Fizika és 3. Előadás

Átírás

1 Fizika. és 3. Előadás

2 Az anyagi pont dinamikája Kinematika: a mozgás leíásaa kezdeti feltételek(kezdőpont és kezdősebesség) és a gyosulás ismeetében, de vajon mi az oka a mozgásnak?? Megfigyelés kísélet??? Dinamika: a mozgás meghatáozása a testeket éőhatások (eők) és a test bizonyos tulajdonságainak ismeetében

3 Aisztotelész Galilei Newton I. A mozgáshoz mozgatókell ( minden mozgót mozgat valami ) a bolygókhoz első mozgató A nehezebb testek gyosabban, a könnyebbek lassabban esnek, egyenes aányosságban a tömeggel. Aisztotelész i. e. 384 i. e. 3 Hold alatti világ 4 őselem a Hold szféáján túl quinta essentia, minden változatlan

4 Aisztotelész Galilei Newton II. Galileo Galilei (564 64) Nincs szükség mozgatóa (nem amozgásnak van oka, hanem a mozgás megváltozásának) A testek egyfomán esnek Csak egy fizika van földi fizika égi fizika Az egyenes vonalúegyenletes mozgás megkülönböztethetetlen a nyugalomtól (Galiei-féle elativitási elv)

5 Aisztotelész Galilei Newton III. Galilei gondolatait matematikai fomába öltöztette Axiomatikus alapoka helyezte a fizikát A gavitációs tövényével számíthatóvá tette az égi fizikát Nem a mozgás fenntatásához, hanem a mozgásállapot megváltoztatásához van szükség külső hatása Si Isaac Newton ( ) Én távolabba láthattam, de csak azét, met óiások vállán álltam.

6 . axióma: A tehetetlenség tövénye Newton axiómák F e Az ineciaendszehez képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási endsze szintén ineciaendsze Tehetetlenség: a testeknek az. axiómával kimondott tulajdonsága météke: tömeg (tehetetlen tömeg) m [kg] 0 a 0. axióma: d( mv) dt F m const. F ma Az eőmétékegysége: kgm/s N (Newton)

7 3. axióma: A kölcsönhatás tövénye Newton axiómák II. B test kölcsönhatás A test F F BA AB Az eők páosával lépnek fel, de különböző testeke hatnak!!! 4. axióma: A szupepozíció elve Az eők egymás hatását nem zavava, Vektookként adódnak össze. F e ΣF mσa Egyensúly: F e 0

8 A dinamika alapegyenlete ma i F i A mozgások kíséleti vizsgálata alapján eőtövények felállítása A teste hatóeők ismeetében a test mozgásának meghatáozása F ma a d dt (t)

9 Gavitációs eő Bámely két pontszeű, m és m tömegű. egymástól távolságban lévőtest kölcsönösen vonzza egymást olyan eővel, amelynek nagysága a testek tömegének szozatával egyenesen és a távolságuk négyzetével fodítottan aányos. F m. m γ Fontosabb eőtövények I. minden teste hat leggyengébb kölcsönhatás bolygók mozgása alapján született tövény F m. m γ (súlyos és tehetetlen tömeg) Cavendish kísélet: γ 6,67*0 - Nm /kg H. Cavendish m F m F Gömbszimmetikus tömegeloszlás

10 Kényszeeő Fontosabb eőtövények II. N F net mg + N 0 N mg mg N g N N mgcosθ + mg mg sinθ mgsinθ Θ mg Θ mgcosθ F net ma F net mgsinθ a gsinθ

11 Súlódási eő Fontosabb eőtövények III. F s N mg F tapadási súlódási eő: F tap µ tap N csúszási súlódási eő: F s µ s N a test áll a test mozog

12 v N mgsinθ Θ mg F f Θ mgcosθ g N mgcosθ F f µ N µ mgcosθ F net mg sin Θ µ mgcosθ F net ma m a mg sin Θ µ mgcosθ a ( sin Θ cosθ) g µ v N mgsinθ F f Θ mg Θ mgcosθ g N mgcosθ F f µ N µ mgcosθ F net mg sin Θ + µ mgcosθ F net ma m a mg sin Θ + µ mgcosθ ( sin Θ + cosθ) a g µ!!!!

13 Fontosabb eőtövények IV. Kötéleő (a fonálban) csiga m g, m g : gavitációs eők K : kötéleő g T T K? a? a m T m g T m m g a a m g m I. II. + m m m g K ma K m g ma K g g mm m + m

14 Akhimédész K. e. 87. Csigaso

15 Θ F F s N v const. a 0 N mg + F sin Θ F cosθ Fs µ ( mg + F sin Θ) mg F cosθ µmg cosθ µ sin Θ F s mg N F Θ v const. a 0 N F cosθ Fs µ ( mg F F cosθ mg F sin Θ sin Θ) µmg cosθ + µ sin Θ F > F!!!

16 ? 5% megtakaítás!!!

17 Munka s F W F const. F s F s cosα SI métékegysége: Joule (Nm) W Ha F const. B A Fd B F( ) D. A

18 Munkatétel W W Fds v dv v mads m ( vdt) m vdv m mv dt v mv Mozgási enegia: mv Munkatétel: W Ek Átlagteljesítmény: Pillanatnyi teljesítmény: P P W t dw dt SI egysége: Watt (J/s) Fds dt Fv Fogyasztás???

19 Métékegységek Enegia: SI métékegysége: Joule (Nm) Oszágok enegiafelhasználása: Buttó tonna kőolaj egyenéték v. 000 tonna olaj egyenéték (hodó olajegyenéték 0.46 toe) tonne of oil equivalent (toe) toe GJ Teljesítmény: SI egysége: Watt (J/s) Motook teljesítménye: Lóeő (LE): LE W

20 Konzevatív eők Ha az F eő munkája W, akko W az F eő ellenében végzett munka. Ha a tömegponta több eő hat, az eedő eő munkája egyenlő az egyes eők munkáinak algebai összegével. A végzett munka általában függ a pályától. Konzevatív eők: Olyan eők, melyeknek az anyagi ponton végzett munkája független a kezdő és végpontot összekötő pályától, csak a kezdő és végpont helyétől függ. () B vagy Olyan eők, melyeknek bámely zát göbe mentén végzett munkájuk zéus. B A W W () Fds 0 A

21 A gavitációs eő munkája F g G m m W g m m Fds G d Gm m d Gm m A Föld felszíne közelében: W mgh A nehézségi eő konzevatív eő.

22 Kényszeeők munkája ds A kényszeeő meőleges a felülete. Ha a kényszet jelentő felület nyugalomban van az adott vonatkoztatási endszeben: ekko a kényszeeő meőleges a sebessége, a kényszeeő munkája zéus. (pl. ögzített lejtőn lecsúszó anyagi pont, fonálhoz eősített, köpályán mozgó test) Ha a kényszet jelentő felület mozog az adott vonatkoztatási endszeben: a test sebessége általában nem esik a felület éintőjének iányába, ezét a kényszeeő általában nem meőleges a sebessége, és így a kényszeeő munkája nem zéus.

23 Rugóeő munkája F F( x) Dx A ugóeő munkája, ha a kitéés x ől x -e változik: W x F dx x x x x Dxdx Dx Dx A ugóeő konzevatív eő. Súlódási eő munkája Függ az úttól!!! W v F d s F ds F s s s s s s ds F s s Az F s nem konzevatív eő!!!

24 Potenciális enegia Láttuk: W B A Fd B F( ) Konzevatív eő!!! A A potenciális enegia megváltozása: U W U U B U A B A Fd ( U ) E h E pot.

25 A ugóban táolt potenciális enegia Láttuk: W x Fxdx Dxdx x x x Dx Dx U Dx laposíj eflexíj F F s W l Ds < x W s x A magyaok nyilaitól ments meg Uunk minket

26 Tömegpont gavitációs potenciális enegiája Láttuk: W g m m Fds G d Gm m m m U ( ) G Ha Láttuk: F g mg d Gm m (A Földfelszín közelében) W g mgh U mgh s s s mg U mgh s mg U mgh s h

27 Az enegia megmaadása: Láttuk: munkatétel: W E k és U W U E k Csak konzevatív eők hatnak! U + U E k E k Az enegia megmaadása: Ha disszipatív eők is fellépnek: E + U Ek U k + E E W U + W nemk. E k + U + Wnemk. Ek + U

28 Egy egyszeű példa: Legalább mekkoa sebességgel kell az űhajót a Földől elindítani ahhoz, hogy az kijusson a világűbe (és ne essen vissza)? M: a Föld tömege m: akéta tömege R: a Föld sugaa U U ( R) G Mm R U U ( >> R) k + U Ek + Mm mv G 0 E U R M M v G G R gr 00 m/s R R 0 Robbanás enegiája: 60 TJ?? téf. km 3 m *0 kg 0 0 J

29 Kapcsolat a konzevatív eők és a potenciális enegia között I. F d 0 Tekintsük a té egy tetszőleges P (x,y,z) pontjának könyezetében a d, ( dx, dy dz) potenciális enegia függvény egy tetszőleges elmozduláshoz tatozó megváltozását. A többváltozós függvények diffeenciálszámítása szeint fennáll: du U x dx + Másfelől azonban a potenciális enegia megváltozását az eőté ellenében a tömegponta kifejtett F ( F,, ) eő elmozdulás soán végzett x Fy F z munkájával is felíhatjuk, nevezetesen: du Fd F dx x W B F d U A U B U y A dy F y U + z dy dz F dz z U A fenti összefüggések ún. integális elációk, amelyek egy kitejedt tétatománya állítanak valamit a konzevatív eőteeket illetően. Vizsgáljuk meg, hogy lokálisan, a té egy adott pontjában milyen összefüggés áll fenn a potenciális enegia és az eő között! Minthogy az eő integálásával kapjuk meg a potenciális enegiát, ezét sejthető, hogy a fenti eláció megfodításaként a potenciális enegia valamilyen diffeenciálhányadosaként állíthatjuk majd elő az eőt. d

30 Kapcsolat a konzevatív eők és a potenciális enegia között II. de pot U x dx + U y dy + U z dz és du Fd F dx alapján, a megfelelő elmozdulás-komponensek összevetéséből azt kapjuk, hogy a konzevatív eő egyes komponensei a potenciális enegia megfelelő koodináták szeinti negatív paciális deiváltjaival egyeznek meg: x F y dy F z dz F x U x F y U U F z y z Az U nullszintje tetszőlegesen választható!!! MATEMATIKA: gad x F gadu, y, z A gadiens diffeenciál-opeáto bevezetésével: vagy pl. U U U gadu U,, x y z ( F U ) Azaz, konzevatív eőtében az eő a potenciális enegia negatív gadienseként állítható elő.

31 Rezgőmozgás F: ugóeő F kx F e F Newton. töv.: F e ma ma kx k k a x && x x m m mozgásegyenlet ( ω + ϕ Megoldása: x t) Asin( t )

32 Hamonikus ezgőmozgás: x( t) Asin( ω t + ϕ) A : amplitúdó ω : köfekvencia ϕ : kezdőfázis ω k m π ω T π T m k ( ω ω + ϕ A ezgőmozgást végző test sebessége: v t) A cos( t ) Maximális sebesség: v max Aω A ezgőmozgást végző test gyosulása: a( t) A sin( t ) ω ω + ϕ Maximális gyosulás: a max Aω Kezdeti feltételek: x(t0) x o és v(t0) v o A és φ

33 A ezgő test enegiája: E E k + E pot E mv + kx E mv + kx m ( Aω) cos ( ωt + ϕ) + ka sin ( ωt + ϕ) E ka mv max

34 A ezgő test potenciális enegiája: (A ugóban táolt enegiája) U ( x) bx Kis kitéésű ezgések +... hamonikus ezgőmozgás

35 Fe mg + F k g Mozgásegyenlet: ma kx + mg F mg m 0 x Megoldás: x ( t) Asin( ωt + ϕ) + mg k

36 Fogatónyomaték Egy anyagi ponta ható eőnek az oigóavonatkozó fogatónyomatéka az anyagi pont (t) helyvektoának és az F(t) eőnek a vektoiális szozata: M F Métékegység: Nm A fogatónyomaték nagysága: M F sinα vagy: M Fd illetve M F t eőka az eő tangenciális komponense

37 Newton. tövénye ögzített tengely köül fogó meev teste F ma FR mra R m F M mr a t αr β Θ: tehetetlenségi nyomaték a (&& & ϕ ) e + ( & & ϕ + && ϕ) e ϕ β & ϕ M Θα F ma

38 meev test Tehetetlenségi nyomaték i m i Θ i m i i Steine tétel: Θ Θ o + ms

39 Fizikai inga M mgs sinϕ M Θβ fogáspont meev test Θβ mgs sinϕ / ϕ << ad sinϕ ϕ / Θβ mgsϕ ϕ s && ϕ mgs ϕ tkp mg / k && x x ω m Θ k m mgs ω T π Θ / ω π T Θ mgs

40 ϕ l Matematikai inga Θ ml m s l mg T π l g Galileo Galilei (564 64) / ϕ << ad /

41 Toziós inga M κϕ g M Θβ Θβ κϕ φ () () && ϕ κ Θ ϕ ω π T ω κ Θ T π Θ κ

42 k Csillapított ezgőmozgás F F s m v F s λv ma kx λv m & x kx λx& β λ k és ωo && x + βx& + ωo m m Mozgástövény: x ( t ) Ae β t sin x ( ωt + ϕ) 0 ω > β o!!! ω ωo β

43 x ( t ) Ae β t sin ( ωt + ϕ)

44 Apeiódikus hatáeset && x + β& x + ωo x 0 ω β o!!! x( t) e β t ( ct + a) Kezdeti feltételek: x(t0) x o Pl.: x o 0 és v(t0) v o és v(t0) v o c és a x x( t) v o te βt t

45 Túlcsillapított ezgés ω < β o!!! x && x + β& x + ωo x 0 λ t + λ t x( t) ae be λ, β ± β ωo < 0 t

46 Kényszeezgés, ezonancia F s λv k F F s m F( t) Fo cos( ωt) v F (t) ma kx λ v + Fo cos( ωt) && x + β x& + x f o cos( ω o ω t) f o F m o x( t) A Acos ( ) ( ) β ωt ϕ + ae t sin ω β t + α ( ) ω ω + 4β ω o f o o tgϕ ω βω o ω

47 Az amplitúdó fekvenciafüggése: A ( ) ω ω + 4β ω o f o ω max ω o β A max β f o fo ω β βωo o ha β << ω o ω ωo β Jósági tényező: Q ωo β jósági tényező endsze enegiája egy peiódus alatt disszipált enegia

48 A fázis fekvenciafüggése: tgϕ ω βω o ω

49

50

51 Rezonanciakatasztófa:

52 Dinamikus csillapítás: k m F (t) k m Felhőkacoló kilengésének csökkentése dinamikus csillapítással:

53