Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Átírás

1 Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12

2 Az el adás vázlata Területszámítás Területszámítás Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 2 / 12

3 Az f (x) függvény és az x tengely közti zárt terület Az integrál geometriai értelmezéséb l következik, hogy ha f korlátos és integrálható az [a; b] intervallumon, és f (x) 0, akkor b a f (x) dx annak a síkidom területének a mér számát jelenti, amelyet az f grakonja, az x = a és x = b egyenesek és az x tengely határolnak. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 3 / 12

4 Példák 1 Határozza meg az r sugarú kör területet! 2 Határozza meg az x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 egyenlet ellipszis területet! Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 4 / 12

5 Görbék közé zárt terület meghatározása Legyenek f és g(x) korlátos és integrálható függvények az [a; b] intervallumon, és f (x) g(x) minden x [a; b], akkor az y = f (x) és y = g(x), x = a, x = b által bezárt terület egyenl. T = b a (f (x) g(x)) dx Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 5 / 12

6 Példák 1 Mekkora az f (x) = x 2 és g(x) = 3x 2függvények által bezárt terület nagysága? 2 Számolják ki y = x 2 2x 5 y = x 2 3x + 1 a görbék által közrezárt síkidom területét! 3 Határozzuk meg az x 2 + y 2 = 9 egyenlet kör és az y 2 = 3x egyenlet parabola által meghatározott zárt síkrészek területét! Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 6 / 12

7 A függvény grakonjának ívhossza Legyen f : [a, b] R folytonosan dierenciálható függvény, jelölje Γ a függvény grakonját. Akkor Γ -nak van ívhossza, mégpedig Γ = b a 1 + (f (x)) 2 dx. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 7 / 12

8 Példák 1 Számoljuk ki az f (x) = x 2 függvény ívhosszát az x 1 = 1 és x 2 = 2 pontjai között! 2 Egy egységnyi oldalú négyzet csúcsain bogarak. Egy adott pillanatban elindulnak egyenl sebességgel, mégpedig a következ képpen. Az A csúcson lev bogár a B csúcson lev felé, a B csúcson lev bogár a C csúcson lev felé, a C csúcson lev bogár a D csúcson lev felé, végül a D csúcson lev bogár a A csúcson lev felé. Mennyi utat tesz meg egy bogár a találkozásig? Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 8 / 12

9 Forgástest területe Legyen f : [a, b] R folytonos függvény, akkor a grakonjának az x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástestnek mindig van térfogata, mégpedig b V = π a (f (x)) 2 dx. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 9 / 12

10 Példák 1 Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát! 2 Határozzuk meg annak a testnek a térfogatát, amit úgy kapunk, hogy az x 2 + y 2 = 1 egyenlet ellipszist elforgatjuk az a 2 b 2 x tengely korul. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás / 12

11 A forgástest palástjának felszíne Az [a, b] intervallumon nemnegatív, folytonosan dierenciálható f (x) függvény görbéjének az x tengely körüli megforgatásával kapott forgás test palástjának felszínét az képlettel deniáljuk. b F = 2π a f (x) 1 + (f (x)) 2 dx Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás / 12

12 Példák 1 Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát! 2 Vezessük le az M magasságú, r sugarú egyenes körkúp palástjára vonatkozó kepletet! Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás / 12