REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus"

Margit Ráczné
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK EZGÉSTAN GYAKOLAT Kidolozta: Dr. Na Zoltán eetemi adjunktus 5. feladat: Szabad csillapított rezőrendszer A c k ϕ c m k () q= q t m rúd c k Adott: Az ábrán látható A pontban csapáazott csillapított, szabad rezőrendszer ukált rezőrendszere. Az általános koordináta leen a rúd szöelfordulása: q( t) = ϕ ( t). A helettesítő rezőrendszer jellemzői: / c = 875 Nm rad, k = 75 Nms/rad, m = 6 km /rad. 3 3 Kezdeti feltételek: t = : = ϕ = 8 rad, = v = ϕ = rad/s. Feladat: a) Mehatározni a csillapított rendszer ν körfrekvenciáját! b) Eldönteni, ho kialakul-e rezés! c) Mehatározni a csillapított rezőrendszer T ν rezésidejét és a rezés f ν frekvenciáját. d) Felírni a rezőrendszer mozáseenletének meoldását! e) A Λ loaritmikus dekrementum kiszámítása. f) Komple kitérés(elmozdulás) vektor és a komple sebessévektorok közötti Φ fázisszö mehatározása. Kidolozás: a) A csillapított rezőrendszer ν körfrekvenciájának mehatározása: rad rad = = = = 85,58, = 85,58 = 3, 6, 5 m c 6 8, 6 8, s s k 75 rad β = = = 8,398, m 6 s rad ν = β = 85,58 7,533 =,7. s b) = 3,6 rad/s > ν =,7 rad/s. Ezért kialakul a rezés! π π 6,8 c) A T ν rezésidő kiszámítása: ν = Tν = = =,585 s. Tν ν,7 A csillapított rezés f ν frekvenciája: fν = = =, 7 =Hz. Tν,585 s d) A rezőrendszer mozáseenletének meoldása (komple alakban):

2 ( β + iν) t () ( β+ iν ) t ( β+ iν ) t ( β+ iν ) t z z t Ae a ib e ae ibe ( β+ ) Ebből a meoldás képzetes része: i ν t z t = be = ( t) ( β iν) t ( β iν) A kezdeti feltételből: = = = + = + - a komple elmozdulás. Im t = = be = be = = b= 8 rad. = β+ iν t β+ iν t zt () = A β + iν e = a+ ib β + iν e. A komple sebessévektor: Elvéezve a kijelölt műveleteket: ( β+ ν zt a b e ) i ( a b ) e ( β+ ν = β ν + ν β ) Ebből a meoldás képzetes része: ( β+ Im i ν ) t z t = aν bβ e = ( t). i t i t (). A kezdeti feltételből: ( β + iν ) t ( β + iν ) t = = = aν bβ e = aν bβ e = v. = 3 3 v + bβ + 8 8,398 ( aν bβ) = v a= =, rad. ν,7 Az a és b paraméterek mehatározása után a komple meoldásfüvén: ( β+ iν) t β+ iν t βt iνt βt z = z() t = Ae = a+ ib e = e a+ ib e = e a+ ib (cosν t+ isin ν t), () ( cos sin ) t t zt a t b te β β = ν ν + i ( asinνt+ bcos νt) e, βt Im z t = ( asinνt+ bcos νt) e = t. Ebből a meoldás képzetes része: β t = ( a sinνt+ bcos νt) e t = (, sin, 7t+, 8cos, 7 t) e A fenti összefüés a rúd A pont körüli, radiánban értelmezett ϕ() t () t szöelfordulását adja me az idő füvénében. β 8,398 e) Loaritmikus dekrementum: Λ= ln = π = 6, 8 =,9. ν,7 e) A komple kitérés és a komple sebessévektor közötti fázisszö mehatározása és szemléltetése: 8,39t a =, rad, b =,8 rad. zt ( ) b Φ ϑ a zt ( ) π β 8,398 Φ= + ϑ, ahol tϑ = = =,783 ν,7 ϑ = arct, π Φ= + ϑ = = 8.

3 6. feladat: Csillapítatlan erjesztett rezőrendszer A c β c c c c 3 ϕ m rúd F (t) c Q(t) m q= q t Adott: Az ábrán látható az A pontban csapáazott rezőrendszer ukált rezőrendszere qt= ϕ t. (3. feladat). Az általános koordináta leen a rúd szöelfordulása: () () / c = 3875 Nm rad, m = 6 km /rad, F ( t) = F sin( ω t), F = N, ω = rad/s, = m, ε =. Feladat: a) A ukált rezőrendszer mozáseenletének felírása. b) A ukált rendszer mozáseenletének általános meoldása. c) A Z komple ellenállás mehatározása. d) A rezés vektorábrájának merajzolása. Kidolozás: a) A rezőrendszer mozáseenlete: Általános koordináta: q = ϕ. d de de A Larane-féle másodfajú mozáseenlet: = Q c + Q. dt dq dq Az általános erjesztő erő: Q () t Q ( t) = F β = Fsin( ωt) j ( j) = Fsin( ωt), ahol v v ( ϕ j) F = F sin( ωt) j, β = = = = j. q ϕ ϕ A rezőrendszer mozáseenlete: 6 cos 9 cos m ϕ + F sin( t). rúd ϕ= ω c c c3 c A ukált rezőrendszer mozáseenlete: mq + q = Q () t = Q sin( ω t). c 6q q= sin( t). b) A mozáseenlet általános meoldása: iωt i t Pe zt () = zh() t + zp() t = Ae +. iω Z Állandósult rezések esetén bennünket a meoldás partikuláris része érdekel: iωt Pe i i zt () zp () t = iωz, ahol P Q ( Nm ). e ε ε = = F e = F e = F =

4 c) A rezőrendszer komple ellenállása: 3875 Z = i ωm = i 6 = i( ,75) = i( 59,5) Nms. c ω d) A erjesztett rezés vektorábrája: P iω t P F 3 zp ( t = ) = e = = = = = 6,8 rad, iωz iω Z iωz i ( i = 59,5) 59,5 iωt Pe 3 z p( t = ) = iω = iω zp( t) = i ( 6,8 ) = i,5 rad/s, iω Z z ( t = ) = ω z t = 6,8 =,5 rad/s. 3 p p z ( p t ) z Z ( p t ) z ω ( p t ) P P P z t e t i t ( ω ω ) () = iωt p cos sin, iωz = iωz + p ( 3 3 ) z ( t) = 6,8 cos t + i 6,8 sin t, z ( t) =,5sin t + i,5cos t, p z ( t) =,5cos t + i,5sin t. p A ténlees meoldást az ω körfrekvenciával foró komple vektoroknak a füőlees, képzetes tenelre eső merőlees vetülete szoláltatja: 3 t = Im zp( t) = 6,8 sin t rad, t () = Im z p () t =,5cost rad/s, t = Im zp ( t) =,5sin t rad/s. 7. feladat: Csillapítatlan erjesztett rezőrendszer A c β c c c c 3 ϕ m rúd F (t) c Q(t) m q= q t Adott: Az ábrán látható az A pontban csapáazott rezőrendszer ukált rezőrendszere qt= ϕ t. (3.feladat). Az általános koordináta leen a rúd szöelfordulása: () () / c = 3875 Nm rad, m = 6 km /rad, F ( t) = F sin( ω t), F = N, ω = rad/s, = m, ε =. Feladat: a) A rezőrendszer mozáseenletének mehatározása. b) A ukált rezőrendszer saját körfrekvenciájának mehatározása. c) A erjesztett rezés imális kitérésének mehatározása.

5 d) A rúd imális szöelfordulásának ábrázolása a erjesztési körfrekvencia füvénében (a rezonanciaörbe merajzolása). e) A c ruóállandójú ruóban ébő imális Q ruóerőt mehatározása. Kidolozás: a) A rendszer mozáseenlete: d de de A Larane-féle másodfajú mozáseenlet: = Q c + Q. dt dq dq A ukált rezőrendszer mozáseenlete: mq + q = Q () t = Q sin( ω t), c 6q q= sin( t). b) A rendszer saját körfrekvenciája: 3875 rad rad = = = 65, = 65, =,66. m c s s c) A imális kitérés mehatározása: ϕstat = c Q = c F = =,3( rad) ϕstat =, ,66 3 ϕ = ϕstat =,3 = 6,8 ( rad) ϕ =,36. ω,66 ( ) c) A ϕ ϕ ( ω ) = rezonenciafüvén mehatározása: A füvén jellezetes pontjai: - statikus állapot esetén( ω = ) :,3,66 ϕ = ϕstat = =,3 rad ϕ = ϕ,59. stat = ( ω ) (,66 ) - rezonancia állapot esetén( ω = =,66 rad/s ):,3,66 ϕ = ϕstat = = (rad). ω,66,66 - ( ) ( ) ϕ ω = ϕstat esetén: ω ϕ = ϕstat = ϕ stat = ξ = = ω ξ ω =, ( ) rad ω = = = ϕ = ϕ = s,66 3,79 esetén stat,59 A rezonancia örbe:

6 ϕ, ϕ = ϕ ω,8,6,, 3 5 ω rezonancia d) A c ruóállandójú ruóban ébő imális Q ruóerőt mehatározása. 9 cos 9 cos 3 3 Q ( t) ϕ = ( t) = ( 6,8 sin t) = 6sin ( t), c ( t) Q = 6sin = 6 N. = 8. feladat: Úterjesztés - erjesztés ruón keresztül c c ϕ l A m k (t) rad s Adott: Az ábrán látható, az A pontban csapáazott rezőrendszer. A rendszert a c ruó pontjában az () t = sin( ωt+ ε ) füvén szerint (úterjesztés) erjesztjük. l = m, c = m N, c = m N, m = k, k = Ns/m, = mm, ω = rad/s. Feladat: a) Az ábrán látható rezőrendszer mozáseenletének felírása kis szöelfordulások esetén. b) A ukált rendszer jellemző paramétereinek mehatározása. Kidolozás: Az általános koordináta leen a rúd szöelfordulása q = ϕ. a) A mozáseenlet felírása: d de de A Larane-féle másodfajú mozáseenlet: = Q. dt dq dq

7 A rendszer kinetikai eneriája: E= Jaω = Ja q = J aϕ = m l ϕ. de de d de = = ml ϕ = ml ϕ, dq d ϕ dt d ϕ de de = =. dq dϕ A ruókban felhalmozódott alakváltozási eneria: ( l /ϕ) ( / ) l ϕ U = U+ U = +. c c Az általános visszatérítő erő és erjesztő erő: du du l l l Q = = = ϕ + ϕ, dq dϕ c c c Q Q l l l Qc = ϕ + ϕ, Q =. c c c Az általános csillapító erő: Q = F β, c k k l j l v ϕ l Fk = k vd = k ϕ j, β = = = j, ϕ ϕ l l Qk = k ϕ j j = kl. ϕ. d de de A Larane-féle másodfajú mozáseenlet: = Q k + Q c + Q. dt dq dq l l l ml ϕ+ kl ϕ+ + ϕ = sin( ωt). c c c b) edukált rezőrendszer jellemzői: m km, = ml = = k Nsm, = kl = = l l = + = + = 75 Nm, c c c l Q = Qsin( ωt) = sin( ωt) =, sin( t) 5sin( t) Nm. = c A ukált rezőrendszer mozáseenlete: ϕ + ϕ+ 75ϕ = 5sin( t).

8 Q = Q t c m k q= q t

Hasonló dokumentumok

Ns/m, y0 3 mm, v0 0,18 m/s. Feladat: meghatározása. meghatározása. 4 2 k 1600 Ns 1. , rad/s, rad/s. 0,209 s.

Ns/m, y0 3 mm, v0 0,18 m/s. Feladat: meghatározása. meghatározása. 4 2 k 1600 Ns 1. , rad/s, rad/s. 0,209 s. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 8. MECHANIKA-EZGÉSTAN GYAKOLAT (kidoloza: Fehér Lajos, sz. mérnök; Tarnai Gábor, mérnök anár; Molnár Zolán, ey. adj., Dr. Nay Zolán, ey. adj.) Ey