Lineáris algebrai alapok *
|
|
|
- Zsigmond Kerekes
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lieáris geri po * dieziós átri: z soró és oszopó áó ós szátáázt. Jeöés: dieziós etor z soró és oszopó áó átri. Jeöés:, ho i z i-edi oordiát., ho i z i-edi sor -edi eee. dieziós etor z z dieziós etor, eye ide oordiátá. Jeöés:. Négyzetes átri eezzü zt átriot, eye soro és z oszopo szá egegyezi. -edredű átri eezzü z Egy -edredű átri főátó (digoáis) z átó. dieziós égyzetes átriot.,,, eeeet trtzó Egy égyzetes átri szietris, h szietris főátóár éze, zz. i i Digoáis átri z égyzetes átri, ey egfee főátóá trtz - tó etérő eeet. Péd:. 3 * Részet: oyi, Zs., syé Fáiá, I., örzsöyi, L., Fodor, J., Hros,., Reizige, J.: iotetii Fedtgyűteéy (egyzet), SZIE ÁOK, dpest,
2 z egységátri egy oy digoáis átri, ey főátó -eseet trtz. I I. Mátriűeete Két átri egyeő, h diezió zoos, és eeei redre egegyeze. és egyeő potos or, h, és i i. Két dieziós átri összege z szité dieziós átri, ho ide ee ét összeddó átri egfeeő eeeie összegeét á eő. : átrio összedás ottí és sszoití:, ( ) ( ). Egy dieziós átri szorzt ós szá (sárr) z z dieziós átri, ho ide ee z eredeti átri egfeeő eeée -szoros. :.
3 3 Egy dieziós átri trszpoát z z dieziós átri, ey z eredeti átrió soro és z oszopo feseréésée eetezi. :. dieziós soretor eezzü egy dieziós etor trszpoátát. [ ] :. Két dieziós etor, és sáris szorzt z [ ] i i i szá. Egy dieziós átri és egy dieziós etor szorzt öetező dieziós etor:.
4 Egy dieziós és egy dieziós átri szorzt z z dieziós átri, ey i-edi sorá -edi eee z eső átri i-edi sorá és ásodi átri -edi oszopá sáris szorzt: i i átrio szorzás e ottí, zz. Megegyzés:. z szorzt étezéséő e is öetezi, hogy szorzt is étezi.. H étezi, or is átá e zoos diezióú. 3. Négyzetes átrio szorzás se ottí: átrio szorzás sszoití és disztrití, zz ( ) ( ) ( ), h űeete érteese. Egységátri: I I I H -es átri, or II. H -es: I iete I., it Egy -edredű átri ierze z átri, h I. Mátrio osztás e: SK INVERZZEL VLÓ SZORZÁS ehetséges, h étezi z ierz:, iete. ettő átá e gyz. s égyzetes átri étezhet ierze!! 4 Geoetrii etoro, iete 3 dieziós etoro egfeetethetőe geoetrii érteee ett etoro sío, iete tére z ái ódo: eseté és y oordiátá, y gy ásée etor opoesei. P(,y) y
5 5 Két etor, és y összege:. y y Vetor szászoros:,. y y Egy etor orá (gy szoút értée, gy hossz) öetező:. y y eizoyíthtó, hogy étdieziós etor sáris szorzt ét etor át ezárt szög. Két etor erőeges egyásr, h sáris szorzt. Egységetoro: e e e, e osα, ho α Mide étdieziós etor feírhtó egységetor ieáris oiáióét: e. e Egy égyzetes átriot ortogoáis eezü, h digoáis átri. Ez zt eeti, hogy sori pároétét erőegese egyásr, zz sáris szorzt. e e d D d d Egy égyzetes átriot ortoorát eezü, h egységátri. Egy ortoorát átri trszpoát is ortoorát, zz oszopi is erőegese egyásr. Ortoorát átri eseté, ie I, ezért.
6 6 Deteriáso Egy dieziós átri deteriás egy oy! tgó áó összeg, eye tgi oy téyezős szorzto, eye átri ide soráó és ide oszopáó potos egy eeet trtz. tgo eőee pozití, h iásztott eee sor- és oszopideei páros száú feseréést trtz. det, ho d. d Péd: egy -es átri deteriás ( ) d eitsü z átriot eésé szeéetes, szoásos írásód:. Eor det( ). Mie átri -es, tgo szá! zz, és tgo téyezős szorztot trtz. z eső tg eőee pozití, ert z oszopidee sor. ásodié egtí, gyis z oszopidee özött egy dr (zz párt száú) feseréődés, ert -es egeőzi z -est. Egy deteriás értée e átozi, h feseréü sorit és oszopit, zz det det. ( ) ( ) H egy sor gy oszop, deteriás. Egy deteriás értée e átozi, h feseréü sorit és oszopit, zz det det. ( ) ( ) H egy átri ét sorát gy ét oszopát feseréü, or deteriás (-)-szeresére átozi. H egy átri ét sor gy oszop egegyezi, or deteriás. H egy átri ey sorát gy oszopát λ - szorozz, or deteriás is λ - szorzódi. H főátó tt, gy föött ide ee, or deteriás főátóei eee szorzt. H det és 3,or 3 3 ( ) det( ) H egy átri áreyi sorához (oszopához) hozzád egy ási sor (oszop) szászorosát, deteriás értée e átozi. Két átri szorztá deteriás egegyezi ét átri deteriásá szorztá, zz det ( ) det( ) det( ).
7 7 Egy -edredű átri szigáris, h deteriás, regáris, h e. Szigáris átri is ierze. Lieáris összefüggőség z,,, dieziós etoro ieáris összefüggőe, h éteze oy λ, λ,, λ száo úgy, hogy e idegyiü, és λ λ λ. z dieziós átri és dieziós etor ieáris összefüggőe, h z átri oszopió épzett,,, dieziós etoro és etor ieáris összefüggőe. z,,, dieziós etoro ieáris függetee, h e ieáris összefüggőe. z,,, dieziós etoro (<) ieáris összefüggőe potos or, h etoroó épzett dieziós átri eyi -s deteriás. Háro etor or ieáris összefüggő, h étezi λ, λ és λ 3 e id úgy, hogy λ λ. λ 3 3 Lieáris egyeetredszere rer-száy: teitsü z ieáris egyeetredszert, ho e szigáris. Eor z egyeetredszer egodhtó és potos egy egodás, ho, (,,, ) oszopát iseréü etorr. Péd: z d d d, ho úgy eetezi, hogy z átri -di gy átri ír egyeetredszer egodás. d, ho d d d és d d
8 8 Egyeetredszere egodhtóság z ieáris egyeetredszer egodhtóságár z ái igz: det, or rer száy zhtó és - (hoogé) eseté s z triiáis egodás étezi, - eseté étezi potos egy e triiáis egodás; det, or rer száy e zhtó és - (hoogé) eseté z triiáis egodás és égtee so e triiáis egodás étezi - eseté is egodás egyéét égtee so egodás. h ( ) h ( ) Sátetor, sátérté Egy -es átrisz ó szorzás,, R -e egy trszforáióát hozz étre. Erre teesü: ( α ) α,( ( α ) α ), és ( y) y, ezért ezt ieáris trszforáió eezzü. ieáris trszforáió átri. Lieáris trszforáió sátetor oy (e ) etor, eye épe etor szászoros. szorzószá sátetorhoz trtozó sátérté. Négyzetes átri sátetor és sátértée: - z etor sátetor λ sátértée, h λ (λ R). - - trszforáió s hosszát átoztt, z iráyát e; ( - ide sátetorhoz s egy sátérté trtozi); Egy -es átri egfee üööző sátérée..
n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.
Vektorok, átrok dezós átr: egy soról és oszlopól álló szátálázt. L L Jelölés: A A, L hol z -edk sor -edk elee. dezós (oszlop)vektor egy soról és oszlopól álló átr. Jelölés: u u,...,, hol z -edk koordát.
Minimum kérdések a Lineáris algebra vizsga beugró részéhez. Az R n vektortér
Miiu kérdések Lieáris lger vizsg eugró részéhez z R vektortér. Lieáris koiáció, triviális lieáris koiáció fogl Legyeek,,, k -dieziós vektorok és λ, λ,, λ k sklárok. Ekkor λ + λ + + λ k k R vektort z,,
Á É Á É Ü É é í ü ü ü é é ö é é é é ö é ó ó é é í ó é é é é ü é ó ó éó ó ó é é é é é é é í ó Ü ö ö ű é ű í é ó é ó é ü é í ü é ü ü é é í ö ö é ü é í ü ü é é é ü ö é ó ó ö í ó é é ü ö é ö í é é é é ü é
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám
Lineáris egyenletrendszerek
Lieáris egyeetredszere dott z ábbi ieáris egyeetredszer: b b b meye mátrios j övetező: b H z -ed redű égyzetes mátri reguáris rgj, i det, or feti egyeetredszer egyérteműe megodhtó, meyre étfée umerius
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok
különbözõ alappontok, y, y,..., y értékek. : függvény.) ( x)
7 Iterpoácó poomo Legee [ ] (Átá ho [ ] IR üöözõ ppoto IR értée : üggvé ( O Ρ (egee -edoú poomot eresü mere ( ( 7 Téte! Ρ mere Bzoítás meghtározás és z egértemûség zoítás htározt egütthtó módszeréve törté
Vektorok, mátrixok. n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. az i-edik sor j-edik. , ahol b i
Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Vektorok, mátriok m dimeziós mátri: egy soról és m oszlopól álló számtálázt. m m m Jelölés: A A, hol i z i-edik sor -edik m eleme. dimeziós
ű ü Á
ű ü Á ó é ó ö é é Á é ó í ú Á ő íö ü ö üó é ü ü ú ö ó ü ó ü ó ü ü é í ü Ó ú íí Ó é é Ó ü ó ó ü ó ü ü ü ö ó óü ó ó ó í ü ö ü í ó ü ü É ú ú ü É í É ó ü ó ó ü ü é Á ó Á ó ó é ü ó Á é ü í é ó ö üé ó ó ó ü
é á ó ó é é ó é é é á é é é á ó á á á é á ó é í é ó é á ó é é é é é é ó ó é ó é á ó á á é é á ó á ó é ó é á é é é á óé é é á ó á é é é í é ééé ó á áé é é é é á á á ó á á ó é á á í á ó é á ó é í é á ó é
é ö é Ö é ü é é ö ö ö ü é é ö ú ö é é é Ő ö é ü é ö é é ü é é ü é é é ű é ö é é é é é é é ö ö í é ü é ö ü ö ö é í é é é ö ü é é é é ü ö é é é é é é é é é é é é é é é ö é Í ö í ö é Í í ö é Í é í é é é é
ö ö ö ö ö ű É ö ö Ú ö ö ö É É É ű ö É ö É Ú Ú É ű ö ö ű Ú É Ü ö Ü ö ű ű ö ö ö ö ö ö ö ö É Ö ű Ú ö ÉÉ ö Ü É ö ű Ú ű ö Üö
Ü É Ü Ú ö É ö ö É ö Ú ű ö Ö É ű É ö ö ö ö ö ö ö ö ű É ö ö Ú ö ö ö É É É ű ö É ö É Ú Ú É ű ö ö ű Ú É Ü ö Ü ö ű ű ö ö ö ö ö ö ö ö É Ö ű Ú ö ÉÉ ö Ü É ö ű Ú ű ö Üö Ó Ú É ö ű ö ű ű Ú ö ű ö ű Ú ö ö ű ö Ú ű ö
ö é ü ö é é ü é í ü é é ü é é é é é é ö é é é í é ö é ö ö ö é ü ü é é é é é é ü é í í é é ü ö é é é é é ü é é é ú ú ö é Ó é ü é ü ü é é ö é Ö é ö é é
Á Ö É Ö Á É Ó Ü É ö í ü é é ö é Ö é ö é é é é é é ú ö é ö í é é é ü é í ö ű ö é í ú ö Á é é é é ö é é é ö é é í é é é ö é é ü é íé é ü é í é í é é é é é ű ú é ü ú é é é ö ö ű é é é é ö é é é é ö é ü ö
ü ö Ö ü ü ö ö Ö ü Ü ö Ö ö ó í ö ö Ő ü ö ó í ü ö ó í ö Ö ü ü ö ö Ö ü ö ö ó í ó ö ú ö Ö ú ü
ö ü Ő Ö ü ö ü ó ü ü í ü ó ö ö ö ü ö ö ü í ü ü ü ö ó ü ö ü ú ö ö ö Ö ö ó í ó ü ö Ö ó ü ó ü ü ó ü ö Ö ü ü ö ö Ö ü Ü ö Ö ö ó í ö ö Ő ü ö ó í ü ö ó í ö Ö ü ü ö ö Ö ü ö ö ó í ó ö ú ö Ö ú ü ü ö ö ö Ö ü í ü ö
ö É Á ó ó á é á ó ö á É É ö ó
ö É Á ó ó é ó ö É É ö ó É Ó é í é É ü ó Á ó ö é ó é Á é é ó Á ó í é Á ó ö é ö ő é é É Á É Á ö é é ü ó é Á Ú é é ü ó ó É é é é ö ó é é é ó é é ó Ü É é é ú ö é ó é é ó ó Á ö é í é ü é é Á é ö ó é ő Á ü ü
ö Ą ě Ę ő ń ŕ ö ű ö Á ű ö ű ö ú ó ű ö ü ö úá Ö ű ö ú ń úá úá ü ö ö úá ę ö ú ö ü ó ó ó ű ö ú ö ő ó ű ö ú ö ü ó Ö ű ö ú ö ŕ ű ö ó ó ó ű ó ó ó ô ö ó ó ý ö ó ö ö ó ő ó ź ó ô ó ó ö ó Á ö ó ó ö ę Ĺ ę ę ó ű ö
Ü Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö
ö é ö ó é é é ó é é é ő ó ü é ű é í ü é é ó é é é ö é é ó é é ü é ó é é é é ú ó é ő ő é é é ü é é é É ó í ú ü é é ő Ő é í é é é é é ő é ő ű é ó ö ö é
ö é Ö é ő ü é ü ö é é ő é ü ö ö ö ő ü é ő ü é ö ó ö ö é é ő ö ő ó ő é ő Á é ő é ő ő é ő ő é í ő ó ö ő éé í ö ő é é ő í ő ö ő é í ő ó ö ö ő é ő é é é ő í é ő ő í é é ő í ó ő ö ő é í é í é é ő ő é é é ü
Á ő ő ö é é ő ü ő ő é Ö é ő ü ő ő ő é ö é Á é é é é ó ó ó é ö é é őí ü ű ö é ö ő ő é ö é ö é ó Ő Ő ö é Ö ö ö é é é ű ö ő ó ö ö Ö ó ő ő é ü ö é é ü ű ö
ü ú ö É Á ő ő ö é Ö ő ő é Ö ö ö Á ő ő ö é é ő ü ő ő é Ö é ő ü ő ő ő é ö é Á é é é é ó ó ó é ö é é őí ü ű ö é ö ő ő é ö é ö é ó Ő Ő ö é Ö ö ö é é é ű ö ő ó ö ö Ö ó ő ő é ü ö é é ü ű ö é ő é é í ó ó ó ö
é ő é ó á é ő ó í á á é ö é á é í é á á é é ű á é ö ö ö ó é ü ö ö ő é ó é ő á í á é í é é á á é í ű ö é Í é ü ö é ó é ü á ű é á ö á Í é ő é á á ó ő é
É Ö É Á í É Ó Á ö é é ö ö é é é é ó ü ö ü ö ö ő é ó é ó á í í á ó Í é á ö é ü é ó ő ő ő á é á é é í é é í á ö é é í é é á í ú é á á ő í é á é Í é é ü ö ö ő ű á á á ó á Íü é é í é ü ő ö é é ó ó í á á á
ő ó ű í ú é é é ö é é ő ü ű Ö ő é ő ű é é ő ó ü é é Ő í í ó ö ó é ö é ő ű ö é é é ö é í é é é ő é é é ő é é ű ö é é Ó Ó é é é ó í ü ú í é é é é é í ö
ó Á ú í é é é ö é Ö ő é é ő é ű ó ö é é é é é é ö é é é é ú ö é é é é ő é ő é ö é í ó é é Ö é ö é é ő é é é é ö ő é é é é é Íé ő ö é é ő ő é é í é ó ö ő é é é ó ö é é í ő ö é ú ö ö é ó ó Á í ü ő ö é ü
í ű í í á ó á ő ő á Í ő ő ö ő í á ű á í á á í ó ú á ö í ó á ó á á ő Í ő á ó á Ú ő ő á í á ő ő á ő ö É Á ó á ű í í á ó á ő ő á ű ö í í ű á ó ó ü ő á ó ő ű ó á í ű á ö í ó í ű á ó í í ó ü É ő É Á ó á ü É
ö É Á É É Ú Ö É Á
É É Á ö ó ó ó ó ö í ó ö ó í ű ö ó Á Á ó í í ö É Á É É Ú Ö É Á Á Á Á Á í ó Á Á É ő Ö ő ö ő ő ő ő őí ő ö ö Á Ó Ö Ö Ő É ÁÍ Á Ö Á Á Ö ő ö Á ú Á ó Í É í í Ő Í Á Ü ő í Ü ő ö ő ö Ü É Ö Ó É Á Á É Á ü ö ö ü ő ö
Numerikus módszerek 1. Alapvető fogalmak és összefüggések. Hogyan mérjük azt, hogy egy függvény nagy vagy kicsi?
umrus módszr. Apvtő ogm és összüggés Hog mérü zt hog g üggvé g vg cs? P. C[ ] - z [ ] trvumo otoos üggvé tré g : m C mmum-orm vg C-orm Eg más htőség: : d -orm Eg hrmd htőség: L és még számt más htőség
É É Ó É É ő É É Ú É É ő Ú Ú Ó Ü ő É Ü É Ó ő É Ó Ú Ö Ö Ó ő Ó Ú Ú Ó ő Ú Ú É É É É Ü É Ó É É É Ó É Ó É Ú É É É Ó É ő ő ű ő ő ő ő ő ő ő Ú ű Ú ő ő ű ő ő ű ű ő Ú Ü ő Ú Ú ő Ú Ú ő ő ű ő ő ő ő ű ű ő ő Ü ő ű ő ő
öáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é
öáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é á á á ó Ó á ó í éí é á á á áí ó Í ö é ő á á á á á
á é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí
é é í á é é á é ő é ú ó ő é é í ő á é ő ő é ö á á ó í ú á á á é é á é é í é é é ő á á á é ö é é é á é é í é á á é á é á á í é é á á é á é ö é é é é é ü é á é é ö á á á é é é é ő é é á ú ű é á é ő é é ü
Néhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
ö ű é é é é é é ü é é é é ű é é ü é é é é é ó ó é Í é í é é é é ó ö é ö ö ö ó é é í é é é é Ő é é é ü ü é é é ö ö ö é ü é é í é ó ü é é ü é ó é ó ó é
ö é ü ö ö Ö ú é ü ü é é é ó é é é é é ó é é Ö ö é é ó é é ó é é í é é ö ó ó ó ö ö ü é é ü é í ü é ö í é é é é é ü é ó é ü ö í í ó í ü Í é é é ü é é é ü é é ü ö ö ó ó é é í é é é é é é é Ö í ó é í ö é é
ü ü ű ű ü ü ü Á ű ü ü ü ű Ü
ü ű ü ű ü ü ü ü Á ü ü ű ű ü ü ü Á ű ü ü ü ű Ü É É Á Á Á Á É Á Á Ő É É É Á É Á É Á É Á ű É É Á Á É É É Á É Á É Á É Á Á ü ű ű ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü ű ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ü
Í Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é é é é ű é é é é é é é é Á é é é é é ú ú é é é é é é é ú é é é é é é é é é é é ő é é é é é é é é ű é
é é é Í Ó é é ü ő é é é ű ő ő ű é ő Í Ó ő ü é ő é ü é ő é é é é é é ú é ú Í Á é é é é é ű é é é é é é ú é ő é é é é ú é é é é é é é é é é é é é ő é é ő Í Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é
Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í
ÍÜ ű Í Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í Ú ö Í Á ű Í ö Ü Í Í Í ű Ú Í ő ü Í ö ő É Í É ü ÉÍ ő Ü Ú É Í ő Í ű ü Í É Ü Ü Í Á Á Í Ü Í É Í Í É É É öí Í Í ö ú Í ú
Lineáris egyenletrendszerek
Lieáris egyeetredszere Adott z ábbi ieáris egyeetredszer: b b b meye mátrios j övetező: A b H z A -ed redű égyzetes mátri reguáris rgj, i deta, or feti egyeetredszer egyérteműe megodhtó, meyre étfée umerius
1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok
Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi
é é ö í Ü ö é ő é é Í Í é é é ű é ő é é ő í ő Ű é é é é ö í é ö ö é ö é é é é ő é ű ő é é Úé é ö ö é Ü ö é ő é éü Ú í í ő ö é é é é é í é é ő é é őé é
é é ö ő é é é ö é é é é ö ö ö Í Í é Í é ö é Í ö é é é é é ö é ü í é ű é é ö é ö é Í ö ö é é é ú ö ö Ú ö í é í é é í é ö é é é é é é ö í ű ű é é ű Í ö é é é éé é í é é í ö í é é Ü é ő é í é é é é ö í Ü
ö é é é ö é é í ó á á í é üé é á á á é é á á á é é ő é é í é ő ü á é é é é ó á é ó á ú é á é ü á é é á ó á ü á á á ö é ü á á í é á é ó é ó á é ó é ó ó
é ú á á ő é é ő ü ú é ó á á é ő ü ö á á á ó ó í é á ó ó ó ö á á í ö á í í á á ó á é ü é Ü á á á á á á á é ö ü ö í á ó é ö ü á ö á é é á á ö é í é é é ö é é ó ö á á á é é ö á á ö ö é ő é é ö é ő é é á á
í ű í Ü ő ö ö Á Á Á
ő ő í ö ú í ű ő Í ő ö í ű í Ü ő ö ö Á Á Á ö Ö Á Á Á ű í ö ö í ő ő ő ő í ö Ö Á Ö Ö Ü ö Ö Ö ö Ö Ő Á Á ö ö Áö ö Ö Á Á Á ű í í ő ő ő ő í Ó Ó Ö Ö ö Á Ö Ú Á Ú Ö ö Á Ú ö Á Á Á Á ö ö Á Á Á í Á ö ö Á ő ő Á Á í
é ó é é é ő é é é é é ö í ó ó é í é é é é é é ö é í é é é í é ú é é é é é é ö é í í ó őí ü ü é é ó é ó é ü é é ó ő é é í é í ó í é ő ő ő ü ő é ó é í é
ó ü É Í É Á ú Ü Ü é ó é ö ú óé ü é í é éü Á í é ű é í óé é ú ó ü ó é í é é ú ö é é í í ú ő é í ű ó ó é é í é é é í é ű é í é é é é ü ö ú ó ű é é ó é ö ö ő í őí é é ö ó é í é É é őí é í é ű ő é é í óé ű
Lineáris egyenletrendszerek. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lieáris egyeletredszerek Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetei doces Li. egyeletredszerek /2 Lieáris egyeletredszerek áltláos lkj Áltláos (részletes) lk: egyelet iseretle:,, Jelölések: 2 2 2,, 2 2 2,,
ü ú ő ö ő őí ü Ő ü ú ő ö ó ó ü ú Í í ó ö Ó ő ö í Ó í Í ü ö ú ö í őí ó ö ő ő ö őí ö ö ű ő í ó ö ö É É É ö ő Íő ő Í őí ó ü ö ö ó ő ü ö í ő ú ö ü ü ő ö ö ő ú ó Ó ö ú ö É É É őí ö ő ő ó ó ő ő Íő ú ó őí ő ú
ó ö é ö ó ó ó é ú ó ú í ü é é ó ü ó í Í é í é é ó ú é ó í ó ú í ö ö ö é ó íü ó ú é é é í é ó í ö ó ü é ó ü é é é é é ó íü ü é é ó é ü ú ü ú ö é Ö ó ó
Á Ó É Ó Á É Ó Ü É Ó Ö ú ü ü í ü é é ó úá ü é é é é é ó é ú ő É ó é ó ó í é ó ó ó óá ó ó ó ó ú ó ü ü óíí ö ú ú é éé ó ó ü ó ö é ö ó ó ó é ú ó ú í ü é é ó ü ó í Í é í é é ó ú é ó í ó ú í ö ö ö é ó íü ó ú
Á ű ő ö Í é é ő Ö Ö é ő Ö ő ö é é Ö ü é ó Ő é é ó é ó é é é é Ö ó ó ő é Ü é ó ö ó ö é é Ő ú é é é é ő Ú é ó Ő ö Ő é é é é ű ö é Ö é é ó ű ö é ő é é é é é é é é é Ö é Ö ü é é é é ö ü é ó é ó ó é ü ó é é
Ü Éü É ü í í Í ö Ü Ú ú Ó í ő í Ö ű ö Ó ú Ű ü í Ó ö Ó Ü Ó Ó í í ú í Ü Ü ő Ú Ó Ó í ú É ÉÉ É Á Ü Ü Ü Ú ő í Ő Ó Ü ő ö ü ő ü ö ú ő ő ő ü ö ő ű ö ő ü ő ő ü ú ü ő ü ü Í ü Í Á Ö Í É Ú ö Í Á Ö í É ö í ő ő í ö ü
ű Ő ű Ü Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ú Ü Ő ű Ö ű Ü ű Ö ű Ú ű ű Ű É É ű ű ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű É Ű É Ü Ü Ú É É ű ű ű Ü ű É É Ű É ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű ű Ö É Ó É É É Ü
:.::-r:,: DlMENZI0l szoc!0toolnl ránsnnat0m A HELYI,:.:l:. * [:inln.itri lú.6lrl ri:rnl:iilki t*kill[mnt.ml Kilírirlrln K!.,,o,.r*,u, é é é ő é é é ő é ő ő ú í í é é é ő é í é ű é é ő ő é ü é é é í é ő
ó ó ú ú ó ó ó ü ó ü Á Á ü É ó ü ü ü ú ü ó ó ü ó ü ó ó ú ú ú ü Ü ú ú ó ó ü ó ü ü Ü ü ú ó Ü ü ű ű ü ó ü ű ü ó ú ó ú ú ú ó ú ü ü ű ó ú ó ó ü ó ó ó ó ú ó ü ó ó ü ü ó ü ü Ü ü ó ü ü ü ó Ü ó ű ü ó ü ü ü ú ó ü
Ü Ö Á Á Á Á Á É ű Ü Ú ű ű Á É ű Ú Ü ű Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Á Ü Ü Ü Ö Ö Ú Ö Ü Ö ű ű ű ű ű Á ű Ú ű ű ű ű ű É Á Ö Ö Ö ű ű ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű Ü Ö Ü Ó Ö ű ű ű
Ö Ó ú É ű É Ö Ö Ö Ü Ó Ú É ú É Ü Ú ú Ü ű ú Ü Ö Ö ú ű Ú ű ű ú Ö Ö Ö Ö É ú ú Ő Ö ú Ü Ó ú Ú Ü Ö ű ű ű Ö ű ú Ó ű Ö Ü ű ú ú ú ú É ú Ö ú ú Ü ú Ó ú ú ú ú ú ú ű ű ú ű ú ú ű Ö ú ú ú ű Ö ú ű ú ű Ü Ö Ü ű Ü Ö ú ú Ü
ú Ú Ö É ú ü í í ü í í í í ü Ú í ű í ú ü ü í í ü ü í ü ü ú Í í ű í ü ü Ü í í ü í ú ű ú ú í í ü ú í ü É ü Ö í í ü ú ű í í ü í ű í í Í Ö í í ü Ö ú É Í í í í ü ű ü ű ü ü ü ü í í í í ú í ü í ú É ü ü ü ü í ü
Á Á Ó É ö ó ó ó ő ő ó ö ő ő ű ó ú ö ó ó ő ó ü ó ó ő ó ó ő ó ü ó ő ő ő ó ő ő ö ó ó ó ö ö ü ö Á Á Ó ü ó ö ó ő ó ő ő Á É Á Ó ű ü ö ó ő ó ú ÉÉ ó ú ő ö ó ó ó ó ó ö ö ő ü ó ö ö ü ó ű ö ó ó ó ó ú ó ü ó ó ö ó
É É É ü É ó ó É ű ó ÉÉ ó É ó É É ó É ü ó ó Ó ű ó ó ó ó ü É ü ű ó É É É É ü ü ó ó ó ü É ó É ó É ó ó ó ü ü ü ü ó ü ü ü ü ó ű ű É Í Ó Ü Ö ó ó ó Ó ó ü ü ü ű ó ü ü ű ü ü ó ü ű ü ó ü ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó ó ű
19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer
19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.
é ü ü ő ü ő é ú é é é é é ő í é ő Í ő ü é é í é í é ő í ó é é í é é ő ó í ó é í í é ő Í ú ó ó í é ű í ó é í é ő é é í ó é í í óé í éé ő ó ü é ő úé é ú
é é ő ü é í ó é é ő Í Í é é é é óó ó é é Í Á é é í í é ő é é í é é é é é é ü é é ü é é é é ő é ő é é ő ü ü é é é é é é é í ő é é ű é é ü ü ő é é ő é é é ő é é ő ó ó é ő ü é Ú é ü é é ű é é í é í é é í
ú ó ľ ľ ľĺ ŕ ö ő Ľ ő ó ó ő ő ď ę óď ő ľ ó ő ő ó ü ľ ő ź ľ ő ö ő ť ő đ ó Ä ő ó ö đ ľ Ĺ ő ö ź ő ű đ ó ő ö ő ń ú ó ö ę ő ľę ő ź ó ő ľ ö ö ý ő ľ ő Đ ú ö ú
ő ľ ó Ĺ ő ń ő É ľ Ĺ Ę ü ľ ő ő ó ő ő ő ő ľ ü ľ ö ü ü ľ Ú ľĺ ź ź đ ő ő ľ ö ú ľ ŕ ľü ź ö ö ő ú ő ľ ö ę Ĺ ź ó ü ú Ĺ ú ö ľ ď ö Ĺ ć ü ö ö ó ź ú ľü ö ö ó ľ ő ľ ő ö ó ű ö ľ ť ö ź ú ö ö ú ľ ó ľ ü ö ľ ő ő ę ľ ó
9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában
9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget
í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é é ü ö í ü é í é í ó ö ö ö Ó í ó ó ö í ő óá Ü ü ö í ü ü é ő ű é é é é é ü í é é í é é ö
ö É Á É É í ó Á Á É ó É í ű í é é é í é é ő ó é é ü é ó é í é é í É é é í í é ó ú í öó ó ó é ö ó ő é í ó öó é é é ü é í é ó é é é í é é í í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é
ű ó Ó é é é é ó ő ü é é ü ú é é é é Ú ő ú é é é ú é é é ő Ö é ó é Ö ó é ő é é ü ő é ú é é ő é ü é é é é ó é ü ű é ó é ű é é Ö é ű é ó é é ű é é ó ő é
é ú é ú é ő ő é ú é é ú ő ő ó ú é é é ű é é é é é ó é ú é ő ő é ó é é é é é é é Ó é é Ó ó ő é ó ó é ő ő é é ü ú é é ő é ó é é Ó é ú é ú é é ú é ő é é é ó é é é ú é é é é é ó ű ó Ó é é é é ó ő ü é é ü ú
ő ó ó ó ő ó ő ó ő ő ő ó ö ó ó ö ő ő ö ő ö ű ó ő ő ű ő ő ö ő ó ó ő ö ó ö ő ő ű ó ö ő ő ű ő ő ő ö ó ü ó ő ő ő ő ű ő ö ő ü ő ő ó ő ö ö ö ő ó ő ő ő ó ü ö
Á ó ö ő ó ó ő ő ő ő ő ó ó Á ö ö ő ő ö ő ő ő ó ö ó ó ó ó ó ő ú ő ö ő ő ó ó ó ö ő ó ó ő ö ű ö ő ő ő ö ö ő ő ó ő ó ó ó ő ó ő ó ő ő ő ó ö ó ó ö ő ő ö ő ö ű ó ő ő ű ő ő ö ő ó ó ő ö ó ö ő ő ű ó ö ő ő ű ő ő ő
Ö Ö Ö Ö Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű
Ö Á ű Á Ú Ö Ö Ö Ö Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ö ű Ö ű ű ű ű Ö Ú Á Á ű ű ű ű ű Á Ó Ó Á Á Ó Ú Ó Ó Ó Á Ó Ö Á Ú Ú Ö Ú ű Ú Ú Ú Ú Ó ű ű Ó ű Á Ó ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű Ú ű Ú ű ű Á ű Ó ű ű Ö ű Ú Ó Á Ú Á ű Á
2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
Ö ü ú ü ű ü ű ü Á ü ű ű ú ű Á Ű ú ü ü ú ű Á ü Ú ü ű ü ü ű ü ú ú ü ú ü ü ü ü ü ü Ü Ü Ü ü Ö Ü ü ü ü ű ü ü ű ú ü ú
ü Ú ú ü ú ű ű ű ü ü ü ü ü Ó Á Ö ü ú ü ű ü ű ü Á ü ű ű ú ű Á Ű ú ü ü ú ű Á ü Ú ü ű ü ü ű ü ú ú ü ú ü ü ü ü ü ü Ü Ü Ü ü Ö Ü ü ü ü ű ü ü ű ú ü ú ú Ü ü ü ü ü Ü ü ü ü Á ü ü Ü ú ü ü ü Ö ú ü ű ü ü ü ü ü ú ü ú
ő ö ó ü ü ó ö é é ó é ü é é ő ö ö Ö ó é é ó ö ó ő ö é ő ö é ő ö é ő ö é ő ó ó ó í é é ü ő í ö ö ö í é ő ü é ö é ő ő é é ó é ó ü ó é ő é é íé í ő é é é
Á ö ö Á É ó ü É ó ö í ü é é ő ö é Ö é ö é é é ő ó ó ö ó ő ó é ó í ö ú ö é é ó é é ő ő ő í ó é ó ő ó é é é ó ó ő ó é ó é é í ő é ü ö Ó ö ü ő ő í é é ó é é ő é ő ő ó é ó ő ó ö ö ő ó é ó ó ő í é ű é í é é
á ü ö ó á ö ó üí á á ö ó á ó á ó Í ö í á ű ö ő á ű á á ó á á á á ű ő á á ó ő á á ű ö í őí ö üí á á ű á öí ó ó í á ö ö ö ö í ő í á Í ü ö ö ő á í ú ö üí
Ó á á ű ö ú ö ó ó á á á á ü á á ű ö ö ö á á ű í á á ű á ö ú á ú í ű ö ü ö ö ő ö ű í ű á ű ö ö á ó ö ő á ü ö á ü ö ö ő á á ó üí á ő ö ö á ű ő í Á ő ö ö ú ö ő á ó ó ü ö ö ő ó ó ü ö á á Í Í ü ö ü ö ü ö ő
ő Ö ő ü ő ó Ó Ő ü ü ő Ö ó ó ű ó ó ó ó ő ő ő ó ó ő ő ő ó ő ő ő Ö ő ü Ő Ö ü ő Ö ó ő ü ü ő ő ő ő ő Ö ó ü ő ő ő ü ü ó ó ó ó ü ő ő ő Ő ü í ő ü ő ü í ó ő í ő Ö ő ó Ö ő ó Ó Ö Ö Ű ő ó Ö Ö ő ő ő ó ő ő ó Ó ó ő ő
Horizontális fúziók. Kovács Norbert SZE GT. Mi mozgatja a fúziókat? Szolgáltatások javulása
0. eõdás Horzontás úzók Kovás orert SZE GT úzók 990-es évek Enron Tyo Heth South Wordo 00. szept.. után USA: Ore 6, rd USD eenséges kvásárás jánt eopesot In.-re; An In. 3,9 rd USD jánt ehney SA-ért Európ:
Á Á Á Á Á ö ő ü Ü ö ő ú ű ő ü ü ő ű ö ű ő ö ö ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ű ő ő ű ö ö ö ő ő Ü ő ő ű ö ő ő Ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö ö ú ü ő ü ű ö ö ü ű ő ö ő ö ő ű ő ö ő ü ö ű ő ö ö Ü ö ö ő ő ö ő ű ő ő ü ö ő ő ú
É ö í ö í í ű ö ö ú í í ú í ó Ó ö ú í ö ú í ű ö ü ó ü ó í ó ó ű ü í ű ö ó ó í ö Ü Ó í ó ű ó í ó ö ü ó í í ö ö í ó ö ú í ó ó í ó Ü ó í ü ű ö ü ó ó ö ö ö ö í ö ú Ó í í í ü ó ö ü í ó í Á Ó í ó ó ó ú Á ö í
ű ü ű ű ű ű ö Á ö ö ú ú ö ö ö ü ö ö ö ű ö ú ú ű ö ö ü ö ö ú ö ü ü ö ü ö ű ö ö ü ö ö ü ö ü ü ü ö ö ö ö ű ö ű ü ö ö ü ű ö ü ö ű ü ű ö ö ú ű ö ú ö ö ü ű ű ö ű ü ö ű ö ö ö ú ö ü ö ö ö ö ú ü ü ö ö ü ö ö ö ö
É á á á ö á á á á á á á á á ű á á á á á á á ű á á á ö á á á á á á á á á á á á á á á ű á ű á á á ö á á ú á á á á á ö ű á ű á á ü á á á É É ú É ü É ü Ú Á É ú Ú Á É Ü É Ú É Ú ű á ű á á ü Í Ú ü Á á É É ű á
ó Ü ő É ó ó ő Ó Ó í ő ó ő Ö É ó ő ú Ü í ó Ú ő Ó Ó í ó ő ó É ó É ó ö ö ű Ö ő Ó ő ó ó Éó Ó É Ó Ó Ő ó É ó ó Ó É Ó ó ö í Ó ö í ű Ó í í ö Ü ű ó í ó ö ű Ó Ö Ö ó Ö Ó í ö ü ű ú ü ú ő ó í ó ó Ú ú í í í ó Ö ü ő
ó ó é é é ó ü é é Í ő ő ó ó é ö é ó é ő ü é é ó í é é é ű ő ő ő é é ő í é í é é é ú é é é ó í é ö é ő ö é é é ö ü í é é ő é é ü é é í Ú ő ó ö é ő ö ö
Á Á É é ö ö é ő ő ő é ö é é ő é é é é ő í é é é ó é é é ü ő ő ó é ő é ű ö ö ú é ü ö é é é é ó é é ü ő ö é ő é ő ü ő ő ö ö í é ő ó ó ő é ő é ó é é ő é ó é ű é é ü ö é Í ö é í é ő ó ö é ő é ú í ö é é é ö
Debreceni Egyetem elektronikus Archívum példánya. Szerzői jogvédelem alatt.
É Á ó Ő Á É Debreceni Egyetem elektronikus Archívum példnya. Szerzői jogvédelem alatt. Á Á É Á É É Ő í é Á ö ö é ó ö ö é é ó ó ü é é é é é é ö ó é é é ő é ő é é ü ő é é ő é é ö é ő ő é ó é ö é ö í é ó
ő ő ű í ó ú í ű í ó ő ő ő ő í í Á í ü ó É í í ő ő í ó ő ő ő ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő ó
ő ő ű í ó ő ú ő ü ő ü ő ő ó ó ü ü ü ü ü ü ó í ü í ó ü ü ő ó ő ó ő ő í ő ó ó ő ő ű í ó ú í ű í ó ő ő ő ő í í Á í ü ó É í í ő ő í ó ő ő ő ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő ó ő ő ű í ó ú í ü ű í ó ő ő ő ő í ő ő ő ő í
1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
ó ü ó ö ó ö ö Ö í ó ü ö Ö ó í ö í ó ö í ö ü ú í ö űű í ó ö í ű ó ö ö ö ö ó í ö ú ö í ö ű ö ó í ü ü ö ö Ö ú ö í ö ö ö í ó ö ó í ó ö
ö Ö ü ö ü ö Ö í ü ö ö ö ó ü ü ö í ü ö ö í ó ö ö ö ö í í í ó ü ö íű í ó ö í ö ö ú ö Ö ü ö ö ó ö ó í ó ó ö ó ö ö ó ö ö í ó ü ó ö ó ö ö Ö í ó ü ö Ö ó í ö í ó ö í ö ü ú í ö űű í ó ö í ű ó ö ö ö ö ó í ö ú ö
és vágánykapcsolás geometriai terve és kitűzési adatai
Módosított összetett koszinusz átenetiíves kitérő és vágánykapcsoás geoetriai terve és kitűzési adatai iegner Nándor egyetei tanársegéd Budapesti Műszaki és Gazdaságtudoányi Egyete Út és Vasútépítési Tanszék.
ü Á É Á Á Á É É ü É ő Á É Í Í É É É í é í ö í ü ö é ö ö é ú é é é é é é ő ő ő é É é é ü é é í é É É É é í ö é é é Í é í é é ö ü é í ö é é É í ö é é ú ű É ö é é ö ö é ö ö ö é í ö é É ö í é é ü é Á é ü
Á ó Á Ü É Ú Í Á í ó ó ó ó ó ó ö őí ó ó ü ű í ó ő ú ö ő ó ó í ó í ó ó ő í í í Í ó ó ó ö ó ó í ó í ö í ó ű í Íő ó ó ó ő í ó ő í ó ó ő í ö ó ü ö ó í ü í í ű ó ö ó í ó ö ö ö í ő í ó ó É É í ő ő í í ü ö í í
úö ő Á É É Ó É ö ö ö ő ő Á ú ö ö ü ö ő Ó ő ő ú ú ö
ö É É É Ó Á É Ő Á Á Á É Á É É ö Á É ö ű ö ú Á É Ó É Ó Á Á ő ű ő ő É úö ő Á É É Ó É ö ö ö ő ő Á ú ö ö ü ö ő Ó ő ő ú ú ö ü ő ü ő ö ő ú ő ö ú Á ö ú ö ő ő ő ö ú ő ő ő ö É ú ö ö ü ö ő ü ő ö ö ö ü ő ő ő ü ő
Í Á Ó É é ü ö ö é Ö é ü é ő ő é ő ő é é ő ö ó é ó é é é ő í ő ő ö ö é é í ő ú é ő é ü ö ö é ó é é í é é ő é é ü í ő í é í é ő é ü ö é ő é é í é é í é é ó ő ő é ö é ő é ő í í é ő ő ó ö É ó É Á É Í É ü ú
É Ü ö Ü ú Ú ű Ó Ó ű ö Ó Ó ú ű Ü Ö Ó Ó ö Ó Ő ű Ó Ó ú Ü Ü Ó Ó Ó Ü Ó Í Í ö ö ö ö ö ú ú ö ű ú ö ö ö ú ö ú ű ö ö ű ö ö ö ű ö ö ö ú ö ö ú ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö Í ö Ö ö ú ö ö ö ö Ó Í
Í Ő É Ó É é Ö Á Á Á Ó é Ó é ö é Ö ű ö é ö ű ö é ö é é é é é é é é é é é é é é é é é é ü é é é Í é é é é ü é ö ü é ü é é ö ö é ú é é ü é é ü é é ü é ü é é é ú é Ó é é ú é ü é é ö é ö é Á Á Á Ó é Ó Í é ö
ö í Ö Ó ü í ü ö Ö ö ü ü ö ö ö ö Ö ü ö ö Ö ü Ű Ö ö ü ú ű ö ö í ö ö í ü ö ö í í ö Á É ö Ö í ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ö ü í ü ö í ü ö ö ö Ö ü ö í ü í ö ö ö Ö ü ö Ö í í ö Ö ü ö Ö í ü ö Á É ö Ö í ü ö í ö ű ö ö ű ö
ő ő ű í ó ú í ó í ó Á Á Á É ű ő ó ó ő ó ő Á É ó Á É ú Á É É Á ó Á Á Á Á Á É É ó Á É í É É í É ú ú ú ó ó Ö ú É ú ó ő ú ó í É É É É Ö Ö É Á É É É Ő Ó É ő ó ó í ő ú ő ő ű í ó ú Ő Ö ú É ú ú ő ő É É ő ő ő ő
ö é é ü Ő Ö é ü ö é é ü é é ó é ü ü é é é é é í é ü é é é é é é ö é é ö ö é ü ö ö é ü í é ü ü é é é ü é ö é é é ó é é é é é ü ö é é ü ú ö é é é é ö é é ö é é ó é ó é é í é é ó é é ó é é í ó é é ü ü é ó
ü ő ő ü ő ő ö ö ő ö í ü ő í ö ö í ő ö ő ű ú ő í ü ő ö ő Í ö ö ő ö ö ő ő ö ő í Í í ü ö ő í ü ü ú ü ö ö ő ü ő ö ő í ü ő í ö ö ő ő ő í í ő í ő ő Á Ó Í í í ő ű ú ő í í ő ő Í ő í ő í í Í í ő í ő í ő ő íí ő
ő ő í ö í í Ó íú ő í ő í ö ö ő ö ő í ő ő ö í ö ő ö ú í ű ú ö ö ö ö í í ö ü ő ú Á öí ű ú ű ú ú ö ö ö ő ü ö ő ő ü ő ő ő ű ö ű ú ú ö
Á ö É Á ö ú ú ö É É Á Á É í Á ü ü ü ö í ö ö ő Á í ü ö ő í ő í ö ú ö í í í Ü ü ő ő ő ő ö őí ő ű ő őí í ú ö ő ő ö ő ő í ö ő ö ü ű ö Ú ú í í ü ö Á ő í ő ő ő í ő í ü ű ő ő ü őí ő ő í ö í í Ó íú ő í ő í ö ö