CIKLOIS TÍPUSÚ GÖRBÉK ÁBRÁZOLÁSA GEOGEBRÁVAL

Átírás

1 CIKLOIS TÍPUSÚ GÖRBÉK ÁBRÁZOLÁSA GEOGEBRÁVAL SZAKDOLGOZAT Készítette: Szabó Katalin, tanái szakiányos hallgató Matematika BSc Témavezető: Csikós Balázs egyetemi docens Geometiai Tanszék Eötvös Loánd Tudományegyetem Temészettudományi Ka Budapest, 2011

2 Tatalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A GeoGeba és a paaméteezett göbék A GeoGeba pogam Paaméteezett göbék ábázolása GeoGebával Ciklois típusú göbék Ruletták Cikloisok Nyújtott és zsugoított cikloisok Epi- és hipocikloisok Ciklois típusú göbéket létehozó mozgás animálása Az epi-és hipocikloisok néhány édekes tulajdonsága Speciális esetek Módszetani megjegyzések 35 Köszönetnyilvánítás

3 1. fejezet Bevezetés Szakdolgozatomban a ciklois típusú göbéket fogom tágyalni, a szemléltetéshez felhasználva a GeoGebát. Abban biztos voltam, hogy valamilyen számítógépes pogam használatát szeetném beépíteni a dolgozatba, elsősoban azét, met infomatika a mino szakom. Másik pogamot is választhattam volna, de úgy gondolom, hogy a GeoGeba egy taná, főleg egy matematikataná számáa fontos eszköz lehet az óán. Mivel ezelőtt még nem volt lehetőségem jobban megismeni, ezét úgy gondoltam, itt a kiváló alkalom, és később talán pofitálhatok ebből. Így esett a választás a GeoGebáa, és témavezetőm ajánlásáa a má említett göbéke. Egyetemi tanulmányaim soán nemegysze találkoztam az egyszeű cikloissal különböző kuzusokon, és mivel édekelt a téma, öültem neki, hogy mélyebben is megismekedhetem vele. A választásban az is motivált, hogy témavezetőm felsoolt pá olyan példát, hogy életünkben hol találkozhatunk ilyen típusú göbékkel. Főleg ezek keltették fel az édeklődésemet a téma iánt. Legelőszö a Geo- Geba nevű pogamot ismetetem öviden. Fontos tisztázni, hogy milyen módon tudjuk a göbéket kiajzoltatni a segítségével, ee több lehetőség is adódik. Bővebben a paaméteezett göbék kiajzolásával fogok foglalkozni, éppen ezét leíom, hogy mit is étünk paaméteezett göbén. Ismetetni fogom az egyszeű cikloist, és annak néhány fontos tulajdonságát, szó lesz a nyújtott és zsugoított cikloisól, majd az epi-és hipocikloisokól, azok nyújtott és zsugoított fajtájáól. Vannak olyan speciális esetei ezeknek a göbéknek, amelyeket külön kiemelek. Az utolsó fejezetben a GeoGeba használatának fontosságáól, hasznosságáól beszélek majd, illetve aól, hogy milyen előnyei lehetnek egy taná számáa. 3

4 2. fejezet A GeoGeba és a paaméteezett göbék 2.1. A GeoGeba pogam A GeoGeba egy dinamikus matematikai segédpogam. Témájáól má a neve is áulkodik: Geo, mint geometia és Geba, mint algeba. Makus Hohenwate fejlesztette ki, az Ausztiai Salzbug Egyetemen köülbelül 10 évvel ezelőtt, és még ma is ő tatja kézben a fejlesztését. Eedetileg egy diplomamunka észe volt, de övid időn belül nyilvánvalóvá vált, hogy édemes vele foglalkozni, s továbbfejleszteni. Az olyan geometiai szoftveek segítségével, mint a GeoGeba, ugyanolyan módon, elven végezhetünk szekesztéseket, mint azt má megszoktuk, papí, ceuza és más segédeszközök használatával. Az így elkészített szekesztések bázispontoka épülnek, melyek mozgatásával megváltoztatható a szekesztett ába, a változásokat pedig könnyedén nyomon tudjuk követni. Amiko elindítjuk a pogamot, a menüsoon kívül két ablakot láthatunk. Az egyik szolgál az algebai kifejezések megjelenítésée, a másikban, melyet Rajzlapnak hívunk, ezek geometia megfelelői jelennek meg. Ez is komoly előnye a pogamnak, hiszen lehetővé teszi számunka, hogy egyszee lássuk a különböző alakzatok, egyenesek, pontok algebai és geometiai megfelelőit. Aká a menüso használatával ajzolunk, aká egy képlettel, koodinátákkal adunk meg valamit, ezek megfelelőit mindkét ablakban láthatjuk egyszee. Miután elvégeztünk egy szekesztést, lehetőségünk van a lépések visszajátszásáa, valamint aa is, hogy olyan szekesztéseket, amelyek eedetileg nem szeepelnek a GeoGeba eszköztáában megtaníthassunk a pogamnak. Ezt eszköz létehozásával tehetjük meg. A pogamablak alsó észén található paancssoban szöveges utasításokat tudunk a billentyűzetől bevinni. Vannak úgynevezett szabad, illetve függő alakzatok. A szabad alakzatokat bámiko megváltoztathatjuk, például ha új étéket adunk nekik az algebai 4

5 ablakban, hiszen nem függnek semmilyen más alakzattól sem. A függő alakzatok viszont nem változtathatóak meg. A paancssoban megadhatunk számokat, szögeket, pontokat, egyeneseket, vektookat, szakaszokat, függvényeket, illetve kúpszeleteket koodinátáikkal, vagy egyenleteikkel. Ezek megadásáa különböző beépített paancsok szolgálnak. A paancsok segítségével meg tudunk változtatni má meglévő alakzatokat, vagy újakat hozhatunk léte. Temészetesen ezeket nem magunktól kell kitalálnunk, a paancsso mellett a jobb oldalon láthatunk egy legögető sávot, ahol kényelmesen kiválaszthatjuk a számunka megfelelő, használni kívánt utasítást. Akko sincs pobléma, ha nem tudjuk, milyen adatokat kell megadnunk a paancson belül, met ha valamit elontottunk, akko hibaüzenetet kapunk a pogamtól, amelyben tájékoztat bennünket az elkövetett hibáól, illetve leolvashatjuk az agumentumok számát, amelyeket kötelezően meg kell adni, és azt is, hogy mik ezek soendben Paaméteezett göbék ábázolása GeoGebával Egy göbét többféleképpen is megadhatunk. Definiálható egy göbe métani helyként, függvény gafikonjaként, vagy általánosabban egy paaméteezett göbe képhalmazaként Definíció. R n -beli paaméteezett göbének nevezünk egy γ : I R n leképezést, ahol I R intevallum. n = 2 esetén síkgöbéől, n = 3 esetén tégöbéől beszélünk.) Definíció. A γ paaméteezett göbe k-szo folytonosan diffeenciálható, ha a γ leképezés k-szo folytonosan diffeenciálható. k = 0, 1,..., ) Definíció. γ paaméteezett göbe eguláis a t 0 I pontban, ha γ t 0 ) Definíció. γ paaméteezett göbe szinguláis a t 0 I pontban, ha γ t 0 ) = Definíció. γ paaméteezett göbe eguláis, ha γ t) 0 minden t I esetén Definíció. Egy γ paaméteezett göbe pályája/képhalmaza az im γ halmaz. γ paaméteezi az A halmazt, ha A = im γ Definíció. Egyszeű göbeívnek nevezünk egy olyan ponthalmazt R n -ben, melynek létezik folytonos és kölcsönösen egyételmű γ : [a, b] R n paaméteezése. Egy paaméteezett göbe tulajdonképpen egy pont mozgását íja le R n -ben. A pont helyzetét minden t időpillanatban a pont helyvektoának koodinátáival jellemezhetjük, tehát γt) az a hely a tében, ahol a mozgó pont a t I pillanatban tatózkodik. γ t) a 5

6 pont sebességvektoa, γ t) a gyosulásvektoa, I pedig az az időintevallum, amiko a mozgás lezajlik. Amiko egy síkgöbét a paaméteezésével akaunk megadni a GeoGebának, a GöbePaamétees[] paancs használatáa van szükségünk. Meg kell adnunk soa a γt) = xt), yt)) pont koodinátafüggvényeit, a változót, valamint annak az intevallumnak a kezdő és végpontját, amelyen a γ paaméteezést ételmezzük. GöbePaamétees[<Kifejezés>,<Kifejezés>,<Változó>,<Kezdőéték>,<Záóéték>] Ezeket az agumentumokat csak egy vesszővel kell elválasztanunk egymástól, amint azt az előző so mutatja. Az ente megnyomása után má a ajzlapon láthatjuk a paaméteezett göbe nyomát. Ha esetleg egy R 2 -be menő γ leképezés több változótól is függ, mivel csak egyet tudunk az utasításban megadni, így létehozhatunk egy csúszkát báhol a ajzlapon, ahol a másik változó étékét változtathatjuk az általunk megadott intevallumon. Ez a pogam zát intevallumon ételmezett göbék nyomát tudja megjeleníteni. Szó volt a göbe egulaitásáól. Semmi gond nincs, ha egy olyan göbét adunk meg, amely szinguláis, a GeoGeba ezeket is nagyon jól, nagyon szépen kiajzolja, amint azt a cikloisnál látni fogjuk. Előfodulhat, hogy a paaméteezés az intevallum egy pontjában nincs ételmezve és ott szakadása van, de tapasztalat szeint a pogam ebben az esetben is pontosan megjeleníti a göbét ába. Példa egy paaméteezett göbée, melynek egy pontban szakadása van 6

7 3. fejezet Ciklois típusú göbék 3.1. Ruletták Definíció. Legyenek adottak a g 1 és g 2 síkgöbék. Mozgassuk a g 2 göbét úgy a ögzített g 1 göbe mentén, hogy mozgás közben végig éintkezzenek. Ekko, ha a g 1 göbe bámely két, P 1 és P 2 pontja közötti göbeív hossza megegyezik a g 2 -n nekik megfelelő P 1 és P 2 pontok által meghatáozott ív hosszával, akko azt mondjuk, hogy a g 2 göbe csúszásmentesen gödül a g 1 göbén ába. Csúszásmentes gödülés, uletta Amiko a g 1 és g 2 göbék egymást fedő közös síkban vannak, és ögzítjük a g 1 síkját, majd a g 2 göbét úgy mozgatjuk, hogy a síkja vele együtt mozogjon, akko a mozgó sík összes pontja pályagöbét í le. Ezeket a göbéket ulettáknak nevezzük. A g 1 és g 2 göbék éintkezési pontját a mozgás egy pillanatában az adott pillanatbeli gödülési pontnak hívjuk. A ciklois típusú göbék is, amelyekkel a továbbiakban foglalkozni fogunk, ily 7

8 módon állnak elő. Esetünkben az őket leíó g 1 és g 2 göbék mindig egyenesek vagy köök lesznek Cikloisok Definíció. Cikloisnak 1 nevezzük azt a göbét, melyet egy egyenesen csúszásmentesen gödülő kö egy peempontja í le. Ez tulajdonképpen a közönséges vagy csúcsos ciklois definíciója, tehát ha a kövonal egy pontjának pályáját tekintjük a mozgás közben, akko az ilyen göbét fog leíni. Amiko GeoGebával szeetnénk kiajzoltatni ezt a göbét, paaméteeznünk kell Kédés. Adott sugaú kö csúszásmentesen gödül egy egyenes mentén. Mi lesz a kö egy P peempontja által leít pályának azaz a csúcsos cikloisnak) a paaméteezése? 3.2. ába. Egyszeű ciklois paaméteezése Legyen a deékszögű koodináta-endsze x tengelye az adott egyenes, és tegyük fel, hogy a P pont az oigóból indul. Tekintsük a P pont egy P 1 x, y) helyzetét. Jelöljük a kö középpontját C-vel, és a CP 1 sugá valamint a C pontból az x tengelye bocsátott meőleges által bezát szöget t-vel. Legyen a meőleges talppontja T, a P 1 pont vetülete az x tengelyen T 1, a CT szakaszon pedig T 2. Ekko x = OT 1 = OT T 1 T. Mivel a kö csúszásmentesen gödül, így az OT szakasz hossza megegyezik a P 1 T köív hosszával. 1 Ez az elnevezés Galileo Galileitől ) számazik. 8

9 Tehát hasonlóan x = P 1 T T 1 T = a t sin t = t sin t), y = T 1 P 1 = T C T 2 C = cos t = 1 cos t). Azaz az egyszeű ciklois paaméteezése: γ : R R 2, γt) = t sin t), 1 cos t)). Ha megnézzük a következő ábát, látszik, hogy az egyszeű ciklois szinguláis göbe, de kiajzolása a GeoGebának nem jelent gondot. A ciklois csúcsai pontosan ott helyezkednek el, ahol a göbe fenti paaméteezése a definíció szeint szinguláissá válik. A mozgó pont sebességvektoa γ t) = 1 cos t), sin t), és ez pontosan akko 0, ha t = 2kπ, k Z) ába. Egyszeű ciklois Állítás. A ciklois éintője egy eguláis P pontban átmegy az őt leíó kö adott pillanatbeli legfelső F pontján ába. Az egyszeű ciklois éintője 9

10 Bizonyítás. Az éintő γ t) iányú, ahol γ t) sebességvekto, így azt kell belátnunk, hogy P F egyenes páhuzamos γ t). Legyen a kö sugaa = 1. P = γt), γt) = t sin t, 1 cos t), γ t) = 1 cos t, sin t). A PF egyenes páhuzamos a γ t) vektoal, ha P F vekto páhuzamos γ t)-vel. Felhasználjuk, hogy a, b) c, d), akko és csak akko, ha a d = b c. Mivel F = t, 2), a P F vekto koodinátái pedig sin t, 1 + cos t), így azt kell belátnunk, hogy sin t sin t = 1 + cos t) 1 cos t), vagyis Az egyenletet átendezve: sin 2 t = 1 cos 2 t. sin 2 t + cos 2 t = 1, ami, mint tudjuk, igaz Következmény. Ha a cikloist leíó kö állandó ω szögsebességgel gödül, akko P-beli éintőjének F pontja állandó sebességgel halad és az éintő F köül ω/2 szögsebességgel foog. Bizonyítás. Má bizonyítottuk, hogy az éintő átmegy a kö F pontján, ez éppen az előző állítás volt. Felhasználva a keületi és középponti szögek tételét, ha P OG = ω, akko a P F G = ω/ Következmény. Ha egy F pont egy f egyenes mentén állandó nem 0) sebességgel halad és közben egy F-en áthaladó e egyenes állandó szögsebességgel foog F köül, akko az e egyenes egy ciklois éintőin fut végig. Bizonyítás. Tekintsük az egyenes két e 0 és e 1 különböző helyzetét. Ez legyen két olyan egymást követő helyzet, amiko a fogó egyenes meőleges f egyenese. Jelöljük e 0 és f metszéspontját T 0 -al, e 1 és f metszéspontját pedig T 1 -el. T 0 és T 1 távolsága éppen a cikloist leíó kö keülete, így ebből ki tudjuk fejezni a kö sugaát: = T 0T 1 2 π Tehát azt a g egyenest, amelyen a kö gödül, úgy kaphatjuk meg, hogy páhuzamost húzunk f-el 2 távolsága. Ilyen egyenesből kettő is lehet, hogy melyiket válasszuk, azt az 10

11 dönti el, hogy az egyenes F köül milyen iányban foog. Szemléletesen, ha f egyenesen az F ponttal egy iányban haladunk, akko g-t pontosan akko kell tőlünk jobba felvenni, ha e az óamutató jáásával megegyező iányban foog Állítás. A γt) ciklois egy tetszőleges t étékhez tatozó pontjában a nomális átmegy a G gödülési ponton. Bizonyítás. Tudjuk, hogy a nomális meőleges az adott t időpillanathoz tatozó P pontbeli éintőe. Az előzőekben azt is beláttuk, hogy az éintő átmegy a cikloist leíó kö felső F pontján. Ezt az F pontot tatalmazza a kö azon átméője, amelynek másik végpontja a kö gödülési pontja. Mivel tudjuk, hogy a GP F deékszög, és a GF szakasz a kö átméője, így a Thalesz-tételből következik, hogy a nomálisnak át kell mennie a G ponton ába. Az egyszeű ciklois nomálisa Állítás. Legyen n a γt) ciklois egy adott P pontbeli nomálisa. Amiko a cikloist leíó kö gödül, akko ez a nomális egy másik ciklois éintőin fut végig. Bizonyítás. Tudjuk, hogy a nomális meőleges az éintőe, és azt is, hogy átmegy a kö gödülési pontján, hiszen ezt az előbb láttuk be. Hasonlóan a kö felső F pontjához, a vele átellenben található G gödülési pont is ugyanakkoa sebességgel halad g egyenesen, amelyen a köünk gödül. Továbbá a nomális is állandó szögsebességgel foog G köül ugyanabban az iányban, mint az F -en áthaladó éintő. Így a ös következmény miatt a nomálisok egy cikloist éintenek. 11

12 Állítás. A gödülő kö átméője egy feleakkoa sugaú kö keületi pontja által leít cikloist éint. Bizonyítás. Legyen a kö sugaa = 1. Jelölje C 1 a gödülő kö középpontját, P a cikloist leíó pontot, G pedig a gödülési pontot. Tekintsük azt a feleakkoa sugaú köt, amelynek a középpontja a C 1 G szakasz felezőpontja. Legyen ez a középpont C 2. Messe a P 1 C 1 egyenes C 1 -en kívül P 2 -ben a kis köt. Jelöljük az OG szakasz hosszát t-vel Lemma. P2 G = t. Mivel OG=t, így P 1 G is nyilván t, hiszen a kö csúszásmentesen gödül, és a P 1 C 1 G szintén t nagyságú. A keületi és középponti szögek tétele szeint, mivel a P 2 C 1 G = t, ezét a P 2 C 2 G = 2t. Ennek következtében P 2 G = t. A lemmából következik, hogy P 2 ajta van a feleakkoa sugaú kö által leít cikloison, melynek a P 2 -beli éintője P 2 C 1 egyenes, amely tatalmazza a nagy kö átméőjét ába. A gödülő kö átméője 3.3. Nyújtott és zsugoított cikloisok Eddig csak az egyszeű cikloissal foglalkoztunk, de felmeülhet a kédés, hogy milyen göbét í le az egyenes mentén csúszásmentesen gödülő köön kívül eső pont, illetve a kölap egy pontja Definíció. Ha a P pont nincs ajta a kövonalon, akko legyen a koodinátája 0,b), ahol b 0. Így a leít göbe paaméteezése: γ : R R 2, γt) = a t b sin t, a b cos t). 12

13 Nyújtott cikloisól beszélünk, ha b > a, azaz P a kövonalon kívül van, vagy zsugoított cikloisól, ha b < a, vagyis P a kövonalon belül található ába. Nyújtott-és zsugoított ciklois Állítás. Az x : I R n és y : I R n paaméteezett göbékkel leít mozgó pontoka a két pont d távolságának deiváltja: d t) = x t), e x t) + y t), e y t), ahol e x = x y x y = e y ába. Két mozgó pont távolsága 13

14 Bizonyítás. A távolságképlet szeint: dt) = xt) yt) = n x i t) y i t)) 2. Deiváljuk dt)-t az ismet szabályok szeint: Mivel így d t) = 1 2 = n i=1 1 n i=1 x it) y i t)) 2 x i t) y i t) dt) i=1 n 2 x i t) y i t)) x it) y it)) = i=1 xt) yt) x it) y it)) = dt) xt) yt) dt) = e x t) = e y t), d t) = e x t), x t) + e y t), y t)., x t) y t) Állítás. A zsugoított és nyújtott cikloisok nomálisa minden időpillanatban átmegy a gödülési ponton. Bizonyítás. Jelöljük a kövonal egy pontját G-vel, a kölap egy pontját pedig A-val. Legyen a G pont az aktuális gödülési pont. Ennek a két pontnak a távolsága mozgás közben állandó, hiszen a kö két ögzített pontjáól van szó. Legyen γ t) az A pontbeli sebességvekto, η t) a G gödülési pont sebességvektoa, e x az A pontból kifelé állított egységvekto, amely páhuzamos az AG szakasszal, e y pedig a G pontból kifelé állított egységvekto. Vizsgáljuk a t 0 időpillanatban a pontokat. d t 0 ) = 0, d t 0 ) = γ t 0 ), e x + η t 0 ), e y. Mivel a gödülési pont sebességvektoa η t 0 ) = 0, ezét az e y vektoal vett skaláis szozata szintén 0, így η t 0 ), e y kiesik. Má csak az kell, hogy η t 0 ) és e x skaláis szozata 0 legyen. Ez akko teljesül, ha a két vekto meőleges egymása, tehát az AG egyenes éppen a zsugoított ciklois nomálisa. 14

15 Mint tudjuk, a vonatkeéknek van egy peeme, amely biztosítja a vonat sínen maadását. Mozgás közben ennek a peemnek a sín alatti pontjai nyújtott cikloisokat ínak le. Az édekesség ebben, hogy a vonatkeéknek, miközben aká nagy sebességgel halad egy adott iányba, mindig van olyan pontja, amelynek a sebességvektoa az ellenkező iányba mutat. További édekesség, hogy a bachistochone pobléma megoldása szintén egy ciklois. Ez a pobléma annak a göbének a megkeeséséől szól, amelyen a leggyosabban leguul súlódásmentesen egy golyó állandó nehézségi eő hatásáa egy adott A pontból egy alacsonyabban fekvő B pontba. Ezt a poblémát Galilei vizsgálta elsőként, de téves eedménye jutott, majd többek között) Johann Benoulli bizonyította be, hogy a keesett göbe egy ciklois. A következő ajz Benoulli keze nyomán készült, melyen a poblémát megoldó ciklois megkeesésének módját láthatjuk ába. Bachistochone pobléma Más édekes alkalmazása lehet a zsugoított cikloisoknak, a hegedűkészítésben való szeepük. Sok vizsgálat folyt má aól, hogy vajon hogyan tudtak az Amatik, vagy a Stadivaik olyan tökéletes hangszeeket készíteni. Mindent egybevetve sok tényező hatáozza meg, hogy milyen hangja lesz a hegedűnek. Ezek közül egy lehet az, hogy milyen a göbülete a hegedű hátának, és az elejének. Azt vélték felfedezni, hogy ez a göbület, egy zsugoított ciklois. A következő kép egy Amati hegedű hátát mutatja 3. 2 Foás: 3 A képet Michael Danton készítette. 15

16 3.4. Epi- és hipocikloisok ába. A hegedű háta Eddig olyan ciklois típusú göbék tulajdonságait ismehettük meg, amelyeket egy egyenes mentén gödülő kö síkjának pontjai ínak le. Most legyen a g 1 és g 2 göbe egyaánt kö Definíció. Amiko a g 2 kö csúszásmentesen gödül a g 1 kö mentén, akko síkjának pontjai vagy hipocikloisokat, vagy epicikloisokat ínak le, attól függően, hogy g 2 belölől vagy kívülől éinti g 1 -et Kédés. Mi lesz a paaméteezése annak a göbének, amelyet az sugaú kö síkjának valamely A pontja í le, amely a távolsága van az R sugaú köt kívülől éintő, a köön csúszásmentesen gödülő kö középpontjától? Legyen az álló kö középpontja az oigóban. Tegyük fel, hogy a gödülő kö a G pontból indul ki, ahol G a két kö éintési pontja, és G ajta van az x tengelyen. Továbbá legyen A a GC szakasz egy pontja, ami szintén ajta van az x tengelyen, és jelöljük a-val az AC szakaszt. Tekintsük a mozgó kö egy K 1 állását, ahol A 1 az A pont adott időpillanatbeli helyzete, C 1 a gödülő kö középpontja, G 1 az előző G gödülési pont helyzete, G pedig az aktuális gödülési pont. Legyen t = GOG. Mivel a kö csúszásmentesen gödül, így ĜG = Ĝ G 1, azaz R t = G C 1 G 1. Ezt átendezve G C 1 G 1 = R/ t. Állítsunk meőlegest C 1 ponton keesztül az x tengelye. A meőleges talppontját jelöljük 16

17 T -vel. Íjuk fel A 1 x és y koodinátáját! x = R + ) cos t + a cos t π + t R ), cos t π + t R ) ) R + = cos t π. Felhasználva a következő addíciós tételt: cos α β) = cos α cos β + sin α sin β, ) ) R + R + R + cos t π = cos t cos π + sin Mivel sinr + /) t) sin π = 0, és cos π = 1), így ) R + R + cos t π = cos ) t. ) t sin π. Ennek megfelelően ) R + x = R + ) cos t a cos t. Az y koodinátát hasonlóan számoljuk, mint az x-et, tehát R + y = R + ) sin t a sin ) t. Az epiciklois paaméteezése: γ : R R 2, ) )) R + R + γt) = R + ) cos t a cos t, R + ) sin t a sin t Megjegyzés. Az A pont nem feltétlenül a GC szakasz egy pontja, lehet a szakaszon kívül is, a GC egyenesen, itt csak a szemléltetéshez definiáltuk így. 17

18 3.11. ába. Epiciklois paaméteezése A hipociklois paaméteezése teljesen hasonlóan töténik, mint az epicikloisé. Ebben az esetben az sugaú kö az álló köt belülől éintve gödül ába. Hipociklois paaméteezése Tegyük az álló kö középpontját az oigóba, és tekintsük a gödülő kö egy K 1 helyzetét, ahol C 1 a kö középpontja, G az aktuális gödülési pont, G 1 a G pont adott pillanatbeli helyzete, ahogyan A 1 az A pontnak. M pont csak egy segédpont. A CA szakaszt jelöljük a-val, így a C 1 A 1 szakasz szintén a. Mivel a kö csúszásmentesen gödül, a Ĝ 1 G = ĜG, azaz R t = G 1 C 1 G. Átendezve: R/ t = G 1 C 1 G. 18

19 Az A pont koodinátáit a következőképpen íhatjuk fel: x = R ) cost) + a cos t t R ), y = R ) sint) + a sin t t R ). Mivel t t R/ = t R/), így a hipociklois paaméteezése: γ : R R 2, γt) = R ) cost) + a cos t R ), R ) sint) + a sin t R )). Amiko az A pont a gödülő kö keületi pontja, akko úgynevezett csúcsos epicikloistvagy hipocikloist kapunk. A csúcsok száma a két kö sugaának aányától függ. Abban az esetben, ha ez az aány acionális, a göbe záódni fog, ha viszont iacionális, soha nem fog visszaténi a pont a kiinduló helyée. Hipociklois esetében a köök sugaa nem lehet egyenlő. Ha az A pont g 2 -n, a gödülő köön kívül van, akko a keletkező göbét nyújtott epicikloisnak, vagy nyújtott hipocikloisnak nevezzük, amiko a köön belül van, akko zsugoított epicikloisól, vagy zsugoított hipocikloisól beszélünk ába. Epi,-és hipocikloisok 19

20 Állítás. Az epicikloisoka gondolhatunk úgy, mint egy negatív sugaú kö által leít hipocikloisa és fodítva. Képlettel kifejezve: γ epi R,, t) = γhipo R,, t), a = ). Bizonyítás. A bizonyításhoz, csak helyettesítsünk be a hipociklois paamétees egyenletendszeébe )-et! x = R )) cos t) + ) cos t R ), y = R )) sin t) + ) sin t R ). -1)-el bővítve a R)/ tötet, éppen + R)/-et kapunk, így má láthatjuk, hogy ez pont az epiciklois paaméteezése Állítás. Ugyanazt az epicikloist két különböző sugaú kö keületi pontja is leíhatja: γ epi R,, t) = γepi R, R, R t + R ), vagyis az sugaú kö keületi pontja által leít epiciklois t paaméte esetén, megegyezik a -R-) sugaú kö keületi pontja által leít epicikloissal a t + R)/R paaméte mellett. Bizonyítás. Hasonlóan az előző állítás bizonyításához, itt is annyit kell tennünk, hogy behelyettesítjük a megfelelő étékeket az epiciklois paamétees egyenletendszeébe. ) R + R ) x = R + R ) cost) R ) cos t, R y = R + R ) sint) R ) sin t R + R ) R Összevonás és a t + R)/R paaméte behelyettesítése után a következőt kapjuk: x = ) cos t + R ) + R + ) cost), y = ) sin t + R ) + R + ) sint), ami pont az epiciklois paaméteezése, ha a =. Az egyik kö az álló köt kívülől éintve gödül, a másik szintén, viszont az tatalmazza az álló köt, és mintha egy hullahopp kaika lenne, gödül végig. ). 20

21 3.14. ába. Epiciklois két különböző előállítása Állítás. ) γ hipo R,, t) = γhipo R,R,R t R Bizonyítás. Helyettesítsünk be a hipociklois paamétees egyenletendszeébe! ) x = R R ) cos t + R ) cos t R R R ) y = R R ) sin t + R ) sin t R R R Összevonás után x = cos t y = sin t ) + R ) cost), R ) + R ) sint). R Ez pedig éppen a hipociklois paamétees egyenletendszee az a = és t paaméte esetén. Ez az állítás azt mondja ki, hogy ugyanazt a hipocikloist íja le az és az R sugaú kö keületi pontja, pesze más paaméte mellett. ), ). 21

22 3.15. ába. Példa ugyanazt a hipocikloist leíó köök esetée Ciklois típusú göbéket létehozó mozgás animálása A 2.2-es fejezet elején említettem, hogy nemcsak paaméteezett göbeként tudjuk a ciklois típusú göbéket a GeoGeba segítségével kiajzolni, hanem többféle módon is. Hasányi Sándo, A dinamikus geometiai endszeek használatának egy lehetséges teülete című munkájában bemutatott egy módszet cikloisok és hipocikloisok animált kiajzoltatásáa GeoGebával. Ezt a módszet alkalmaztam a következő szekesztésnél, amely egy epiciklois megjelenítésée szolgál. Magát az epicikloist egy pont nyomvonala fogja kiajzolni, de a pont métani helyeként is megadható. A szekesztés lépései: 1. Vegyünk fel két szakaszt, amelyek a ögzített és a mozgó kö sugaai lesznek R, ). 2. Rajzoljunk egy félegyenest valahol a ajzlapon K a kezdőpont), majd vegyünk fel ezen egy változó pontot M). Célszeű úgy ajzolni a félegyenest, hogy a hipociklois ne lógjon majd bele. 3. Rajzoljuk meg az oigó középpontú O), ögzített köt. 4. Vegyük fel a köön azt a pontot, ahonnan a gödülő kö majd kiindul A). 5. Fogassuk el ezt a pontot negatív iányban O köül a KM szakasz hosszának függvényében, met azt szeetnénk, hogy az A pont annyit foduljon el a kövonalon, 22

23 amennyit az M pont halad a félegyenesen G). Ehhez hatáozzuk meg az elfogatás szögét α). 6. Rajzoljunk egy félegyenest O pontból kiindulva a G ponton keesztül. 7. G pontba vegyünk fel egy akkoa sugaú köt, amekkoa a mozgó kö sugaa lesz. Ez kimetszi a gödülő kö középpontját a félegyenesen C). Rajzoljuk meg ezt a köt is. 8. A csúszásmentes gödülés miatt az epicikloist leíó pont A 1 ) úgy helyezkedik el a kövonalon, hogy az ÂG = Â1G. Mivel a két kö sugaa és az előbb említett ívekhez tatozó középponti szögek aánya megegyezik, az A 1 pont előállítható fogatással. Ezt a pontot úgy kapjuk meg, hogy a C köül elfogatjuk a G pontot R/ GOA -el negatív iányban. 9. Utolsó lépésként állítsuk be, hogy az A 1 pontnak megjelenjen a nyomvonala az M mozgatása közben ába. A szekesztés után Nyújtott és zsugoított epiciklois megjelenítésée is alkalmas ez az animáció, csak annyit kell tennünk, hogy felveszünk az OG félegyenesen egy újabb pontot vagy a köön kívül, vagy a köön belül. A leít megjelenítésnek az az előnye, ami a nyomtatásban nem jeleníthető meg, hogy az M pont csúsztatásával szemléltethetjük, hogy a gödülő kö mozgása közben hogyan hozza léte az epicikloist. 23

24 3.17. ába. Csúcsos epiciklois ába. Nyújtott és zsugoított epiciklois 24

25 Az epi-és hipocikloisok néhány édekes tulajdonsága Legyen a gödülő kö sugaa feleakkoa, mint az álló köé, és azt kívülől éintve gödüljön. Tudjuk, hogy ekko egy kétcsúcsú epicikloist fogunk kapni, ha a kö keületi pontjának nyomát követjük. Az epi-és hipocikloisok éintőinek hasonló tulajdonsága van, mint amit most ebben az esetben belátunk Állítás. Az epiciklois egy pontjában az éintő átmegy a göbét leíó könek az álló kötől legtávolabbi F pontján. Bizonyítás. Mint mindig, most is legyen az álló kö középpontja az oigóban, és a mozgó kö induljon az x tengelyen lévő G pontból, ahol G a két kö éintési pontja. Tekintsük a gödülő kö egy K 1 helyzetét. Jelöljük a középpontját C 1 -el, az aktuális gödülési pontot G -vel, az epicikloist leíó pont adott helyzetét A 1 -el, az ebben a pontban az epicikloishoz húzott éintőt pedig e-vel. Az OC 1 egyenes átmegy a G ponton és a K 1 köt másodszoa F pontban metszi. Mivel az A 1 pont mozgásiánya meőleges a G A 1 szakasza, így az éintő is meőleges á. Ebben az esetben viszont az éintő egybeesik az A 1 F egyenesével, met a G A 1 F félköön nyugvó keületi szög, azaz deékszög ába. Kétcsúcsú epiciklois 25

26 Állítás. Mozgás közben a gödülő kö átméője egy feleakkoa sugaú kö keületi pontja által leít hipocikloist éint. Bizonyítás. Jelöljük az álló kö sugaát R-el, a mozgó köét pedig -el, és tekintsük ennek egy K 1 helyzetét, ahol G 1 az adott pillanatbeli gödülési pont, A 1 a hipocikloist leíó pont helyzete, F a kö középpontja. A bizonyításhoz vegyük azt az /2 sugaú köt, amelynek középpontja az F G 1 szakasz felezőpontja. Legyen a GOG 1 = t, így ĜG 1 = R t. Az sugaú kö csúszásmentesen gödül, ezét  1 G 1 = ĜG 1, vagyis A 1 F G 1 = R t. Átendezve az A 1 F G 1 = R/ t egyenlőséghez jutunk. Messe a sugaú kö éintője F -en kívül még A 2 pontban a kicsi köt. Tegyük fel, hogy az, és az /2 sugaú köök egyszee, tehát mindig éintve egymást a gödülési pontjukban, gödülnek az álló köön. Ebből kifolyólag az  2 G 1 =  1 G 1 = ĜG 1. Tehát A 2 ajta van a /2 sugaó kö által leít hipocikloison. Tekintsük az A 1 F G 1 és az A 2 C 1 G 1 szögek komplemente szögét, ezekből jobban látszik a keületi és középponti szögek tételének használata. A G 1 F A 2 = π A 1 F G 1 az /2 sugaú kö G 1 A 2 ívhez tatozó keületi szöge, a G 1 C 1 A 2 = 2 π A 2 C 1 G 1 pedig ugyanehhez az ívhez tatozó középponti szöge. A tétel szeint: π A 1 F G 1 = π A 2C 1 G 1 ) π A 1 F G 1 = π 1 2 A 2C 1 G 1 / π A 1 F G 1 = 1 2 A 2C 1 G 1 / 1) A 1 F G 1 = 1 2 A 2C 1 G 1 Ha most az sugaú kö átméőjét nézzük, akko tudjuk, hogy átmegy a kis kö F pontján. Má láttuk, hogy a megfelelő íveik egyenlő hosszúak a csúszásmentes gödülés miatt. Egy kö ívének hosszát úgy számítjuk, hogy a sugát megszoozzuk az ívhez tatózó szöggel, így mivel itt a két kö sugaának aánya 1/2, ezét a szögek aányának is 1/2-nek kell lennie. Ennek megfelelően adódik, hogy az átméő és az F G 1 szakasz által bezát szög feleakkoa, mint az A 2 C 1 G 1. Vagyis az átméő és az A 2 pontbeli éintő egybeesik, illetve az éintő tatalmazza a sugaú kö átméőjét. 26

27 Speciális esetek ába. A hipocikloist leíó kö átméője Kadioid Ha az álló és a mozgó kö sugaának hossza megegyezik, akko egy keületi pont által leít epicikloisnak csak egy csúcsa lesz. Ezt az epicikloist kadioidnak, vagyis szívgöbének nevezzük. A kadioidot métani helyként is ki tudjuk ajzoltatni a GeoGebával. A szívgöbe, azon kö éintőie, a göbe csúcsából állított meőlegesek talppontjainak halmaza, amelynek középpontja a csúccsal átellenes pont az álló köön, sugaa pedig kétsze akkoa, mint a könek. Ennek az előállításnak egyszeű oka van. A két kö sugaának hossza megegyezik, csúszásmentesen gödülnek, így ahhoz a szöghöz tatózó ívük, amekkoát gödült a kö tengelyesen szimmetikus lesz a gödülési pontban húzott éintőjüke Állítás. A kadioidnak bámely, a csúcsán átmenő húja 4 hosszúságú. Bizonyítás. Ez nyilvánvalóan igaz, ha a hú egyik végpontja a kadioid csúcsa, a másik pedig a vele átellenes pont a 2 sugaú köön. Ha nem ez az eset áll fenn, akko tekintsünk két egymással páhuzamos éintőt, mivel a göbe két pontja és a csúcsa akko esik egy egyenesbe, ha a két éintő páhuzamos. Úgy állítottuk elő a kadioidot, hogy a csúcsot tüköztük az éintőke, ennek megfelelően a két éintő közé eső húdaab hossza megegyezik az azokon kívül lévő két húdaab hosszának összegével. Az a szakasz, ami a két éintő közé esik, pont a 2 sugaú kö átméője, tehát a hú hossza = 4. 27

28 3.21. ába. Kadioid, métani helyként ábázolva ába. A kadioid csúcson átmenő húja 28

29 Nefoid A kétcsúcsú epicikloist nefoidnak nevezzük. Jelölje a 3.19-as ába szeint t a GOG -et. Mivel a mozgó kö csúszásmentesen gödül, és fele akkoa a sugaa, mint az álló köé, így t = 1/2 G C 1 A 1 = G F A 1. Az F ponton keesztül húzott, x tengellyel páhuzamos f egyenes ugyanakkoa szöget zá be OF szakasszal, mint az e éintő. Ha ezt az f egyenest fénysugáként fogjuk fel, akko édekes felfedezést tehetünk. Fizikai jelenség, amiko eggelente isszuk a kávénkat, vagy a böge tejünket, hogy egy kis világosabb, fényesebb észt látunk az ital felületén. Ez a fényesebb teület egy kétcsúcsú epiciklois egy észe, és a böge fala által hatáolt ész, méghozzá azét, met a páhuzamosan ékező fénysugaak a böge belső oldaláól visszaveődve egy nefoidot éintenek. Elkészítve a visszatüközött sugányaláb képét láthatjuk, hogy a visszavet fénysugaak adják a leít tatomány többletfényét ába. Visszatüköződő fénysugaak 29

30 Hipociklois az R = 2 esetben Legyen a mozgó kö sugaa továbba is fele az álló köének, de ne kívülől, hanem belülől éintve gödüljön. Nézzük meg, hogy ebben az esetben milyen lesz a kapott hipociklois! Állítás. Ha a mozgó kö sugaa fele akkoa, mint az álló köé, akko a kö egy keületi pontja által leít hipociklois egy szakasz, méghozzá a ögzített kö egy átméője. Bizonyítás. Tegyük az álló kö középpontját az oigóba, és tekintsük a mozgó kö egy K 1 helyzetét, ahol C 1 a középpontja, G az adott pillanatbeli gödülési pont, A 1 a hipocikloist befutó pont aktuális helyzete. A köünk kiindulópontját G-vel jelöljük. Ez a pont az x tengelyen helyezkedik el, a két kö éintési pontja. Tudjuk, hogy a mozgó kö csúszásmentesen gödül, így a ĜG = Â 1 G. Ha a GOG -et t-vel jelöljük, akko mivel a gödülő kö sugaa fele akkoa, mint az álló köé, és az előbb említett két ív hossza egyenlő, ezét az A 1 C 1 G = 2 t. Emiatt az O pontnak a K 1 kövonalon kell lennie, vagyis a keületi és középponti szögek tétele ételmében A 1 OG = 1/2 A 1 C 1 G = GOG. Ezen megállapításokból má látszik, hogy az OA 1 egyenes egybeesik az OG egyenessel, tehát az A 1 pont a kö gödülése közben az álló kö átméőjén mozog. Egészen pontosan amíg a kö visszaé a kezdőpontba kétsze futja ba a pont az átméőt. Ha a gödülő kö egy átméőjének mozgását nézzük, akko a két végpontja az álló kö egymása meőleges átméőit futja be. Az átméő felezőpontja egy köt í le, ha bámely másik pontját tekintjük, akko azok ellipszist fognak leíni, amely könnyen belátható a következő módon: Ebben az esetben tehát az álló kö sugaa megegyezik a gödülő kö sugaának kétszeesével, így helyettesítsünk be a hipociklois paamétees egyenletendszeébe R = 2-et! x = 2 ) cost) + a cos t 2 ) y = 2 ) sint) + a sin t 2 ) Azaz a pont által leít göbe paaméteezése: = + a) cost), = a) sint). γ : R R 2, γt) = + a) cost), a) sint)), ami valóban egy ellipszis paaméteezése, ahol + a és a a féltengelyek. 30

31 3.24. ába. Hipociklois az R=2 esetben Háomcsúcsú hipociklois Itt is a kö keületi pontja által mozgás közben leít göbével foglalkozunk. Gödüljön a kö belülől éintve az álló köt. Mivel a sugaak aánya 1/3, így má tudjuk, hogy egy olyan hipocikloist kapunk, amelynek háom csúcsa van Állítás. A háomcsúcsú hipociklois belsejébe eső éintődaab hossza az éintési ponttól független, állandó. Bizonyítás. Legyen az álló kö sugaa R = 1. Így a hipocikloist leíó kö sugaa = 1/3. A os állítás szeint a 2/3 sugaú kö ugyanazt a hipocikloist íja le, mint az 1/3 sugaú, tehát az általuk leít göbék egybeesnek. A as állításból következik, hogy a 2/3 sugaú kö átméője éinti a hipocikloist, amelyet az 1/3 sugaú í le. Amíg a 2/3 sugaú kö egy félköívet gödül, a nagy kö keületének 1/3-án gödül végig, átméőjének mindkét végpontja hipocikloist í le, de ezek szintén egybeesnek. Ebből következik, hogy az átméő két végpontja a gödülés soán végig a hipociklois ívén mozog, és mivel az átméő hossza állandó, így az állítás teljesül. Asztoid Ebben az esetben annak a könek a sugaa, amelynek keületi pontja leíja a göbét, negyede a ögzített kö sugaának, és a kö belülől éintve gödül végig. Tehát egy négycsúcsú hipocikloist í le a pont, amelyet asztoidnak, csillaggöbének nevezünk. 31

32 3.25. ába. Asztoid Az asztoid paaméteezése γ : R R 2, γt) = R cos 3 t, R sin 3 t ) alaka hozható a következőképpen: x = 3 cost) + cos 3) t), y = 3 sint) + sin 3) t). Felhasználva, hogy cos α) = + cosα), sin α) = sinα), valamint cos3α) = 4 cos 3 α 3 cos α, és sin3α) = 4 sin 3 α + 3 sin α, következik, hogy x = 3 cost) + 4 cos 3 t) 3 cost)) = 3 cost) + 4 cos 3 t) 3 cost) = = 4 cos 3 t) = R cos 3 t), y = 3 sint)+ 4 sin 3 t)+3 sint))) = 3 sint)+4 sin 3 t) 3 sint) = = 4 sin 3 t) = R sin 3 t). 32

33 Állítás. Az asztoid éintőinek a koodináta tengelyek közé eső szakasza állandó hosszúságú ába. Falhoz támasztott léta Bizonyítás. Legyen az egyszeűség kedvéét az álló kö sugaa R = 1. Ennek megfelelően az asztoidot leíó kö sugaa = 1/4. Előzőleg má beláttuk a es állításban, hogy ha a gödülő kö sugaa fele akkoa, mint az álló köé, akko a mozgó kö átméőjének két végpontja a ögzített kö két, egymása meőleges átméőjét futja be. Azt is tudjuk a as állításból, hogy a hipocikloist leíó kö átméője egy fele akkoa sugaú kö által leít hipocikloist éint. Tehát tekintsük az 1/2 sugaú köt. Ennek a könek az átméője éinteni fogja az 1/4 sugaú kö által leít hipocikloist, az asztoidot. Ha a ögzített kö középpontját az oigóba helyezzük, és a gödülő köt az 1; 0) pontból indítjuk, akko az átméő két végpontja a tengelyeken fog mozogni. Ételemszeűen az átméő hossza nem változik, és egybeesik az éintőkkel, tehát az állítás valóban igaz. Abban az esetben, ha nem egység sugaú az álló kö, akko az éintő tengelyek közé eső szakaszának hossza 1/2 R.) 33

34 Állítás. Az asztoid által hatáolt tatományt kitölti egy ellipszisseeg, amelyeknél a tengelyek összege állandó. Az asztoid ennek az ellipszisseegnek a bukoló göbéje. Bizonyítás. Az előző állításban má láttuk, hogy az éintő tengelyek közé eső szakaszának hossza állandó, és azt is, hogy ez a szakasz a kétsze akkoa sugaú kö átméője, mint amely az asztoidot leíja. Tudjuk, hogy ennek az átméőnek a két végpontot leszámítva) a pontjai ellipszist ínak le, amelyeknél a tengelyek összege állandó. Mindezekből má következik, hogy ezek az ellipszisek kitöltik az asztoid belsejét ába. Asztoid belsejét kitöltő ellipszisek 34

35 4. fejezet Módszetani megjegyzések A GeoGeba a matematika szinte) minden teületén lehetőséget nyújt a szemléltetése, éppen ezét az óákon kiválóan használható. Nem lenne olyan nagyszeű ez a pogam, ha kizáólag a matematikatanáok számáa jelentene segítséget. Más teületeken oktatóknak is szükségük lehet olyko egy-egy ábáa, hogy bemutatásukkal színesebbé tegyék tanóájukat, felkeltsék a diákok édeklődését. A pogam segítségével olyan ábákat készíthetnek el, amelyeket aká ki is nyomtathatnak, hogy felhasználják egy dolgozatban, vagy segédanyagként kiosszák a tanulóknak. Legyen ez a tágy fizika, kémia, földajz vagy aká iodalom, minden teületen használható a GeoGeba, édemes vele megismekedni, legalább azon funkciók használatát elsajátítani, amelyeke az adott teületen szükség lehet. Fontos azonban megemlítenem, hogy nem édemes kizáólag inteaktív alapoka helyezni egy tanóát. Sajnos bámiko közbeszólhat a technika ödöge, előfodulhat áamszünet, vagy éppen nincs telepítve a számítógépe a megfelelő pogam, s ha nem készítettünk mentő tevet az óáa, akko elég nagy gondba keülhetünk. Így pesze mondhatnánk, hogy duplán kell dolgoznunk, és semmi ételme az egésznek, de munkánk előbb-utóbb kifizetődik, hiszen a digitálisan előállított anyagok nem vesznek el, aká évekig használhatjuk őket, bámiko módosíthatjuk tatalmukat. A ciklois típusú göbék, amelyekől a dolgozatban szó volt, a mozgási geometia témaköébe tatoznak. Ez a téma nem szeepel a közoktatás tananyagában, de módszetani szempontból édekesek lehetnek, mivel nagyon szép göbék, a GeoGebával nagyon jól kitudjuk őket ajzoltatni, amivel felkelthetjük a diákok édeklődését, főleg, ha olyan példákat mondunk előfodulásuka a tanulóknak, amelyeket ők is megfigyelhetnek mindennapi életük soán. Abban az esetben, ha van á idő, és igény, nekik is megtaníthatjuk, hogyan kell a GeoGebát használni, hogyan tudjuk például a cikloisokat kiajzoltatni a pogammal, de más alakzatok ajzolásáa, szekesztéseke is megtaníthatjuk őket. 35

36 Talán édekes lehet az egyik óán kipóbálni a tanulókkal az úgynevezett spiogaph ot, ami egy olyan játék, amellyel geometikus ábákat tudunk ajzolni. Denys Fishe, angol ménök alkotta meg 1965-ben. Van egy keete, és több különbözo nagyságú lyukacsos koong tatozik hozzá. A lyukak szolgálnak aa, hogy a göbéket megtudjuk ajzolni a ceuzánkkal. A ajzolás egyszeu en megy, mivel a keet is és a koongok is apó fogazásúak mint egy fogaskeék). Gyönyöu ábákat lehet ezzel a játékkal készíteni, ezen is pezentálhatjuk a diákoknak, hogy milyen módon áll elo egy hipociklois ába. Spiogaph 36

37 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeetnék köszönetet mondani Csikós Balázsnak, aki lehetőséget biztosított szakdolgozatom megíásához. Köszönöm segítőkész munkáját, és dolgozatom alapos átnézését. 37

38 Iodalomjegyzék [1] David Hilbet, Stefan Cohn-Vossen: Szemléletes geometia, Gondolat Kiadó, 1982 [2] Reiman István: A geometia és hatáteületei, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986 [3] Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehé László, Nagy Péte: Diffeenciálgeometia, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979 [4] V. T. Vodnyev: Diffeenciálgeometia feladatgyűjtemény, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 [5] Hajós Gyögy: Bevezetés a geometiába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1979 [6] Szemjon Gigojevics Gingyikin: Töténetek fizikusokól és matematikusokól, Typotex, 2003 [7] Stomme Gyula: Geometia, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 [8] GeoGeba 2.5 kézikönyv, Fodította: Sulik Szabolcs, 2006 [9] Hasányi Sándo: A dinamikus geometiai endszeek használatának egy lehetséges teülete,