1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok"

Margit Nemesné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi mior modell dti potos értéee cs özelítõ értéei Áltlá mérés potosságától függe Mûveleti ereítési- és iput hi mely z dto számítógépe vló árázolásáól dód rcioális számo is cs egy részhlmz árázolhtó leegõpotos ritmetiá mûveletvégzés sorá ereítés túl- illetve lulcsordulás léphet fel Képlethi mior egy végtele eljárást véges számú lépés utá leállítu özelítõ lgoritmusot llmzu gépi számo számítógépe egy véges számhlmzt árázol és számításot is ezeel számol végzi Leggyr leegõpotos ritmetiát hszáljá Nézzü ee modelljét: Defiíció Legye t IN Z m t i m i i hol m mi { } i K t t i eor z ± m i ± m lú számot ormlizált leegõpotos szám i evezzü t természetes szám z m mtissz hossz míg szám rterisztiáj Jelölés: ± [ m Km ] t gépi számo hlmzát M M t M i ± m m mi m Követezméye: t i jelöli hol m t M -e v leggyo elem [ ] legise pozitív szám M -r szimmetrius ormlizálás mitt < i K { } i t { } M K ε m

2 Hogy feleltetü meg egy IR -eli szám egy gépi számot? Ehhez defiiálju övetezõ iput függvéyt Defiíció z fl : IR M függvéy iput függvéy h fl Tétel Iput hi Mide M vlós szám eseté M h > M M h < M z - hez legözele i gépi h M szám ereítés szályi szerit ε h < ε fl t h ε épletõl láthtó hogy ε eseté z árázolt szám reltív hiáj t zz cs mtissz méretétõl függ Kidolgozott példá Péld Vizsgálju meg z M M gépi számo hlmzát Meyi z elemszám? Meor leggyo gépi szám és legise pozitív szám? Megoldás M hlmz ± [ m m m ] lú számot trtlmz m m m { } tehát féle mtissz lehetséges és lehete rterisztiá féle Így egtív gépi számol együtt eleme lehet hlmz -t is eleszámítv 7 7 M [ ] 8 ε [ ] 8 Péld Keressü meg π -e megfeleltetett gépi számot z elõzõ feldt M hlmzá Megoldás [ ] M ise π -él [ ] M övetezõ gépi szám Mivel π < π fl π tehát 8 z utá

3 Péld dju példát rr hogy gépi számo örée z összedás em sszocitív mûvelet Megoldás Pl z elõzõ M hlmz [ ] [ ] [ ] fl tehát [ ] fl [ ] fl így [ ] fl hiszámítás elemei z lpmûvelete és függvéyérté hiái Defiíció -vel jelöljü potos értéeet -vel özelítõ értéeiet : z özelítõ érté szolút hiáj : z özelítõ érté szolút hiorlátj : z özelítõ érté reltív hiáj : z özelítõ érté reltív hiorlátj potos hiát gyr em tudju meghtározi Soszor z is megfelel számur h hiá egy hiorlátját ismerjü Elég h hi gyságredjét ismerjü Igyeezzü példá sorá fiom ecsüli e lépjü át gyságredeet Tétel z lpmûvelete szolút és reltív hiorlátjir övetezõ épleteet pju izoyítás Összedás Tegyü fel hogy zoos elõjelû

4 szolút értéet véve felülrõl ecsülve és z szolút hiorlát foglmát felhszálv zz Írju fel z összeg reltív hiájá szolút értéét { } { } m m pott éplete zt muttjá hogy h iidulási értée hiáj icsi or z összedás hiáj is icsi Kivoás Tegyü fel hogy zoos elõjelû szolút értéet véve felülrõl ecsülve és z szolút hiorlát foglmát felhszálv zz Írju fel z összeg reltív hiájá szolút értéét Tehát reltív hiár pott épletet vizsgálv zt pju hogy h értée sol ise mit or ivoás reltív hiáj gyo gy lehet iidulási értée hiájától függetleül Emitt özeli számo ivoás erüledõ c Szorzás meyiség gyságreddel ise töi tgál ezért z szolút hiorlátr Így reltív hiorlátr d Osztás Tegyü fel hogy zoos gyságredû z szolút hiorlátr H sol ise mit or z szolút hi gyo gy lehet iidulási értée szolút hiájától függetleül

5 reltív hiár miõl reltív hiorlátr szolút értéet véve épletet pju függvéy érté szolút és reltív hiorlátjár ézzü övetezõ tételt Tétel H z f : IR függvéy differeciálhtó or f M hol z - sugrú öryezetét jelöli M sup f : H f D or f f M M sup { f : } f c reltív hiorlátr f f izoyítás Lgrge özépérté tétel mitt f f f f f α { } hol α hol α szolút értéet véve és felülrõl ecsülve f M Tylor-formulát felhszálv f f f f f β hol β szolút értéet véve és felülrõl ecsülve f f M reltív hiorlátr votozó állítás -es tg elhgyásávl már övetezi Kidolgozott példá Péld Közelítsü π -t tizedesjegyre ereített értéével zz -el dju özelítõ értére szolút és reltív hiorlátot Megoldás π özelítés szolút hiáj z szolút hi egy ecslése özelítés egy szolút hiorlátj π özelítés reltív hiáj π 667 reltív hi egy ecslése % özelítés egy reltív hiorlátj

6 Péld Legye X Számolju i zseszámológépe ecsüljü z szolút és reltív hiáját X -et más l is iszámíthtju X Y Melyi számolási mód iztosítj ise hiát? Megoldás y 897 H z lpmûveletere votozó hiépleteet megvizsgálju or látju hogy éppe ét özeli számot vou i egymásól mi reltív hiorlátot megöveli mási számítási mód eseté ugy osztu de em icsi evezõ prolémás esete áll fe 8 8 iidulási értée hiorlátji: reltív hiorlát gyságredeel õtt Vizsgálju mási számítási módszert Mivel z potos érté reltív hiorlátr 7 7 y 776 y y 8 y 9 Péld z l és reltív hiorlátot özelítésre l özelítésére z e -öt hszálju e 8 dju szolút Megoldás iidulási potos érté e -el özelítjü e % e e 8 z f l függvéyt özelítjü függvéy érté szolút hiorlátjár levezetett formul lpjá M hol M m{ : } m : [ 8;] f 8 Tehát 8 vgyis iidulási hiáál ise reltív hiár 7 l e % Tehát reltív hi is csöet l e e π Péld özelítésére hszálju 7 hiorlátot özelítésre -et π dju szolút és reltív 6

7 Megoldás π iidulási potos érté -ml özelítjü % z f függvéyt özelítjü függvéy érté szolút hiorlátjár levezetett formul lpjá M hol M m{ f : } m{ l : [ ; ] } l 976 Tehát vgyis sol gyo iidulási hiáál 67 reltív hiár 9 9 % Tehát reltív hi is õtt 7 lgoritmuso stilitás 6 Defiíció Legye emeõ dt K K imeõ dt z lgoritmust stil evezzü h c > : K K c H emeõ dto hiáj ε or imeõ dtoé legfelje c ε Péld Melyi reurzió stil z lái özül? Meor lesz z tg hiáj h potos számolu és ε y y y Megoldás Igzolju hogy reurzió stil Legye : ε és : Vezessü e : jelölést hisorozt reurziój ugyz mit z sorozté de ezdeti értée máso Oldju meg differeci egyeletet ε és ezdeti feltételeel rterisztius egyelete : z z z z étszeres gyöe z egyelete differeci egyelet áltláos megoldás: c c IN c ε c c c ε ε Ie ezdeti érté feldt megoldás: ε ε 7

8 Mivel z sorozt overges ezért orlátos is Tehát c > : c ε Igzolju hogy reurzió istil Legye yy : y ε és yy : y yy y yy yy y y yy y yy y Vezessü e : yy y jelölést Oldju meg hisorozt reurziój ugyz mit z feltételeel y sorozté de ezdeti értée máso differeci egyeletet ε és ezdeti rterisztius egyelete : z z étszeres gyöe z egyelete differeci egyelet áltláos megoldás: z c c IN c ε c c c ε Ie ezdeti érté feldt megoldás: ε ε ε Mivel z sorozt em orlátos z tg hiáj em orlátos tehát em stil 8

Hasonló dokumentumok

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós