4. HÁZI FELADAT 1 szabadsági fokú csillapított lengırendszer

Átírás

1 Lenésan 4.1. HF BME, Mőszaki Mechanikai sz. Lenésan 4. HÁZI FELD 1 szabadsái fokú csillapío lenırendszer 4.1. Felada z ábrán vázol lenırendszer (az m öme anyai ponnak ekinheı, a 3l hosszúsáú rúd merev, ömee elhanyaolhaó) a rúd vízszines helyzeében eyensúlyban van, a ruók o nem erımenesek. z m öme ismer v naysáú fü ı lees irányú sebesséel kimozdul az eyensúlyi helyzebıl, s a rendszer kis kiéréső lenésekbe kezd a füı lees síkban. Ké kezdei feléel vizsálunk: I.) v = v k II.) v = -v k m k z () daok: m = 4 [k] l =, [m] k = 4 [Ns/m] s 1 = 1 4 [N/m] = s s 1 s l l l s = [N/m] = 1 3 s z () = z o = zɺ () = v o =,5 [m/s] 9,81 [m s ] Felada: Számísuk ki 1.) az eyes ruókban ébredı erık maximális éréké ( F ri max =?), valamin.) az elsı, illeve a második lenés ala a csillapíás álal felemésze eneriá! 1

2 Lenésan 4.1. HF Meoldás: 1.) ruókban ébredı maximális ruóerı mehaározásához írjuk fel elıször a ruókban ébredı erık idıbeli válozásá leíró füvény: F ri () = F ri s + F ri din () (1) a.) Számísuk ki, hoy mekkora erık ébrednek a ruókban a rúd vízszines helyzeében (sabil eyensúlyi helyzeben): F z s Szabades ábra a rúd vízszines helyzeében: és F x s F r1s m z ponon ámenı, a lap síkjára merılees enelyre felír nyomaéki eyenle, min eyensúlyi eyenle: F r1s l + 3 F rs l = ml, Frs ψ = ruók erımenes helyzee ψ s ahol: F r1s = -s 1 l ψ s = -sl ψ s, F rs = -3s l ψ s = -sl ψ s F r1s = F rs = F r s 4 F r s l = ml m 4 9,81 Fr s = = = 19,6 [ N ], () m 4 9,81 3 o ψ s = = = 9, [ rad] =,56 sl 1, b.) rúd vízszines helyzeéhez (ez a rendszer a.) ponban áryal sabil eyensúlyi helyzee, amely körül lérejön a lenés) képesi szöelfordulás válasszuk álalános koordináának: q m k s 1 s = sabil eyensúlyi helyze Ezzel: F ri din () = s i l i φ() füvény mehaározásához írjuk fel a lenımozás leíró differenciál eyenlee: l l l D = M D a = M a Szabades ábra ɺɺ ɺ szöel elfordul helyzeben: F z F x F r1din F r1s m F cs F rdin F rs Θ = k 3l s l s 3l + lm a 1 Θ a = m l = 4ml, és felhasználva, hoy ahol: = ɺ, + ψ s s s ψ s = + = 3 ψ 3 = ψ + F kl cs 3 r1 r1s r1din 1 1 ( s ) F = F F = s l l = l +, F F F s l s l sl r rs rdin s,

3 Lenésan 4.1. HF referencia-eyenle: Ebbıl: z eyenle meoldása: mivel: Fr1 = Fr = Fr = sl ψ s + ɺɺ ɺ ψ 4ml + 9kl + 4sl = lm 4sl = 9 k s ɺɺ + ɺ 4 m + m = ɺɺ + Dαɺ + α = s rad α = = 5 m s, D =,5, rad = 1 D 48, 7 s π, és =,19[ s] -Dα -Dα e ( C cos C sin ) Be sin ( ε) = + = + 1 s c.) meoldásfüvényben szereplı (C 1 és C, illeve B és ε) konsansok mehaározásához a kezdei feléelek: I.) v = v k z() = z o = l() = l o = o = ɺ kezdei feléelek behelyeesíésével: konsansok behelyeesíésével: zɺ () = v = lɺ () = lω v, 5 rad l, 4 s () = = = = 1, 5 -Dα = = = e C cos + C sin = 1 C 1 1 C1 = -Dα = e C sin -Dα -Dα ɺ = + -Dα Dαe C sin e C cos ɺ = ω = e C cos DαC sin = 1 C I C =ω ω 1,5 48, 7 C =,57 ω = e sin =,57 e sin 48.7 (3) Dα 11.5 Dα Dα C e sin Be sin ( ε) = = + I B = C ε =, vayis ebben az eseben ezekkel a konsansokkal is a feni alakban kapjuk a meoldás. 3

4 Lenésan 4.1. HF II.) v = v k ω II = e sin =, 57 e sin 48.7 Dα 11.5 (4) I. II. I () I () ω / / ω / / e Dα ω / e Dα -ω / mozásörvény ismereében a ruókban ébredı erık idıben válozó részé leíró füvény: Dα I.) F ri din I () = F r din I () = slφ I () = sl e sin -Dα II.) F ri din II () = F r din II () = slφ II () = sl e sin Keressük me ezen erık abszolú érékének maximumá: ahol a idıpillana a ɺ = = F = sl r din max max ( ) max =, összefüés seíséével számíhaó: ɺ = Dαe C sin + e C cos = -Dα -Dα -Dα -Dα Dαe C sin =e C cos Dαsin = cos an = (5) Dα 1 δ Π δ = an = + n = + n, ahol n =,1, Dα δ 1,34 rad 1 = = =,76[ s] (6) 48,71 rad/s kiérések abszolú érékeinek helyi maximumai ehá -kén (félperiódusonkén) köveik eymás. Π = =,645 s 4

5 Lenésan 4.1. HF Feniek ismereében nézzük me, hoy hoyan alakul az (1)-es összefüés, (azaz az eyes ruókban ébredı erık idıbeli válozásá leíró füvény,) illeve abszolú érékének maximuma: F ri () = F ri s + F ri din () = F r s + F r din () = F r (), () és (3), majd () és (4) behelyeesíésével: m m -Dα I.) FrI = Fr s + Fri dini s l I= = + sl e sin, I. illeve: r I max r s ri din I 1 F = F + F ( ) 19,6 36,66 = 56, 8 N -Dα FrI = Fr s + Fri dini= s l s s l I= s l ( s + I ) = sl ψ ψ ψ s + e sin = s lψi ψ I () 4 F ( ) = s l ψ = s l ψ +, 1,981 +,1833 = 56,8 N ri max I max s I 1 ψ I max F ri max ψ I s F ri s 1 1 F ri () vay: II.) m m -Dα m -Dα FrII = Fr s + Fri dinii = s l II = sl e sin = + sl e sin F ( ) = F ( ), vay F ( ) = F ( ) rii max rii 1 rii max rii rii 1 r s r dinii 1 F ( ) = F + F ( ) 19, , 66 = 17, 4 N Fr II ( ) = Fr s + Fr dinii ( ) = Fr s + Fr din II ( 1 + ) 19, 6 17, 75 = 37,37 N ω Fr II = Fr s + Fri din II = sl s sl II = sl s + II sl ψ ψ = ψs e sin -Dα illeve: 4 F ( ) = s l ψ = s l ψ +, 1, 981 +, 8874 = 37,368 N r II max II max s II 5

6 Lenésan 4.1. HF II. ψ II () ψ II max ψ II s F rii s F rii max 1 1 F rii ().) a.) az elsı lenés ala a csillapíás álal felemésze eneria: 1 E kin () - E kin () = ( ) 1 ( ) 1 m v m v = m4l ( ɺ ) ( ɺ ( ) ), 47 J Π = =,19[ s], ill. v() =,1151 m s b.) a második lenés ala a csillapíás álal felemésze eneria: 1 E kin () - E kin () = ( ) 1 ( ) 1 m v m v = m4l ( ɺ ) ( ɺ ), 6 J 6