MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
|
|
- Imre Gusztáv Katona
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált) MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ 1
2 1 Merev testek kinematikája 1.1 Mozgásleírás adatokkal 6 szabadságfok pl. 3 pozíció, 3 szög 1. Forgatás térben 1..1 Euler szögek z-x-z konvenció: α az x tengely és az N csomóvonal közötti szög (z körül). β a z tengely és a Z tengely közötti szög (x körül). γ az X tengely és az N csomóvonal közötti szög (z körül). R = cosα sin α 0 sin α cos α cos β sin β 0 sin β cos β 1.. Y-P-R z-y-x konvenció: α a z tengely körül - Yaw fordul γ az y tengely körül - Pitch - bukdácsol β az x tengely körül - Roll - dülöngél Térbeli pozíciót ír le (R) Minden pozíció leírható - probléma a sorrend rögzíteni kell - nem mindig egyértelmű cosγ sin γ 0 sin γ cos γ
3 1.. Rodrigues képlet Bármely r vektort elforgatja α szöggel az origón átmenő w tengely körül r -be. (abs(w)=1) r r r r r w φ w r α r w r r = r = w (w r) r = r r = r w (w r) w r w r abs w r = abs w abs r sin(φ) abs w r = abs w abs r abs r = abs r sin φ abs w r = abs w abs r sin(φ) α r r = r + r = r cosα + w r sinα + w w r r = r = r w (w r) cosα + w r sinα + w w r r = r cosα + w r sinα + w w r 1 cosα 3
4 w = w 1, w, w 3 W = 0 w 3 w w 3 0 w 1 w w 1 0 W r = w r r = r cosα + w r sinα + w w r 1 cosα k i w 1 r 1 j w r k w 3 r 3 r = r cosα + W r sinα + w w r 1 cosα r = r + W r sinα + w w r r 1 cosα w w r r w w = w w r a b c = b a c c a b Lagrange formula a b: = w c: = r w w r r = W r r = r + W r sinα + W r 1 cosα r = R r R = I + W sinα + W 1 cosα A forgatási mátrix 4
5 1..3 Kvaternió - Komplex számok általánosítása q = s, x, y, z = s, v = s + x i + y j + z k q 1 + q = s 1 + s, x 1 +x, y 1 + y, z 1 + z α q = α s, α x, α y, α z q = s + x + y + z s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w q = s, v q q 1 = 1,0,0,0 q 1 = s, v q i j = k, j k = i, k i = j jobbsodrású j i = k, k j = i, i k = j 5
6 Forgatás w tengely körül (abs(w)=1) szöggel forgat a 0, v elforgatott = q 0, v q 1 q = cos α, w sin α x z α v elforgatott y v A forgatás mátrixa v elforgatott = x y z = R v = r 11 r 1 r 13 r 1 r r 3 r 31 r 3 r 33 x y z q = cos α, w sin α 0, r 11, r 1, r 31 = q 0, 1,0,0 q 1 0, r 1, r, r 3 = q 0, 0,1,0 q 1 0, r 13, r 3, r 33 = q 0, 0,0,1 q 1 6
7 Példa 1 w = 0,0,1 q = cos π, w sin π α = π = 0, w = 0, 0,0,1 x w z α x y q = s + x + y + z = 1 q 1 s, v = q = 0, w = 0, 0,0, 1 x = 1,1,0 x = 0, w 0, 1,1,0 0, w = = 0, 0,0,1 * 0, 1,1,0 * 0, 0,0, 1 i j k , 1,1,0 x = 0, 1, 1,0 i j k , 1, 1,0 s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w 7
8 Példa w z q = cos π, w sin π = 0, w = 0, 0,0,1 q 1 s, v = q = 0, w = 0, 0,0, 1 0, r 11, r 1, r 31 = q 0, 1,0,0 q 1 0, r 1, r, r 3 = q 0, 0,1,0 q 1 0, r 13, r 3, r 33 = q 0, 0,0,1 q 1 s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w x α v y 0, r 11, r 1, r 31 = 0, 0,0,1 0, 1,0,0 0, 0,0, 1 i j k , 0,1,0 i j k , 1,0,0 0, r 1, r, r 3 = 0, 0,0,1 0, 0,1,0 0, 0,0, 1 i j k , 1,0,0 i j k , 0, 1,0 0, r 13, r 3, r 33 = 0, 0,0,1 0, 0,0,1 0, 0,0, 1 i j k , 0,0,0 i j k , 0,0,0 R v = =
9 1.3 A mozgást leíró adatok Állapottér modell (mechatronikai) Pozíció r Sebesség v Gyorsulás a Szögsebesség ω Szöggyorsulás β z r c C ω ρ P r p = r c + ρ v p = v c + ωxρ a p = a c + βxρ x y 9
10 1.4 Gép - merev testek összekapcsolása kényszerekkel Kényszerek : csapágy, vezeték, y 0 q fogaskerék Homogén koordináták D z (λx,λy,λ) 1 (x,y,1) y x, y x, y, 1 q 1 q 3 x, y, z x, y, 1 perspektív geometria z z x 0 x Az eltolás T x y x + a y + b 1 0 a 0 1 b x y 1 = x + a y + b 1 10
11 3D x, y, z x, y, z, 1 x, y, z, w x w, y w, z w, 1 Perspektív transzformáció y η P y P Π y P k z x d z x z d, y z y d z d, d,1 x, y, z, z d C O Π x x P xy s ξ P x z d x y z 1 11
12 1.4. Robotelemek csatolása - Denavit-Hartenberg transzformáció Az ízületek: Csúszó Forgó α i- a i-1 z i-1 y i-1 x i-1 b i a i ϴ i y i z i x i α i z i-1 tengely az i. ízület forgás- vagy csúszó tengelye. x i-1 tengely a z i-1 és a z i tengely közös normálisában Az i. koordináta-rendszer origója a z i-1 és a z i közös normálisa és a z i metszéspontja Párhuzamos forgástengelyek esetén a normális a megelőző ízülethez rendelt koordináta-rendszer origóján halad át. Egymást metsző tengelyeknél a koordináta-rendszer origója a tengelyek metszéspontja, az x i tengely irányultsága pedig a (z i-1 xz i ) vektoriális szorzattal párhuzamos. α i-1 1
13 *Csavar mozgás = *(elmozdulás + elfordulás) z i-1 y i-1 x i-1 a i y i z i x i Elmozdulás z i-1 mentén b i -vel H b i = b i Elfordulás z i-1 körül ϴ i szöggel H θ i = Elmozdulás x i-1 mentén a i -vel cosθ i sinθ i 0 0 sinθ i cosθ i α i- a i-1 b i α i-1 ϴ i α i H a i = Elfordulás x i-1 körül α i -vel H α i = a i cosα i sinα i 0 0 sinα i cosα i Csukló Csúszka cosθ i sinθ i cosα i sinθ i sinα i a i cosθ i sinθ H b i H θ i H a i H α i = i cosθ i cosα i cosθ i sinα i a i sinθ i 0 sinα i cosα i b i cosθ i sinθ i cosα i sinθ i sinα i 0 sinθ H b i H θ i H α i = i cosθ i cosα i cosθ i sinα i 0 0 sinα i cosα i b i
14 1.4.3 Általános koordináták Mozgásleírás egyéb általános koordinátákkal (pl. relatív szöghelyzet) q i (t) i=1..n Egyértelmű kapcsolat a fizikai koordinátákkal. r p = r p (q) p=1..n Általános sebesség Összetett függvény deriválása, Jacobi mátrix. v p = dr p n dt = k=1 r p dq k q k dt p = 1.. n v = J q = r 1 q 1 r 1 q n r n q 1 r n q n q 1 q n 14
15 , cos cos x l l , sin sin y l l , d x, d x x d dt dt dt 1, d y, d y y d dt dt dt 1 x d x x 1, 1, d 1 dt dt dy y y dt dt 1 1, 1, d v = J φ 1 15
16 Dinamikai egyenletek.1 Newton-Euler egyenletek r c = v c.1.1 Newton.1. Euler Perdület v c = a c Inercia tenzor Θ = m v c = F = L = m r x v L = Θ ω I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz F i Tömegpont Merev test x I xx = y + z ρ x, y, z dxdydz I yy = I zz = z V V V x + z ρ x, y, z dxdydz x + y ρ x, y, z dxdydz I xy = I yx = xy ρ x, y, z dxdydz I xz = I zx = r c V V e 1 C ρ e ω e 1 P y xz ρ x, y, z dxdydz I yz = I zy = yz ρ x, y, z dxdydz Szimmetrikus V valós sajátérték, sajátvektor (tehetetlenségi főtengelyek) 16
17 pl. főtengely kr.-ban L c = I c ω = I 1c ω 1 e 1 + I c ω e + I 3c ω 3 e 3 Euler egyenlet L c = M c Newton-Euler egyenletek 6 szabadságfok 6 másodrendű lineáris differenciálegyenlet m v c = F = F i L c = M c Főtengely kr.-ban (a forgó koordinátarendszer miatt) M 1c = I 1c ω 1 + I 3c I c ω ω 3 M c = I c ω + I 1c I 3c ω 3 ω 1 M 3c = I 3c ω 3 + I c I 1c ω 1 ω 17
18 .1.3 Példa, kettős inga Θ = m 1 l 1 + m l Θ q = m 1 g l 1 sin q m g l sin q c sgn Θ q + c sgn L c = M c Elhanyagolás m R m 1 ; m R m I. Nem lineáris - Coulomb surlódás L = Θ ω q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 q m 1 l1 q m R q+ M+ l mm g II. Lineáris - kis elmozdulás, viszkózus surlódás sin q ~ q c sgn q ~μ Θ Θ q + μ q III. Surlódásmentes q m 1 g l 1 m g l q = 0 q m 1 g l 1 m g l q = 0 18
19 A lineáris, surl.mentes egyenlet zárt alakú megold. (III) Θ q t q m 1 g l 1 m g l q = 0 = e rt Θ r m 1 g l 1 m g l = 0 r 1, = ± m 1 g l 1 m g l Θ m 1 l 1 < m l ω r = m 1 g l 1 m g l Θ e r 1 t = e +iω r t = cos ω r t q t = c 1 cos ω r t + c sin ω r t + i sin ω r t e r t = e iω r t = cos ω r t i sin ω r t r 1 t = er 1 t r +e t = cos ω r t r t = er 1 t r e t = sin ω i r t 19
20 .1.3. A lineáris, viszkózus surl. egy. zárt alakú megold. (II) Θ q + μ q m 1 g l 1 m g l q = 0 q t = e rt Θ r + μ r m 1 g l 1 m g l = 0 r 1, = μ ± μ + 4 I m 1 g l 1 m g l Θ μ + 4 Θ m 1 g l 1 m g l < 0 ρ = μ Θ ω r = 4 I m g l m 1 g l 1 μ Θ 0
21 e r 1 t = e ρ t+iω r t = e ρ t cos ω r t + i sin ω r t e r t = e ρ t iω r t = e ρ t cos ω r t i sin ω r t r 1 t = er 1 t r +e t = e ρ t cos ω r t r t = er 1 t r e t = e ρ t sin ω i r t q t = c 1 e ρ t cos ω r t + c e ρ t sin ω r t 1
22 A nem lineáris surl.mentes egyenlet szétválasztható Θ q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 Legyen ismeretlen függvény az ω(t)! ω = q = dq dt q = d q dt = dω dt = dω dq dq dt = dω dq ω dω dq ω = m 1 g l 1 m g l Θ ω = dq dt sin q
23 ω ω dω = m 1 g l 1 m g l Θ = m g l m 1 g l 1 Θ cos q + c 1 ω = ± m g l m 1 g l 1 cos q Θ sin q dq + c 1 dq dt = ± m g l m 1 g l 1 cos q Θ + c 1 ± Θ m g l m 1 g l 1 cos q + Θ c 1 dq = dt? ± Θ m 1 g l 1 m g l cos q + Θ c 1 dq = t + c 3
24 .1..4 A nem lineáris Coulomb surlódásos egyenlet Θ q + c sgn q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 p = q q = p p = m 1 g l 1 m g l sin q c sgn p Θ? 4
25 . Numerikus megoldások..1 Numerikus deriválás integrálás..1.1 Az első deriváltak közelítése y n 1 y n f x = y n y n 1 x n x n 1 (x x n 1 ) + y n 1 x n 1 x n h = x n x n 1 df(x) dx y n y n 1 h 5
26 ..1. Az első derivált másodrendű közelítése Lagrange féle súlyfüggvények f x = y n 1 x x n x x n+1 x n 1 x n x n 1 x n+1 + y n 1 y n y n+1 y n x x n 1 x x n+1 x n x n 1 x n x n+1 + x n 1 x n x n+1 y n+1 x x n 1 x x n x n+1 x n 1 x n+1 x n f x = f i s i (x) df x n dx = y n 1 x n (x n +x n+1 ) x n 1 x n x n 1 x n+1 + i y n x n (x n 1 +x n+1 ) x n x n 1 x n x n+1 + y n+1 x n (x n 1 +x n ) x n+1 x n 1 x n+1 x n 6
27 df x n dx = y n 1 x n (x n +x n+1 ) +y x n 1 x n x n 1 x n x n (x n 1 +x n+1 ) +y n+1 x n x n 1 x n x n+1 n+1 x n (x n 1 +x n ) x n+1 x n 1 x n+1 x n df x n dx = y n 1 x n x n+1 x n 1 x n x n 1 x n+1 + y n y n+1 x n x n 1 +x n x n+1 x n x n 1 x n x n+1 + x n x n 1 x n+1 x n 1 x n+1 x n h = x n x n 1 =x n+1 x n y n 1 y n y n+1 x n 1 x n x n+1 Az első derivált másodrendű közelítése df x dx = y n+1 y n 1 h Hiba a Taylor polinom maradéktagja Ο(h n ) g=numdiff(fun,x [,dx]) fun - SciLab függvény x - a függvény független változója (vektor) dx - a differencia vektor g - a közelítő gradiens (derivált) 7
28 ..1.3 Kvadratúrák (területszámítás szóból ered) h (f i + f i+1 ) trapéz Elsőfokú interpoláció. A hiba: h3 1 f (ξ) Simpson Newton 3/8 h (f i f i + f i+1 ) Másodfokú interpoláció Illetve súlyozott átlag. A hiba: a középpont trapéz m = h f x i t = h I i = m+t 3 Harmadfokú interpoláció. A hiba: 3 f x i 1 +f x i+1 h f (ξ) 3 h (f i + 3 f i f i+ + f i+3 ) h f (ξ) 8 8
29 inttrap([x,] y) Mérési adatok integrálása trapéz szabállyal x - növekvő független változók vektora (def:1:size(y,'*') matrix 1*m) y - a függő (mért változók) integrate("fvstr","valtstr",tol,ig[,ah[,rh]]) Definiált függvény (fvstr) integrálása kvadratúrával valtstr - a változó az fv-ben ah - abszolút hibahatár (def: 1.e-8 ) rh - relatív hibahatár (def:1.e-14) intg(tol,ig,fv) Külső függvény (fv) integrálása kvadratúrával intsplin([x,] y) Mérési adatok integrálása spline interpolációval x - növekvő független változók vektora (def: 1:size(y,'*') y - a függő (mért változók) deff("y=f(x)", "y=sin(x)") inx=integrate("f(x)","x",0,6.8) disp (inx)
30 .. Differenciálegyenletek megoldása...1 Sorozatos közelítés (Szukcesszív approximáció) dy i dx = f i x, y 1, y y n i = 1,, n y i x 0 = y i,0 kezdeti feltétel dy i = f i x, y 1, y y n dx y i (x) dy i = y i,0 x 0 y i x y i,0 = y i x = y i,0 + x f i x f i x 0 x f i x 0 x, y 1, y y n dx x, y 1, y y n dx x, y 1, y y n dx 30
31 y i x 0 = y 0 y i,m x = y i,0 + x x 0 y i x = y i,0 + f i x, y 1,m 1, y,m 1 y n,m 1 dx x x 0 f i x, y 1, y y n dx Ha K x0,y i,0 környezetben f i εc 0 Ha f i x, y 1, y y n < M és K > 0 folytonos f i x, y 1 + y 1, y + y, y n + y n K y 1 + y + + y n Lipschitz y i,m x x = y i,0 + fi x0 ξ, y 1,m 1 ξ, y n1,m 1 ξ dξ y i,0 x y i,0 31 Abszolút és egyenletesen konvergál az y i x megoldáshoz Ο(h n )
32 Példa dy = y y 0 = 1 kezdetiérték feladat dx y 0 (x) 1 x y 1 x = 1 + 1dx = 1 + x y x = 1 + y 3 x = 1 + y n x = x 0 x x dx = 1 + x + x 1 + x + x y i,m x = y i,0 + x0 x fi ξ, y 1,m 1 ξ, y n1,m 1 ξ dξ y i,0 x y i,0 dx = 1 + x + x + x3 3 x y n 1 x dx = 1 + x + x + + xn n! ex Az e x Taylor sora a 0 körül 3
33 ... Euler-Cauchy féle törtvonal módszer y(t) = f t, y y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h y i = y t i y t i y i+1 y i h = f t i, y i y i+1 = y i + h f t i, y i y f(t) t 33
34 ...1. Első javítás f i = f t i, y i Prediktor-korrektor módszerek y i+1 = y i + h f i t i, y i y i+1 y i+1 első közelítése f i+1 = f t i+1, y i+1 itt f i+1 f korrigált értéke y i+1 = y i + h f i + f i+1 y f(t) t 34
35 ... Második javítás y i+1 (0) = y i + h f t i, y i f többször is korrigálható y (k) i+1 = y i + h f t i, y i + f t i+1, y k 1 i+1 k = 1, m ameddig y (m) i+1 y (m+1) i+1 > ε 35
36 ...3. Például Euler-Cauchy dy = y y 0 = 1 h = 0.1 ex dx y 0 = 1 y 1 = y 0 + h y 0 = = y = y 1 + h y 1 = = y 3 = y + h y = = y 4 = y 3 + h y 3 = = Euler-Cauchy 1.javítás y 0 = 1 y 1 = y 0 + h y 0 = = 1.1 y 1 = y 0 + h y 0 + y 1 = = y = y 1 + h y 1 = = y = y 1 + h y 1 + y = = y 3 = y + h y = = y 3 = y + h y + y = =
37 ...3 Runge-Kutta féle módszer RK4 y = f t, y y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h k 1 (i) = h f k (i) = h f k 3 (i) = h f k 4 (i) = h f t i, y i y i = y t i t i + h, y i + k 1 (i) t i + h, y i + k (i) (i) t i + h, y i + k 3 y i+1 = y i k 1 (i) + k i + k 3 i + k 4 (i) ha f C 5 hiba = θ h 5 37
38 Explicit Runge-Kutta (i) y i+1 = y i + h b j k j s j=1 k (i) 1 = h f t i, y i k (i) = h f (i) t i + c h, y i + a,1 h k 1 k (i) 3 = h f k s (i) = h f Butcher tábla t i + c 3 h, y i + a 3,1 h k 1 i t i + c s h, y i + a s,1 h k 1 i + a 3, h k i + a s, h k i 0 c a,1 c 3 a 3,1 a 3, c s a s,1 a s, a s,s-1 b 1 b b s-1 b s RK4 0 1/ 1/ 1/ 0 ½ /6 1/3 1/3 1/6 + + a s,s 1 h k s 1 i i 1 j=1 s a i,j = c i b i = 1 i =,, s j=1 38
39 ...3. Például RK4 y = f t, y 0 1/ 1/ 1/ 0 ½ /6 1/3 1/3 1/6 y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h k (i) 1 = h f t i, y i k (i) = h f k 3 (i) = h f k 4 (i) = h f t i + h, y i + k 1 (i) t i + h, y i + k (i) (i) t i + h, y i + k 3 dy y dx = y y 0 = y i+1 = y i h = 0.1 e x t 0 = 0 y 0 = 1 k (0) 1 = h y 0 = 0.1 k (0) = h (y 0 + k 1 0 ) = k (0) 3 = h (y 0 + k 0 ) = k 4 0 = h (y 0 +k 0 3 ) = t 1 = 0,1 y 1 = = k (1) 1 = h y 1 = k (1) = h (y 1 + k 1 1 ) = k (1) 3 = h (y 1 + k 1 ) = k 4 0 = h (y 0 +k 0 3 ) = 0.1 k 1 (i) + k i + k 3 i + k 4 (i) t 1 = 0, y = =
40 ..3 A nem lineáris Coulomb surlódásos egyenlet Θ q + c sgn q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 q = p p = m 1 g l 1 m g l sin q c sgn p Θ y=ode([mstr,]y0,t0,t,f) mstr - opcionális - rkf speciális Runge-Kutta y0 - valós vektor (matrix) a kezdeti értékek t0 - valós a kezdő idő t - valós vektor az időpontok a számításhoz f - a bal oldal függvénye. function dpq=f(t, x) m1=1; m=; l1=1; l=; g=9.81; teta=9; c=0.; dpq(1) = x() //q=x(1), p=x() dpq() =((m1*g*l1-m*g*l)*sin(x(1))-c*sign(x()))/teta; endfunction t = 0:0.01:4*%pi ; y=ode ("rkf", [ 0 ; -1/], 0, t, f ) ; plotd(t', y(1,:)); Mm m 1 l 1 l m R q g ode.sci 40
41 .3. Variációszámítás.3.1. A funkcionál fogalma X tetszőleges halmaz f: X R leképezés funkcionál.3.. Variációszámítás fogalma Y speciális feltételeket kielégítő függvények f: Y R leképezéseivel foglalkozik. Legyen Φ y(x) = x1 x f x, y x, dy(x) dx y y 1 dx x 1 x y x 1 = y 1, y x = y dy(x) pl. = dx f x (x, y x ) x1 Keressük azon y x peremeket kielégítő függvényt, melyre Φ y(x) = extrémális (minimális) dy(x) dx f (x, y x ) dx 41
42 .3.3. Az Euler-Lagrange féle differenciálegyenlet Segédtétel F x C 0 x 1,x és tetszőleges η x C 1 x 1,x és η x 1 = η x = 0 x Ha akármilyen η x esetén x1 F(x) η x dx = 0 akkor F x 0 Keressük az y(x) peremeket kielégítő függvényt! x Φ y(x) = x1 f x, y x, y x dx és y x 1 = y 1, y x = y ami extrémálissá teszi az integrált Legyen Y(x) a peremeket kielégítő Y x = y x + ε η x, Y x 1 = y 1, Y x = y, η x 1 = η x = 0 alakú, így Y x = y x + ε η x így Φ ε x = x1 f x, Y x, Y x extrémum, ha derivált minimális az ε = 0 helyen dφ(ε) dε ε=0 = 0 y y 1 x dx = x1 f x, y x + ε η x, y x + ε η x x 1 x 1 η(x) y(x) x x 4 dx
43 dφ(ε) dε dφ(ε) dε ε=0 ε=0 = = x x 1 x x 1 f Y Y ε + f Y Y ε f y Y x = y x + ε η x Y x = y x + ε η x Φ Y(x) = dx ε=0 = 0 Y = η x, Y = ε ε η x, η x + f y η x dx = 0 x f x, Y x, Y x dx x 1 f = f, Y ε=0 y dφ(ε) dε f = f Y ε=0 y ε=0 = 0 x f y η x = f η x y x x 1 x x 1 f x 1 x 1 x 1 d f η x dx dx y u v uv =0 u v mert η x 1 = η x = 0 f y d f dx y y d dx f y = 0 η x dx A segédtétel miatt Euler Lagrange diff. egyenlet 43
44 .3.4 Másodfajú Lagrange egyenletek d T q j, q j T q j, q j = Q dt q j q j j Mozgási energia A potenciálos erők külön Rayleigh féle disszipációs fv. D L d dt q j, q j = T L q j, q j q j, q j L q j W q j q j, q j q j T = W q j = q j m j=1 W q j = m i m q i j=1 m 1 j=1,i=1 m = 1 j=1 + D = Q q j j m j g q j h k rugó,i,j q i,j m k=1 C j,k f y d f dx y = 0 q j q k 44
45 Példa Két tömeg T = 1 m q m q k μ m 1 m W = 1 k q q 1 h L = T W q 1 h q D = 1 μ ( q q 1 ) d dt L q i L + D = 0 q i q j m q 1 μ ( q q 1 ) k q q 1 h = 0 m q + μ ( q q 1 ) + k q q 1 h = 0 q 1 = p q = r p = k q q 1 h m r = k q q 1 h m + μ ( q m q 1 ) μ m ( q q 1 ) 45
46 funcprot(0); clear; function dpq=f(t, x); m=1; k=0.5; h=1; g=9.81; mu=0.3; q 1 = p q = r p = k q q 1 h m r = k q q 1 h m + μ ( q m q 1 ) μ m ( q q 1 ) dpq(1) = x(3) // x(1)= q 1 x()= q dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =k*(x()-x(1)-h)/m+mu/m*(x(4)-x(3)); dpq(4) =-k*(x()-x(1)-h)/m-mu/m*(x(4)-x(3)); endfunction t = 0:0.01:10 ; y=ode ( [ 0 ; 1.5; 0; 0], 0, t, f ); clf; plot(t', y(1,:),'b'); plot(t', y(,:),'r'); show_window(); ode0.sci 46
47 .3.4. Pl. Kettős inga guruló kocsin nincs surlódás T = 1 M x + M l Mm m 1 l m x + l q cos q + l q sin q + q q x + 1 m 1 x l 1 q cos q + l 1 q sin q T = 1 M x + 1 m x + l q cosq m l q sinq m 1 x l 1 q cosq m 1 l 1 q sinq W = m 1 g l 1 cosq m g l cosq 47
48 T = 1 M x + 1 m W = m 1 g l 1 cosq m g l cosq x + l q cosq + 1 m l q sinq + 1 m 1 x l 1 q cosq + 1 m 1 l 1 q sinq L = T W L = 1 M x m x + l q cosq + l q sinq m 1 x l 1 q cosq + l 1 q sinq m 1 g l 1 cosq + m g l cosq L = 1 M + m 1 + m x + + m l m 1 l 1 x q cosq m 1 l 1 + m l q + sin q + cos q = 1 +(m l m 1 l 1 ) g cosq 48
49 L = 1 M + m 1 + m x + m l m 1 l 1 x q cosq + 1 m 1 l 1 + m l q + (m l m 1 l 1 ) g cosq 1 d dt d dt L x L x = d dt L x = 0 M + m 1 + m x + m l q cosq m 1 l 1 q cosq = = M + m1 + m x + m l ( q cosq q sinq) m 1 l 1 ( q cosq q sinq) L x = 0 d L dt x L x = 0 1 M + m1 + m x + m l ( q cosq q sinq) m 1 l 1 ( q cosq q sinq) = 0 49
50 L = 1 M + m 1 + m x + m l m 1 l 1 x q cosq + 1 m 1 l 1 + m l q + (m l m 1 l 1 ) g cosq d dt d dt L q L q = 0 L q = d dt m l m 1 l 1 x cosq + d dt m 1 l 1 + m l q = = m l m 1 l 1 x cosq m l m 1 l 1 x q sinq + + m 1 l 1 + m l q L q = m l m 1 l 1 x q sinq (m l m 1 l 1 ) g sinq m l m 1 l 1 x cosq + + m 1 l 1 + m l q + +(m l m 1 l 1 ) g sinq = 0 50
51 1 M + m1 + m x + m l ( q cosq q sinq) m 1 l 1 ( q cosq q sinq) = 0 m l m 1 l 1 x cosq + m 1 l 1 + m l q + (m l m 1 l 1 ) g sinq = 0 q + m l m 1 l 1 cosq m 1 l x + m l m 1 l 1 g sinq 1 + m l m 1 l = m l x + m l cosq m 1 l 1 cosq M + m1 + m q = p x = r p = m l m 1 l 1 cosq m 1 l r m l m 1 l 1 g sinq 1 + m l m 1 l 1 + m l r = (m l m 1 l 1 ) cosq M + m1 + m q + + m l sinq m 1 l 1 sinq M + m1 + m p + (m l m 1 l 1 ) sinq M + m1 + m q = 0 p 51
52 q = p x = r p = m l m 1 l 1 cosq m 1 l r m l m 1 l 1 g sinq 1 + m l m 1 l 1 + m l r = (m l m 1 l 1 ) cosq M + m1 + m p + (m l m 1 l 1 ) sinq M + m1 + m MM = m + m 1 + m ML = m l m 1 l 1 MLL = m l + m 1 l 1 AA = BB = ML cosq MLL ML g sinq MLL p = AA r BB (1) / AA () r = CC p + DD () / CC (1) p CC = DD = ML cosq MM ML sinq MM p BB AA DD p = (1 AA CC) CC BB + DD r = (1 CC AA) 5
53 funcprot(0) clear; function dpq=f(t, x) m=1; m1=1; m=; l1=1; l=; g=9.81; MM=m+m1+m; ML=m*l-m1*l1; MLL=m*l*l-m1*l1*l1; AA=ML*cos(x(1))/MLL; BB=ML*g*sin(x(1)); CC=ML*cos(x(1))/MM; DD=-ML*sin(x(1))/MM*x(3)*x(3); dpq(1) = x(3); // x(1)=q x()=x dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =(-BB-AA*DD)/(1-AA*CC); dpq(4) =(CC*BB-DD)/(1-AA*CC); endfunction t = 0:0.01:10 ; y=ode ( [ 0. ; -0.15; 0; 0], 0, t, f ); clf; plot(t', y(1,:),'b'); plot(t', y(,:),'r'); show_window(); ode4.sci 53
54 .4. Elektro-mechanikus Lagrange egyenlet Kirchoff (induktivítás, kapacítás, ellenállás) L T di dt + Q + R I = U(t) C / Idt energia egyenletet eredményez L T I di dt dt + Q C Idt + R I dt = U t I dt A mágneses tér energiája + kondenzátor energiája+ hő = Feszültségnövelés energiája.4.1 A tekercs energiája W L = 0 W L = L T I I 0LT IdI = L T Q Mozgási energia jellegű.4. A kondenzátorban tárolt energia W C = 0 t Q C Idt = 0 Q Q C dq T (I = dq dt ) W c = Q C Potenciális energia jellegű 54
55 .4.3 Joule törvény W hő = 0 t R I dt.4.4 A feszültség mint általános erő L I di dt dt + Q C Idt + R I dt = U t W L = L I = L Q I dt W C = Q C d dt W L Q = L T d Q dt = L T di dt = U W C Q = Q C = U L T di dt + Q C = R I + U(t) Kirchoff L T di dt + Q + R I = U(t) C T U és R I Általános erő jellegű mennyiségek F = R I + U = R Q + U 55
56 .4.5 Kondenzátor kapacitása ε 0 = 1 As 4 π Vm C = ε 0 A c l c.4.6 Tekercs induktivitása L T = μ 0 μ r A T n l T μ 0 = 1, Vs Am influencia konstans lc lt Coulomb törvény n F = vákuum permeabilítás 1 Q 1 Q 4 π ε 0 r 56
57 .4.7 Az egyenlet d helyett b d dt T + W L W c W q j d dt L q j, q j L q j q j, q j q j q 1 = x, q = Q + D = F q j j L = T + W L W C W T + W L W c W q j F = R Q + U(t) + D = F q j j T = m W L = L(x) I x = L(x) Q L = μ 0 μ r A T n l T W L = μ 0 μ r A T l T x l T l T x n Q Q W c = C(x) W = k x C = ε 0 A c l c x W c = Q (l c x) ε 0 A C D = d x F = R I + U = R Q + U 57
58 d dt L q j, q j L q j q j, q j q j + D = F q j j L = T + W L W C W T = m x W L = μ 0 μ r A T l T x n Q W c = Q (t c x) k x W = l T ε 0 A C F = R I + U = R Q + U d L dt x = m x d L dt Q = μ 0 μ r A T l T x n Q l T D x = d x F Q = R Q + U(t) L x = μ 0 μ r A T n + l T Q Q ε 0 A C k x L Q = Q l c x ε 0 A C Q m x + μ 0 μ r A T n l T μ 0 μ r A T l T x n Q l T Q ε 0 A C + k x = d + Q l c x ε 0 A C = R x Q + U(t) 58
59 x = p Q = r Q m x + μ 0 μ r A T n l T μ 0 μ r A T l T x n Q p = μ 0 μ r A T n + k x d m l t ε 0 A C m x l T r = μ 0 μ r A T l T x n Q l c x R r + U(t) ε 0 A C Q l T Q Q + k x = d x ε 0 A C + Q l c x = R Q + U(t) ε 0 A C 59
60 funcprot(0) clear; function dpq=f(t, x) m=100; d=1; mu=e6; ac=0.01; at=0.0001; n=100; k=1000; lc=0.1; lt=0.; e0=1e-11; MD=m; NA=mu*at*n*n/lt/lt; EE=1//e0/ac; R=100; NSZ=lt*lt/mu/at/n/n/(lt-x(1)); dpq(1) = x(3) ; // x(1)= x x()=q dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =-NA//MD*x(4)*x(4)+EE/MD*x()*x()-k/MD*x(1)-d/MD*x(3); dpq(4) =NSZ*(-x()*(lc-x(1))/e0/ac-R*x(4)-*sin(*t)); endfunction t = 0:0.0001:0 ; y=ode ( [ 0.01 ; 0.0; 0.0; 0.0], 0, t, f ) ; clf; plot(t', y(1,:),'b'); plot(t', y(3,:),'r'); show_window(); ode6.sci 60
MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenY speciális feltételeket kielégítő függvények. Keressük azon y x peremeket kielégítő függvényt, melyre Φ y(x) = extrémális (minimális)
.3. Variációszámítás.3.. A funcionál fogalma X tetszőleges halmaz f: X R leépezés funcionál.3.. Variációszámítás fogalma Y speciális feltételeet ielégítő függvénye f: Y R leépezéseivel foglalozi. egyen
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)
DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
RészletesebbenIrányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
Részletesebben1. Vektorterek és lineáris leképezések
1. Vektorterek és lineáris leképezések 1.1. Feladat. Legyenek A, B : R 2 R 2 az A(x, y) = (2x y, y) B(x, y) = ( x, x + y) módon definiált leképezések. Ellenőrizzük, hogy lineárisak és írjuk fel a mátrixukat
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
Részletesebben7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK A földi nehézségi erőtérnek alapvetően fontos szerepe van a geodéziában és a geofizikában. A geofizikában a Föld szerkezetének tanulmányozásában és különféle ásványi nyersanyagok
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenAz alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Részletesebben(kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus)
Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar Alkalmazott Mechanika Tanszék GÉPEK DINAMIKÁJA 2.gyak.hét 1. és 2. Feladat (kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus) Gépek dinamikája - 2. gyakorlat
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenHamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek
Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenTartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés
1_5. Bevezetés Végeselem-módszer Végeselem-módszer 1. A geometriai tartomány (szerkezet) felosztása (véges)elemekre.. Lokális koordináta-rendszer felvétele, kapcsolat a lokális és globális koordinátarendszerek
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenCsuklós mechanizmus tervezése és analízise
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenYBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2.
Óravázlatok: Matematika 2. Bartha Ferenc készültség: March 4, 2003 1. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA Legyen a továbbiakban M R n nyílt halmaz és f : M R valós függvény, x (x 1,.., x n ) M Ha
Részletesebbenmérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenNumerikus matematika
Numerikus matematika Baran Ágnes Gyakorlat Numerikus integrálás Matlab-bal Baran Ágnes Numerikus matematika 8. Gyakorlat 1 / 20 Anoním függvények, function handle Függvényeket definiálhatunk parancssorban
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenMerev testek mechanikája. Szécsi László
Merev testek mechanikája Szécsi László Animáció időfüggés a virtuális világmodellünkben bármely érték lehet időben változó legjellemzőbb: a modell transzformáció időfüggése mozgó tárgyak módszerek az időfüggés
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!
RészletesebbenGÉPEK DINAMIKÁJA 9.gyak.hét 1. és 2. Feladat
Széchenyi István Egyetem Alkalmazott Mechanika Műszaki Tudományi Kar Tanszék GÉPEK DINAMIKÁJA 9.gyak.hét 1. és 2. Feladat (kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus) y k c S x x m x Adatok m kg c
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai
Részletesebbenr a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
Részletesebben