Megoldási útmutató. Elektrosztatika

Átírás

1 Megoás útutató Eektosztatka. Meghatáozzuk az E és E téeősség-ektook nagyságát küön-küön (függetenség e) az E = k képet aapján, és beajzojuk a egaott pontokba. Me nkét pontban két eentétes ányú ekto an, az eeő téeősség a két téeősség küönbsége. (e a két pont -tő küönböző táosága an, az eeő téeősség s ás a két pontban!). Meghatáozzuk a pont táoságát a tötésektő, aj az E = k képet aapján küön-küön a téeősségeket. Beajzojuk a két téeősség-ektot az ábába, és paaeogaa ószee összeajuk őket. Me a nagyságuk azonos, az eeő páhuzaos esz a tötéseket összekötő szakassza. z eő téeősség nagyságát p. kosznusz-tétee száíthatjuk k. 3. Me <, ez a pont a tötéseket összekötő egyenesen, -n kíü taáható. Itt ugyans a két téeősség eentétes ányú, és a nagyságuk csak tt ehet egyenő. téeősségek egyenőségébő eghatáozható a pontnak aaeyk tötéstő ét táosága. 4. z aott heyeken feeszünk egy-egy göböt, és akaazzuk á a Gauss-tétet. gáztáoón beü a téeősség zéus, a gáztáoón kíü peg oyan, ntha az összes tötés a középpontjában enne. potencáokat az = E foua aapján az = k képette száíthatjuk k a göbön kíü pontokban. gáztáoón beü a potencá áanó, és a feszín potencájáa egyezk eg. 5. Me a potencá eőjees skaá ennység, a függetenség e aapján a potencáok összeaónak: = k + k. Ebbő kszáítható 6. egosztás att a göbhéj beső feüetén, küső feüetén + tötés esz. Gauss-tétet akaaza E, E, E 3 téeősségek kszáíthatók. E E E E 3 3 potencáokat a téeősség táoság szent ntegájáa kapjuk. féen beü a konstans.

2 3 E E E 3 Ha a göbhéjat eföejük, akko a egosztó tötésse egyneű tötések seegesítőnek, így göbhéj beső feüetén tötés esz, a küső feüetén peg ne esz tötés. göbhéj beső feüetén kíü eatt a téeősség zéus. fégöb besejében s nua a téeősség. göb és göbhéj között ugyanúgy átozk, nt a föeeten esetben egosztás att a féap tötés feő oaa poztí tötésű esz. féapon azonban a tötés ne E E tükötötés E egyenetesen oszk e. egaott köön a téeősség a fé feüetée eőegesen kfeé utat, és a tükötötés segítségée hatáozható eg. E és E a pontszeű tötés téeőssége képetée száítható.

3 8. eez széené, csúcsná feépő csúcshatástó e ke tekntenünk, egyenetes tötéseoszást téteezünk fe. Ha a eezt egy ee páhuzaos oaapú keskeny tégatestte esszük köü, akko a két oaapján épnek k eőegesen eőonaak. Gauss-téte aapján E =, abő a tötés ε kszáítható. λ 9. Egy λ hosszúságú tötésszakasz E = k cosα, a kö síkjáa eőeges ányú téeősséget étesít a egaott pontokban. E kö síkjáa páhuzaos koponensek az ntegáásko kotják egyást. köezető keüetée eégezzük az ntegáást, és α egkapjuk a keesett téeősséget. λ potencá skaá ennység, ezét = k. λ kö keüetée eégeze az ntegáást, egkapjuk a potencát.. Vegyük köü a ezetőt egy sugaú hengee, aeynek a ezető a hossztengeye. z eőonaak a henge paásta eőegesen ennek. Gauss-tétet akaaza egkapjuk a ezetőtő táosága a téeősséget. Me nkét test negatí tötésű, taszítják egyást. aos téeősség éteező egyenetébő az eektona ható eő, Newton II. töényébő peg a kezet gyosuás kszáítható. sebesség kszáításához eőszö a két pont potencáküönbségét ke kszáítan. unkatéte aapján a feszütség áta égzett aos unka egyenő az eekton ozgás enegájának egátozásáa.. z eektoos onzóeő: F e = k gatácós onzóeő: F ga = γ két eőt egyássa eoszta a táoság kesk, és egkapjuk a keesett aányt. z aatok tábázatbó (p.: Négyjegyű függénytábázat) kkeeshetők. köpáyán tatáshoz szükséges centpetás eő egyenő az eektoos onzóeőe. z eekton potencás enegáját egkapjuk, ha a pontszeűnek tekntett potontó táoságban eghatáozzuk a potencát, aj ezt egszoozzuk az eekton tötésée. (Ez egy negatí enega, a a kötött áapotot fejez k.). föet eez a egosztás att a ásk eez tötésée egyenő nagyságú, e eentétes tötésű esz. tötések a onzóeő att a eezek beső feüetén σ heyezkenek e. σ = téeősség E = konstans. ε potencá a föeeten eezen kíü zéus, a eezek között neásan nöekő ( = E ) a eezen kíü konstans. 3. Vegyük köü a köteet egy koaxás hengee, és akaazzuk a Gauss-tétet: E π = Ebbő E eghatáozható. ε E szent ntegája hatáok között egaja a feszütséget.

4 4. Couob-töénybő kszáíthatjuk a kezet onzóeő nagyságát, és ezze Newton II. töénye aapján száítható a kezet gyosuás. = k képetbő egkapjuk a két pont között feszütséget, abő kszáíthatjuk a égzett unkát, aj a unkatétebő az eét sebességet ( testen égzett unka egyenő a ozgás enegája egátozásáa.) 5. Egyensúy heyzetben a gyűűe ható eeő eő a köíe eőeges, tehát sugá ányú esz. eők feíhatók Couob-töénnye: α α F tgα = F z egyenő száú háoszög szögfeezőjét eghúza tgα = Ebbő a két egyenetbő a táoságok aánya kfejezhető a tötésekke, aj kszáítható a keesett szög. 6. geoeta aatokbó kszáítható a tötések táosága. ízszntes Couob-eő és a függőeges nehézség eő eeőjének fonaányúnak ke enne. Ebbő a fetétebő a tötés eghatáozható. 7. tötés-szétáasztás ag tat, aíg az nukát téeősség a küső téeősségge egyenő ne esz, et ekko esz a fé E nukát + E küső besejében a aos téeősség nua. = Eε 8. z aufóát fébe ke ágn, átenn egy azonos éetű űanyag fóát, ásk aufóát, ásk űanyag fóát, aj feteken. z így készített konenzáto fegyezetenek nkét oaa hasznos a tötéstáoás szepontjábó. kapactás: C = ε ε táot tötés: =C 9. táot enega: C = ε, =C, a eezek között téeősség W = C E = Ha beteszünk egy féeezt a geneátoó eáasztott konenzátoba, akko az eeeteg tötött eezek tötése átozatan aa, a betett eezben peg egosztás jön éte. szgeteőben a téeősség átozatan aa. x keetkezett észkonenzáto feszütsége: x = E, a széső eezek között peg y = x. téeősség kíü és a eezekben nua, a szgeteőben peg konstans.. Ebben az esetben a geneáto áanó feszütséget bztosít, és ezét a eezek tötése, aant a eezek között aos téeősség átozk. Kszáítjuk a két soba kapcsot konenzáto eeő kapactását a geoeta aatokbó, aj eghatáozzuk a

5 táot tötést. soba kapcsot konenzátook eezen a egosztás att a tötés azonos, tehát enny az nukát tötés s.. Ez a ensze 3 soba kapcsot konenzátonak teknthető a szgeteő ap betétee után. geneáto áanó feszütséget bztosít. Kszáítjuk a 3 soba kapcsot konenzáto eeő kapactását a geoeta aatokbó, aj eghatáozzuk a táot tötést. soba kapcsot konenzátook eezen a tötés azonos, tehát enny a poazácós tötés s.. föet henge beső feüetén tötés esz. Gauss-tétet akaaza egkapjuk a aos téeősséget a táoság függényében. Ennek ntegája aja a hengekonenzáto feszütségét. 3. hengekonenzáto kapactását az eőző feaat aapján eezethetjük, agy πε akaazhatjuk a C = képetet, aj a kapactás éteező egyenetébő n egkapjuk a táot tötést. 4. páhuzaosan kötött konenzátook (C, C ) kapactása összeaók, Ezek eeőjée an soba köte C 3. z eő kapactás C = C C3. soba kapcsot konenzátook tötése áanó: = = 3 C. Ezze a tötésse 3 kszáítható. páhuzaosan kapcsot konenzátook feszütsége közös, és kszáítható a huoktöénybő, agy az eő kapactásuk (C ) és segítségée. Tötéseket a feszütség és a saját kapactás hatáozza eg. táot enegákat a W = C képette száíthatjuk. 5. Két-két konenzáto, C és C 3 aant C és C 4 páhuzaosan annak kapcsoa, ezek eeő peg soos kapcsoásúak. z eeő kapactásbó és a geneáto feszütségébő kszáítható C és C 3, ete C és C 4 össztötése (soos konenzátook tötése közös): = 3 = 4 = C páhuzaosan kapcsot konenzátook közös feszütsége a tötésük és eeő 3 kapactásuk seetében kszáítható: 3 =. feszütség és kapactás C3 seetében a konenzáto tötése hatáozható eg: = C3 táot enegákat a W = C képette száíthatjuk. 6. Egy csúcspontban eő tötése a ásk 3 tötés átó ányú taszító eeő eőt fejt k. z eőket egyenként kszáítjuk, aj ektoásan összegezzük. centuba heyezett tötésnek negatínak ke enne, hogy ezt az eeő eőt kegyensúyozza. z eők egyensúyábó a tötés kszáítható. 7. z eeeteg nyugó észecske a taszítás att gyosun kez, a kezetben ozgó peg fékezőn (assun). g közeenek egyáshoz, aíg a sebességük közös ne esz, ezután á táoonak egyástó. Ez egy zát echanka ensze, tehát éényes a enüet-egaaás téte: = k. Ebbő a közös sebesség kszáítható. Megaa a ensze összes enegája s, a kezetben a ozgó észecske ozgás enegája, a átaaku a két észecske ozgás enegájáá és az egyáshoz szonyított potencás enegáá: = k + k. Ebbő kszáítható.

6 8. szgeteő beakása után a kapactás: C = ε ε. geneáto áanó feszütséget bztosít. téeősség: E =, a táot enega: W = C. 9. szgeteő beakása eőtt a kapactás C = ε, utána a kapactás: C = ε ε. táot tötés: =C, a eezek között aos téeősség peg E =. Me a konenzátot a geneátoó eáasztottuk, a tötés és a aos téeősség áanó. feszütség így =, a táot enega: W = C. C 3. Kszáítjuk a =C képette a konenzátook eeet tötéset. páhuzaos kapcsoás att az eeő kapactás a észkapactások összege. z eő kapactáson jeenk eg az összes tötés. Ebbő a közös feszütség kszáítható. 3. geoeta éetekbő kszáíthatjuk a konenzáto kapactását. táot enega W=,5C W W. z enegasűűség: w = = V z enegasűűség kfejezhető a téeősségge és a eektoos etoássa: w = ED = D. Ebbő kszáítható a eektoos etoás, eynek nagysága a ε hatáfeüeten egegyezk a feüet tötéssűűségge. 3. gyosító feszütség áta égzett aos unka egyenő az eekton ozgás enegájának egátozásáa: gye = e Ebbő az eekton sebessége () kszáítható. eezekke páhuzaos ányú α sebessége áanó, ezét és az y hosszúság seetében kszáítható a epüés ő: t =, aj az y ányú Ee Ee sebesség: y = at = t = e e y z etéüés szöge az ába aapján kszáítható ( tgα = Egyenáaú háózatok 33. Átajzoás után azt kapjuk, hogy a kω, 3 kω és 4 kω eenáások páhuzaosan kω V kω 3 kω 4 kω annak köte, ezek eeőjée peg az kω-os eenáás soba an kapcsoa. z eeő eenáás kszáítása után az Ohtöénybő kszáíthatjuk a geneáto áaát, aj a P=I képetbő a tejesítényét s. =I 34. z eenááson fejőő hőennység: = t ε

7 34. Egy geneáto eaott tejesíténye akko axás, ha a beső eenáása egyenő a teheő eenáássa (esztés). páhuzaosan kötött eenáások eeőjének képetébő tehát az egyk eenáás és az eeő set, a ásk kszáítható. geneáto áaa ekko I =, a hasznos tejesítény peg P=I b. b 35. tehet potencoétené az 5 Ω-os eenáássa páhuzaosan kapcsoók a pot aott százaékú eenáása. Ezek eeője soba kapcsoók a apot aaék észée és a Ω-os eenáássa. z áaot a 4 V-os feszütségbő é az eeő eenáásbó Oh töénye aapján száíthatjuk. kenet feszütség az áa és a páhuzaos eenáások eeőjének szozataként száítható Ω-os, 5 Ω-os és Ω-os eenáások páhuzaosan kapcsoónak, és ezek eeőjée soba kapcsoók a Ω-os eenáás. geneáto feszütségébő és az eeő eenáásbó száítható a geneáto áaa és tejesíténye. z áa, és a páhuzaos eenáások eeőjének szozata egaja a Ω-os eenáás feszütségét (páhuzaos kapcsoásná a feszütség közös!). Ebbő az áaa és a tejesíténye eghatáozható. 37. eeg eenáás t =. z t = (+ αδt) összefüggésbé a P hőéséketküönbség, ebbő peg az zzás hőésékete kszáítható. 38. szobahőéséketű eenáást az eőző feaathoz hasonóan hatáozhatjuk eg. Ezután az = ρ képetbő száíthatjuk a keesztetszetet. 39. ezeték eenáása: = ρ. z áaeősség: I = ezeték téfogata: V=. ezeték töege: = ρ V ézatook és a szaba eektonok száa: szaba eektonok tötéssűűsége: ρ = z ekpatcó téte aapján: kszáítható. 3 kt Ne V e T z áaeősség a ftsebességge feía: N = N M =, és ebbő a tekus sebesség I = Ne D, eybő a ftsebesség eghatáozható. Ee e z eektoos té két ütközés között gyosítja a szaba eektonokat : a = =. e e gyosítás ő a szaba úthosszbó és a tekus sebességbő száítható, et a λ tekus sebesség sokka nagyobb a ftsebességné: t = Ütközésko az eektonok eaják az enegájukat, így az átagos ftsebesség: at D = T

8 τ 4. τ=c. IC = e t Konenzáto feszütsége és áaa t[us] c [V] [] C = ( e t τ ) Statkus ágneses té 4. gyosító feszütség unkája ozgás enegáá aaku: e=.5. ágneses tében az eektona a ágneses Loentz-eő hat, a a köpáyán aaáshoz szükséges centpetás eőt bztosítja: eb= / Mnkét összefüggésben a fajagos tötés (e/) szeepe. Me a Loentz-eő eőeges a sebessége, csak a ozgás ányát átoztatja eg, e ne átoztatja eg a sebesség nagyságát. z egyenetes köozgás sebességének és sugaának seetében a peóuső és a fouatszá kszáítható. 4. Teészetesen a feaat csak a ágneses eőe onatkozk, a nehézség eő ezekbő az aatokbó ne hatáozható eg. z eentétes ányú áaok egyása taszító eőt fejtenek k. z I áa a ásk ezetőné B =μ I /π nukcót étesít, a a ásk ezetőe F=BBI ágneses Loentz-eőt fejt k. hatás-eenhatás töény éteében nkét ezetéke ekkoa eő hat. 43. ezeték keesztetszetébő kszáítható az átéője. z N enetű tekecs hossza =N* ez. tekecs besejében az nukcó: NI B = μ, a függeten a enetszátó. Me a ezeték eőeges az nukcóa ágneses Loenz-eő képetébő az eő száítható. 44. z I áaú ezetőe páhuzaos ezetékeke ható eő az F= B I képette száítható. táoabb ezetéke ksebb eő hat. z I -e eőeges ezetékek entén az nukcó ne áanó, ezét az eő nagysága ntegáa száítható: x+ z μ + F = II π x z I áaú ezetőe ezen eők eeőjének eeneeje hat, a a ezetőe eőeges eők küönbsége. 45. ögzített tekecs aatabó kszáíthatjuk a ágneses nukcó nagyságát, a a tengeyée páhuzaos ányú. Ennek a engő tekecs tengeyée páhuzaos koponense B =Bsn3. engő tekecse ható ktéítő nyoaték: M=B N I. I I F

9 46. z nukcó nenütt eőeges a ezetőkeete, e a nagysága a ezetőtő x+ a μ táooa csökken. fuxus így ntegáássa száítható: Φ = ai π x 47. ágneses kö (fuxuscső) áanó keesztetszete att a ágneses nukcó s nenütt azonos, a a fuxusbó és a keesztetszetbő száítható. z nukcóbó a peeabtásokka száítható a ágneses téeősség a asban,. a égésben. gejesztés töénybő kszáíthatjuk a enetszáot. 48. z áa x hosszúságú észée az ábán átható ányú F=BIx nagyságú eő hat, a a tengeye M=xF ee fogatónyoatékot fejt k. Ennek B ntegája aja a tácsáa ható fogatónyoatékot. x I F 49. Depez (öpé) űsze égésében a ágneses nukcó aásan hoogén (nenütt sugá ányú, et a asbó az nukcóonaak a feüete eőegesen épnek k,. be, és a nagysága áanó), ezét M=BNI. gyanekkoa sszatéítő nyoatékot fejt k a tozós ugó egyensúy heyzetben: M=C α 5. Kszáítjuk a tekecs keesztetszetét. NI Φ = μ.és =NI 5. z a ábán az egyenes ezető és a I I köezető ágneses nukcója a köezető középpontjában azonos ányú, íg a b ábán eentétes ányúak. Küön-küön kszáítjuk az nukcókat, aj eőjeesen összegezzük. B B k B e a.) ába b.) ába 5. szaggatott onaakka ajzot sugaaka eőeges nukcókat kszáítjuk, aj a paaeogaa ószee összegezzük. P I B B I P