Merev testek kinematikája

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Merev testek kinematikája"

Gréta Lakatos
9 évvel ezelőtt
Látták:

1 Mechanka BL0E- 3. előadás 00. októbe 5. Meev testek knematkáa Egy pontendszet meev testnek tekntünk, ha bámely két pontának távolsága állandó. (f6, Eule) A meev test tetszőleges mozgása leíható elem tanszlácók és elem otácók összegeként. Elfodulás a z-tengely köül: v y xω, v yω, v ω x v ω obbcsava h m k hüvelyk középső mutató c a bsnθ obbkéz-szabály

2 Meev teste ható eő eő hatásvonal támadáspont Meev teste ható eőendsze endsze edukálása. A meev test két egyenlő nagyságú és ellentétes ányú eő hatása alatt akko van egyensúlyban, ha az eők hatásvonala egybeesnek. nncs egyensúlyban egyensúlyban van

A meev test két egyenlő nagyságú és ellentétes ányú eő hatása

3 Meev teste ható eőendsze endsze edukálása. A meev teste ható eő támadásponta a testben a hatásvonal mentén tetszőlegesen eltolható. Meev teste ható eőendsze endsze edukálása 3. Két nem páhuzamos hatásvonalú eő összetevése. k k

4 Meev teste ható eőendsze endsze edukálása 4. Két páhuzamos hatásvonalú, azonos ányú eő összetevése. + k k Meev teste ható eőendsze endsze edukálása 5. Két páhuzamos hatásvonalú, ellentétes ányú, de nem egyenlő nagyságú eő összetevése.

+ k k Meev teste ható eőendsze endsze edukálása 5.

5 Az eőpá Eőpá: két antpaalel, egyenlő nagyságú és különböző hatásvonalú eő. Hatása NEM helyettesíthető egyetlen eővel. Az eőpá fogatónyomatéka független a fogáspont helyzetének megválasztásától, ánya a obbcsavanak megfelelően meőleges az eőpá síkáa, nagysága pedg az eőka (d) és az egyk eő nagyságának () szozatával egyezk meg. M + ( ) ( ) l M l snϑ d ány: obbkéz-szabály A tengelye vonatkoztatott fogatónyomaték ekvvalens az eőpá fogatónyomatékával (az eő páa a tengelyben ébed). Tetszőleges eőendsze endsze edukálása Ha egy meev teste n db eő hat, akko ezen eők hatása ekvvalens a test egy O pontában vett eedőük és az eőkből képezhető n eőpá fogatónyomatékanak hatásával. Egy tetszőleges eőendsze hatása edukálható egy eedő eőe és egy eedő fogatónyomatéka. e és Me M

szozatával egyezk meg. M + ( ) ( ) l M l snϑ d ány: obbkéz-szabály A tengelye vonatkoztatott fogatónyomaték ekvvalens az eőpá fogatónyomatékával (az eő páa a tengelyben ébed).

6 A meev test egyensúlya 0 és M 0 A meev test akko és csak akko van egyensúlyban, ha a á ható eők eedőe zéus ÉS van legalább egy olyan ponta, melye nézve a nyomatékok összege s zéus. (A Budó könyv defnícóa hbás!) vagy a nyomatékok összege a test bámely pontáa vonatkoztatva zéus. (Nncs benne a Budóban.) (Kísélet: úd egyensúlya lm: 700/7) Lássuk be, hogy a fent két defnícó ekvvalens/egyenétékű! A. defnícó szent n O ponta: 0 n O O ponta: 0 O O n n O+ O + 0 n O n csak akko telesülhet, ha 0, am nem más, mnt az. defnícó. A tömegkt megközéppont megkeesése se Egy test súlyponta az a pont, melyen a test súlyának hatásvonala a test mnden helyzetében átmegy, s amely pont ezét a test súlyának támadáspontaként teknthető. Achmedes m TKP m [a pontendszee vonatkozó mpulzustétel: külső, m m d d I m d mv m d bővítve a pontendsze össztömegével (Kísélet: tömegközéppont megkeesése) d d m m m d m d d m d TKP a tömegpontok tömege dőben állandó m összes a deválás és az összegzés soende felcseélhető a TKP m ] Ez pedg a tömegközéppont mozgásának tétele.

) (Kísélet: úd egyensúlya lm: 700/7) Lássuk be, hogy a fent két defnícó ekvvalens/egyenétékű! A.

7 Az egyensúly helyzet típusa t és ellemzésük stabl labls közömbös (Kísélet: golyó óaüveggel) Egy meev test, amelye szabadeőként csak a saát súlya hat, akko van stabls (labls) helyzetben, ha ebben a helyzetben a test súlyponta mélyebben (magasabban) van, mnt bámely szomszédos helyzetben. (Stabl egyensúly helyzet esetén a tömegközéppontban támadó súly fogatónyomatéka olyan, hogy a testet az egyensúly helyzet felé téít vssza.) (Kísélet: Jancska a dótkötél táncos ILM: Egyensúly helyzetek) Dchlet tétele: A mechanka enega tételnek eleget tevő endszeek akko vannak stabls egyensúly helyzetben, ha ebben a endsze potencáls enegáának mnmuma van. A vtáls munka elve A legtöbb egyensúly poblémánál az anyag ponta, lletve a ktee teste ható eők között a szabadeők mellett előe nem megadott kényszeeők s fellépnek. Ilyen esetekben elentősen egyszeűsít a poblémák kezelését, a vtuáls munka elve. Tekntsük a matematka nga esetét: Vtuáls elmozdulás, δ: a kénysze által megengedett elem elmozdulás (pl. a, b, c) b c B mg a c a A mg b Vtuáls munka, δw: a vtuáls elmozdulás soán végzett elem munka A szabadeő vtuáls munkáa δw δ mg cos( ( δ, mg)) az A pontban: δw a >0, δw b <0, δw c 0 a B pontban: δw a 0, δw b 0, δw c <0 A vtáls munka elve: Egy mechanka endsze akko és csak akko van egyensúlyban, ha a endsze bámely vtuáls elmozdulásánál a szabadeők összes munkáa zéus, vagy negatív. Benoull

(Stabl egyensúly helyzet esetén a tömegközéppontban támadó súly fogatónyomatéka olyan, hogy a testet az egyensúly helyzet felé téít vssza.

8 Emelő típusúak: emelők Egyszeű gépek. A munkagépek legegyszeűbb alaptípusa, melyek eőátvtel eszközök s. Segítségükkel eőt megtakaíthatunk, de munkát/enegát temészetesen nem! Az eő és a tehe hatása alat álló endsze egyensúlyának vzsgálátával az egyszeű gépek működése megéthető, leíható. k G k G egykaú kétkaú hengekeék (keekes kút) G G Csgák, csgasook Egyszeű gépek. mozgócsga G n n R G R Mélegek: G közönséges csgaso dffeencáls csgaso hídméleg asztal méleg bllenősúlyos méleg

Az eő és a tehe hatása alat álló endsze egyensúlyának vzsgálátával az egyszeű gépek működése megéthető, leíható.

9 Egyszeű gépek 3. Lető típusúak: ék α a Gsn G l G G G csava G h Gtgα G π Rögzített tengely köül k l fogó meev test -> tehetetlenség nyomat maték Az mpulzusmomentumot eddg ponta vonatkoztatva smetük. Ezt most meg szeetnénk fogalmazn tengelye. N mv m( ω ) N z ωml ωθ (Kísélet: bablon építőkészlet) Θ kszámítása néhány egyszeű esetben Θ ml Θ m, m cső Θhenge

meev test -> tehetetlenség nyomat maték Az mpulzusmomentumot eddg ponta vonatkoztatva

10 Stene tételt tel Ha smeük egy m tömegű test tehetetlenség nyomatékát egy a tömegközéppontán átmenő tengelye vonatkozóan, akko egy ezzel páhuzamos, attól s távolságban levő másk tengelye vonatkozóan: ΘΘ +ms TKP Henge/cső tszta gödülése letőn a TKP mgr snα Θ (Kísélet: tömö henge és cső gödülése letőn lm: 700/75) A ögzített z tengely köül k l fogó meev test mozgásegyenlete M z d ϕ Θ

vonatkozóan: ΘΘ +ms TKP Henge/cső tszta gödülése letőn a TKP mgr snα Θ (Kísélet: tömö henge és

11 Megfelelések Haladó mozgás x tengely mentén ogómozgás z-tengely köül koodnáta x szögelfodulás ϕ sebesség v x szögsebesség ω z gyosulás tömeg a x m szöggyosulás tehetetlenség nyomaték β z Θ eő x fomatónyomaték M z mpulzus mozgásegyenlet knetka enega I x d x mpulzusmomentum knetka enega N z d ϕ x m mozgásegyenlet M z Θ mv x Θω z Matematka nga zka nga (edukált hossz) Csavaás (tozós) nga Ingamozgás ϕ ϕ sn( ωt+ α) 0 hasnϕ ϕ ( ϕ 5 o ) Lneás nyomaték tövény ω matematka g l ω fzka mgs Θ ω tozós * D Θ Alkalmazások: evezós nga, ngaóa, metonóm... (Kísélet: állítható szögű, kétágú fzka nga) (Kísélet: spálugós tozós nga hengeel és csővel ILM: 700/76)

x Θω z Matematka nga zka nga (edukált hossz) Csavaás (tozós) nga Ingamozgás ϕ ϕ sn( ωt+ α) 0 hasnϕ ϕ ( ϕ 5 o ) Lneás nyomaték tövény ω matematka g l ω fzka mgs Θ

12 Szabad tengely (Kísélet: madzaga függesztett cső fogatása, mely nem meőlegesen van átfúva) A meev testnek általános esetben háom, egymása meőleges szabad tengelye van, nevezetesen a test tömegközéppontán átmenő háom fő tehetetlenség tengely. A fogás stabls a legnagyobb és a legksebb, míg labls a középső tehetetlenség nyomatéknak megfelelő tengely köül. Legstablsabb a legnagyobb tehetetlenség nyomatékhoz tatozó tengely köül fogás. (Kísélet: felfüggesztett úd és koong fogatása szmmetatengelyük köül) (lm: utalás a pögettyűknél bemutatása keülő bckl keék goszkópa) Pögettyűk Pögettyűnek nevezünk egy tetszőleges alakú és tömegeloszlású meev testet, ha egy ögzített, vagy ögzítettnek képzelhető pont köül fooghat. Eőmentes M 0 N áll. A súlypont köül foog. a) a szmm. tengely helyzete nem változk b) a szmm. tengely egy kökúpon mozog a tében állandó mpulzustengely köül. (nutácó) Súlyos A szmm. tengely függőleges tengelyű kökúp palásta mentén mozog. (pecesszó) ω p M 0 mgs N Goszkopkus nyomaték: * M N ω (lmek: bca keék ILM: MIT Physcs Demo -- Bcycle Wheel Gyoscope ILM: goscope) p

Legstablsabb a legnagyobb tehetetlenség nyomatékhoz tatozó tengely köül fogás.

Hasonló dokumentumok

Merev testek kinematikája

Merev testek kinematikája Egy pontrendszert merev testnek tekintünk, ha bármely két pontjának távolsága állandó. (f=6, Euler) A merev test tetszőleges mozgása leírható elemi transzlációk és elemi rotációk