17. tétel A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "17. tétel A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög."

Árpád Kelemen
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 17. tétel kö és észei, kö és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometiai tágyalásban). Keületi szög, középponti szög, látószög. Def: Kö: egy adott ponttól egyenlő távolsága levő pontok halmaza a síkon. z adott pont a kö középpontja, a távolság a sugaa. köt lehet éteni kövonalnak, vagy kölemeznek (ami síkidom: a kövonal és az azon belüli pontok.) Def: Hú: a kövonal két különböző pontját összekötő szakasz. Tétel: hú felezőmeőlegese átmegy a kö középpontján. izonyítás: Legyen hú felezőpontja F. Kössük össze F-et K-val. Ekko állítjuk, hogy KF meőleges -e KF a hú felezőmeőlegese. Ennek bizonyításához kössük össze K- t -val és -vel! K=K=. KF KF, met mindháom oldaluk egyenlő. FK = FK, de FK + FK = 180 FK = FK = 90. Q.E.D. megfelelő szögeik is egyenlőek. K F Def: Átméő: az a hú, amely átmegy a kö középpontján. z átméő a leghosszabb hú, hossza a sugá kétszeese, két egyenlő teületű észe osztja a köt. Def: Köív: a kövonalat két különböző pontja két köíve osztja. Def: Középponti szög: olyan szög, amelynek csúcsa a kö középpontja, a száai ugyanannak a könek a sugaaia illeszkednek. Egy középponti szöghöz egy köív tatozik (amelyik a szögtatományban van), egy köívhez pedig egyetlen középponti szög. K Def: Keületi szög: olyan szög, amelynek csúcsa a kövonalon van, száai ugyanannak a könek a hújai. Egy keületi szöghöz egy köív tatozik, egy köívhez viszont végtelen sok keületi szög. Tétel: középponti szög nagysága egyenesen aányos a hozzá tatozó köív hosszával,és a köcikk teületével. Def: Köcikk: a kölemezt két különböző sugaa két köcikke osztja. köcikk a kölemeznek a két sugá és a köztük levő köív által hatáolt észe. Egy iányszögű, i ívhosszúságú köcikk teülete: T c = i = α = α 360 π i 1. oldal

2 h m i Def: Köszelet: a kölemezt egy hú két köszelete osztja. köszelet a kölemeznek egy hú és a kövonal által hatáolt észe. T = i h ( m) i: ívhossz h: hú hossza m: a köszelet magassága félkö egy olyan speciális síkidom, amely köcikk és köszelet is egyszee. kö keülete:k = π (iacionális szám, a kö keületének és átméőjének állandó aánya) kö teülete: T = π Ezeket az összefüggéseket közelítő étékekkel számolták ki: egye nagyobb csúcsszámú sokszögek keülete és teülete egye jobban tat a kö keülete és teülete felé. Éintési pontba húzott sugá: az éintési pontba húzott sugá meőleges az éintőe. Keületi és középponti szögek tétele: zonos ívhez tatozó középponti szög nagysága kétszeese a keületi szög nagyságának. Kitejesztése 1 : Egy köben levő adott ívhez tatozó középponti szög nagysága kétszeese az ugyanakkoa sugaú köben azonos hosszúságú ívhez tatozó keületi szögek nagyságának. Keületi szögek tétele: azonos ívhez tatozó keületi szögek nagysága egyenlő. Kitejesztése: azonos sugaú köökben azonos ívhez tatozó keületi szögek nagysága egyenlő. Indoklás: egy adott hosszúságú köívhez (azonos sugaú köökben) csak egy középponti szög tatozik, ez kétszeese a keületi szögnek, így a keületi szögek biztosan ugyanakkoák. Def: Látóköív: azon pontok halmaza a síkon, amelyekből egy adott szakasz adott szög alatt látszik.. oldal

3 Éintő száú keületi szög tétele: az ív végpontjait összekötő hú és az éintő által bezát szög ugyanakkoa, mint az ívhez tatozó keületi (ahol az ív a kijelölt szögtatományba esik. ((izonyítás: 1. eset: α < 90 ehúzzuk az ív végpontjaiból a kö sugaait. Így egy egyenlő száú háomszög keletkezik (O ) alapon fekvő szögei egyenlők. (O a keületi és középponti szögek tétele miatt ) O = O = 180 α = 90 α O Mivel az éintési pontba húzott sugá meőleges az éintőe: φ = α = α = αφ = α. eset: > 90 O Vegyük kiegészítőszögét (ez a másik ívhez tatozik) 180 α z ehhez tatozó középponti szög: 180 α = 360 α O egyenlő száú, alapon fekvő szögei egyenlők: O = O = 180 (360 α) = 180 +α = α 90 z éintési pontba húzott sugá meőleges az éintőe, tehát: φ = 90 + α 90 = α = αφ = α 3. eset: α = 90 Ebben az esetben hú egybeesik a kö átméőjével, ami deékszöget zá be az éintővel. (180 -os a középponti szög.))) KÖR ÉS EGYENES KÖLCSÖNÖS HELYZETE Elkeülő: ilyenko a sugá kisebb, mint a kö középpontjának és az egyenesnek a távolsága. d e; K > Nincs közös pont Éintő: ekko a sugá ugyanakkoa, mint a kö középpontjának és az egyenesnek a távolsága. d e; K = Egy közös pont van. Metsző: az egyenes és a kö középpontjának távolsága kisebb, mint a kö sugaa. Ennek egy speciális esete, amiko az egyenes átmegy a kö középpontján, tehát a távolság 0 és K e.d(e; k) < közös pont van. 3. oldal

4 Tétel 1 : Köhöz húzott éintő szakaszok tétele: Egy adott pontból a köhöz húzott éintési szakaszok egyenlő hosszúságúak. JULI, IDE ÁR LS!!!!! E Tétel : köhöz húzott éintő és szelőszakaszok tétele: köhöz adott pontból húzott éintőszakasz métani közepe az ugyanabból apontból húzott szelő két szakaszának, azaz E =. izonyítás:kössük össze E-t -val és - vel. az E ívhez tatozó keületi szög. E az ugyanehhez az ívhez tatozó éintőszáú keületi szög. φ e a b E =. E ~ E (met szögük egyenlő, φ, ) = E / E E E = E,, > 0,met szakaszok E =. Tétel 3 : Köhöz adott pontból húzott szelőszakaszok tétele: dott köhöz adott külső pontból húzott szelőszakaszok hosszának szozata állandó, azaz 1 1 =. (Ez következménye az előző tételnek. 1 1 = = E ) (Diekt) bizonyítás:kössük össze 1 - et - vel és - t 1 - el! Ekko 1 1 = = 1, met az 1 ívhez tatozó keületi szögek. 1 1 φ 1 ~ 1 met szögük egyenlő (φ, ). 1 = =. tétel akko is évényes, ha a a köön belül van: Áll: 1 1 =. izonyítás: 1 = α = 1, met az 1 ívhez tatozó keületi szögek. 1 = 1, met csúcsszögek. 1 ~ 1, met szögük egyenlő. 1 = =. 1 α α 1 4. oldal

5 lkalmazások keék, mint kö (minimális súlódás az alakja miatt, hiszen csak egy pontban éintkezik a síkkal) bicikliláncnál közös külső éintők felhasználása a lánc hosszának kiszámításako keületi és középponti szögek tétele: húnégyszög-tétel bizonyításában külső pontból húzott éintők: éintőnégyszög-tétel bizonyításában látóköív: hajózásban, csillagászatban, helymeghatáozásban építészetben a kö használata a szimmetia miatt, valamint amiatt, met a teülete maximális a keülethez képest centifuga kömozgást végez kipéseli a vizet kömozgás centipetális eő (középpont felé) éintő iányú eő tubinák, otook űállomás Egyenlítőnél nagyobb a keületi sebesség 5. oldal

Hasonló dokumentumok

IV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok

IV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok Tigonometia Szögek átváltása fokól adiána és fodítva 5 a) 80 ; 90 ; 0 ; 5 ;,5 b) 0 ; 50; 5 ; 0 ; 0 57 a) 00 ; 5 ; ; 70 ; 5 b) 80 57,9 ;,9 ; 9,79 ;,7 ;, 58 a),59 ; 0, ;, ; 8, ; 07, b) 85, ; 8,0 ; 9,50 ;