A gradiens törésmutatójú közeg I.

Átírás

1 10. Előadás A gradiens törésmutatójú közeg I. Az ugrásszerű törésmutató változással szemben a TracePro-ban lehetőség van folytonosan változó törésmutatójú közeg definiálására. Ilyen érdekes típusú közegek az úgynevezett gradiens törésmutatójú közegek. Egy alkalmazások szempontjából is fontos ilyen típus közeg a gradiens törésmutatójú optikai szál, melynek törésmutatója hengerszimmetrikusan folytonosan változik. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 1

2 A gradiens törésmutatójú közeg A TracePro katalógusában találunk jó néhány ilyen általános gradiens törésmutatójú anyagfajtát. Az eddigiektől kissé eltérően ezt az anyagtípust a közeg beállítása után még külön definiálni kell. Erre fogunk most egy egyszerű példát nézni, miként is állíthatunk be ilyen törésmutatót. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 2

3 A gradiens törésmutatójú közeg P: Miután definiáltunk egy testet, az eddigiek alapján válasszunk ki neki egy anyagtípust. Az egyszerűség g kedvéért legyen a test, a 2 mm átmérőjű, 30 mm hosszú henger és anyagát tekintve a Schott BK7-es. Majd, miután ezt alkalmaztuk, a bal oldali menüben válasszuk a Gradient Index opciót. Itt alkalmazzuk a SELFOC katalógus, SLH 180-as típusát. Ez azt jelenti, hogy a törésmutató SELFOC egyenlet szerint úgy változik, hogy a tengely mentén a BK7-ével azonos, a paláston az SLH 180-éval. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 3

4 A gradiens törésmutatójú közeg A törésmutató változás irányának egyértelműsítéséhez szükséges megadnunk a normál- illetve az up vektorokat. Ezeket az objektum és a majd bele-vezetett sugár irányának megfelelően kell megválasztanunk. Mivel példánkban az objektum Z irányban kiterjedt és a sugarat is ezen irányban fogjuk bevezetni, az ábrán látható adatokat kell megadni. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 4

5 A gradiens törésmutatójú közeg Sugárforrásunkat viszonylag nagyobb beesési szög-tartományban állíthatjuk, ugyanis abeállított SELFOC SLH-180-as anyagra jellemző, hogy szinte a körlapot súroló beeséssel érkező sugarat is a szálban tartja. Ábránkon egy merőlegesen, Y = 0,5 pontból becsatolt nyaláb útját láthatjuk. Up direction Normal direction TÁMOP C-12/1/KONV projekt 5

6 A gradiens törésmutatójú közeg Vizsgáljuk meg elméletileg a gradiens törésmutatójú szálban való fényterjedést abban az esetben, amikor a sugár terjedése egy a szál tengelyét tartalmazó síkban történik. Ezt olyan becsatolással érhetjük el, hogy a belépő sugár irányvektorának nincs azimutális összetevője. A következőkben elméleti megfontolásokkal meghatározzuk, hogy paraxiális közelítésben milyen pályát ír le a fénysugár. Ezután sugárkövetéssel ellenőrzést teszünk. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 6

7 A gradiens törésmutatójú közeg Alkalmazzuk az ilyenkor szokásos módszert, azaz a közeget bontsuk olyan vékony (Δr vastagságú) rétegekre, melyekben a törésmutató állandó. Esetünkben ezek a rétegek koaxiális hengerhéjak. Nézzük meg, hogy milyen összefüggést kapunk, ha két szomszédos rétegre felírjuk a törési törvényt! r n(r+δr) n(r) θ θ+δθ z TÁMOP C-12/1/KONV projekt 7

8 A gradiens törésmutatójú közeg r A Snellius-Descartes törvény szerint: n(r+δr) θ+δθ cos( θ + Δθ ) cos( θ ) = n( r) n( r + Δr) n(r) θ A szomszédos vékony rétegek törésmutatói közötti kapcsolat: z n( r + Δr) = n( r) + dn Δr dr a cos( Δθ) 1 és a sin(δ θ) Δθ közelítéseket megtéve, valamint a másodrendűen kicsi tagokat elhanyagolva kapjuk: dn Δθ = tg(θ ) n dr Δr TÁMOP C-12/1/KONV projekt 8

9 A gradiens törésmutatójú közeg továbbá: tg(θ ) = Δr Δz A paraxiális közelítést használva: θ tg(θ ) = Δr Δzz A fentieket alapján, illetve a Δ mennyiségek helyett differenciális mennyiségeket használva dn dr = n d 2 dz r 2 TÁMOP C-12/1/KONV projekt 9

10 A gradiens törésmutatójú közeg Felhasználva a törésmutató parabolikus r függését: n( r) r 1 2l 2 = n0 2 r 2 = l d 2 dz r 2 Adódik, aminek megoldásaként a pályára z z r ( z ) = A sin + B cos l l adódik paraxiális közelítésben, ahol a peremfeltételeknek megfelelően B = r(0) A = lr' (0) TÁMOP C-12/1/KONV projekt 10

11 Szimuláció Készítsünk el egy szálat, melynek gradiens törésmutatója radiálisan n = n 0 + α r szerint változik, legyen n 0 =1,6 A hossza legyen 20 mm, sugara 1 mm. A szál első felületének geometriai középpontjából indítsunk 5 sugarat kis szögben a tengelytől (5 legyen a széttartás) A gradiens törésmutatójú közeget a következőképp definiáljuk! 0 2 Define menü Edit Property Data / Gradient Index Property opció TÁMOP C-12/1/KONV projekt 11

12 Szimuláció A sugárkövetés eredménye TÁMOP C-12/1/KONV projekt 12

13 Szimuláció Ha nagyítás alatt megfigyeljük jól látszik, hogy a szálban igen jó közelítéssel egy pontban metszik egymást a sugarak. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 13

14 Szimuláció Láthatjuk azt is (az előző szál esetén), hogy nagyobb (5 helyett 30 ) divergenciájú forrás esetén is még jó közelítéssel egy pontban metszik egymást a sugarak. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 14

15 Szimuláció Szög függvényében a paraxiális fókusztól való relatív eltérés 0,03 0,02 z-z1 /z1 0,01 0, α ( ) TÁMOP C-12/1/KONV projekt 15

16 Szimuláció Párhuzamos sugarak becsatolása TÁMOP C-12/1/KONV projekt 16

17 Szimuláció Az optikai tengelytől való távolság függvényében a paraxiális fókusztól való eltérés TÁMOP C-12/1/KONV projekt 17

18 Animáció TÁMOP C-12/1/KONV projekt 18

19 A gradiens törésmutatójú közeg Az előző példa egy speciális esetet mutatott be, amikor is a törésmutató profil forgás paraboloid, és a peremfeltétel egy azimutális komponenstől mentes iá irányvektorú sugár volt. Általános esetben egy változó törésmutatójú közegben a d ds r dr n ds r = n úgynevezett sugáregyenlet írja le a terjedésért, ami paraxiális közelítésben alakot ölt. r d dr n = n dz dz ( r ) r ( ) TÁMOP C-12/1/KONV projekt 19

20 A gradiens törésmutatójú közeg Keressük a fenti egyenletnek olyan megoldását, hogy a sugár pályája spirál legyen, melynek tengelye a szál szimmetriatengelye. Az (r, f, z) polárkoordináták nyelvén: r = r 0 = áll. φ ( z) = φ + Ω( z ) 0 z 0 A részletes levezetést most mellőzzük. A következő feltétel esetén adódik a kívánt megoldás: 2Δ Δ n2 n1 Ω = Δ = a n Ahol n 1 a törésmutató értéke az a sugarú szál szimmetriatengelyén. A törésmutató parabolikus profil szerint változik, melynek értéke r = a esetén n 2. 2 TÁMOP C-12/1/KONV projekt 20

21 A gradiens törésmutatójú közeg A spirál Λ menetemelkedése a 2π = ΛΩ feltételből adódik. Csatoljuk a sugarat r = r 0 -ban a szálba! Közvetlenül a szálba belépés után a következő komponensű irányvektorral kell rendelkeznie ahhoz, hogy spirálpályán haladjon: Λ e x = e y = 0 2r π 2 + Λ ( ) 2 0 2r π 0 e e z = r 2 0π 2 ( 2 ) + Λ TÁMOP C-12/1/KONV projekt 21

22 Szimuláció Egyetlen sugarat indítsunk úgy, hogy a kezdőpontja a henger bemenő körfelületén legyen Y irányba eltolva a henger sugarának feléig. A sugár normál vektor komponenseit a következőnek adjuk meg: e x = 0,25 e = 0 e z = 0, 9852 x Indítsuk el a sugárkövetést! y TÁMOP C-12/1/KONV projekt 22

23 Szimuláció A megfelelő paraméterválasztás miatt a sugár spirál pályára kényszerül a henger belsejében. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 23

24 Animáció Gradiens törésmutatójú szálban, speciális beesési szögben, a nyaláb spirálisan halad TÁMOP C-12/1/KONV projekt 24

25 Animáció Gradiens törésmutatójú szálban, speciális beesési szögben, a nyaláb spirálisan halad (e x = 0,15) TÁMOP C-12/1/KONV projekt 25

26 Animáció Gradiens törésmutatójú szálban, speciális beesési szögben, a nyaláb spirálisan halad (e x = 0,35) TÁMOP C-12/1/KONV projekt 26

27 Mit ismertünk meg? - Különböző peremfeltételek mellett analizáltuk és szimuláltuk a parabolikus törésmutatójú szálban történő fényterjedést. Következik: k - A Luneburg-féle és a Maxwell-féle halszem lencse. Egy közeg, melyben a fénysugár pályája kör. TÁMOP C-12/1/KONV projekt 27