Optika gyakorlat 5. Gyakorló feladatok

Átírás

1 Optika gyakorlat 5. Gyakorló feladatok. példa: Leképezés - Fruzsika játszik Fruzsika több nagy darab ívelt üveget tart maga elé. Határozd meg, hogy milyen típusú objektívek (gyűjtő/szóró) ezek, és milyen képet (valós/virtuális) lát Fruzsika az üvegen keresztül. Készíts sematikus rajzot minden esetben a leképezésről.. ábra. Fruzsika lencsét tart a kezében Megoldás: Az alábbi ábrán megszerkesztettük a különböző esetek fényútjait paraxiális közelítésben. A szerkesztéshez három alapelvet használtunk fel:. A tárgyoldali végtelenből érkező, optikai tengellyel párhuzamos sugarak a képoldali fókuszpontba képződnek le (ld. (b) megoldás). Megjegyzés: szórólencsék esetén (f < )a képoldali fókuszpont a tárgy oldalon helyezkedik el (ld. (c) megoldás) 2. A képoldali végtelenből érkező, optikai tengellyel párhuzamos sugarak a tárgyoldali fókuszpontba képződnek le (ld. (a) megoldás). 3. A tágyoldali fősík optikai tengelyen lévő pontjába érkező fénysugarak (ez az ún. nodális pont) a képoldali fősík optikai tengelyen lévő pontjából távoznak szögeltérítés nélkül. Jelen esetben vékonylencsék szerepelnek, ahol a fősíkok megegyeznek a lencsefelülettel. 2. ábra. A fényutak szerkesztései a különböző esetekben

2 3. ábra. Valós és virtuális tágy- és képpontok: (a) valós tágy, valós kép; (b) valós tágy, virtuális kép; (c) virtuális tágy, valós kép (d) virtuális tágy, virtuális kép; 2. példa: Geometriai optika Egy fénysugár két tükrön szenved visszaverődést, ahogyan az ábra mutatja. A fénysugár és a két tükör normálisa ugyanabban a síkban fekszik. Adjuk meg a β szöget az α szög függvényében! Igazoljuk, hogy ha α = 9, akkor β =! 4. ábra. Fénytörés Megoldás: Legyen a fénysugár beesési szöge γ. Ekkor az első reflexiónál a visszaverődési szög is γ kell hogy legyen. Ennek következtében az első visszaverődés kiegészítő szöge 9 γ. Mivel a két tükör síkjai és a fénysugár által bezárt háromszög szögeinek összege 8, ezért a második visszaverődés kiegészítő szöge 9 + γ α kell legyen. Tehát a második reflexió beesési szöge α γ, melynek következtében a visszaverődési szög is α γ. Mivel a fényutak által határolt háromszög szögeinek össszege 8, ezért a következő egyenlőség fenn kell álljon: 8 = β + 2 γ + 2 (α γ) 8 = β + 2 α β = 8 2 α Amenniyben α = 9, a képletbe behelyettesítve kapjuk, hogy β = 8 2 α =. Tehát két egymásra merőleges síktükrön történő tükröződés megfordítja a visszafénysugarakat, a kilépő fénysugár a beeső fénysugárral párhuzamosan halad. 3. példa: Mátrix optika Egy nyalábtágító segítségével kollimált lézernyaláb d = mm átmérőjét szeretnénk kitágítani az ötszörösére. A feladatod, hogy tervezd meg a nyalábtágítót két vékonylencséből. a) Határozd meg az összes lehetséges konstrukciót. Mondd meg a lencsék fókusztávolságát és a lencsék egymástól való távolságát. b) Határozd meg a rendszermátrixot, az effektív fókusztávolságot és a fősíkok helyét. 2

3 Megoldás: Legyen a lencsék fókusza f és f 2 és a lencsék közötti távolság L. A mátrixoptikai transzformációs egyenletet felírva a nyalábtágításra (m x = ±5), kapjuk:, ahol M = f 2 [ ] L Az egyenletnek két megoldása létezik.. megoldás (m x = +5) [ ] ±5x = M [ ] x = f 5x = ( L f ) x L f L L f f 2 f f 2 L f 2 = L f f 2 f f 2 4 = L f L = f + f 2 { L = 4f x f 2 = 5f Válasszuk f -et negatívnak (szórólencse). Ekkor kapjuk a Galilei-távcső elrendezést, amit most nyalábtágítóként fogunk használni: b) A rendszermátrixot kiszámolva: 5. ábra. Galilei-féle nyalábtágító [ ] 5 L M = 5 A bal alsó mátrix elemet leolvasva kapjuk, hogy a rendszer törőereje P =, az effektív fókusztávolsága pedig f eff = /P = A laterális nagyítás m x = 5 értéke konstans, amely független a tárgy- és képtávolságtól. Ez azt jelenti, hogy a rendszer nem rendelkezik m x = nagyítással rendelkező fősíkokkal. 2. megoldás (m x = 5) 5x = ( L f ) x = L f f 2 f f 2 3 x

4 6 = L f L = f + f 2 { L = 6f f 2 = 5f Válasszuk f -et pozitívnak (gyűjtőlencse). Ekkor kapjuk a Kepler-távcső elrendezést, amit most nyalábtágítóként fogunk használni: 6. ábra. Kepler-féle nyalábtágító b) A rendszermátrixot kiszámolva: [ 5 ] L M = 5 A bal alsó mátrix elemet leolvasva kapjuk, hogy a rendszer törőereje P =, az effektív fókusztávolsága pedig f eff = /P = A laterális nagyítás m x = 5 értéke konstans, amely független a tárgy- és képtávolságtól. Ez azt jelenti, hogy a rendszer nem rendelkezik m x = nagyítással rendelkező fősíkokkal. 4. példa: Paraxiális optika Egy n =.57 törésmutatójú maggal és n 2 =.55 törésmutatójú köpennyel rendelkező optikai szálba szeretnénk egy h = mm nagyságú wolfram izzószál fényét a lehető legnagyobb hatásfokkal becsatolni. A szál magjának átmérője h = µm. Az izzót d = mm távolságra rögzítjük a szál végétől. A becsatoláshoz egy f fókusztávolságú vékonylencsét szeretnénk felhasználni. Paraxiális közelítésben tervezd meg a becsatoló optikai rendszert: a) Mekkora az optikai szál numerikus apertúrája? b) Mekkora laterális nagyítással rendelkezzen a leképező optika? c) Mekkora f fókusztávolságú lencsét válasszunk ehhez a feladathoz? d) Hova helyezzük el a lencsét? e) Legalább mekkora tárgyoldali numerikus apertúrát kell biztosítanunk a leképezéshez? f) Ehhez mekkora lencseátmérőt (D apertúrát) válasszunk? g*) Becsüld meg a becsatolás hatásfokát, ha feltételezzük, hogy az izzószál pontszerű és minden térszögbe ugyanakkora intenzitást sugároz! Megoldás: a) A szál numerikus apertúrája: NA = n 2 n2 2 =.25 b) Az optikai leképezésben egy kicsinyített, valódi képre van szükségünk. Ezért egy fókuszáló gyűjtőlencsét kell választanunk (f > ). 4

5 7. ábra. Optikai szálba történő becsatolás Definíció szerint a rendszer nagyítása (fordított állású kép): m = h h =. c+d) Vezessünk le egy összefüggést a fókusztávolságra, a tárgy- és képtávolságra, ha ismert a nagyítás és a tárgy-kép távolság. m = s /s s + s = d A fenti egyenletrendszert megoldva kapjuk: } s = s = f = s + ms = d s(m ) = d d m = mm md m = mm ss s + s = 9.mm e) A tárgy- és képoldali numerikus apertúrák közötti összefüggés: NA = D 2s NA = D 2s NA NA = s s = m NA =. NA =.25 f) A tárgyoldali NA tartásához szükséges lencseapertúra átmérő: D = NA ( 2s) =.25 2 = 5mm Ennél nagyobb átmérőjű lencsére nincs szükségünk, mert a becsatolás hatásfokát már nem javítja. g) A becsatolás hatásfokát az optikai tengelyre merőleges x- és y-irányú numerikus apertúrák által kijelölt térszög és a teljes térszög aránya határozza meg: η 2NA x 2NA y 4π = π =.2% 5