11. MEREV TESTEK MECHANIKÁJA

Átírás

1 . MEREV TESTEK MECHANIKÁJA.. Merev test defiíciój Oly test, melyek bármely két potj közti távolság mozgás folymá álldó. Modell: Merev potredszer: m,, m, r,, r A tömegpotokt kössük össze súlytl merev rudkkl. r i r j =d ij mozgás sorá álldó i, j=,, Ez merev test egy holoom, szkleroom potredszer. A szbd merev test helyzetéek megdásához 6 függetle dt szükséges. (Kivétel lieáris merev testet, hol 5 függetle dt is elegedő.) A merev test 6 szbdsági fokkl redelkezik (6 függetle dt) Bizoyítás: ) A merev test egy tetszőleges potják megdás O és z iráyultság megdás összese 6 dt. Legye K ierciredszer (lbortóriumi redszer): O, e, e, e Legye K merev testhez rögzített redszer: O, e, e, e Aháy dt K helyzetéek meghtározásához szükséges, yi dttl tudom leíri merev test helyzetét. m i r i K-be yugszik O : R ( dt), e, e, e (szimmetri dt), mert { e dt } e dt például: Euler-szögek e = e e b) Egy merev test helyzetéek megdásához elég em egy egyeesbe eső potják megdás r, r, r : 9 dt, melyek közül csk 6 függetle, mivel egyeletek fe kell álli d = r r ; d = r r ; d = r r

2 .. Kiemtik lptétele Egy merev test tetszőleges elmozdulás felbothtó egy trszlációr (eltolásr) és egy rotációr (forgtásr). A bizoyítást ifiitezimális (végteleül) kicsiy elmozdulásr végezzük el. Felhszáljuk forgó votkozttási redszerre votkozó összefüggéseket (ld.:4. Fejezet). K z együttforgó redszer. r,,, r = Rr e i = e i ; i=,, K r = R K r K = V O v r, potji yuglomb vk. mivel merev testhez rögzített redszerbe merev test A merev test egy tetszőleges potják sebessége: v = V O r, illetőleg elmozdulás dt idő ltt: trszláció rotáció v dt=d r = V O dt dt r d r =d R d r d R d r Az első tg trszláció, második pedig rotáció... Dimik A merev test fázistere dimeziós (f=6), dimiki egyelet -edredű közöséges differeciálegyelet redszer, melyet z impulzustétel és z impulzusyomték-tétel szolgáltt: P= F külső ; L O = M O külső, hol P r ; L O r r Írjuk fel merev test impulzusát: P r V O r = m [ V O r tkp ]= r tkp ; r tkp z O illetve O -ből tömegközéppotb húzott vektor [ tömegközéppot defiíciój: r tkp = Írjuk fel merev test impulzusyomtékát is: L r V O r = = = r tkp V O r ] r tkp V O m v tkp r = R r r r = J

3 L= = = { r tkp V O R r tkp }J = Rr tkp R V O r tkp v tkp =R P = r tkp V O J m r tkp V O J = H O -t tömegközéppotb helyezzük, kkor L O = r tkp P J pályimpulzusyomték Mith test teljes tömege bele lee sűrítve tömegközéppotb és z mozog. A J = r r meyiség merev test perdülete. A formulából látszik, hogy perdület szögsebesség homogé lieáris függvéye. J r r =, hol homogé lieáris trszformáció z ú. tehetetleségi tezor. A tehetetleségi tezor kompoesei K-b illetve K-be: J i r r r r i r i j x j j x i r j = x i e i ; i j= j ij ( szumm jeleket kéyelmi okokból em midig írjuk ki) J i j= = r ij x i x j j ij j j = Mátrix jelöléssel: J tehetetleségi tezor J J = Itt bevezettük tehetetleségi tezor kompoeseire ij r ij x i x j jelölést. Ebből közvetleül leolvshtó, hogy tehetetleségi tezor szimmetrikus: ji = ij A digoális kompoesek tegelyekre votkozttott tehetetleségi yomtékok: Az -es tegelyre votkozttott tehetetleségi yomték: r x x x

4 A -es tegelyre votkozttott tehetetleségi yomték: r x x x A -s tegelyre votkozttott tehetetleségi yomték: r x x x A em-digoális elemek z ú. deviációs yomtékok: = = x x ij = ji = x i x j ; i j H folytoos tömegeloszlást tételezük fel, kkor tömegpotokr vett összegzés helyett test térfogtár vett itegrálásokt kell hszáli: dv V Például: = xx = y z = x, y, z y z dv V 4

5 .4. Merev test mozgási eergiáj T m v m V O r = m V O V O m tkp r T rot Az első tg trszlációs, vgy hldási eergi, második tg z ú. kölcsöös eergi, hrmdik pedig rotációs, vgy forgási eergi: T rot = i, j r r r = r ij x i x j r cos ; r = i j = i, j T rot = =,, ij i j T =T trszlációs T kölcsöös T rotációs H z O -t tömegközéppotb tesszük, kkor r tkp és így mozgási eergiát z össztömeg hldási és forgási eergiáj dj..5. A tehetetleségi tezor tuljdosági J= tehetetleségi tezor defiíciój, kompoesei K-b: K : O ; e ; e ; e : O ij [ r ij x i x j ] (időbe változó). H kompoeseket K-be írjuk fel, kkor: K : O ; e ; e ; e : O i j [ r i j x i x j ] = kompoesek időbe álldók. Emitt, h mást em moduk, tehetetleségi tezor kompoeseit z együttforgó redszerbe djuk meg. r i x i e i x i e i i = Az együttforgó redszerre votkozttott kompoeseket tömegeloszlás és geometri htározz meg. 5

6 [ Pl.: ; b; c; féltegelyű homogé ellipszoidr ] (Az itegráláshoz hszáljuk gömbi polárkoordiátát!) =álldó= m V, V =4 b c xx = m 5 b c Tuljdoságok: szimmetrikus: i j = j i pozitív T rot = = J T rot = = J m r 0 Következméyek: Sjátértékei vlósk és pozitívk (kivéve lieáris merev test) Midig v oly K, melybe i j digoális (ú. főtehetetleségi redszer), melybe digoálisb tehetetleségi tezor sjátértékei:,, 0 állk.,, -ból háromszög szerkeszthető i j k y z? z x x y Szimmetriák: H merev testek v tükörsíkj, kkor z egyik főtegely merőleges tükörsíkr, h merev testek v forgástegelye (szimmetritegelye), kkor z főtegely. Steier-tétel: O i j = i j tkp m [ r tkp i j x tkp i x tkp j ] Bizoyítás: r =r tkp r i j De [ r i j x i x j ] = [ r tkp r i j x tkpi x i x tkp j x j ]= [ r i j x i x j ] [ r tkp r i j x tkp i x j x i x tkp j ] r, így z utolsó szumm ullát d. [ r tkp i j x tkp i x tkp j ] A és B testek legyeek diszjuktk (külöállók) és legyeek mereve összecstolv: O v egy A B testük: AB = O O A B vgyis tehetetleségi tezor dditív 6

7 Tehetetleségi yomték defiíciój: A merev testek O - átmeő tegelyre votkozttott tehetetleségi yomtéká = O kvdrtikus lkot értjük. Ez megegyezik szokásos defiícióvl: = i i j j i [ r i j x i x j ] j = i, j = i, j [ r i i j j i x i x j j i, j r [ r r ] l r r ] hol l z távolság forgástegelytől. = H ismerjük tehetetleségi tezort, kkor köye kiszámolhtjuk egy tetszőleges iráyú tegelyre votkozó tehetetleségi yomtékot: cos, cos, cos xx xy xz cos,, =cos, cos, cos yx yy yz zx zy zz cos= xx cos xy cos xz cos =cos, cos, cos yx cos yy cos yz zx cos zy cos zz cos= = xx cos yy cos zz cos xy cos cos xz cos cos yz cos cos A Steier-tétel szokásos lkj pedig: O =? tkp m s i, j = tkp m [ r tkp r tkp ] s O -höz trtozó tehetetleségi ellipszoid: x O x= i O i j j = i [ tkp i j m r tkp i j x tkp i x tkp j ] j = x y b z c = x y z = K főtehetetleségi redszerbe: ~

8 0 0 x, y, 0 z 0 x z y = 0 0 x D O x D =; x D =d d O = d =.6. Egy potjáb rögzített merev test (pörgettyű) mozgásegyeletei Helyezzük K és K origóját egyrát rögzített potb, és írjuk fel z O-r votkozó impulzusyomtékot (perdületet) és z impulzusyomték-tételt! f = K, e, e, e K, e, e, e e i = e i L O =J = L O = M O külső szbd kéyszer = M O külső szbd A kéyszererők forgtóyomték ull, mivel kéyszererők rögzítési potb htk, így forgtóyomtékuk rögzítési potr votkozó ull. A kéyszererők z O-b támdk M O kéyszer J K = M O szbd Térjük át z együttforgó K redszerre: J K = J K J = M O külső szbd K legye főtehetetleségi redszer:,, J = ; J = ; J = ( vesszőket elhgyjuk) J = ; J = ; J = J = J J = = A pörgettyűk Euler-egyelete: =M =M =M 8

9 Az,, szögsebesség kompoesek kifejezhetők z Euler-szögekkel (áltláos koordiáták), vlmit zok időderiváltjivl (áltláos sebességek). Az Euler-egyeletek megoldás segítségével z Euler-szögek időfüggésére tuduk felíri elsőredű differeciálegyeletet. A következőkbe pörgettyűk legegyszerűbb esetét tárgyljuk..7. Erőmetes szimmetrikus pörgettyű Aimáció: oldlo. Nicseek külső szbderők, (külső) kéyszererők O=O -be támdk M O kéyszer J K = M J=álldó K -b: e J (A hrmdik tegelyt iráyítsuk J -vel párhuzmos!) Térjük vissz K redszerre: = ( megfelelő -kl átosztuk) = = = Aimáció: oldlo. Szimmetrikus: v egy szimmetritegelye (forgtásr): főtegely e e sjátvektor tehetetleségi tezork, hozzátrtozó sjátértéke ~ = szimmetrikus pörgettyű (Még speciálisbb esetek: ) = = : gömbi pörgettyű, b) lieáris test: test tömege z e meté helyezkedik el, (rúd)) Mivel =, ezért : z vetülete szimmetritegelyre álldó: =c Jelölés: =álldó 9

10 = = = = ; Megoldás: = cos t = = si t = si t = c =álldó = c =álldó cos= c c = cos t e si t e c e. Állítás: és x szöge álldó: egy félyílásszögű kúpo forog szimmetritegely körül. A forgás szögsebessége: = J = = cos t J = si t= si t J = c J =J e J e J e = cos t e si t e c e J = c e J = c =álldó. Állítás: J, és e egy síkb v mide időpilltb. J, e = cos= J e J e = J J =álldó utációs kúp. Állítás: A szimmetritegely J körül pr = J szögsebességgel egyeletes precessziót végez ( utációs kúpo). 0

11 Bizoyítás: = pr l A szimmetritegely mekkor szögsebességgel forog J körül? v p = r p = pr r p A precesszió szögsebessége pr def. = e = pr e = pr cos J = = J J pr = J cos cos = cos = J =álldó 4. Állítás: J, = T rot = J J = c =álldó= T rot cos = J J = T rot J =álldó 5. Állítás: test szimmetritegely körül l szögsebességgel forog. Aimáció: oldlo..8. Forgás rögzített tegely körül Rögzített tegely: v egy fix helyzetű egyees (ez z egyees legye egyelő e =e -vel és z O=O pot legye rjt). f = : z elfordulás szöge z áltláos koordiát. külső szbd kéyszer L= M = e = e = = A kéyszererők tegely meté támdk, ezért forgtóyomtékuk merőleges tegelyre, vgyis hrmdik kompoesük ull: M külső kéyszer d dt =M külső szbd

12 = =M szbd.9. Szbdtegelyek Tétel: Bármely merev testek leglább szbdtegelye v, mégpedig tömegközéppoto átmeő főtehetetleségi tegelyek. Szbdtegely: Oly forgástegely, mely körül mgár hgyott merev test egyeletes forgást végezhet. Keressük meg k feltételét, hogy e kellje kéyszererőt lklmzi forgástegely megtrtásához ( forgástegely mgától is helyé mrdjo)! Rögzített tegelyél: =álldó J = ; = e = e = J = = J = J K J = M kéyszer J = J K Első kompoes: kéyszer J = J J =M =M kéyszer Második kompoes: kéyszer J = J J =M =M kéyszer

13 Ak feltétele, hogy e kellje kéyszererőt lklmzi z, hogy -s tegelyre votkozó deviációs yomtékok eltűjeek: : : Ak szükséges feltétele tehát, hogy -s tegely szbdtegely legye: ~ , zz -s tegelyek főtegelyek kell leie. Tömegközéppotot-tétel: m r tkp F külső szbd kéyszer H tömegközéppot ics forgástegelye, kkor körpályá mozog, ezért gyorsul, vgyis, hogy e kellje erőt lklmzi, szükséges feltétel, hogy r tkp tegelye legye. A -s tegely tehát szbdtegely, h átmegy tömegközéppoto és főtehetetleségi tegely iráyáb mutt..0. A gömböc, potos két egyesúlyi helyzettel redelkező merev test V.I. Arold sejtése szerit létezik oly homogé (tehát egy ygból készült test), mely kizárólg egy stbil és egy istbil helyzettel redelkezik. Az ismert gyerekjáték, keljfeljcsi például vlób midig ugybb helyzetbe tér vissz, zz egy stbil potj v, de em homogé, hisz visszgurulást bee lévő ehezék, például ólom biztosítj. A Gömböc léyegéek megértéséhez tisztázi kell z egyesúlyi helyzetek jeletőségét is. Egy kockák például ht stbil egyesúlyi helyzete v ht lpj. H ezekre fektetve tesszük le, biztos ott mrd. Istbil egyesúlyi helyzet lkul ki z élek meté: ezeke egy ideig megáll kockák, de előbb-utóbb eldől, és vlmelyik stbil potjáb (lpjá) állpodik meg. Arold professzor sejtette, hogy v oly test, melyek egy stbil és egy istbil potj v, Domokos Gábor, pedig godolkodott rjt, és közbe keresett ilye formákt természetbe is. Egy rhodoszi yrlás ltt például kétezer kvicsot válogtott át feleségével ( ez már mjdem válóok jegyzi meg viccese Domokos), de feltételek megfelelőt egyet sem tláltk. Gömböc meglkotásához végül Várkoyi Péter dt z ötletet. Mide testek v lposság és hosszúság, e tuljdoságok számszerűsíthetők. A miimális érték természetese egy midkét jellemző esetébe. A kuttók bebizoyították, hogy csupá egy stbil és egy istbil pottl redelkező test legikább gömbhöz hsolít, tehát lposság és hosszúság is miimum, zz - értéket kp. Az új form ie kpt Gömböc evet. Gömböc egyébkét két egymásr merőleges szimmetrisíkkl redelkezik. A gömböcre votkozó részleteket megtlálj ct=pi&rov=&id=8798 holpo. A gömböc mozgását holpo tekitheti meg.

14 .. Feldtok... Az m tömegű, l hosszúságú homogé rúd vízszites tegelyű csuklóvl kpcsolódik z szögsebességgel forgó függőleges tegelyhez. ) Írj fel Lgrge-függvéyt! b) Írj fel mozgásegyeleteket! c) Htározz meg 0 egyesúlyi helyzet körüli kis rezgések frekveciáják függését z -tól ( 0 = cos t!)... Az r sugrú homogé heger egy R sugrú hegerfelület belsejé gördül. ) Adjuk meg mozgási eergiát! b) Írjuk fel Lgrge-függvéyt! c) Htározzuk meg z egyesúlyi helyzet körüli kis rezgések periódusidejét!... Az m tömegű l hosszúságú rúd függőleges tegelyhez v rögzítve fix 0 szög ltt. Mekkor forgtóyomtékkl kell trti függőleges tegelyt, h forgás szögsebessége?..4. Egy és b oldlú sík tégllpot z átlój, mit tegely körül álldó szögsebességgel forgtuk. Milye iráyú és mekkor forgtóyomtékkl tudjuk forgástegelyt fixe trti?..5. A Föld forgási ellipszoidk tekithető, melyek féltegelyei kb. =670 km, ill. b=60 km. Az erőmetes szimmetrikus pörgettyűre votkozó eredméyek lpjá milye becslés dhtó precesszió periódusidejére? (Meyi idő ltt fordul körbe Föld forgástegelye Föld polártegelye körül?)..6. Htározzuk meg H, HD és D molekulák tömegközéppotr votkozó tehetetleségi yomtékik ráyát, feltéve, hogy kötéstávolság midhárom esetbe zoos!..7. Mutssuk meg egyszerű megfotolások segítségével, hogy egy szbályos tetréderek tömegközéppotjár votkozó fő tehetetleségi yomtéki egyelőek!..8. Egy merev test egy rjt átmeő tegely körül forog. A tegely trtás közbe mit érzékelük következő esetekbe: ) tegely em megy át test tömegközéppotjá, de párhuzmos z egyik fő tehetetleségi tegellyel; b) tegely átmegy tömegközéppoto, de em esik egybe egyik fő tehetetleségi tegellyel sem; c) tegely átmegy tömegközéppoto és egybeesik vlmelyik fő tehetetleségi tegellyel?..9. Htározzuk meg z m tömegű, R sugrú, h mgsságú kúp tehetetleségi yomtékát egyik lkotójár votkozttv!..0. Egy merev, l hosszúságú és elhygolhtó tömegű rúd végeire M és M tömeget helyezek.( M és M méretei l -hez képest elhygolhtók.) A rudt reá merőleges tegely körül forgásb hozzák. A rúd mely potjá kell tegelyek keresztülhldi hhoz, hogy rúd szögsebességgel vló megforgtásához szükséges muk miimális legye? 4

15 ... m tömegű, homogé rudt z egyik végétől x távolságr levő, rúdr merőleges tegely körül szögsebességgel forgtuk. Mekkor x eseté lesz kietikus eergi miimális?... Elhygolhtó méretű rúd két végére m tömegű testeket erősítük. Az így kpott súlyzót súlypotjá átmeő, rúddl szöget bezáró tegely körül szögsebességgel forgtjuk. Számíts ki ) súlyzó impulzusmometumát; b) súlyzór htó forgtóyomtékot; c) cetrifugális erő forgtóyomtékát!... Htározz meg z m tömegű, l hosszúságú rúd forgási eergiáját, h ) középpotjá átmeő, rúddl szöget bezáró tegely körül forgtjuk; b) z előzővel párhuzmos oly tegely körül forgtjuk, mely súlypottól d távolságr metszi rudt!..4. m tömegű, R sugrú, elhygolhtó vstgságú homogé körlpot súlypotjá átmeő tegelyre rögzítük úgy, hogy körlp síkj szöget zárjo be tegellyel. Htározzuk meg körlp kietikus eergiáját, h szögsebességgel forgtjuk tegelyt!..5. Egy létr tetejére egy M tömegű, két szárák másik végpotjihoz egy-egy m tömegű testet erősítük. (A létr szár elhygolhtó tömegű.) Mekkor sebességgel ér földet z M tömegű test? 5