Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Átírás

1 Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk a kri3kus pontok vagy határciklusok stabilitását. Ilyen esetekben a Lyapunov függvény Használata, és a Lyapunov stabiltás analizís segíthet bennünket. 1. Hamilton rendszerekkel fogunk foglalkozni. 2. A Lyapunov stabilitás analizist tanuljuk meg.

2 A Hamilton rendszerek síkban Egy kétdimenziós differenciálegyenlet rendszer egyszabadság fokú Hamilton Kpusú rendszer, ha a következő alakban írható: dx dt = x = H(x, y) y dy dt = y = H(x, y) x ahol H(x,y) mindkét változó szerint kétszer differenciálható függvény. Ezt nevezzük Hamilton függvénynek Egy ilyen rendszer egy H(x,p) egyszabadsági fokú mechanikai rendszerrel ekvivalens. x = H p p = H x A Hamilton függvény felírható mint: H(x, y) = T(x, y) +V(x, y) mozgási energia helyzek energia

3 Egy Hamilton rendszer konzerva3v (az össz energia megmarad egy trajektórián a dinamika során ) dh[x(t), y(t)] dt = H(x,y) x dx dt + H(x, y) y dy dt = H x H y H y H x = 0 H[x(t), y(t)] konstans a trajektóriák mentén Példa: fizikai inga L(θ, θ ) = T(θ, θ ) V(θ, θ ) = m 2 Euler- Lagrange egyenletek θ + g l sin(θ) = 0 d dt d dt ( lθ) mgl( 1 cos(θ) ) L(θ, θ ) θ = L(θ, θ ) θ ml 2 θ + mglsin(θ) = 0 θ = φ φ = g l sin( θ) H(θ,φ) = φ 2 2 g l cos θ ( ) θ l g m

4 A fizikai inga, mint dinamikus rendszernek a tárgyalása θ = φ φ = g l sin( θ) KriKkus pontok: Jacobi mátrix 0 1 g l cos(θ) 0 (nπ,0) Ha n páros Ha n páratlan 0 1 g 0 l 0 1 g 0 l 2π π λ 1,2 = ±i 0 φ g l π 2π 3π θ nemhperbolikus krikkus pont λ 1,2 = ± g l nyeregpontok Trajektóriák: H( θ,φ) = φ 2 görbék 2 g l cos θ ( ) = C

5 nyeregpontok nemhiperbolikus krikkus pont

6 H(x, y) = y 2 ( ) 2 cos x nemhiperbolikus krikkus pontok nyeregpontok

7 Ha adoy az x = f ( x ) síkbeli dinamika, amelynek a Jacobi mátrixa J, akkor azt mondjuk, hogy a krikkus pontok nemelfajultak, ha a J- nek nincs 0 sajátértéke. Ha J- nek 0 a sajátértéke, akkor a krikkus pont elfajult. Tétel: Egy 2d Hamilton rendszer minden nemelfajult kridkus pontja vagy nyeregpont vagy center. Bizonyítás: 2 H x z 0,0 J(0,0) = J 0 = Tételezzük fel, hogy a krikkus pont az O(0,0) origó. A Jacobi mátrix: ( ) 2 H ( ) y 2 0,0 2 H ( 0,0) 2 H x 2 y x ( 0,0) Tr(J 0 ) = 0 det( J 0 ) = 2 H ( 0,0) 2 H 0,0 x 2 y 2 ( ) 2 H x y ( 0,0) 2 Ha det(j 0 ) < 0 det(j 0 ) > 0 nyeregpont center

8 Példák: Határozzuk meg a Hamilton függvényét a követlező dinamikai rendszereknek, és rajzoljuk fel a fázis- portréjukat 1. x = y y = x + x 2 H(x, y) = y 2 2 x 2 2 x 3 3 trajektóriák H(x, y) = C KriKkus pontok: O(0,0) P( 1,0) J = x 0 J P = J 0 = λ 1,2 = ±i center nemhiperbolikus λ 1,2 = ±1 nyeregpont v +1 = 1 1 v 1 = 1 1

9 center nyeregpont

10 2. x = y + x 2 y 2 y = x 2xy H(x, y) = x y x 2 y y 3 3 KriKkus pontok: 2x J = 1 2y 1 2y 2x Trajektóriák: H(x, y) = x 2 O = (0,0) A = (0,1) 2 + y x 2 y y 3 3 B = ( 2, 1 2 ) C = ( 3 2, 1 2 ) 3 = C J 0 = J A = J B = 0 3 J C = λ 1,2 = ±i λ 1,2 = ± 3 v 3 = 1 1 λ 1,2 = ± 3 v 3 = 1 0 λ 1,2 = ± 3 v 3 = 1 3 center nyeregpont v 3 = 1 1 nyeregpont 1 v 3 = 3 nyeregpont v 3 = 1 0

11 center nyeregpontok

12 Tekintsünk egy 2d dinamikus rendszert. Legyen x 0 egy krikkus pont. Ha Λ + (γ) = Λ (γ) = x 0, akkor γ egy homoklinikus orbitál. - egy homoklinikus orbitál egy krikkus pontot önmagával kök össze - Végtelen idejű dinamika kell, hogy az összekötés megvalósuljon homoklinikus orbitál

13 Tekintsünk egy 2d dinamikus rendszert. x 0 y 0 Λ (γ) = y 0 Legyen és két krkkus pont. Ha Λ + (γ) = x 0 és, akkor egy heteroklinikus orbitál. γ Heteroklinikus orbitálok

14 szeparatrix Egy olyan orbitál ami fázissíkot két dinamikailag kalitakven különböző doméniumra ossza A homoklinikus és heteroklinikus orbitálok példák szeparatrix- re

15 Potenciálmódszer a kridkus pontok stabilitásának a viszgálatára x = U x y = U y U(x, y) du dt = U x dx dt + U y potenciálfüggvény dy dt = U x 2 + U 2 y 0 Egy trajektória mentén a potenciálfüggvény csökken. krikkus pontok: x = 0 y = 0 U x = 0 U y = 0 lokális maximumok vagy minimumai a potenciálfüggvénynek lokális maximum lokális minimum instabil krikkus pont stabil krikkus pont

16 Példa x = x x 3 y = y O(0,0) KriKkus pontok: A( 1,0) B(1,0) J = 1 3x J O = λ 1,2 = ±1 nyeregpont J A = λ 1 = 2 λ 2 = 1 stabil nodus V (x, y) = x x y 2 2 J B = λ 1 = 2 λ 2 = 1 stabil nodus dupla potenciálvölgy

17 KriDkus pontok stabilitása x = f ( x ) Ha x (t) egy trajektória a fenk dinamikában Egy x 0 krikkus pont stabil, ha minden ε > 0 - hoz létezik δ > 0 úgy, hogy ha, x (t) x 0 (t) < ε mikor x (t 0 ) x 0 (t 0 ) < δ. t t 0 Egy x 0 krikkus pont asszimptodkusan stabil, ha stabil és létezik η > 0 úgy, hogy lim t x (t) x 0 (t) = 0 ha x (t 0 ) x 0 (t 0 ) < η Egy stabil krikkus pont környezetében a trajektóriák a krikkus pont közelében maradnak Egy asszimptokkusan stabil krikkus pont környezetében a trajetóriák bekonvergálnak a KriKkus pontban

18 Lyapunov függvény és stabilitás vizsgálat Nemhiperbolikus krikkus pontok esetén a Lyapunov stabilitás vizsgálat használható, hogy a krikkus pontok stabilitását vizsgáljuk Lyapunov stabilitás tétele Legyen x = f ( x ) egy dinamika és f folytonosan deriválható. Legyen x 0 egy krikkus pont és E R 2 egy nyílt halmaz amely tartalmazza az x 0 pontot. Tételezzük fel, hogy létezik egy V ( x ) folytonosan deriválható függvény amelyre V ( x 0 ) = 0 V ( x ) > 0ha x x 0 V ( x ) Lyapunov függvény Ilyen esetben, ha d dt V ( x (t)) 0, x 1. E akkor x 0 stabil d dt V ( x (t)) < 0, x 2. E akkor x 0 asszimptokkusan stabil d ( x (t)) > 0, x 3. E akkor instabil x 0 dt V d 4. dt V ( x (t)) ( ) = 0 x E a trajektoriák a ( x ( t) ) = C görbék V

19 Példák: x = y 3 KriKkus pont: O(0,0) minden sajátérték 0 1. y = x 3 nemhiperbolikus krikkus pont a klasszikus stabilitásvizsgálat nem müködik V (x, y) = x 4 + y 4 dv dt = V x dx dt + V y megfelelő Lyapunov függvény dy dt = 4 x 3 y 3 ( ) + 4y 3 x 3 ( ) = 0 A trajektóriák: x 4 + y 4 = C Az O stabil, de nem asszimptokkusan stabil y > 0 x < 0 y < 0 x > 0

20 2. x = y y = x y(1 x 2 ) KriKkus pont: O(0,0) J O = λ 1,2 = 1 2 ± i 3 2 stabil fókusz Lyapunov függvény: V (x, y) = x 2 + y 2 dv dt Ha x <1 = V x dx dt + V y dv dt 0 dy dt = 2y 2 (x 2 1) dv dt = 0 y = 0 x = 0 y = x az y=0 egyenesről a trajektóriák távolodnak Az O pont asszimptokkusan stabil

21 3. x = 8x xy 2 3y 3 y = 2x 2 y + 2xy 2 Bizonyítsuk be, hogy O(0,0) asszimptokkusan stabil krikkus pont J O = λ 1 = 8 λ 2 = 0 Az O krikkus pont nemhiperbolikus V (x, y) = 2x 2 + 3y 2 Legyen: V = 4x( 8x xy 2 3y 3 ) + 6y(2x 2 y + 2xy 2 ) = 8x 2 (y 2 4) V 0 ha y < 2 A trajektóriák mentén végig csökken V ha V(x,y)<12 és V = 0 V < 0 ha ha y < 2 x = 0 x = 3y 3 y = 0 y x a trajektoriák távolodnak az x=0 tengelytől A Lyapunov stabilitás doménium 2x 2 + 3y 2 <12 egy ellipszis belsejében van

22