3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)

Átírás

1 Maemaika A3 gyakorla Energeika és Mecharonika BSc szakok, 6/7 avasz 3. feladasor: Görbe ívhossza, görbemeni inegrál megoldás. Mi az r 3 3 i j + 9 k görbe ívhossza a [, ] inervallumon? A megado függvény differenciálhaó, ehá az ívhossz a derivál hosszának inegrálásával áll elő: I ṙ d. Tekinsük a síkon az i j + 9k d d + 9 d r f cos i + f sin j paraméeres egyenleű spirál csigavonal, ahol f differenciálhaó függvény. Mekkora a görbe π szakaszának azaz egy körülfordulásnak ívhossza, ha a f arkhimédeszi spirál b f α valamilyen rögzíe α > érékkel logarimikus spirál Teszőleges differenciálhaó f melle az ívhossz így számolhaó: I ṙ d f cos f sin i + f sin + f cos j d f + f d. a Ha f, akkor f, ehá I + d [ + + arsinh ] π π + 4π + arsinh π b Ha f α, akkor f ln αα, ehá I + ln αα d + ln α ln α π α + ln α α π ln α

2 3. Inegráljuk az fx, y, z + 4x + 9yz skalármező az r i + j + 3 k görbe menén és paraméerérékek közö. A skalármező folyonos, a paraméerezés differenciálhaó, ehá az alábbi egyválozós inegrállal számíhajuk a görbemeni inegrál: f ds fr ṙ d i + j + 3 k d d Egy vékony L hosszúságú dró vonalmeni sűrűsége egyik végéől a másikig lineárisan válozik µ és µ közö. A dróból körvonala hajlíunk. Hol lesz a kapo es ömegközépponja? Válasszunk úgy koordináarendszer, hogy a kör középponja az origó, és a dró ké egybeeső vége az x engely poziív felén van. Ekkor egy paraméerezés r r cos i+ r sin, [, π], ahol r L, a sűrűség µ +. A ömegközéppon koordináái az π π elsőrendű nyomaékok és a ömeg hányadosa adják. ṙ r sin i + cos j r alapján és x k y k r cos µ + µ π + π r sin µ µ + π + π 3πrµ r µ 3πrµ r 3π. 5. Mennyi az ux, y, z y x i + yzj x k vekormező inegrálja az r i + j + 3 k görbe menén -ól -ig? Folyonos vekormező kell inegrálni differenciálhaó paraméerezéssel megado görbén, ez egyválozós inegrállal lehe számolni: u dr ur ṙ d 6. Inegráljuk az u : R 3 R 3 ux, y, z yi + xj + zk vekormező az r : R R 3 r + i + 4 i + 5 j k i + j + 3 k d d π 4 + j + sin 4 e k érgörbe menén a és paraméerérékeknek megfelelő ponok közö.

3 ro ux, y, z z x i + z z z x j + x x k, ehá léezik poenciálfüggvény. Valóban, fx, y, z xy + z válaszással u grad f. Használhajuk a Newon-Leibniz-éel, ekkor az inegrál meghaározásához elég a ké végpono ismerni: r i és r 3i + j + 6 k, ehá u dr fr fr. 7. Mi az ux, y y i + x j vekormező inegrálja x +y x +y a az origó körüli R sugarú kör menén poziív irányíással b az origó körüli R sugarú kör menén negaív irányíással c az 5, 9 pon körüli sugarú kör menén poziív irányíással d az r αi + j egyenes menén α > -ől + -ig? a Egy differenciálhaó paraméerezés r R cos i+r sin j, ahol [, π], a paraméer növekedése poziív irányú körülfordulás eredményez. Az inegrál R sin u dr i + R cos j R sin i + R cos j d R R d π. b Az előbbi görbe megfordíásán inegráljuk ugyanaz a vekormező, ehá az inegrál π. c x x x + y y x + y x + y x x + x + y y y x + y x + y ha x, y,. A megado körvonal körül alálunk olyan négyzee, ami nem aralmazza az origó, ezen léezik poenciál. A körvonal zár görbe, ehá a Newon- Leibniz-éel szerin az inegrál. d A görbe végelen hosszú, de differenciálhaó függvénnyel ado ehá lokálisan rekifikálhaó, így a vonalmeni inegrál improprius inegrálkén érelmes lehe: u dr α + i + α α + j j d [ α + d arcan ] π. α α További gyakorló feladaok 8. Mi az r e cos i + e sin j + e k görbe ívhossza a [, ] inervallumon? I ṙ d e cos e sin i + e sin + e cos j + e k d 3e 3e. 3

4 9. Mi az r sinh + cosh i + cosh sinh j + k görbe ívhossza a [, ln ] inervallumon? I. Mennyi az ṙ d cosh + sinh i + sinh cosh j + k d cosh 3. r sini + cosj + ln érgörbe e paraméerérékeknek megfelelő részének ívhossza? I e e e ṙ d cos i sin j + k d + + e + [ ] e + ln e.. Egy homogén ömegeloszlású vékony köele ké végénél fogva lógaunk. Az álala meghaározo görbe egy paraméerezése r i + cosh j, [, ]. Hol van a köél ömegközépponja? A görbe az y engelyre szimmerikus, ehá x k. A másik komponens az elsőrendű nyomaék és a ömeg hányadosa: y k cosh i + sinh j d i + sinh j d cosh d cosh d + cosh sinh,97. sinh. Homogén ömegeloszlású m ömegű vékony dróból a oldalú négyze alakú keree hajlíunk. Haározzuk meg az egyik álóra vonakozó eheelenségi nyomaéká. Legyen a koordináarendszer olyan, hogy a ké áló az x illeve y engelyre esik. Ekkor a négy oldal egy-egy paraméerezése mindegyiknél [, ]: k r r r r a i + j a i + j a + i j a i + + j 4

5 A négy szakaszon ṙ egyarán a konsans. A π/ szögű forgásszimmeria mia a ké engelyre vonakozó eheelenségi nyomaék megegyezik. Pl. az x engelyre nézve: Θ ma 8 m a 4a a d + m a 4a a d d ma 8 m a 4a a d ma 6. m a 4a + a d 3. Mi az ux, y, z y +zi+x+zj+x+yk vekormező inegrálja az AB szakasz menén, ha A,, 3, B,, 4? Használjuk az r i j + 3k + i + 3j + k paraméerezés [, ], ezzel u dr ur ṙ d i j k i + 3j + k d Legyen u : R 3 R 3 az alábbi vekormező: ux, y, z xyi + y z j + z xyk Haározza meg az u inegráljá a az origó középponú, x-y síkban felvő egységkörvonalon a z engely poziív fele felől nézve poziív körüljárási irányban b ezen körvonal y félkörén az előbbivel megegyező irányban. A paraméerezés legyen r cos i + sin j, ekkor a u dr cos sin i + sin j cos sin k sin i + cos j d cos sin cos sin d b u dr π cos sin cos sin d. 5. Inegráljuk az ux, y, z xy zi + x + zj + y xk vekormező az 9 x + 6 y, z egyenlerendszerrel megado ellipszisen a z engely poziív fele irányából nézve poziív körüljárás szerin. A deriválmárix x u y x x u y z u y z z y x x, ami szimmerikus, ehá u poenciálos. A megado görbe zár, ehá a Newon-Leibnizéel alapján az inegrál. 5