A térbeli szabad vektorok V halmaza a vektorok összeadására, és a skalárral való szorzásra vonatkozóan egy háromdimenziós vektorteret alkot.

Átírás

1 1. fejezet Vetoro 1.1. Vetorlulus i j jobbsodrású ortoormált bázist, mely egy O ez- A térbeli szbd vetoro V hlmz vetoro összedásár, és slárrl vló szorzásr votozó egy háromdimeziós vetorteret lot. Gyr hszálju z dőpotú Oyz Descrtes-féle oordiát-redszer tegelyeie iráyát is ijelöli. Ebbe bázisb z r egyértelműe felírhtó z r l- i y j z b, hol y z z r vetor derészögű oordiátái és λ eseté λ r λ i λy j λz Az r vetor hossz r r 2 y 2 z 2 Az r 1 1 i y 1 j z 1, r 2 2 i y 2 j z 2 vetoro összege r 1 r i y 1 y 2 j z 1 z 2 sláris szorzt r 1 r2 r 1 r 2 cos r 1 vetoriális szorzt pedig formális z r 1 r2 r y 1 y 2 z 1 z 2 i j 1 y 1 z 1 2 y 2 z 2

2 16 1. Vetoro lb felírhtó r 1 r2 y 1 z 2 z 1 y 2 i z z 2 j 1 y 2 y 1 2 vetor, melye iráy merőleges z r 1 és r 2 vetoro síjár (h em párhuzmos és egyi sem zérusvetor, ülöbe vetori szorzt zérusvetor), iráyítás oly, hogy z r 1 r 2 r 1 r 2 redszer jobbredszer, hossz pedig r 2 r 1 r 2 si r 1 r 2 r 1 H v vetor v v y v z oordiátái egy tértrtomáy potji y z derészögű oordiátáitól függe or v vetormező rotációj rot v v y z v z y i H rot v A Φ y z slármező grdiese v z v z j v y v y z, or vetormezőtöorvéymetese evezzü. grd Φ Φ i Φ y Φ j z A v vetormezőt poteciális evezzü, h előálíthtó vlmely slármező (poteciál) grdieseét. Ez or és cs or teljesül, h v ör- ). Eor megfelelő poteciál véymetes (rot v Φ v s y z ds y v y y s z ds z v z z y s ds A szüséges differeciálhtósági feltétele teljesülését midehol implicite feltételezzü. Megoldott gyorlto és feldto M 1.1. H 2i 3 j b, b, b b, és i j 2, számítsu i: b. b 3 2 b

3 Megoldás. b i 2 b 2 j j 3 i 3 b i 3 ; j 3 2i i b b 2 b 7i 5 j j 2 i j i j 2 2 i j i i j 2 186; j 7 2i 3 j 1 7i 5 j i 5 j 1. Vetoro j 8i 11 j ; ; ; 8i 5 j 31 M 1.2. Számítsu i z g F d r slár értéű, és z g itegrált, g csvrgörbe-ív meté (R h ), h F yzi z j y F d r vetor értéű y z Rcosϕ y Rsiϕ z hϕ, ϕ Megoldás. A g görbe prméteres vetori egyelete r r ϕ Rcosϕi Rsiϕ j hϕ, így görbe meté A fetie lpjá g F d r d d r r dϕ dϕ Rsiϕ hr 2 yz i z j y i Rcosϕ Rsiϕ j h dϕ i Rcosϕ j h dϕ hϕr 2 si 2 ϕ hϕr 2 cos 2 ϕ hr 2 siϕcosϕ dϕ cos2ϕ si 2ϕ 2 dϕ

4 18 1. Vetoro és g F d r i j yz i z j y Rh 2 ϕcos ϕ Rh 2 ϕsiϕ R 2 hϕsi2ϕdϕ Rsiϕ R 3 si ϕcos 2 ϕ dϕ R 3 si 2 ϕcosϕ dϕ M 1.3. Igzolju, hogy h f r z r i y j z tetszőleges függvéye, or v f r i Rcosϕ j h dϕ helyzetvetor hosszá r lú cetrális vetormező poteciális, és htározzu meg poteciált. r f r i y j z vetormező rotációj, z Megoldás. A v f r r 2 y 2 z 2, és r r figyelembevételével i j y z rot v f r f r y f r z f r z f r j r z r z y f r z f r r y r f r r y y f r r z Tehát vetormező örvéymetes és így poteciális. A megfelelő poteciál i Φ y z s f s 2 y 2 z 2 ds z z s f 2 y 2 s 2 ds y y s f 2 s 2 z 2 ds

5 1. Vetoro 19 Az itegrálob redre elvégezve z s 2 y 2 z 2 r 2, 2 s 2 z 2 r 2 és 2 y 2 s 2 r 2 változócseréet, övetező összefüggést pju: 2 y 2 z 2 2 y 2 z 2 Φ y z r f r dr r f r dr 2 y 2 z 2 2 y 2 z 2 2 y 2 z 2 r f r dr r r f r r dr, hol r 2 y 2 o z 2 2 y 2 z Vetorredszere Az A ezdőpotú v vetor z O potr votozttott forgtóyomté z M O v OA v vetor. A v vetor tegelyre votozttott forgtóyomté M OA v u, hol u tegely egységvetor. H z O ezdőpotú derészögű oordiát-redszerbe OA y z és v X Y Z, or M O v yz zy zx Z Y yx. Egy dott A i v i vetorredszer, hol A i i y i z i v i X i Y i Z i vetor ezdőpotj z r i helyzetvetorrl, i 1 R X Y Z eredője, vlmit M O L M N eredő forgtóyomté: R megfelelő ordiátá pedig: illetve L X y i Z i z i Y i M v i X i Y M O Y i Z r i z i X i i Z i L v i Z i i Y i y i X i A mometum z O ezdőpot O -re vló cseréje eseté z M O M O O O R (1.1)

6 2 1. Vetoro összefüggés szerit változi. Az R X Y Z eredőjű, M O L M N eredő forgtóyomtéú vetorredszer cetrális tegelye zo egyees, mely potjir votozó redszer forgtóyomté párhuzmos eredőjével. A cetrális tegely litius egyeletei z Oyz redszerbe: L yz X zy M zx Y Z N Y yx (1.2) Z Két vetorredszer evivles, h eredőjü és vlmely potr votozttott forgtóyomtéu is egyelő. Egy vetorredszere lehető legegyszerűbb, vele evivles redszerrel vló helyettesítését vetorredszer reduálásá evezzü. Egy vetorredszer lehetséges reduálási esetei övtező: Feltétel R M O M O R M O R M O R R M O R R cetrális tegellyel A reduált redszer Egy F párhuzmos vetor, és egy oly vetorpár, melye forgtóyomté M O ; egy F R iráyú vetor; M O forgtóyomtéú vetorpár; egy F M O R iráyú vetor; egyesúlyi redszer, zérusredszer. Megoldott gyorlto és feldto M 1.4. Htározzu meg tér zo potji mérti helyét, melyre votozó egy ötött vetor forgtóyomtéá hossz álldó! Megoldás. Vegyü fel z Oyz derészogű oordiát-redszert, melye O ezdőpotj egybeesi z dott v vetor ezdőpotjávl, és Oz tegelye vetor iráyáb mutt. Ebbe redszerbe v v. A eresett

7 potot P y z -vel jelölve, mérti helyet meghtározó feltétel PO v L 1. Vetoro 21 lb írhtó, hol L feldt áltl előírt álldó. A feti feltétel oordiátá segítségével ifejezve z egyelethez vezet, mi v tegelyű, 2 y 2 L v L v sugrú egyees örheger. M 1.5. Az 1.2. ábrá láthtó OA OB OC 1 élű OABC tetréder csúcsib feltűzött, oordiát-tegelyeel párhuzmos F 1, F 2, F 3 vetoro hossz 2, 3, 4. Htározzu meg redszer eredőjét, O potr votozttott forgtóyomtéát, mjd írju fel cetrális tegely oius egyeleteit, rr potr votozó, melybe ez tegely metszi z Oy oordiátsíot! Megoldás. A megdott vetoro ezdőpotji és oordiátái: r A 1, F 1 2, r B 1, F 2 3, r C 1, F 3 4 Az dott redszer eredője R F 1 F 2 F z O potr votozttott forgtóyomté pedig M O r A F 1 r B F 2 r C F Mivel R M O 26, így redszerü z R eredőből, vlmit egy z F 3 A z C O F 1 F 2 B 1.1. ábr. M 1.5. feldt y

8 22 1. Vetoro M O forgtóyomtéú vetorpárból álló redszerrel evivles. A redszer cetrális tegelyée egyeletei (1.2) szerit: 3 3y 2z 4 4z y ho, ért metszéspotot z feltétel lpjá felírhtó 3 3y y egyeletredszer dj. A redszer megoldás 87 Így poto átmeő és R -el párhuzmos cetrális tegely oius egyeletei y z Kitűzött gyorlto és feldto K 1.1. Igzolju, hogy sláris szorzt ommuttív, zz b. K 1.2. Elleőrizzü övetező tuljdoságot b c b c. K 1.3. Igzolju, hogy b b. K 1.4. Írju fel egy Descrtes-féle oordiát-redszerbe dott oordiátájú pot r helyzetvetorát és számítsu i vetor hosszát. AB vetort, h z A és B poto derészögű K 1.5. Htározzu meg v oordiátái és K 1.6. Htározzu meg összefüggést z és b vetoro hjlásszögée iszámításár, ismerve ét vetor ompoeseit egy ortoormált bázisb.. K 1.7. H i 2 j j b i b 2, b b K 1.8. H i 2 b, c, j 3, számítsu i: i és c 3i c. j b, b b,, számítsu i: b b,

9 K 1.9. Elleőrizzü övetezo összefüggéseet: () b c c b b c, (Gibbs-formul); (b) b c d c b d d b c ; (c) b c d b d c b c K 1.1. Htározzu meg zt z egységvetort, mely merőleges z j vetoror. 1. Vetoro 23 i 3 K Igzolju, hogy P 1 P 2 szsz zo G potjár, melyre l 1 P 1 G l 2 P 2 G érvéyes z l r G 1 r1 l 2 r2 l 1 l 2 d i j és összefüggés, hol r 1, r 2 és r G P 1, P 2 és G poto helyzetvetor. K Igzolju, hogy z r ct d t és r d c egyelete ugyzt d helyzetvetorú poto áthldó, c-vel párhuzmos egyeest írjá le. K Igzolju, hogy tetszőleges A, B, C és O poto eseté z OB OC OC OA OA OB vetor merőleges z ABC sír. K Az és b vetoro, vlmit c slár t idő egyváltozós függvéyei. Az és b vetorot ompoesebe felírv elleőrizzü övetező deriválási szbályot: d () dt d b dt b d dc (b) dt c dt c d dt ; d (c) d dt b dt b K H t i 2 2t 1 j t d dt db dt ; db dt. és b b ; d dt t i t 1 j b ; d dt, számítsu i: b K Igzolju, hogy egy álldó hosszúságú, de változó iráyú vetor deriváltj merőleges z dott vetorr.

10 24 1. Vetoro 2 1 t dt itegrált, hol t ti 1 si pt j t. π r rdt itegrált, hol r cos ωt i si ωt j. P O F d r itegrált, h F y i yz 2 j y 2 z, O votozttási redszer ezdőpotj, P pedig z oordiátájú pot, K Számítsu i z K Számítsu i z K Számítsu i z () z t 2, y t 3, z t 4 egyeleteel megdott görbe meté; (b) és 1 illetve 1 és potot összeötő egyees szszo meté. K 1.2. H r t i 2 t j t 3, O votozttási redszer ezdőpotj és P pot oordiátái 1 1 1, számítsu i övetező volmeti itegrálot: P O P O P O P O () r d r; (b) r d r; (c) r d r; (d) r d r. K H F i yz j yz, számítsu i z C F d r és C F d r itegrálot, hol C z t, y t 2, z t egyeleteel megdott görbée z origó, illetve oordiátájú poto özé eső íve. K H φ e yz, htározzu meg grd φ-t. K Htározzu meg z y 2 z 3 1 egyeletű felület ormális egységvetorát z potb. K H v yzi cosy j e y, htározzu meg rot v vetort. K H v e yzi z j y, igzolju, hogy rot v és htározzu meg zo φ slárfüggvéyt, melyre v grd φ. K A övetező vetormező özül melyi szármzi sláris poteciáltól? Poteciális esetbe htározzu meg poteciált is: () yzi z j y; (b) yi z j ; (c) r;

11 (d) µ r r, hol r r µ 3 álldó? 1. Vetoro 25 K Htározzu meg egy ompláris vetorredszer síjá potjir votozttott eredő mometumo végpotjá mérti helyét. K Adott térbe z AB vetor, egy O pot (O AB), vlmit z O poto átmeő d egyees. Az AB vetor d-re votozttott forgtóyomtéát O ezdőpotú, d trtóegyeesű vetorét teitve, htározzu meg eze vetoro végpotjá mérti helyét, mior d tetszőlegese változi térbe, z O poto áthldv. K Htározzu meg tér zo potji mérti helyét, melyre votozttv egy dott vetorredszer eredő forgtóyomtéá hossz L álldó. K 1.3. Htározzu meg térbe zo A ezdőpotú vetoro végpotjá mérti helyét, mely vetoro dott O potr votozttott forgtóyomtéá hossz L álldó. K A sí egy vetorredszerée eredője R. Htározzu meg sí zo potji mérti helyét, melyere votozttv redszer eredő yomtéá hossz L álldó. OA z z F 3 F 2 F G 1 F 2 F 1 O y O y ) b) F ábr és1.33. feldt

12 26 1. Vetoro K Az 1.2. ) ábrá láthtó 4 egységyi élhosszúságú oc élei fevő F 1, F 2, F 3 vetoro hossz 1, 2, 3. Milye egyszerű vetorredszerrel evivles z dott redszer? Írju fel cetrális tegely egyeleteit! K Az 1.2. b) ábrá láthtó 1 egységyi élhosszúságú oc élei meté htó F 1, F 2, F 3 vetoro hossz 4, 5 és 6. Reduálju redszert és írju fel cetrális tegely egyeleteit! K A P súlyú M ygi pot egy O özéppotú sugrú függőleges síú örö mozog. A vízszites átmérő A végpotj z M potot z AM távolsággl ráyos erővel tszítj, z ráyossági téyező. Htározzu meg z M pot egyesúlyi helyzeteit! K Az 1.3. ) ábrá láthtó 4 egységyi élhosszúságú oc élei elhelyezett F 1, F 2 és F 3 vetoro hossz F 1 F 4 4 és F 2 F 3 5. Mivel evivles z dott vetorredszer? z z F 1 F 2 F 3 F 4 F 3 O F 4 y F 1 F 2 O F 6 y ) b) F ábr és feldt K Az 1.3. b) ábrá láthtó élű oc élei htó ht erő mideie P hosszúságú. Reduálju z erőredszert és írju fel cetrális tegely egyeleteit!