Irányításelmélet és technika I.

Átírás

1 Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék 2010 március 19.

2 Áttekintés Mechanikai alapelemek 1 Mechanikai alapelemek Tehetetlenség Rugalmas elemek Csillapító elemek 2 Mechanikai rendszerek modellezése 3 Szárazsúrlódás 4 Munka, energia, teljesítmény 5 Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók 6 Példák Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 2 / 29

3 Tehetetlenség Mechanikai alapelemek Tehetetlenség Tömeg: egységnyi gyorsulásváltozáshoz szükséges erőváltozás tehetetlenség (m) = F N a m/s 2 = kg Tehetetlenségi nyomaték: egységnyi szöggyorsulásváltozáshoz szükséges forgatónyomaték-változás tehetetlenség (J) = T Nm α rad/s 2 = kgm2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 3 / 29

4 Rugalmas elemek Mechanikai alapelemek Rugalmas elemek Külső erő hatására deformálódó elemek, a deformáció egyenesen arányos az erővel (lineáris) rugó torziós rugó F = k x = k (x 1 x 2 ) k = F [ ] N x m k - rugóállandó T = k θ = k (θ 1 θ 2 ) k = T [ ] Nm θ rad Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 4 / 29

5 Csillapító elemek Mechanikai alapelemek Csillapító elemek Energia elnyelő (disszipáló) F = b ẋ = b (ẋ 1 ẋ 2 ) b = F [ ] N v m/s T = b θ = b ( θ 1 θ 2 ) b = T [ ] Nm ω rad/s b - viszkózus súrlódási együttható Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 5 / 29

6 Mechanikai rendszerek modellezése Áttekintés 1 Mechanikai alapelemek 2 Mechanikai rendszerek modellezése Newton törvények Forgó rendszerek Rugó - tömeg rendszerek Csillapított rugó - tömeg rendszerek 3 Szárazsúrlódás 4 Munka, energia, teljesítmény 5 Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók 6 Példák Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 6 / 29

7 Newton törvények Mechanikai rendszerek modellezése Newton törvények (I. Tehetetlenség törvénye) Külső erők hiányában m v = konst, illetve J ω = konst (II. A dinamika alaptörvénye) Adott irányban ható erők és ugyanolyan irányú gyorsulás esetén (Rögzített forgástengely, illetve ezen tengely körül ható forgatónyomatékok esetén) F i = m a, ( T j = J α) i j (III. Hatás-ellenhatás törvénye) Két test kölcsönhatása során mindkét testre azonos nagyságú, egymással ellentétes irányú erő hat. (IV. Erőhatások függetlenségének törvénye) Szuperpozíció elve Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 7 / 29

8 Fogalmak Mechanikai rendszerek modellezése Newton törvények (Forgató)nyomaték (T ): erő erőkar Merev test: nem deformálódik, pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága állandó Tehetetlenségi nyomaték (J): tömeg, forgómozgásnál adott forgástengelyre vonatkozik J x = (y 2 + z 2 )dm J = r 2 dm J y = (x 2 + z 2 )dm J z = (x 2 + y 2 )dm Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 8 / 29

9 Forgó rendszerek Mechanikai rendszerek modellezése Forgó rendszerek Pl: csapágyaztott forgórész mozgása Mozgásegyenletek (Newton II.-ből) - elsőrendű rendszer J ω = bω, ω(0) = ω 0 Laplace-transzformációval (Ω(s) = L{ω(t)}): J (sω(s) ω(0)) + bω(s) = 0 Ω(s) = ω 0 s + b J Megoldás (inverz-laplace transzformációval): ω(t) = ω 0 e b J t Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 9 / 29

10 Mechanikai rendszerek modellezése Rugóra erősített tömeg Rugó - tömeg rendszerek A függőleges mozgásért felelős erők: rugóerő (k y) gravitációs erő (m g) Mozgásegyenletek (másodrendű rendszer) m ẍ = F = k y + m g Egyszerűsítve (kδ = mg) a differenciálegyenlet: m ẍ + k x = 0 Laplace-transzformációval: m [ s 2 X (s) sx(0) ẋ(0) ] +kx (s) = 0 X (s) = ẋ(0) s 2 + k + sx(0) m s 2 + k m Megoldás (inverz-laplace transzformációval): k x(t) = x 0 cos m t, feltéve, hogy x(0) = x 0, és ẋ(0) = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 10 / 29

11 Mechanikai rendszerek modellezése Csillapított rugóra erősített tömeg A függőleges mozgásért felelős erők: rugóerő (k x) csillapító erő (b ẋ) gravitációs erő (m g) Mozgásegyenletek (másodrendű rendszer) m ẍ = F = k x b ẋ Csillapított rugó - tömeg rendszerek Legyen m = 0.1 kg, b = 0.4 N m/s, k = 4 N m, ekkor: ẍ + 4 ẋ + 40 x = 0 Laplace-transzformációval: X (s) = (s + 4)x 0 s 2 + 4s + 40 = 1 3 x 6 0 (s + 2) x s (s + 2) Megoldás (feltéve, hogy x(0) = x 0 és ẋ(0) = 0): x(t) = e 2t ( 1 3 sin(6t) + cos(6t) ) x 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 11 / 29

12 Áttekintés Szárazsúrlódás 1 Mechanikai alapelemek 2 Mechanikai rendszerek modellezése 3 Szárazsúrlódás Tapadási- és csúszási súrlódás 4 Munka, energia, teljesítmény 5 Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók 6 Példák Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 12 / 29

13 Szárazsúrlódás Tapadási- és csúszási súrlódás Tapadási- és csúszási súrlódás Ható erők gravitációs erő normálerő N (tartóerő) húzóerő tapadási súrlódási erő F s, arányos N-nel µ s = Fs N tapadási súrlódási együttható Egyenesvonalú egyenletes mozgás esetén F k csúszási súrlódási erő hat F k = µ k N, ahol µ s > µ k Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 13 / 29

14 Szárazsúrlódás Tapadási- és csúszási súrlódás Tapadási- és csúszási súrlódás - tények 1 A csúszási- és tapadási súrlódási együttható elsősorban az érintkező felületek minőségétől függ 2 A súrlódási erő iránya mindig az aktuális (vagy szándékolt) mozgás irányával ellentétes 3 A csúszási súrlódás nagysága arányos a normálerő nagyságával, és szinte független a súrlódó felülettől. 4 A csúszási súrlódási együttható csak enyhén változik a relatív sebesség függvényében, tekinthető sebességfüggetlennek 5 Adott felületpárra a maximális tapadási súrlódás nagyobb, mint a csúszási súrlódás. Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 14 / 29

15 Áttekintés Munka, energia, teljesítmény 1 Mechanikai alapelemek 2 Mechanikai rendszerek modellezése 3 Szárazsúrlódás 4 Munka, energia, teljesítmény Munka Energia 5 Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók 6 Példák Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 15 / 29

16 Munka, energia, teljesítmény Munka, energia, teljesítmény Energia Munka: Erő erő irányába történő elmozdulás W = F x [N m = J] Energia munkavégző képesség. Munkavégzés közben a rendszer elveszíti a munka elvégzéséhez szükséges energiát. potenciális (helyzeti) energia - a test pozíciójából származik kinetikus (mozgási) energia - a test sebességéből származik Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 16 / 29

17 Potenciális energia Munka, energia, teljesítmény Energia Jele U Tömeg és rugó képes potenciális energia tárolására Mindig egy referencia szinthez képest van értelmezve Pl. m tömegű test U = Rugó U = x 0 h 0 F dx = mg dx = mgh x 0 kx dx = 1 2 kx 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 17 / 29

18 Kinetikus energia Munka, energia, teljesítmény Energia Jele T Tehetetlen elemek képesek potenciális energia tárolására Egyenesvonalú v sebességű mozgást végző m tömegű test T = 1 2 mv 2 Forgómozgás θ sebességgel J tehetetenségi nyomaték esetén T = 1 2 J θ 2 Kinetikus energia megváltozása megegyezik a sebesség megváltoztatása során végzett munkával x2 t2 T = W = F dx = F dx t2 x 1 dt dt = Fv dt t 1 = t2 t 1 m vv dt = v2 t 1 v 1 mv dv = 1 2 mv mv 2 1 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 18 / 29

19 Példa Munka, energia, teljesítmény Energia Egy 1500 kg tömegű autó sebessége 50 km/h. Mekkora erőre van szükség ahhoz, hogy az autót 100 m alatt megállítsuk? Sebesség: 50 km/h = m/s Kinetikus energia T = 1 2 mv 2 = = Nm A fékező F erő által végzett munka: Fx (x = 100 m) ez egyenlő a kinetikus energia megváltozásával: Fx = T F = T x = Nm 100 m = 1447 N Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 19 / 29

20 Munka, energia, teljesítmény Energia Mozgásegyenletek felírása energiákból A rendszer összes energiája állandó, ha nem adunk hozzá, vagy veszünk el belőle energiát Konzervatív rendszer: nem disszipálódik energia hővé a súrlódás miatt (nincs súrlódás) a rendszer energiája potenciális, vagy kinetikus belépő/kilépő energia mechanikai munka formájában jelenik meg Külső energia hiányában a rendszer teljes energiája T + U, amelyre: T + U = konst Mozgásegyenletek - a teljes energia idő szerinti deriváltjából d (T + U) = 0 dt Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 20 / 29

21 Energia elnyelés Munka, energia, teljesítmény Energia A csillapító által elnyelt energia megegyezik a rajta végzett munkával: x2 x2 t2 W = F dx = bẋ dx = b ẋ dx t2 x 1 x 1 t 1 dt dt = b ẋ 2 dt t 1 Az energia mindig elnyelődik a csillapító elemen, ẋ előjelétől függetlenül Teljesítmény: időegység alatt végzett munka, azaz P = dw dt [Nm/s]=[W] Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 21 / 29

22 Munka, energia, teljesítmény Passzív és aktív elemek Energia Passzív elemek Energiatároló elemek (tömeg, rugó) A tárolt energia később visszanyerhető Elektromos hálózatokban ellenállás, tekercs, kondenzátor Aktív elemek Külső energiát képes közölni a rendszerrel Külső erők, nyomatékok Elektromos hálózatokban áramforrás, feszültségforrás Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 22 / 29

23 Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók Áttekintés 1 Mechanikai alapelemek 2 Mechanikai rendszerek modellezése 3 Szárazsúrlódás 4 Munka, energia, teljesítmény 5 Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók Emelő Csigasor Áttétel 6 Példák Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 23 / 29

24 Emelő Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók Emelő Olyan eszköz, amely energiát közvetít a rendszer két része között Ha az emelő egyensúlyban van l 1 mg = l 2 F Azaz az emelő egyensúlyban tartásához szükséges F erő F = l 1 l 2 mg, ha l 1 < l 2, akkor F < mg Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 24 / 29

25 Csigasor Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók Csigasor k csigából álló sor esetén a kifejtendő erő a k-ad részére csökken és a kötél vége által megtett út a k-szorosára nő csigák tömege m-ben szerepel, súrlódás elhanyagolható Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 25 / 29

26 Áttétel Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók Áttétel Sebesség, illetve nyomaték átalakításra alkalmas Ha a sugarak r 1 és r 2, illetve a fogak száma n 1 és n 2, akkor r 1 r 2 = n 1 n 2 A kerületi sebességek megegyeznek: r 1 ω 1 = r 2 ω 2 ω 2 = r 1 = n 1 ω 1 r 2 n 2 A nyomatékok közti kapcsolat T 1 ω 1 = T 2 ω 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 26 / 29

27 Áttekintés Példák 1 Mechanikai alapelemek 2 Mechanikai rendszerek modellezése 3 Szárazsúrlódás 4 Munka, energia, teljesítmény 5 Mozgás-, energia-, és teljesítményátalakítók 6 Példák Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 27 / 29

28 Példa 1 Példák Határozzuk meg az ábrán látható inga mozásegyenletét! A test tömege m, a kötél tömege és a súrlódás elhanyagolható. Newton 2. törvénye forgó rendszerekre: T = J θ A gravitációs erő érintőirányú komponense: mg sin(θ) Az ebből származó nyomaték: mgl sin(θ) A mozgásegyenletek J θ = mgl sin(θ) A tehetetlenségi nyomaték J = ml 2, ebből: ml 2 θ + mgl sin(θ) = 0 Mivel kis θ-ra sin(θ) θ θ + g l θ = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 28 / 29

29 Példa 2 Példák Egy m tömegű testet feldobunk 20 m/s kezdősebességgel. Határozzuk meg az energiamegmaradás törvénye segítségével, hogy milyen magasra repül fel? Kezdeti pillanatban: U 1 = 0, T 1 = 1 2 mv(0)2 A maximális magasság elérésekor: U 2 = mgh, T 2 = 0 Energiamegmaradás: T 1 + U 1 = T 2 + U 2, azaz 1 2 mv(0)2 = mgh Ebből h = 1 v(0) 2 = m 2 g Magyar A. (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 március 29 / 29