálás: cf = c f, és 0 1 Síkbeli forgatás, tükrözés, vetítés. 0 (f + g) = f + g. 0 6
8 Vektortérből vektortérbe képző lineáris leképezések T Ekvivalens állítások: A : V W lineáris (homogén és additív). Tetszőleges x, y V, c, d F esetén A(cx + dy) = ca(x) + da(y) Tetszőleges x, y V és c F esetén A(cx + y) = ca(x) + A(y) x 1,..., x k V, c 1, c 2,..., c k F A(c 1 x c k x k ) = c 1 Ax c k Ax k. 7
9 Lineáris R n R m leképezések T A : R n R m egy tetszőleges függvény. Az A pontosan akkor lineáris, ha létezik egy olyan A m n mátrix, hogy az A függvény megegyezik az x Ax leképezéssel. Ekkor az e i standard egységvektorokkal A = [Ae 1 Ae 2... Ae n ], B Ax = A(x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = x 1 Ae 1 + x 2 Ae x n Ae n x ] 1 = [Ae 1 Ae 2... Ae n. = Ax x n 8
10 A mátrixleképezés hatásának szemléltetései x Ax Bx Cx Dx A = [ ] B = [ ] C = [ ] D = [ ] R n R m Im(A) 0 Ker(A) 0 9
11 Lineáris transzformáció mátrixa különböző bázisokban Legyen L : V V egy lineáris transzformáció, A és B a V két bázisa. Az L mátrixa e bázisokban L A és L B. [x] B L B [Lx] B [x] B L B [Lx] B C B A C B A C B A C A B = C 1 B A [x] A L A [Lx] A [x] A L A [Lx] A L B C B A = C B A L A L A = C A B L B C B A = C 1 B A L BC B A 10
12 Valami hasonló a Rubik-kockán T C T C 1 D Az n n-es A mátrix hasonló a B mátrixhoz, ha létezik olyan invertálható C mátrix, hogy B = C 1 AC. Jelölés: A B. 11
13 Hasonlóság T B T Hasonló mátrixok hatása Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, melyekben e két mátrix ugyanannak a lineáris leképezésnek a mátrixa. B = C 1 E C AC E C. Hasonlóságra invariáns tulajdonságok Ha A és B hasonló mátrixok, azaz A B, akkor 1. r(a) = r(b), 2. dim(n (A)) = dim(n (B)), 3. det(a) = det(b), 4. trace(a) = trace(b). 12
14 Alkalmazás: differenciálhatóság
15 Vektor-vektor függvények differenciálhatósága m D = lim h 0 f(x+h) f(x) h D lim h 0 f(x+h) f(x) Dh h = 0. lim h 0 f(x+h) f(x) Dh h = 0 Azt mondjuk, hogy az f : R n R m függvény differenciálható az x helyen, ha létezik olyan D f,x : R n R m lineáris leképezés, melyre f(x + h) f(x) D f,x h lim = 0. h 0 h A D f,x leképezést az f függvény x ponthoz tartozó deriváltleképezésének nevezzük. 13
16 Derivált y dy dy y x x + dx dx x 14
17 Derivált x f(x) zoom=1.50 f(x) x f(x) zoom=3.75 f(x) 15
18 Jacobi-mátrix T (Jacobi-mátrix) Ha az f : R n R m ; (x 1, x 2,..., x n ) (f 1, f 2,..., f m ) függvény differenciálható az x helyen, akkor a lineáris D f,x deriváltleképezés mátrixa a következő, ún. Jacobi-mátrix: f 1 x D f,x = (f 1 (x) 1, f 2,..., f m ) f 2 (x 1, x 2,..., x n ) (x) = x 1 (x). f m x 1 (x) f 1 f x 2 (x)... 1 x n (x) f 2 f x 2 (x)... 2 x n (x)..... f m f x 2 (x)... m x n (x) 16
19 Jacobi-determináns és az integrál transzformációja ϑ y ϑ r r ϑ r x 17
20 Függvények kompozíciójának deriváltja T (Láncszabály) Legyen f : R k R m, g : R n R k két függvény. Ha g differenciálható az x helyen, és f a g(x) helyen, akkor f g differenciálható az x helyen, és deriváltleképezése, illetve annak mátrixa: D f g,x = D f,g(x) D g,x, illetve D f g,x = D f,g(x) D g,x. 18
21 Lineáris trafók 2D-ben és 3D-ben
22 Forgatás Á Á T [ ] [ ] cos α sin α Forgatás 2D-ben: Ai Aj = sin α cos α Forgatás tengely körül 3D-ben: cos α sin α cos α 0 sin α sin α cos α 0, 0 cos α sin α, sin α cos α sin α 0 cos α Rodrigues-formula: e R 3 egységvektor egyenese körül α szöggel ahol R = I + sin α[e] + (1 cos α)[e] 2 az x e x leképezés mátrixa. = I + sin α[e] + (1 cos α)(ee T I) 0 e 3 e 2 [e] = e 3 0 e 1. e 2 e
23 Kvaterniók Sir William Rowan Hamilton 1843 október 16. Kvaterniók: a + bi + cj + dk alakú számok, ahol a, b, c, d R, i, j, k olyan imaginárius számok, melyekre i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1, ij = k, ji = k, jk = i,, összeadás koordinátánként, szorzás az előző szabályok szerint: az u = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = v 1 i + v 2 j + v 3 k jelöléssel (a + u)(b + v) = ab u v + av + bu + u v. Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication T i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1 & cut it on a stone of this bridge. Forgatás kvaterniókkal: q = cos α 2 + (e 1i + e 2 j + e 3 k) sin α 2 a forgatást jellemző kvaternió, a (v 1, v 2, v 3 )-hoz tartozó kvaternió v = v 1 i + v 2 j + v 3 k. Az elforgatott: qvq 1, ahol q 1 = cos α 2 (e 1i + e 2 j + e 3 k) sin α 2 20
24 Merőleges vetítés és tükrözés Á Egyenesre való merőleges vetítés mátrixa P = 1 b T b bbt (P = ee T ). Á Síkra való merőleges vetítés mátrixa P = I nn T. Á Síkbeli tükrözés [ mátrixa az ] x-tengellyel α/2 szöget bezáró cos α sin α egyenesre:. sin α cos α Á Síkra való tükrözés mátrixa P = I 2nn T. 21
25 Eltolás Á Á 2D: (x, y) (x + a, y + b) a z = 1 egyenletű síkban: x x + az T y = y + bz z z mátrixa [ ] T = T i j k = 1 0 a 0 1 b D: (x, y, z) (x + a, y + b, z + c) eltolás: a x a x x + a T = b c, T y z = b y c z = y + b z + c
26 Merőleges vetítés, legjobb közelítés
27 Alterek direkt összege D V U és W U két tetszőleges altér. Azt mondjuk, hogy W a V kiegészítő altere, vagy komplementer altér, ha T V W = {0}, V + W = U, és azt mondjuk, hogy U a V és W alterek direkt összege, amit V W jelöl. Ekvivalens állítások: V W = {0} és V + W = U, azaz V és W kiegészítő alterek, U minden vektora egyértelműen áll elő egy V- és egy W-beli vektor összegeként, V W = {0} és dim V + dim W = n. P ha A R m n, akkor S(A) N (A) = R n, O(A) N (A T ) = R m. 23
28 Merőleges vetítés R n egy alterére T Ha W az R n egy altere, és az A mátrix oszlopvektorai a W egy bázisát alkotják (A teljes oszloprangú), akkor a W altérre való merőleges vetítés, azaz a proj W leképezés mátrixa A(A T A) 1 A T. B Legyen a v R n vektor W-re eső merőleges vetülete w. A oszloptere W, ezért létezik olyan x vektor, hogy Ax = w. W = O(A), így W = N (A T ), tehát v w benne van A T nullterében. Eszerint A T (v w) = 0, azaz A T (v Ax) = 0, innen A T Ax = A T v. Az A mátrix teljes oszloprangú, így A T A invertálható, azaz x = (A T A) 1 A T v, amiből proj W v = w = Ax = A(A T A) 1 A T v. 24
29 Melyik mátrix merőleges vetítés mátrixa? T Egy P mátrix pontosan akkor merőleges vetítés mátrixa, ha P = P T = P 2. P = A(A T A) 1 A T ( P 2 = A(A T A) 1 A T) 2 = A(A T A) 1 A T A(A T A) 1 A T = P, P T = (A(A T A) 1 A T) T ( = A (A T A) 1) T A T = A(A T A) 1 A T = P. Tegyük fel, hogy P = P T = P 2. Megmutatjuk, hogy P az O(P)-re való merőleges vetítés mátrixa. Ehhez elég megmutatnunk, hogy az x Px vektor merőleges O(P)-re bármely x vektor esetén. A P 2 = P feltétel miatt P(x Px) = Px P 2 x = 0, tehát x Px N (P), de P = P T, így x Px N (P T ). Ez épp azt jelenti, hogy x Px merőleges O(P)-re, és ezt akartuk belátni. 25
30 Altértől való távolság D T B x R n, W R n altér. x-nek a W altértől való távolságán a W altér x-hez legközelebbi w vektorának tőle való távolságát értjük. Legjobb közelítés tétele: Az x vektornak egyetlen W-beli legjobb ˆx közelítése van, nevezetesen ˆx = proj W x. x w = (x proj W x) + (proj W x w). első kifejezés W, a második W eleme! (x proj W x) (proj W x w) Pithagorász: x w 2 = x proj W x 2 + proj W x w 2. x w 2 x proj W x 2 egyenlőség csak akkor állhat fönn, ha w = ˆx = proj W x K R n = W W. 26
31 Altértől való távolság P Bontsuk fel az x = (8, 4, 2, 1) vektort W = span((1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0))-be eső és W-re merőleges vektorok összegére. M A W-re való merőleges vetítés mátrixa P = W(W T W) 1 W T, ahol W két oszlopa a megadott két bázisvektor: W = , amiből Px = 0 1/2 1/ /2 1/2 0 2 = proj W x = Px = (8, 1, 1, 0) és x proj W x = (0, 3, 3, 1). 27
32 Egyenletrendszer optimális megoldása D T Az Ax = b optimális megoldásain az Ax = proj O(A) b megoldásait értjük. Az Ax = b egyenletrendszer optimális megoldásai megegyeznek az A T Aˆx = A T b egyenletrendszer megoldásaival (normálegyenlet-rendszer). Ezek közül egyetlen egy esik az A mátrix sorterébe, a legkisebb abszolút értékű. 28
33 Lineáris és polinomiális regresszió T Az (x i, y i ) (i = 1, 2,... n) párokhoz tartozó, y = â + ˆbx egyenletű regressziós egyenes paraméterei kielégítik az alábbi egyenletet, mely egyértelműen megoldható, ha van legalább két különböző x i érték. [ ] [â ] [ ] n xi yi = xi x 2 i ˆb xi y i B Megoldandó: 1 x x n [ ] a = b y 1.. A hozzá tartozó normálegyenlet-rendszer [ ] 1 x 1 [â ] [ ] y x 1 x 2... x.. = n ˆb x 1 x 2... x.. n 29 1 x n y n y n
34 D Polinomiális regresszióról beszélünk, ha az y = a 0 + a 1 x + + a k x k egyenlet a i együtthatóira keresünk optimális becslést a legkisebb négyzetek módszerével, ismert (x i, y i ) párok sorozata mellett, ahol i = 1, 2,... n. m Keresendő az n egyenletből álló k + 1-ismeretlenes a 0 + a 1 x a k x k 1 = y 1 a 0 + a 1 x a k x k 2 = y a 0 + a 1 x n a k x k n = y n egyenletrendszer megoldása az a 0, a 1,, a k ismeretlenekre. 1 x 1... x k 1 a 0 y 1 1 x 2... x k 2 a 1 y 2. = x n... x k n a k y n Optimális megoldása a normálegyenletből megkapható. 30
35 P Másodfokú regresszió: Az x, y változók között egy y = a + bx + cx 2 összefüggés együtthatóit keressük. n = 4 mérést végzünk, a mért adatok k x k y k Keressük meg az a, b, c legkisebb négyzetek elve szerinti legjobb becslését. M A megadott adatok közti összefüggés mátrixszorzat alakja: a + bx + cx 2 = y az együtthatómátrix k-adik sorvektora (1, x k, x 2 k ): a b = c
36 - A normálegyenlet a b = c 8 Ennek megoldása (a, b, c) = 1 4 (3, 5, 3), tehát a másodfokú polinom, mely legjobban illeszkedik a megadott (x k, y k ) pontokra y = x x2. 32
37 Vetítés D U = V W, így bármely u U egyértelműen előáll u = v + w alakban, ahol v V, w W. A v vektor az u vektornak a V altérre W mentén való (vele párhuzamosan vett) vetülete. D E lineáris transzformációt vetítésnek vagy projekciónak nevezzük. m minden P vetítés az Im P-re Ker P mentén való vetítés. Á Mátrixa: U = R n, V bázisa { v 1,..., v r }, W bázisa { w 1,..., w n r }. Legyen U = [v 1 v 2... v r w 1 w 2... w n r ] = [V W]. Mivel Pv i = v i (i = 1, 2,..., r) és Pw j = 0 (j = 1, 2,..., n r), ezért a P leképezés P mátrixára U invertálható, ezért PU = P[V W] = [PV PW] = [V O]. P = [V O]U 1 = [V O][V W] 1. 33
38 Vetítés T A projekció tulajdonságai: Legyen P : R n R n egy projekció. 1. R n -nek van olyan bázisa, melyben a mátrixa P = diag(1, 1,..., 1, 0,..., 0). 2. I P is projekció: Ker(I P) = Im P, Im(I P) = Ker P, 3. r(p) = trace(p). 34
39 Pszeudoinverz
40 A pszeudoinverz fogalma Á D A sortér és az oszloptér közt létezik természetes kölcsönösen egyértelmű megveleltetés (Ax = b egyetlen sortérbe eső mo-a). R n S(A) 0 A A + R m O(A) 0 ˆx x 0 S(A) N (A) N (A T ) b ˆb 0 O(A) = S(A T ) Az A mátrix (Moore Penrose-féle) pszeudoinverze az az A + mátrix, melyre tetszőleges b esetén az Ax = b egyenletrendszer minimális abszolút értékű optimális megoldása A + b. 35
41 T T A pszeudoinverz létezése Jelölje az Ax = b egyenletrendszer egyetlen sortérbe eső optimális megoldását ˆx. Az A + : b ˆx függvény lineáris leképezés, így van mátrixa, melyet A + jelöl. Pszeudoinverz hatása a kitüntetett altereken Legyen A valós vagy komplex mátrix. 1. Az X mátrix pontosan akkor pszeudoinverze A-nak, (a) ha x N (A) esetén X(Ax) = x, és (b) ha z O(A) esetén Xz = Ha A + az A pszeudoinverze, akkor AA + = proj O(A) és A + A = proj O(A T ). Tehát AA +, illetve A + A merőlegesen vetít az A, illetve az A T oszlopterére. 36
42 Néhány pszeudoinverz Á A + = A 1, ha A invertálható, Á O + m n = O n m, Á [a] + = [ 1 /a], ha a 0, és [0] + = [0], Á (A + ) + = A, Á ha a ii 0 (i = 1, 2,..., r), akkor + 1 a a O = a rr O O m n a a O a rr O O n m 37
43 A pszeudoinverz létezése és kiszámítása T B Ha a valós A teljes oszloprangú, akkor A + = (A T A) 1 A T, ha teljes sorrangú, akkor A + = A T (AA T ) 1. Ha A = BC, ahol B teljes oszlop-, C teljes sorrangú (ld. bázisfelbontás), akkor A + = C + B + = C T (CC T ) 1 (B T B) 1 B T = C T (B T AC T ) 1 B T. Ha A teljes oszloprangú, akkor R n = S(A), és A T A invertálható: (A T A) 1 A T Ax = x. Meg kell még mutatnunk, hogy ha z N (A T ), vagyis ha A T z = 0, akkor A + z = 0: (A T A) 1 A T z = (A T A) 1 0 = 0. Ha A teljes sorrangú, akkor O(A) = R m : y-ra Ax = y konzisztens. Jelölje ˆx az egyetlen sortérbe eső megoldást, így minden más x megoldásra proj S(A) x = ˆx. A + -ra fenn kell álljon A + y = ˆx: ( proj S(A) x = A T (AA T ) 1 Ax = A T (AA T ) 1) (Ax) = A + y. 38
44 Példák - Számítsuk ki a következő mátrixok pszeudoinverzét! 0 1 [ ] B = 1 1, C = és M = B teljes oszloprangú, így [ ] 1 [ ] B + = (B T B) 1 B T = [ ] [ ] [ ] 2/3 = 1 / = 1 /3 1/3 2/3. 1 /3 2/ /3 1/3 1 /3 - A C mátrix teljes sorrangú, így 1 0 [ ] 1 C + = C T (CC T ) = 0 1 = /3 1 /3 1 /3 2/3 1/3 1/3. 39
45 - M bázisfelbontása BC: - vagy M + = C + B + = 2/3 1 /3 [ ] 1 /3 2/3 1/3 1/3 2/3 2/3 1/3 1/3 1/3 1 /3 = M + = C T (B T MC T ) 1 B T 1 0 ] = 0 1 [ [0 ] =
46 A pszeudoinverz tulajdonságai T Moore Penrose-tétel: A valós A mátrixnak X pontosan akkor pszeudoinverze, ha az alábbi négy feltétel mindegyike fennáll: a) AXA = A, b) XAX = X, c) (AX) T = AX, d) (XA) T = XA. K Tetszőleges A R m n mátrix esetén A + A = proj S(A) és AA + = proj O(A). Tehát A + A az R n teret merőlegesen vetíti A sorterére, míg AA + az R m teret merőleges vetíti A oszlopterére. 41
47 A pszeudoinverz és a min. absz. értékű opt. megoldás P Keressük a minimális abszolút értékű optimális megoldást! y + z = 3 x + y + 2z = 2 x + z = M Inkonzisztens, ui.: Pszeudoinverzzel ˆx = A + b = =
Haladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Lineáris leképezések H607 2018-02-05, 07, 09 Wettl
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenA lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok
A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Vektorterek, egyenletrendszerek :15-14:00 EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Vektorterek,
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenLineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenValasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Tartalom 1 Motiváció 2 Transzformációk Transzformációk általában 3 Nevezetes
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Részletesebben1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1-2 feladatok
Lin.Alg.Zh.- feladatok. Lin.Alg.Zh. feladatok.. d vektorok Adott három vektor ā b c az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális
RészletesebbenTartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév
Tartalom Motiváció Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Transzformációk Transzformációk általában Nevezetes affin
RészletesebbenTérbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebben