Y speciális feltételeket kielégítő függvények. Keressük azon y x peremeket kielégítő függvényt, melyre Φ y(x) = extrémális (minimális)

Átírás

1 .3. Variációszámítás.3.. A funcionál fogalma X tetszőleges halmaz f: X R leépezés funcionál.3.. Variációszámítás fogalma Y speciális feltételeet ielégítő függvénye f: Y R leépezéseivel foglalozi. egyen Φ y(x) = x x f x, y x, dy(x) dx y y dx x x y x = y, y x = y dy(x) pl. = dx f x (x, y x ) x Keressü azon y x peremeet ielégítő függvényt, melyre Φ y(x) = extrémális (minimális) dy(x) dx f (x, y x ) dx

2 .3.3. Az Euler-agrange féle differenciálegyenlet Segédtétel F x C 0 x,x és tetszőleges η x C x,x és η x = η x = 0 x Ha aármilyen η x esetén x F(x) η x dx = 0 aor F x 0 Keressü az y(x) peremeet ielégítő függvényt! x Φ y(x) = x f x, y x, y x dx és y x = y, y x = y ami extrémálissá teszi az integrált egyen Y(x) a peremeet ielégítő Y x = y x + ε η x, Y x = y, Y x = y, η x = η x = 0 alaú, így Y x = y x + ε η x így Φ ε x = x f x, Y x, Y x extrémum, ha derivált minimális az ε = 0 helyen dφ(ε) = 0 dε ε=0 y y x dx = x f x, y x + ε η x, y x + ε η x x x η(x) y(x) x x dx

3 dφ(ε) dε dφ(ε) dε ε=0 ε=0 = = x x x x f Y Y ε + f Y Y ε Y x = y x + ε η x Y x = y x + ε η x Φ Y(x) = dx ε=0 = 0 Y = η x, Y = ε ε η x, f f η x + y y η x dx = 0 x f x, Y x, Y x dx x f x, y x + ε η x, y x + ε η x f = f, Y ε=0 y dφ(ε) dε f = f Y ε=0 y ε=0 = 0 x f y η x = f η x y x x x x f x x x d f η x dx dx y u v uv =0 u v mert η x = η x = 0 f y d f dx y y d dx f y = 0 η x dx A segédtétel miatt Euler agrange diff. egyenlet 3

4 .3.4. Két pont özött a legrövidebb görbe f y d f dx y = 0 d f dx y = f x y + f y y y + f y y f f f y x y y y y f y = 0 y lin., változó együtthatós y (x,y ) (x,y ) Φ = x x + y dx f x, y, y = + y y f y = 0, f y = y +y, f x y = 0, f y y = 0, x f y = + y 3 = 0, y = 0, y x = mx + b, mx + b = y, mx + b = y +y y +y = +y +y 3 4

5 .3.4 Másodfajú agrange egyenlete d q j, q j q j, q j = Q dt q j q j j Mozgási energia A potenciálos erő ülön Rayleigh féle disszipációs fv. D d dt q j, q j = T q j, q j q j, q j q j W q j q j, q j q j T = W q j = q j m j= W q j = m i m q i j= m j=,i= m = j= = Q j D q j m j g q j h rugó,i,j q i,j m = C j, f y d f dx y = 0 q j q 5

6 .3.4. Példa Két tömeg T = m q + m q μ m m W = q q h = T W q h q D = μ ( q q ) d dt q i + D = 0 q i q j m q μ ( q q ) q q h = 0 m q + μ ( q q ) + q q h = 0 q = p q = r p = q q h m r = q q h m + μ ( q m q ) μ m ( q q ) 6

7 funcprot(0); clear; function dpq=f(t, x); m=; =0.5; h=; g=9.8; mu=0.3; q = p q = r p = q q h m r = q q h m + μ ( q m q ) μ m ( q q ) dpq() = x(3) // x()= q x()= q dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =*(x()-x()-h)/m+mu/m*(x(4)-x(3)); dpq(4) =-*(x()-x()-h)/m-mu/m*(x(4)-x(3)); endfunction t = 0:0.0:0 ; y=ode ( [ 0 ;.5; 0; 0], 0, t, f ); clf; plot(t', y(,:),'b'); plot(t', y(,:),'r'); show_window(); ode0.sci 7

8 .3.4. Pl. Kettős inga guruló ocsin nincs surlódás T = M x + M l Mm m l + m x + l q cos q + l q sin q + q q x + m x l q cos q + l q sin q T = M x + m x + l q cosq + + m l q sinq + + m x l q cosq + + m l q sinq W = m g l cosq m g l cosq 8

9 T = M x + m W = m g l cosq m g l cosq x + l q cosq + m l q sinq + m x l q cosq + m l q sinq = T W = M x + + m x + l q cosq + l q sinq + + m x l q cosq + l q sinq m g l cosq + m g l cosq = M + m + m x + + m l m l x q cosq + + m l + m l q + sin q + cos q = +(m l m l ) g cosq 9

10 = M + m + m x + m l m l x q cosq + m l + m l q + (m l m l ) g cosq d dt d dt x x = d dt x = 0 M + m + m x + m l q cosq m l q cosq = = M + m + m x + m l ( q cosq q sinq) m l ( q cosq q sinq) x = 0 d dt x x = 0 M + m + m x + m l ( q cosq q sinq) m l ( q cosq q sinq) = 0 0

11 = M + m + m x + m l m l x q cosq + m l + m l q + (m l m l ) g cosq d dt d dt q q = 0 q = d dt m l m l x cosq + d dt m l + m l q = = m l m l x cosq m l m l x q sinq + + m l + m l q q = m l m l x q sinq (m l m l ) g sinq m l m l x cosq + + m l + m l q + +(m l m l ) g sinq = 0

12 M + m + m x + m l ( q cosq q sinq) m l ( q cosq q sinq) = 0 m l m l x cosq + m l + m l q + (m l m l ) g sinq = 0 q + m l m l cosq m l x + m l m l g sinq + m l m l = 0 + m l x + m l cosq m l cosq M + m + m q = p x = r p = m l m l cosq m l r m l m l g sinq + m l m l + m l r = (m l m l ) cosq M + m + m q + + m l sinq m l sinq M + m + m p + (m l m l ) sinq M + m + m q = 0 p

13 q = p x = r p = m l m l cosq m l r m l m l g sinq + m l m l + m l r = (m l m l ) cosq M + m + m p + (m l m l ) sinq M + m + m MM = m + m + m M = m l m l M = m l + m l AA = BB = M cosq M M g sinq M p = AA r BB () / AA () r = CC p + DD () / CC () p CC = DD = M cosq MM M sinq MM p BB AA DD p = ( AA CC) CC BB + DD r = ( CC AA) 3

14 funcprot(0) clear; function dpq=f(t, x) m=; m=; m=; l=; l=; g=9.8; MM=m+m+m; M=m*l-m*l; M=m*l*l-m*l*l; AA=M*cos(x())/M; BB=M*g*sin(x()); CC=M*cos(x())/MM; DD=-M*sin(x())/MM*x(3)*x(3); dpq() = x(3); // x()=q x()=x dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =(-BB-AA*DD)/(-AA*CC); dpq(4) =(CC*BB-DD)/(-AA*CC); endfunction t = 0:0.0:0 ; y=ode ( [ 0. ; -0.5; 0; 0], 0, t, f ); clf; plot(t', y(,:),'b'); plot(t', y(,:),'r'); show_window(); ode4.sci 4

15 .4. Eletro-mechanius agrange egyenlet Kirchoff (indutivítás, apacítás, ellenállás) T di dt + Q + R I = U(t) C / Idt energia egyenletet eredményez T I di dt dt + Q C Idt + R I dt = U t I dt A mágneses tér energiája + ondenzátor energiája+ hő = Feszültségnövelés energiája T.4. A teercs energiája I 0T W = IdI 0 W = T I = T Q Mozgási energia jellegű (I = dq dt ) 5

16 .4. A ondenzátorban tárolt energia W C = 0 t Q Q Q I di dt dt + Q C Idt + R I dt = U t I dt C I dt = 0 C dq míg a ondenzátort 0 ról Q ra töltjü W c = Q C Potenciális energia jellegű.4.3 Joule törvény W hő = 0 t R I dt I di dt dt + Q C Idt + R I dt = U t I dt 6

17 .4.4 A feszültség mint általános erő W = I = Q W C = Q C d dt W Q = T d Q dt = T di dt = U W C Q = Q C = U T di dt + Q C = R I + U(t) I di dt dt + Q C Idt + R I dt = U t I dt /Idt U és R I Általános erő jellegű mennyisége F = R I + U = R Q + U 7

18 .4.5 Kondenzátor apacitása ε 0 = As 4 π Vm C = ε 0 A c t c.4.6 Teercs indutivitása T = μ 0 μ r A T n l T μ 0 =,5 0 6 Vs Am influencia onstans tc lt Coulomb törvény n F = váuum permeabilítás Q Q 4 π ε 0 r 8

19 .4.7 Az egyenlet d helyett b d dt T + W W c W q j d dt q j, q j q j q j, q j q j q = x, q = Q + D = F q j j = T + W W C W T + W W c W q j F = R Q + U(t) + D = F q j j T = m W = (x) I x = (x) Q = μ 0 μ r A T n l T W = μ 0 μ r A T l T x n l T x Q W c = Q C(x) C = ε 0 A c t c x W c = Q (t c x) ε 0 A C W = x D = d x F = R I + U = R Q + U 9

20 d dt q j, q j q j q j, q j q j + D = F q j j = T + W W C W T = m x W = μ 0 μ r A T l T x n Q W c = Q (t c x) x W = ε 0 A C F = R I + U = R Q + U d dt x = m x D x = d x d dt Q = μ 0 μ r A T l T x n x = μ 0 μ r A T n Q Q + Q = Q l c x ε 0 A C Q ε 0 A C x F Q = R Q + U(t) m x + μ 0 μ r A T n Q μ 0 μ r A T l T x n Q ε 0 A C + x = d Q + Q l c x ε 0 A C = R x Q + U(t) 0

21 m x + μ 0 μ r A T n μ 0 μ r A T l T x n x = p Q = r Q p = μ 0 μ r A T n m r = μ 0 μ r A T l T x Q + x = d x ε 0 A C Q + Q l c x = R Q + U(t) ε 0 A C Q Q + x d ε 0 A C m x n Q l c x R r + U(t) ε 0 A C

22 funcprot(0) clear; function dpq=f(t, x) m=00; d=; mu=e6; ac=0.0; at=0.000; n=00; =000; lc=0.; lt=0.; e0=e-; MD=m; NA=mu*at*n*n; EE=//e0/ac; R=00; NSZ=/mu/at/n/n/(lt-x()); dpq() = x(3) ; // x()= x x()=q dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =-NA//MD*x(4)*x(4)+EE/MD*x()*x()-/MD*x()-d/MD*x(3); dpq(4) =NSZ*(-x()*(lc-x())/e0/ac-R*x(4)-*sin(*t)); endfunction t = 0:0.000:0 ; y=ode ( [ 0.0 ; 0.0; 0.0; 0.0], 0, t, f ) ; clf; plot(t', y(,:),'b'); plot(t', y(3,:),'r'); show_window(); ode6.sci

23 3. Peremérté problémá 3. Célbalövés x 0 = 0 x = u cos(α) y 0 = 0 y = g α=? g = y = d dt d y = y dx dx dt = d y dx u cos α = = u cos α d dx y = u cos α d dx = u cos α d dy u cos α dx dx dy dx dx dt = = u cos (α) d y dx d y dx = g u cos (α) y 0 = 0 y = 0 3

24 d y dx = g u cos (α) A megoldás y 0 = 0 y = 0 g x y x = u cos (α) ( x) tan α = sin(α) cos(α) = dy(0) dx = g u cos (α) g sin α = α = arcsin u g u u sin α t g t = 0 u cos α t = u sin α g t t = 0 t = u cos(α) u sin α u sin α = g g sin α = u α = arcsin g u g 4

25 3.. Koncentrált erőel terhelt többtámaszú tartó, a természetes spline Koncentrált erőel terhelt többtámaszú tartó, a nyomatéi ábra szaaszonént lineáris d w( x) dx dw dx 3 M ( x) I E dw( x) 0 dx d w( x) dx M ( x) I E Kis elforduláso 5

26 a nyomatéi ábra szaaszonént lineáris d y( t) dt M ( t) I E P P P 0 φ(t) C P m- P m- P m (t 0,x 0 ), (t,x ),..., (t m,x m ) ponto x=x(t) függvény 6

27 7 0,..., ) ( ) (,..., ), ( ) (,..., ), ( ) ( feltétele illeszedési érvényese az alábbi ahol db m ) ( ), ( )... ( ), ( azinterpolációs feltétele,...,, ), ( ) ( azismeretlen függvénye m m m m m m m g g m g t dt d t dt d m t dt d t dt d m t t t y t y t y t y m t t t t t y

28 m t t t t g t t t t g t dt d,... * * ) ( y t y t ) ( ) ( A harmadfoú görbé másodi deriváltja lineáris étszer integrálva és az integrálási állandó: m- egyenletet írhatun fel az m- ismeretlen (h =t -t - ), a Clapeyron egyenletrendszer y (t) görbé harmadfoú polinomo. 4*m ismeretlen együttható -- m+ peremfeltétel, m- apcsolati feltétel, m- érintő apcsolati feltétel, m+ másodrendű feltétel. 8

29 9 természetesspline függényre. a minimális (extremális) funcionál ) ( aor a 0,..., ) ( és ) : ( 0 0 ], [ t t t t dt t F dt d m x t f C f t f F m 3.. Holliday tétele... ) 6( ) ( m h y y h y y g h g h h g h Mit tegyün, ha nincs általános megoldásun?

30 3.3. Peremérté problémá numerius megoldása 3.3. Másodrendű peremérté feladat visszavezetése ezdetiérté problémára A lineáris eset d y dy + p x + q x y = r x dx dx y a = A y(b) = B K K Helyette ét ezdetiérté feladat d u du + p x + q x u = 0 dx dx u a = 0 d v dv + p x + q x v = r(x) dx dx v a = A du a dx = dv a dx = 0 30

31 d y dx + p x K d u dx + p x dy + q x y = r x y a = A y(b) = B dx du dx + q x u = 0 u a = 0 du a dx = d v dv dx + p x dx + q x v = r(x) v a = A dv a K dx = 0 y x = v x + dy dx = dv dx B v(b) u(b) + B v(b) u(b) d y dx = d v B v(b) + dx u(b) u x Visszahelyettesítve megoldás du dx d u dx a peremérté fa. megoldása d v B v(b) + d u + p x dx u(b) dx dv B v b + dx u b B v b +q x v x + u x = r(x) u b du dx + 3

32 d y dx K + p x d v B v(b) + dx u(b) dy + q x y = r x y a = A y(b) = B dx du dx + q x u = 0 u a = 0 du a d u dx + p x y x = v x + B v(b) u(b) u x d u + p x dx dv B v b + dx u b dx = d v dv dx + p x dx + q x v = r(x) v a = A dv a K dx = 0 du dx + q x v x + B v b u b u x = r(x) K d = r x v dv + p x + q x v x + dx dx B v b + d u du + p x + q x u x = r x u b dx dx K = 0 Megoldás Visszahelyettesítve ielégíti a peremeet y a B v(b) = v a + u a u(b) = 0 = v a = A y b B v(b) = v b + u b u(b) = B 3

33 3.3.. A nemlineáris eset d y dx = f K d y dy x, y, dx Helyette ét ezdetiérté feladat y a = A y(b) = B = f dy dy(a) x, y, y a = A = c dx dx dx 0 y x, a, A, c 0 a ezdetiérté feladat megoldása K d y dx = f y x, a, A, c dy x, y, dx y a = A dy(a) dx = c a ezdetiérté feladat megoldása Olyan c ezdetiérté feladatot ellene megoldani, hogy az ielégítse a b peremet 33

34 A ét megoldás b helyen felvett értéét mint a c paraméter u c függvényét teintve eressü c t, hogy u c (lineáris interpoláció) = B legyen u c = y b, a, A, c A dy(a) dx = c u c c c 0 c c 0 = B u c 0 u c u c 0 B dy(a) dx = c 0 a dy(a) dx = c =? B u c 0 b c = c 0 + c c 0 B u c 0 u c u c 0 c n = c n + c n c n B u c n u c n u c n y x, a, A, c n a özelítő megoldás 34

35 3.3.3 Próbafüggvénye módszere F x, y, dy dx, d y dx = 0 y a = A y b = B egyene u 0 x, u x,, u n x lineárisan függetlene u 0 a = A u 0 b = B u a = 0 u b = 0 =,, n Keresssü a megoldást az alábbi alaban u x = u 0 x + n = c u Kolloáció u x a megadott x, x, x n helyeen elégítse i a x F x, u x, du x dx, d u x dx = 0 =,, n özönséges egyenletrendszert c n db ismeretlenere 35

36 F x, y, dy dx, d y dx = 0 y a = A y b = B u x = u 0 x egisebb négyzete módszere n = c u x F c, c, c n = a b F x, u(c), du(c) dx, d u(c) dx dx = min 36

37 4 Parciális differenciálegyenlete 4. Néhány egyenlet 4... Hővezetés u t = u, x, y, z u= u, x, y, z u + u + u x y z u hőmérsélet eloszlás függvény hővezetési tényző 4... Hullámegyenlet u t = c(u) u = c u u + u + u x y z u elmozdulás c terjedési sebesség 37

38 4..3. aplace egyenlet Φ = 0 Φ x + Φ y + Φ z = 0 Φ hőmérsélet (iegyenlítődés) Poisson egyenlet Φ = ρ Φ + Φ + Φ = ρ ε 0 x y z ε 0 Φ eletrosztatius potenciál, ρ töltéssűrüség ε 0 váum permittivítás Φ = 4 π G ρ Φ + Φ + Φ x y z Φ gravitációs potenciál, ρ tömegsűrüség G gravitációs onstans = 4 π G ρ 38

39 4.. Általános D-s másodrendű lineáris PDE a x, y u x + b x, y u x y + c x, y u y + +d x, y u u + e x, y + g x, y u = f(x, y) x y (x, y)εω Elliptius, ha b a c < 0, (x, y)εω aplace u x + u y = 0 Poisson u x + u = f(x, y) y Parabolius, ha b a c = 0, (x, y)εω Hiperbolius, ha b a c > 0, (x, y)εω Kevert, ha b a c? 0, (x, y)εω u x, y = f x, y x, y Ω Dirichlet peremfeltétel u x, y = f x, y x, y Ω Neumann peremfeltétel 39 n

40 4.3. PDE analitius megoldása Változó szétválasztása ODE sajátérté, sajátvetor probléma Az egydimenziós parabolius egyenlet (hővezetés) u t = u, t u(x, t) x u hőmérsélet eloszlás függvény hővezetési tényző u x, 0 = f x ezdeti érté u 0, t = u 0 (= 0) u, t = u = 0 pereme Próbálju szétválasztani! u x, t = X x T t T 0 = X x = f x ezdeti érté u x, 0 X 0 = u 0 (=0) X = u (= 0) pereme (T(t) 0) = f x u 0, t = u 0 (= 0) u, t = u = 0 40

41 u = u, x t u(x, t) x u x, t = X x T t egyen = állandó! X x x T t T t X x = X x t x T(t) t T(t) = X x Csa aor lehet, ha mindét oldal onstans (-α) T t t T(t) = α T t X x x X x = α X x = e αt = A sin T t t X x x = α T t = α X x α x + B cos α x 4

42 X x = A sin A peremeből X 0 = u 0 = 0 B = 0 X = u = 0 A sin A 0 α x + B cos α x α = n π α = n π α = 0 n =,,0,, Csa a pozitív indexeet használva X n x = a n sin n π x n =,, X n x = a n sin n π x n =, 4

43 T t = e αt α = n π T n t = e n π t X n x = a n sin n = 0,, n π x n = 0,, u n x, t = a n sin n π u x, t = u n x, t n=0 Kezdeti érté x e n π u x, 0 = u n x, 0 = a n sin n=0 n=0 a n = n π x f x sin dx 0 t n π n =,, x = f(x) 43

44 4.3.. Példa u = u(x,t) u 0, t = 0, u, t = 0 f x = 4 x x t x funcprot(0); clear; // a ezdeti fv. deff('[w]=f(x)','w=4*x/*(-x/)'); // integrandus a Fourier egyutthatohoz deff('[w]=g(x)','w=f(x)*sin(n*%pi*x/)'); // Fourier egyutthato deff('[bb]=b(n)','bb=/*intg(0,,g,0.00)'); =; =; bb=[]; for n=:40 bb=[bb b(n)]; end a n = 0 f x sin n π x pde.sci deff('[uu]=u(x,t)',['uu=0';'for j=:40';... 'uu=uu+bb(j)*sin(j*%pi*x/)*exp(-j^*%pi^**t/^)';'end']); xx=[0:0.05:]; tt=[0:0.05:0.5]; uu=feval(xx,tt,u); plot3d(xx,tt,uu,45,45,'x@t@u(x,t)'); show_window(); dx u n x, t = a n sin n π x e n π t 44

45 4.3.. Hullámegyenlet egy dimenzióban u x, t t = c u x, t x c T rugalmas szál esetén, μ T állandó nyomás a szálban μ a vonalmenti sűrűség g E longitudinális rezgésnél ρ g nehézségi gyorsulás E rugalmassági modulus ρ sűrűség u x, 0 = f x ezdeti érté u(x, 0) = g x ezdeti sebesség t u 0, t = u 0 (= 0) u, t = u = 0 pereme 45

46 Próbálju szétválasztani! u x, t = X x T t X x T t t = c X x x u t, x t T t = c u u, x x u x, t vel osztva T t t c X x = x T t X x Csa aor lehet, ha mindét oldal onstans ( α ) T t t + α T t = 0 X x x + α X x = 0 c 46

47 T t t + α T t = 0 T t X x x + α X x = 0 c = C T sin α t + C T cos(α t) X x = C X sin α c x + C X cos( α c x) u 0, t = u 0 (= 0) u, t = u = 0 pereme X 0 = X = 0 C X = 0 C X sin α c = 0 α c n π c α = n π x X n x = sin = n π n = 0,, n = 0,,, 47

48 T n t n π c T t = C T sin α t + C T cos α t α = = C T n n π x u x, 0 = f x ezdeti érté; n π c t sin X(x) = sin n π x u n x, t = sin n π c t C T n sin f x = g x = i=0 i=0 sin C T n sin n π x n π c C T n cos g x = i=0 u(x, 0) t C T n sin + C T n + C T n = g x ezdeti sebesség n π x n π c t n π x C T n π c t cos(n ) π c t cos(n ) n π c n = 0,, n = 0,, n π c t sin( ) n π c 48

49 u x, t = sin f x = C T sin g x = n=0 n=0 n π x u x, t = sin n=0 n π c t a n cos f x = n π x C T sin n π x a n sin b n n π c t n π c n π x sin g x = C T sin n π x n π x a n = n π x f x sin 0 b n = n π c n π x g x sin + C T cos n π c t n = 0,, + b n sin n π c n π c t n = 0,, n = 0,, 49

50 4.3.. Példa u x, t t = c u x, t x u x, 0 = X x u x, 0 t = X x funcprot(0); clear; deff('[w]=f(x)','w=x/*(-x/)'); // a ezdeti fv. deff('[w]=ff(x)','w=f(x)*sin(n*%pi*x/)'); // integrandus a Fourier egyutthatohoz deff('[aa]=a(n)','aa=(/)*intg(0,,ff,0.00)'); // a Fourier egyutthato deff('[w]=g(x)','w=(x/)^*(-x/)'); // a ezdeti seb fv. deff('[w]=gg(x)','w=g(x)*sin(n*%pi*x/)'); // integrandus a Fourier egyutthatohoz deff('[bb]=b(n)','bb=(/(n*%pi*c))*intg(0,,gg,0.00)'); // a Fourier egyutthato c = = 50

51 =; c=; aa=[]; for n=:0 aa = [aa, a(n)]; end; bb=[]; for n=:0 bb = [bb, b(n)]; end; deff('[uu]=u(x,t)',['uu=0';'for n=:0'; 'uu=uu+sin(n*%pi*x/)*(aa(n)*cos(n*%pi*c*t/)+bb(n)*sin(n*%pi*c*t/))'; 'end'] ); x=[0:0.05:]; t=[0:0.:4]; uu=feval(x,t,u); plot3d(x,t,uu,45,45,'x@t@u(x,t)'); show_window(); pde.sci 5

52 aplace egyenlet (állandósult hőmérséleteloszlás) u x, y x + u x, y y = 0 u x, 0 = 0 u 0, y = 0 u x, H = g x u, y = 0 pereme u x, y = X x Y y X(x) x Y y = Y y y X(x) x X(x) = Y y y Y y X(x) Csa aor lehet, ha mindét oldal onstans ( λ ) X(x) x + λ Y y X x = 0 y λ Y y = 0 5

53 X(x) x + λ X x = 0 Y y y λ Y y = 0 X x = C sin λ x + C cos λ x X 0 = 0 X = 0 C = 0 C sin(λ ) = 0 λ = C tetszőleges pl. n π x X x = sin n π y Y y = C 3 cosh Y 0 = 0 C 3 = 0 Y y = C 4 sinh Y y = a n sinh n π y n π y u 0, y = 0 u, y = 0 n = 0,,, + C 4 sinh n π n π y 53

54 v n x, y u x, y = u x, y = = a n sin n= n= u x, H = g x = a n = sinh v n x, y a n sin n= n π H n π x n π x a n sin 0 sinh sinh n π x g x sin n π y n π y sinh n π x n π H dx 54

55 Példa u x, y x + u x, y y = 0 =, H = u x, 0 = 0 u 0, y = 0 u x, H = g x = 00 x x 3 u, y = 0 pde.sci funcprot(0); clear; deff('[w]=g(x)','w=00*x*(-x)^3'); // a ezdeti fv. deff('[w]=gg(x)','w=g(x)*sin(n*%pi*x/)'); // integrandus a Fourier egyutthatohoz deff('[aa]=a(n)','aa=*intg(0,,gg,0.000)/(*sinh(n*%pi*h/))'); // a Fourier egyutthato =; H=; aa=[] ; for n=:0 aa = [aa, a(n)] ; end; deff('[uu]=u(x,y)',['uu=0';'for n=:0'; 'uu=uu+aa(n)*sin(n*%pi*x/)*sinh(n*%pi*y/)';'end'] ); x=[0:/0:]; y=[0:h/0:h]; uu=feval(x,y,u); plot3d(x,y,uu,45,45,'x@y@u(x,y)'); 55 show_window();

56 4.4 Véges differencia módszer 4.4. Magasabbrendű deriválta özelítése Előremenő. diff. h f x = f x + h f(x) Hátramenő. diff. h f x = f x f(x h) Centrális. diff. δ h f x = f x + h f(x h ) Előremenő. diff. h f x = hf x + h h f x = = f x + h f x + h + f(x) Hátremenő. diff. f x = f x f x h + h +f(x h) Centrális. diff. δ f x = f x + h f x + h +f(x h) 56

57 lőremenő n. diff. n h f x = i=0 átremenő n. diff. n h f x = i=0 n i n i f x + n i h n i n i f x i h n Centrális n. diff. δ n h f x = i n i f x + n i h i=0 d n dx n f x δn h f x h n = = i=0 n i n i f x + n i h h n 57

58 4.4. Vegyes másodrendű deriválta özelítése f(x + h, y) f(x h, y) f(x, y) y y x y h f(x + h, y) f x + h, y + h f(x + h, y h) y h f(x h, y) f x h, y + h f(x h, y h) y h f(x, y) x y f x + h, y + h f x + h, y h 4 h f x h, y + h f x h, y h 4 h 58

59 4.4.3 A véges differencia módszer lin. egyenletrendszere a x, y u x + b x, y u x y + c x, y u y + +d x, y u u + e x, y + g x, y u = f(x, y) x y (x i, y j ) a i,j u i+,j u i,j +u i,j h c i,j u i,j+ u i,j +u i,j h u i,j = u(x i, y j ) a i,j = a(x i, y j ) c i,j = c(x i, y j ) b i,j = b(x i, y j ) x = y = h d i,j = d(x i, y j ) e i,j = e(x i, y j ) f i,j = f(x i, y j ) g i,j = g(x i, y j ) + b i,j u i+,j+ u i+,j u i,j+ +u i,j 4 h + + d i,j u i+,j u i,j + h + c i,j u i,j = f i,j i =.. n, j =.. m +e i,j u i,j+ u i,j h u x, y = f x, y x, y Ω Dirichlet peremfeltétel u n x, y = f x, y x, y Ω Neumann peremfeltétel 59

60 A hővezetés egyenlet numerius megoldása u(x, t) = u, x u(x, t) t x u x, 0 = f x ezdeti érté u 0, t = u 0 (t) u, t = u t pereme A pereme nem t től független onstanso! A másodi derivált centrális, az elsőt előremenő özelítéssel u i,j+ u i,j t u i,j+ = u i,j + A stabilitáshoz α<0.5 ell = K u i,j u i,j + u i+,j x u i,j u i,j + u i+,j α = t t j x i 60 x

61 funcprot(0) function [u]=heatpde(xrange, trange, uinit, u0bound, ubound, K) n=length(xrange); m=length(trange); u=zeros(n,m); Dx=(xrange(n)-xrange())/(n-); Dt=(trange(m)-trange())/(m-); u(:,)=uinit'; u(,:)=u0bound; u(n,:)=ubound; alpha=k*dt/(dx)^; for j=:m- for i=:n- u(i,j+)=u(i,j)+alpha*(u(i-,j)-*u(i,j)+u(i+,j)); end end endfunction K=.0; x=[0:0.:]; t=[0:0.005:.5]; u=zeros(x); u0=sin(3*t); u=0.*sin(3*t); [u]=heatpde(x,t,u,u0,u,k); show_window(); HeatPDE.sci 6

62 A Hullámegyenlet numerius megoldása u(x, t) t = c u(x, t) x u x, 0 = f x ezdeti értée u(x, 0) = g(x) t u 0, t = u 0 (t) u, t = u t pereme (nem 0!) A másodi derivált centrális, az elsőt előremenő özelítéssel u i,j u i,j + u i,j+ t = = c u i,j u i,j + u i+,j x α = c t egyen x 6

63 u i,j u i,j + u i,j+ t = c u i,j u i,j + u i+,j x α = c t x u i,j+ = α u i,j + u i+,j + α u i,j u i,j t j u i, = α u i,0 + u i+,0 + α u i,0 u i, Nem ismert u i, u i, u(x, 0) = g(x) = g(x) t t u i, = t g x + u i, i x u i, = α u i,0 + u i+,0 + α u i,0 + t g x u i, u i, = α u i,0 + u i+,0 + α u i,0 + t g x 63

64 funcprot(0) function [u]=wavepde(xrange, trange, uinit, duinit, u0bound, ubound, c) n=length(xrange); m=length(trange); u=zeros(n,m); Dx=(xrange(n)-xrange())/(n-); Dt=(trange(m)-trange())/(m-); u(:,)=uinit'; u(,:)=u0bound; u(n,:)=ubound; alpha=c^*dt^/(dx)^; //elso lepes for i=:n- u(i,)=alpha*(u(i-,)-u(i+,))/+(-alpha)*u(i,)+dt*duinit(i); end //a tobbi lepes for j=:m- for i=:n- u(i,j+)=alpha*(u(i-,j)+u(i+,j))+*(-alpha)*u(i,j)-u(i,j-); end end endfunction x=[0:0.:]; t=[0:0.0:.5]; uinit=x.*(-x) duinit=0.*ones(x) u0=zeros(t); u=zeros(t); c=; [u]=wavepde(x,t,uinit,duinit,u0,u,c); WavePDE.sci 64 show_window();

65 aplace egyenlet numerius megoldása u x, y x + u x, y y = 0 u x, 0 = g 0 (x) u 0, y = h 0 (y) u x, H = g H x u, y = h (y) pereme A másodi derivált centrális özelítéssel u i+,j u i,j + u i,j x + + c u i,j+ u i,j + u i,j y = 0 y j i x u i,j = x u i,j + u i,j+ + y u i,j + u i+,j x + y 65

66 funcprot(0); clear; function [u, ]=aplacepde(xrange, yrange, ux, uxn, uy, uym, epsilon, nmax) n=length(xrange); m=length(yrange); Dx=(xrange(n)-xrange())/(n-); Dy=(yrange(m)-yrange())/(m-); u=ones(n,m); u=ones(n,m); u(:,)=uy'; u(:,m)=uym'; u(,:)=ux; u(n,:)=uxn; for =:nmax //Iteracio e=0; =; for i=:n- for j=,m- u(i,j)=(dx^*(u(i,j-)+u(i,j+))+dy^*(u(i-,j)+u(i+,j)))/(*(dx^+dy^)); if (abs(u(i,j)-u(i,j))>epsilon) then e=e+; end u(i,j)=u(i,j); end; end; if (e==0) then brea; end end; endfunction; x=[0:0.05:]; y=[0:0.05:]; ux=-y^; uxn=-y^; uy=-x^; uym=zeros(x); epsilon= ; nmax=00000; [u,]=aplacepde(x,y,ux,uxn,uy,uym,epsilon,nmax); 66 show_window(); aplacepde.sci

67 5. A végeselem módszer 5. Energia salárszorzat, energia norma Definíció. egyen H Hilbert téren értelmezett A operátor folytonos, orlátos, lineáris és szigorúan pozitív operátor (A:H H). Eor az x, y A = Ax, y salárszorzatot az A operátorhoz tartozó energia-salárszorzatna, az induált normát pedig energianormána nevezzü. x A = 5. Gyenge megoldás Ax, x Definíció. egyen H Hilbert-tér, f H adott vetor és A szimmetrius operátor! Az x H vetort az Ax = f feladat gyenge megoldásána nevezzü ha Ax, y = f, y Ha x az A operátor értelmezési tartományában található, aor a gyenge megoldás egyúttal megoldás is. 67

68 5. A végeselem módszer 5. ineáris, szimmetrius operátoregyenlete energia funcionálja Teintsü az Ax = f differenciálegyenletet! A differenciálegyenletenél A differenciáloperátor Φ(x)= Ax,x - f,x szimmetrius, szigorúan pozitív, lineáris operátor. A függvénye terében a saláris szorzat f, g = f x g x dx Az egyenlethez tartozó vadratius energiafuncionál az alábbi Φ (x) R funcionál: Φ x = Ax, x f, x Tétel: Φ-ne pontosan egy minimumhelye van, és ez éppen az Ax=f megoldása Az Kifejezés az A operátor energia normája. x A = Ax, x 68

69 5. Rugalmas szál f x d y dx = f x x (0,) y x Ay = f y Ψ y = y A < f, y > n < i c i φ i,φ i c i φ i > < i c i φ i,f > = min potenciális energia y x = c i φ i x i= Ψ y =< Ay, y > < f, y > n n Ψ y = A c i φ i x, c j φ j x i= j= n f, c i φ i x i= Ψ y = n n i= j= n Ψ c c = i= c i c j Aφ i x, φ j x f, n i= c i φ i x c i Aφ i x, φ x f, φ x = 0 69

70 Ψ c c = n i= c i Aφ i x, φ x f, φ x = 0 Parciális 0 d φ i x dx φ x dx = 0 dφ i x dx dφ x dx dx = dφ i x dx 0 φ x f x φ i 0 x dx 0 dφ i x y dx dφ x dx dx n c i u= 0 dφ i dx dφ dx dx = f x φ x dx, 0 =,, n A lehajlásfüggvény özelítése 70

71 y x = c i φ i x az alapfüggvénye lin. ombináció φ x = i= x x, x x x x, x x + x, x x x + x, x + 0, egyébént dy dz dx dx dx = f x z x dx 0 0 egyen x x = h, =,, n Ha i=, aor a dφ i dφ i dx dx dx = 0 d dx x x i h + d dx x i+ x h h = h, i =,, n Ha i- =, aor a 0 dφ i dx dφ i+ dx dx = d dx x i+ x h d dx x x i+ h h = h, i =,, n Egyébént ha i > 0 dφ i dx dφ dx dx = 0 i, =,, n 7

72 A merevségi mátrix tehát 0 dφ i dx dφ dx dx = /h /h /h /h 0 /h /h /h /h 0 /h /h /h /h egyen például az f(x) függvény! A jobboldal b = f x φ x dx = x h x x x + x + x h h 0 b = x h x x h b = x h x h + x h x x h x + x x h + x + h + x + h x + h + x h x + x h x x +, h x x + x h + x h =,, n b = x x + x + x h h helyettesítsü x + -x = x -x - = h-val! 0 f x φ x dx = h 7

73 A megoldandó egyenletrendszer h h 0 h h h 0 h 0 0 h h h h h h c c c n = h h h clear; clf db=00; h=/db; for i = ::db for j = ::db if i == j then a(i,j) = /h; elseif abs(i - j)== then a(i,j) = -/h; else a(i,j) = 0; end end end disp(a) for i=::db b(i)=h end disp(b); er=linsolve(a,-b); disp(er); function y=fi(, x) if (x>(-)*h)&(x<=*h) then y=(x-(-)*h)/h; elseif ((x>*h)&(x<(+)*h)) then y=((+)*h-x)/h; else y=0; end endfunction function fv=leh(x) fv=0; for i=::db fv=fv+er(i)*fi(i,t) end endfunction for i=::0 t=(i-)/00 xx(i)=t yy(i)=leh(t) disp (yy(i)) end 73 plot(xx,yy)