A térbeli szabad vektorok V halmaza a vektorok összeadására, és a skalárral való szorzásra vonatkozóan egy háromdimenziós vektorteret alkot.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A térbeli szabad vektorok V halmaza a vektorok összeadására, és a skalárral való szorzásra vonatkozóan egy háromdimenziós vektorteret alkot."

Átírás

1 1. fejezet Vetoro 1.1. Vetorlulus i j jobbsodrású ortoormált bázist, mely egy O ez- A térbeli szbd vetoro V hlmz vetoro összedásár, és slárrl vló szorzásr votozó egy háromdimeziós vetorteret lot. Gyr hszálju z dőpotú Oyz Descrtes-féle oordiát-redszer tegelyeie iráyát is ijelöli. Ebbe bázisb z r egyértelműe felírhtó z r l- i y j z b, hol y z z r vetor derészögű oordiátái és λ eseté λ r λ i λy j λz Az r vetor hossz r r 2 y 2 z 2 Az r 1 1 i y 1 j z 1, r 2 2 i y 2 j z 2 vetoro összege r 1 r i y 1 y 2 j z 1 z 2 sláris szorzt r 1 r2 r 1 r 2 cos r 1 vetoriális szorzt pedig formális z r 1 r2 r y 1 y 2 z 1 z 2 i j 1 y 1 z 1 2 y 2 z 2

2 16 1. Vetoro lb felírhtó r 1 r2 y 1 z 2 z 1 y 2 i z z 2 j 1 y 2 y 1 2 vetor, melye iráy merőleges z r 1 és r 2 vetoro síjár (h em párhuzmos és egyi sem zérusvetor, ülöbe vetori szorzt zérusvetor), iráyítás oly, hogy z r 1 r 2 r 1 r 2 redszer jobbredszer, hossz pedig r 2 r 1 r 2 si r 1 r 2 r 1 H v vetor v v y v z oordiátái egy tértrtomáy potji y z derészögű oordiátáitól függe or v vetormező rotációj rot v v y z v z y i H rot v A Φ y z slármező grdiese v z v z j v y v y z, or vetormezőtöorvéymetese evezzü. grd Φ Φ i Φ y Φ j z A v vetormezőt poteciális evezzü, h előálíthtó vlmely slármező (poteciál) grdieseét. Ez or és cs or teljesül, h v ör- ). Eor megfelelő poteciál véymetes (rot v Φ v s y z ds y v y y s z ds z v z z y s ds A szüséges differeciálhtósági feltétele teljesülését midehol implicite feltételezzü. Megoldott gyorlto és feldto M 1.1. H 2i 3 j b, b, b b, és i j 2, számítsu i: b. b 3 2 b

3 Megoldás. b i 2 b 2 j j 3 i 3 b i 3 ; j 3 2i i b b 2 b 7i 5 j j 2 i j i j 2 2 i j i i j 2 186; j 7 2i 3 j 1 7i 5 j i 5 j 1. Vetoro j 8i 11 j ; ; ; 8i 5 j 31 M 1.2. Számítsu i z g F d r slár értéű, és z g itegrált, g csvrgörbe-ív meté (R h ), h F yzi z j y F d r vetor értéű y z Rcosϕ y Rsiϕ z hϕ, ϕ Megoldás. A g görbe prméteres vetori egyelete r r ϕ Rcosϕi Rsiϕ j hϕ, így görbe meté A fetie lpjá g F d r d d r r dϕ dϕ Rsiϕ hr 2 yz i z j y i Rcosϕ Rsiϕ j h dϕ i Rcosϕ j h dϕ hϕr 2 si 2 ϕ hϕr 2 cos 2 ϕ hr 2 siϕcosϕ dϕ cos2ϕ si 2ϕ 2 dϕ

4 18 1. Vetoro és g F d r i j yz i z j y Rh 2 ϕcos ϕ Rh 2 ϕsiϕ R 2 hϕsi2ϕdϕ Rsiϕ R 3 si ϕcos 2 ϕ dϕ R 3 si 2 ϕcosϕ dϕ M 1.3. Igzolju, hogy h f r z r i y j z tetszőleges függvéye, or v f r i Rcosϕ j h dϕ helyzetvetor hosszá r lú cetrális vetormező poteciális, és htározzu meg poteciált. r f r i y j z vetormező rotációj, z Megoldás. A v f r r 2 y 2 z 2, és r r figyelembevételével i j y z rot v f r f r y f r z f r z f r j r z r z y f r z f r r y r f r r y y f r r z Tehát vetormező örvéymetes és így poteciális. A megfelelő poteciál i Φ y z s f s 2 y 2 z 2 ds z z s f 2 y 2 s 2 ds y y s f 2 s 2 z 2 ds

5 1. Vetoro 19 Az itegrálob redre elvégezve z s 2 y 2 z 2 r 2, 2 s 2 z 2 r 2 és 2 y 2 s 2 r 2 változócseréet, övetező összefüggést pju: 2 y 2 z 2 2 y 2 z 2 Φ y z r f r dr r f r dr 2 y 2 z 2 2 y 2 z 2 2 y 2 z 2 r f r dr r r f r r dr, hol r 2 y 2 o z 2 2 y 2 z Vetorredszere Az A ezdőpotú v vetor z O potr votozttott forgtóyomté z M O v OA v vetor. A v vetor tegelyre votozttott forgtóyomté M OA v u, hol u tegely egységvetor. H z O ezdőpotú derészögű oordiát-redszerbe OA y z és v X Y Z, or M O v yz zy zx Z Y yx. Egy dott A i v i vetorredszer, hol A i i y i z i v i X i Y i Z i vetor ezdőpotj z r i helyzetvetorrl, i 1 R X Y Z eredője, vlmit M O L M N eredő forgtóyomté: R megfelelő ordiátá pedig: illetve L X y i Z i z i Y i M v i X i Y M O Y i Z r i z i X i i Z i L v i Z i i Y i y i X i A mometum z O ezdőpot O -re vló cseréje eseté z M O M O O O R (1.1)

6 2 1. Vetoro összefüggés szerit változi. Az R X Y Z eredőjű, M O L M N eredő forgtóyomtéú vetorredszer cetrális tegelye zo egyees, mely potjir votozó redszer forgtóyomté párhuzmos eredőjével. A cetrális tegely litius egyeletei z Oyz redszerbe: L yz X zy M zx Y Z N Y yx (1.2) Z Két vetorredszer evivles, h eredőjü és vlmely potr votozttott forgtóyomtéu is egyelő. Egy vetorredszere lehető legegyszerűbb, vele evivles redszerrel vló helyettesítését vetorredszer reduálásá evezzü. Egy vetorredszer lehetséges reduálási esetei övtező: Feltétel R M O M O R M O R M O R R M O R R cetrális tegellyel A reduált redszer Egy F párhuzmos vetor, és egy oly vetorpár, melye forgtóyomté M O ; egy F R iráyú vetor; M O forgtóyomtéú vetorpár; egy F M O R iráyú vetor; egyesúlyi redszer, zérusredszer. Megoldott gyorlto és feldto M 1.4. Htározzu meg tér zo potji mérti helyét, melyre votozó egy ötött vetor forgtóyomtéá hossz álldó! Megoldás. Vegyü fel z Oyz derészogű oordiát-redszert, melye O ezdőpotj egybeesi z dott v vetor ezdőpotjávl, és Oz tegelye vetor iráyáb mutt. Ebbe redszerbe v v. A eresett

7 potot P y z -vel jelölve, mérti helyet meghtározó feltétel PO v L 1. Vetoro 21 lb írhtó, hol L feldt áltl előírt álldó. A feti feltétel oordiátá segítségével ifejezve z egyelethez vezet, mi v tegelyű, 2 y 2 L v L v sugrú egyees örheger. M 1.5. Az 1.2. ábrá láthtó OA OB OC 1 élű OABC tetréder csúcsib feltűzött, oordiát-tegelyeel párhuzmos F 1, F 2, F 3 vetoro hossz 2, 3, 4. Htározzu meg redszer eredőjét, O potr votozttott forgtóyomtéát, mjd írju fel cetrális tegely oius egyeleteit, rr potr votozó, melybe ez tegely metszi z Oy oordiátsíot! Megoldás. A megdott vetoro ezdőpotji és oordiátái: r A 1, F 1 2, r B 1, F 2 3, r C 1, F 3 4 Az dott redszer eredője R F 1 F 2 F z O potr votozttott forgtóyomté pedig M O r A F 1 r B F 2 r C F Mivel R M O 26, így redszerü z R eredőből, vlmit egy z F 3 A z C O F 1 F 2 B 1.1. ábr. M 1.5. feldt y

8 22 1. Vetoro M O forgtóyomtéú vetorpárból álló redszerrel evivles. A redszer cetrális tegelyée egyeletei (1.2) szerit: 3 3y 2z 4 4z y ho, ért metszéspotot z feltétel lpjá felírhtó 3 3y y egyeletredszer dj. A redszer megoldás 87 Így poto átmeő és R -el párhuzmos cetrális tegely oius egyeletei y z Kitűzött gyorlto és feldto K 1.1. Igzolju, hogy sláris szorzt ommuttív, zz b. K 1.2. Elleőrizzü övetező tuljdoságot b c b c. K 1.3. Igzolju, hogy b b. K 1.4. Írju fel egy Descrtes-féle oordiát-redszerbe dott oordiátájú pot r helyzetvetorát és számítsu i vetor hosszát. AB vetort, h z A és B poto derészögű K 1.5. Htározzu meg v oordiátái és K 1.6. Htározzu meg összefüggést z és b vetoro hjlásszögée iszámításár, ismerve ét vetor ompoeseit egy ortoormált bázisb.. K 1.7. H i 2 j j b i b 2, b b K 1.8. H i 2 b, c, j 3, számítsu i: i és c 3i c. j b, b b,, számítsu i: b b,

9 K 1.9. Elleőrizzü övetezo összefüggéseet: () b c c b b c, (Gibbs-formul); (b) b c d c b d d b c ; (c) b c d b d c b c K 1.1. Htározzu meg zt z egységvetort, mely merőleges z j vetoror. 1. Vetoro 23 i 3 K Igzolju, hogy P 1 P 2 szsz zo G potjár, melyre l 1 P 1 G l 2 P 2 G érvéyes z l r G 1 r1 l 2 r2 l 1 l 2 d i j és összefüggés, hol r 1, r 2 és r G P 1, P 2 és G poto helyzetvetor. K Igzolju, hogy z r ct d t és r d c egyelete ugyzt d helyzetvetorú poto áthldó, c-vel párhuzmos egyeest írjá le. K Igzolju, hogy tetszőleges A, B, C és O poto eseté z OB OC OC OA OA OB vetor merőleges z ABC sír. K Az és b vetoro, vlmit c slár t idő egyváltozós függvéyei. Az és b vetorot ompoesebe felírv elleőrizzü övetező deriválási szbályot: d () dt d b dt b d dc (b) dt c dt c d dt ; d (c) d dt b dt b K H t i 2 2t 1 j t d dt db dt ; db dt. és b b ; d dt t i t 1 j b ; d dt, számítsu i: b K Igzolju, hogy egy álldó hosszúságú, de változó iráyú vetor deriváltj merőleges z dott vetorr.

10 24 1. Vetoro 2 1 t dt itegrált, hol t ti 1 si pt j t. π r rdt itegrált, hol r cos ωt i si ωt j. P O F d r itegrált, h F y i yz 2 j y 2 z, O votozttási redszer ezdőpotj, P pedig z oordiátájú pot, K Számítsu i z K Számítsu i z K Számítsu i z () z t 2, y t 3, z t 4 egyeleteel megdott görbe meté; (b) és 1 illetve 1 és potot összeötő egyees szszo meté. K 1.2. H r t i 2 t j t 3, O votozttási redszer ezdőpotj és P pot oordiátái 1 1 1, számítsu i övetező volmeti itegrálot: P O P O P O P O () r d r; (b) r d r; (c) r d r; (d) r d r. K H F i yz j yz, számítsu i z C F d r és C F d r itegrálot, hol C z t, y t 2, z t egyeleteel megdott görbée z origó, illetve oordiátájú poto özé eső íve. K H φ e yz, htározzu meg grd φ-t. K Htározzu meg z y 2 z 3 1 egyeletű felület ormális egységvetorát z potb. K H v yzi cosy j e y, htározzu meg rot v vetort. K H v e yzi z j y, igzolju, hogy rot v és htározzu meg zo φ slárfüggvéyt, melyre v grd φ. K A övetező vetormező özül melyi szármzi sláris poteciáltól? Poteciális esetbe htározzu meg poteciált is: () yzi z j y; (b) yi z j ; (c) r;

11 (d) µ r r, hol r r µ 3 álldó? 1. Vetoro 25 K Htározzu meg egy ompláris vetorredszer síjá potjir votozttott eredő mometumo végpotjá mérti helyét. K Adott térbe z AB vetor, egy O pot (O AB), vlmit z O poto átmeő d egyees. Az AB vetor d-re votozttott forgtóyomtéát O ezdőpotú, d trtóegyeesű vetorét teitve, htározzu meg eze vetoro végpotjá mérti helyét, mior d tetszőlegese változi térbe, z O poto áthldv. K Htározzu meg tér zo potji mérti helyét, melyre votozttv egy dott vetorredszer eredő forgtóyomtéá hossz L álldó. K 1.3. Htározzu meg térbe zo A ezdőpotú vetoro végpotjá mérti helyét, mely vetoro dott O potr votozttott forgtóyomtéá hossz L álldó. K A sí egy vetorredszerée eredője R. Htározzu meg sí zo potji mérti helyét, melyere votozttv redszer eredő yomtéá hossz L álldó. OA z z F 3 F 2 F G 1 F 2 F 1 O y O y ) b) F ábr és1.33. feldt

12 26 1. Vetoro K Az 1.2. ) ábrá láthtó 4 egységyi élhosszúságú oc élei fevő F 1, F 2, F 3 vetoro hossz 1, 2, 3. Milye egyszerű vetorredszerrel evivles z dott redszer? Írju fel cetrális tegely egyeleteit! K Az 1.2. b) ábrá láthtó 1 egységyi élhosszúságú oc élei meté htó F 1, F 2, F 3 vetoro hossz 4, 5 és 6. Reduálju redszert és írju fel cetrális tegely egyeleteit! K A P súlyú M ygi pot egy O özéppotú sugrú függőleges síú örö mozog. A vízszites átmérő A végpotj z M potot z AM távolsággl ráyos erővel tszítj, z ráyossági téyező. Htározzu meg z M pot egyesúlyi helyzeteit! K Az 1.3. ) ábrá láthtó 4 egységyi élhosszúságú oc élei elhelyezett F 1, F 2 és F 3 vetoro hossz F 1 F 4 4 és F 2 F 3 5. Mivel evivles z dott vetorredszer? z z F 1 F 2 F 3 F 4 F 3 O F 4 y F 1 F 2 O F 6 y ) b) F ábr és feldt K Az 1.3. b) ábrá láthtó élű oc élei htó ht erő mideie P hosszúságú. Reduálju z erőredszert és írju fel cetrális tegely egyeleteit!

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi

Részletesebben

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Tehetetlenségi nyomatékok

Tehetetlenségi nyomatékok Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk

Részletesebben

1. Házi feladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE

1. Házi feladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE . Házi feldtsor Vrg Bonbien, VBPCT.LT. Feldt: feldt szerint z ellipszis istengelye ngytengelye b. Prméterezzü z ellipszist z lábbi módon: x = b cos t zz: y = sin t r(t) = b cos t sin t z ismert éplet szerint

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

ACTA CAROLUS ROBERTUS

ACTA CAROLUS ROBERTUS ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főisol tudomáyos özleméyei Alpítv: ( ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS OKTATÁSÁRÓL KÖRTESI PÉTER Összefogllás A htározott itegrál értelmezése

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

11. MEREV TESTEK MECHANIKÁJA

11. MEREV TESTEK MECHANIKÁJA . MEREV TESTEK MECHANIKÁJA.. Merev test defiíciój Oly test, melyek bármely két potj közti távolság mozgás folymá álldó. Modell: Merev potredszer: m,, m, r,, r A tömegpotokt kössük össze súlytl merev rudkkl.

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m

g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m A itűzött feldto megoldási X osztály 47 g ugybb z hlmzb erüljö mit figyelembe veü, hogy ( H -vel jelöljü z elemeie számát, or ezt j A j ülöböző módo tehetjü meg A feldt állítás lpjá igzolu ell, hogy m

Részletesebben

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá. Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek

Részletesebben

IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL

IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL 86 A htározott itegrál IV A HATÁROZOTT INTEGRÁL Bevezető feldto Feldt Számítsu i z f :, [ ], f függvéy grfius épe, z, és z O tegely áltl htárolt síidom területét Megoldás Árázolju függvéyt A XI y osztály

Részletesebben

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6 9 évfolm HNCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MTEMTIKVERSENY MEZŐKÖVESD 5 Szóbeli feldto megoldási ) dju meg zot z egész értéeet mele mellett z 6 6 Z 6 6 6 6 is egész szám! pot 6 6 6 pot mide egész -re pártl íg or lesz

Részletesebben

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 I FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK 7 Gyorlto és feldto ( oldl) Vjo milye törvéyszerűség lpjá épeztü z lábbi soroztot? Az áltld tlált szbályszerűség

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.

Részletesebben

13. EUKLIDESZI ÉS UNITÉR VEKTORTEREK

13. EUKLIDESZI ÉS UNITÉR VEKTORTEREK 3. EUKLIDESZI ÉS UNITÉR VEKTORTEREK A orább feezetebe már láthttu, hogy vetortere egy legszemléletesebb példá geometr sí, lletve tér vetor strutúrá. A vetortere elméletée eddg tárgylt témöre zob em tesz

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok

VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok Poliomo és lgeri egyelete VI FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK VI A oliom foglm Alvető tuljdoságo Eddigi tulmáyito sorá ülööző lgeri ifejezéseel tláloztto (l z, c,,, lú ifejezéseel), műveleteet

Részletesebben

Lineárisan független vektorrendszer bármely részrendszere is lineárisan független.

Lineárisan független vektorrendszer bármely részrendszere is lineárisan független. 3. ALTEREK Mnen vetortérben fontos szerepet átszn zo vetoroból álló részhlmzo, melye vetortér mőveletevel mgu s vetorteret lotn. Ebben feezetben z lyen részhlmzot vzsgálu. Mneneelıtt zonbn smereün meg

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

X. Székely Mikó Matematikaverseny 1. Beszámoló a X. Székely Mikó Matematikaversenyről

X. Székely Mikó Matematikaverseny 1. Beszámoló a X. Székely Mikó Matematikaversenyről X Széely Mió Mtetiversey Beszáoló X Széely Mió Mtetiverseyről február 8 és özt erült sor X Széely Mió Mtetiversey egredezésére A versey csíszeredi Márto Áro Giáziub zjlott, 8 diá és 5 tár részvételével

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

SOROZATOK. Körtesi Péter

SOROZATOK. Körtesi Péter SOROZATOK Körtesi Péter. Fejezet. Foglm ismétlése. Ez fejezet soroztoról szól. Ajálju, hogy tuló Sorozto I. szitű pszodót tulmáyozz, melybe főét Számti, Mérti és Hrmoius Hldváyot ismerheti meg. Az lábbib

Részletesebben

II. Valós számsorozatok

II. Valós számsorozatok Vlós számsorozto 5 Értelmezés Az f : II Vlós számsorozto és f : \ {,,,, } típusú függvéyeet ( ) vlós számsorozt evezzü Értelmezés Az f : sorozt -edi tgjá vgy áltláos tgjá evezzü z f ( ) vlós számot, és

Részletesebben

1. Kombinatorika, gráfok

1. Kombinatorika, gráfok 0.06.06. Év végi tézáró A douetu s legfotos épleteet, illetve defiíiót trtlzz, példát e! Azot jáltos füzete, illetőleg töyve egeresi! A függvéytálázt hszált se tilos.. Koitori, gráfo erutáió (sor redezése)

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Integrálszámítás. b a. (f) az integrálszámítást felhasználhatjuk területszámításhoz, átlagérték számoláshoz

Integrálszámítás. b a. (f) az integrálszámítást felhasználhatjuk területszámításhoz, átlagérték számoláshoz IV Integrálszámítás H ismert z egyváltozós f() függvény, differenciálhtju, hogy megpju pontonénti változásán sebességét, df/d mennyiséget Enne folymtn fordítottj (inverze) z integrálás, mior derivált ismeretéből

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Integrálszámítás. következőképpen történhet: ( x) (e) az integrálás mint lineáris operátor: ( f g) dx

Integrálszámítás. következőképpen történhet: ( x) (e) az integrálás mint lineáris operátor: ( f g) dx IV Integrálszámítás H ismert z egyváltozós f() függvény, differenciálhtju, hogy megpju pontonénti változásán sebességét, df/ mennyiséget Enne folymtn fordítottj (inverze) z integrálás, mior derivált ismeretéből

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra . Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

SZAKDOLGOZAT KOLOMPÁR GYULA 2004

SZAKDOLGOZAT KOLOMPÁR GYULA 2004 SZAKDOLGOZAT KOLOMPÁR GYULA 4 MÁSODRENDŰ HIPERFELÜLETEK Kozules : Készítette : Dr. Ngy Péter Kolompár Gyul tszévezető mtemt szvzsg egyetem doces II.évfolym TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés..Másodredű hperfelülete

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lieáris egyeetredszere dott z ábbi ieáris egyeetredszer: b b b meye mátrios j övetező: b H z -ed redű égyzetes mátri reguáris rgj, i det, or feti egyeetredszer egyérteműe megodhtó, meyre étfée umerius

Részletesebben

Integrálszámítás. b a. (f) az integrálszámítást felhasználhatjuk területszámításhoz, átlagérték számoláshoz (

Integrálszámítás. b a. (f) az integrálszámítást felhasználhatjuk területszámításhoz, átlagérték számoláshoz ( IV Integrálszámítás H ismert z egyváltozós f() függvény, differenciálhtju, hogy megpju pontonénti változásán sebességét, df/ mennyiséget Enne folymtn fordítottj (inverze) z integrálás, mior derivált ismeretéből

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Mechatronika alapjai II

Mechatronika alapjai II Horváth Péter Mechtroik lpji II jegyzet HEFOP táogtásávl készült. Szécheyi Istvá Egyete. Mide jog fetrtv Hi! hivtkozási forrás e tlálhtó. Megoldás z idıtrtoáy Trtlojegyzék redszer állpot, eeı és kieı jeleiek

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Otatási Hivatal A 015/016 tanévi Országos Középisolai Tanulmányi Verseny másodi forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értéelési útmutató 1 Egy adott földterület felásását három munás

Részletesebben

Enzimreakciók Aktiválási energia számítások Bevezetés a kinetikába. OH - + CH 3 Cl HO...CH HOCH 3 + Cl -

Enzimreakciók Aktiválási energia számítások Bevezetés a kinetikába. OH - + CH 3 Cl HO...CH HOCH 3 + Cl - Bevezetés ketkáb Bevezetés ketkáb A B j k j,l C l D,j,l, kvtuállpotok őérséklettől függő sebesség álldó [ A] d[ B] d T dt dt )[ A][ B] [A], [B] A és B kocetrácój [ A ] f A ( T )[ A] f A eloszlásfüggvéy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

1.2. Ütközés Ütközési modell, alapfeltevések Ütközés 3

1.2. Ütközés Ütközési modell, alapfeltevések Ütközés 3 .2. Ütközés 3 alkalmazásához azoba szükséges a kiematika ismerete, a kietikus és poteciális eergia megfelelő kifejezése és a tehetetleségi yomaték számítása, valamit helyese kell alkalmazi a differeciálási

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

S ( ) függvényre. . Az 1), 3) feltételekbõl a feltételek száma : ( l + 1) n ( l 1)

S ( ) függvényre. . Az 1), 3) feltételekbõl a feltételek száma : ( l + 1) n ( l 1) INE o egye [ ] IR I [ ] ( : és < < < z tervllum egy elosztás Deíó: Az :[ ] IR üggvéyt l eoú sple- evezzü C ( l I l Iterpoláós sple- evezzü egy ( : [ ] IR üggvéyre ( ( egjegyzés: Cs terpoláós sple-l ogu

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

ő ľü ó Ö ľ ő ź ź ő ľ ő ľ ľ ľ ü í ľ ö ő ľ ő ó ő í ľ ü ľ ö ü í ú í ó ú ó ó ú ó ő í í ű ľó ü ľ ö ö ö ó í ü ű Íć ű ö ö ź ę ő ö ü ő ö ő ö ö í ő ü ľ ő ü ö ź ź ó ó ő ü ľ ľ ö źľő ő ő í ó ó Ł ł ü ű ü ú í ü ź ó

Részletesebben

Lineáris algebrai alapok *

Lineáris algebrai alapok * Lieáris geri po * dieziós átri: z soró és oszopó áó ós szátáázt. Jeöés: dieziós etor z soró és oszopó áó átri. Jeöés:, ho i z i-edi oordiát., ho i z i-edi sor -edi eee. dieziós etor z z dieziós etor, eye

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés Háromszög egyelő területű szkszr osztás, számítássl és szerkesztéssel Bevezetés Az építészet szkrodlomb elég gykr előfordul címbel feldt, főleg kötőelemek kosztáskor. Ezek lehetek szegek, csvrok, betétek,

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI-

5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI- 5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI- FÉLE RELATIVITÁSI ELV m, m,,m r, r,,r r, r,, r 6 db oordáta és sebességompoes 5.. Dama Mozgásegyelete: m r = F F, ahol F jelöl a

Részletesebben