SOROZATOK. Körtesi Péter

Átírás

1 SOROZATOK Körtesi Péter. Fejezet. Foglm ismétlése. Ez fejezet soroztoról szól. Ajálju, hogy tuló Sorozto I. szitű pszodót tulmáyozz, melybe főét Számti, Mérti és Hrmoius Hldváyot ismerheti meg. Az lábbib rövide összefogllju z említett fejezet éháy eredméyét. A Sorozto I. szitje sorozto egy ituitív leírását trtlmzz. H egy potos defiíciót ru, or z övetezőéppe dhtó meg: Defiíció. Egy (végtele) sorozt természetes számo egy leépzése vlós számor, zz egy f : N R függvéy. A soroztot meghtározó függvéyt redszerit em evezzü meg, és szoásos f(), f(), f(3),... függvéyérté jelölés helyett zot egyszerűe sorozt első, másodi, hrmdi, tgjá evezzü, és jelölésü:,, 3,... Mgát soroztot tömöre ( ), vgy ( ) N jelöli, és t sorozt áltláos tgjá evezzü. Néh véges soroztoról beszélü, és egy végtele sorozt ezdő tgjit értjü ltt. Például,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 egy yolc tgú véges sorozt. Egy sorozt megdhtó z áltláos tgjávl, például, vgy egy reurreci relációvl mely sorozt egy tgját z őt megelőző tg, vgy tgo segítségével dj meg. Például Fibocci sorozt tgjit övetezőéppe dhtju meg:, és (h ) Lieáris reurreci relációvl dhtó meg számti, mérti, és hrmoius hldváyo tgji is például. Vlób, hogy h egy (véges, vgy végtele) sorozt bármely három, egymást övető tgj,, és eleget tesz övetező feltétele: or soroztot számti hldváy evezzü. H egy sorozt bármely három, egymást övető tgj,, és eleget tesz övetező feltétele: or sorozt mérti hldváy. Végül, h egy ullától ülöböző tgot trtlmzó sorozt bármely három, egymást övető tgj,, és eleget tesz övetező feltétele: or z egy hrmoius hldváy. Ugyez három hldváy megdhtó reurreci relációvl (reurzív úto) övetező szerit:

2 r, hol, és r dott, egy számti hldváy, r, hol, és r dott, egy mérti hldváy, és r, hol, és r dott, (hol em pozitív többszöröse r-e), egy hrmoius hldváy. Az előbbi három hldváy áltláos tgj is megdhtó, eze redre: ( r) ( r) ( )r, r és,. ( )r ( )r. Feldt. Igzolj, hogy defiícióhoz hsoló tuljdoság midhárom hldváy eseté igz bármely három:,, egyelő távolságr lévő tgr, zz megfelelő hldváyoál redre teljesüle z:, és összefüggése. Egy számti hldváy első tgjá összegét övetezőéppe számíthtju i: ( ) ( ( r ) ) S Hsoló egy mérti hldváy eseté: ( r ) S 3... r Igzolj egyszerű gyorltét z előbbi épleteet (A Sorozto I. szite részletes megoldást trtlmz).. Feldt. Igzolj, hogy egy mérti sorozt első tgjá P szorzt eleget tesz övetező összefüggése: P 3... r ( ) 3. Feldt. Igzolj, hogy egy hrmoius sorozt első tgjá reciproi összegére teljesül övetező összefüggés: ( ( 3 ) r) R... 3 ( r) Számti hldváyo típusfeldti 4. Feldt. Egy számti hldváy első három 0, 6.5 és 3. Számíts i tizeötödi tgot! Megoldás. Az dott számti hldváy álldó ülöbsége r és 0. Tehát (5 )r 0 4 ( 3.5) Feldt. H számti hldváy hrmdi tgj, 3, vlmit ilecedi tgj, 9 0, eresse meg htodi tgot! Megoldás. A feldt dti és z ( ) r éplete felhszálásávl: 3 r és 9 8r 0. A pott egyeletredszer megoldási: 4 és r 3, mjd iszámíthtó 6 5r 4 5.

3 Észrevehető, hogy feldt még egyszerűbbe is megoldhtó, h z egyelő özű tgor votozó tuljdoságot llmzzu: 6. Mérti hldváyo típusfeldti 6. Fedt. H mérti hldváy hrmdi tgj 5, htodi tgj -40, eressü meg yolcdi tgját! Megoldás. Allmzzu mérti hldváy z. tgjá épletét, így 3 r 5, és 5 r 40. A ét egyeletből r 3 8, ee egyetle vló megoldás r, így 6 ztá , tehát 8 r ( ) A mérti hldváyo vlószíűleg leghíresebb feldt smester feldt: 7. Feldt. Egy irály zt ígérte smestere, hogy bármit megd, mit z ívá, h megyeri játéot (és természetese smester öyedé yert). A smester cs yit ért, hogy stábl első égyzetére egy szem búzát tegye irály, mjd étszer yit tegye másodir, és így folytss mid 64 égyzetre, midig étszer yit tegye övetező égyzetre, mit meyit z előzőre tett. Mit godolto, örvedett-e irály szeréy íváság? Lehet, hogy első hllásr egyszerűe teljesíthetőe godolt, de végiggodolv, már em. Mi ti véleméyete?. Fejezet. Lieáris reurreci relációvl dott sorozto A hldváyo mellett más jól ismert példát dhtu reurreci relációl megdhtó soroztor. A leghíresebb tlá Fibocci sorozt, mit z másodredű lieáris reurreci reláció és z, ezdeti feltétele htároz meg. Tgji redre:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89,... Mit modhtu z áltláos tgjáról? Létezi-e z -t leíró éplet? Erre érdésre em is oly egyszerű válsz, de övetezőéppe ereshető meg: Léyeges megállpíti, hogy z dott reurreci reláció és ezdeti feltétele (első ét tg) teljese meghtározzá soroztot. Vlób h (b ) is egy oly sorozt mire b és b b b, b, or ijelethetjü, hogy b mide -re (em csupá vgy eseté). Vlób redre: b 3 b b 3, így ztá b 4 b 3 b 3 4, és áltláb, idutív úto beláthtó, hogy b mide eseté. Az áltláos tghoz övetezőéppe juthtu el: Egy (b ) soroztot eresü, mire b és b b b, b. Elsőre eressü z dott másodredű lieáris reurzió egy ullától ülöböző b r lú megoldását. Helyettesítsü be b r ifejezést z dott b b b relációb, mjd özös téyezővel egyszerűsítve eljutu z: r r. ú. rterisztius egyelethez, melye r megoldás ell legye: Ee z egyelete ét gyöe:

4 5 r és r 5. 5 Tehát, midettő, zz b r és b r b b b reurreci relációt. Ezt ár elleőrizhetjü is: H b r, or 5 b (b b ) r ( r r ) r ( r r ) r 0 0. ielégíti Hsoló b r eset is. Megjegyezzü, hogy reurreci reláció lieritás mitt z dott megoldáso egy tetszőleges lieáris ombiációj is megoldás, zz: 5 5 b A r B r A B (*) bármely A, B álldó eseté ielégíti reurreci relációt. Ee z elleőrzése egyszerű feldt, és zt z olvsór bízzu. Most csupá z mrd, hogy z A és B álldót úgy válsszu meg, hogy b, és b ezdeti feltétele is teljesüljee. Behelyettesítve z és értéet (*) összefüggésbe: és 5 A 5 B 5 5 A B A pott redszer megoldási A és B -re A, B. 5 5 A feti megjegyzéseet és számításot összegezve: 5 5 b 5 5. Azz vlób megtláltu Fibocci sorozt áltláos tgjá épletét. Vegyü egy mási, hsoló példát: Keressü meg z áltláos tg épletét, h reurreci reláció: 3 ( ), vlmit ezdeti feltétele: 0 3 és 7. Az előző esethez hsoló megoldást r lb eresve, zt reurreci relációb behelyettesítve, z egyszerűsítés utá övetező rterisztius egyeletet pju: r 3r -. Ee gyöei: r és r. Tehát megoldás várhtó lj: A r B r A B, hol z A, B álldót övetező ezdeti feltétele lpjá htározzu meg: 0 3 és 7. Ez lesz övetező feldt. 8. feldt. Igzolj, hogy A B ( 0,,,... ) egy megoldás 3 ( ) reurreci reláció. Htározz meg z A és B álldó értéét, úgy, hogy övetező ezdeti feltétele teljesüljee: 0 3 d 7.

5 Megoldás. ( Diret úto meyibe lehetséges, h em or z előbbiere támszodv). Első lépését jvsolt megoldást reurreci relációb helyettesítjü. Eor bloldl, zz éppe A B. A jobboldlo álló ifejezés iszámításár felírju A B és A B. Így jobboldl, zz 3 3(A B ) (A B ). Tehát elleőrizü ell, hogy teljesül-e: A B 3(A B ) (A B ) bármely eseté. Ez egy egyszerű számítás. A jobboldlból idulv redre felírhtó: 3 (A B ) (A B ) 3A 3B A B A B (3 ) A 4B A B mi pot bloldl. Most htározzu meg zt z A és B értéét úgy, hogy z 0 3 és 7 ezdeti feltétele teljesüljee. 0 Az 0 és 0 3, övetező egyeletet dj 3 A B A B. Hsoló és 7, 7 A B A B egyelethez vezet. Meg ell oldu tehát övetező lieáris egyeletredszert: A B 3 A B 7 Egyszerű számítássl z A és B 4 dódi. Tehát reurreci reláció és z dott ezdeti feltételee egyetle megoldás 4. Ugyez éplet zt is 7 jeleti, hogy diret úto iszámíthtju értéét, élül, hogy egyeét, z összes tgot i ellee számíti, míg megjelei. Összegezhetjü tehát: Az előbbi ét péld lpjá világos, hogy z p q 0 másodredű lieáris reurreci megoldás sorá, melye első ét tgj,, dott, elsőét z r pr qr 0 másodfoú egyelete ell megoldu, mjd h ét ülöböző r és r vlós gyöe v, reurzió áltláos tgj A r Br lú. Az A és B meghtározhtó, segítségével. Tuljdoéppe ez z ötlet áltláosíthtó egy p -... p 0 lú -d redű lieáris reurziór, h z ebből szármzó r p r -... p 0 -d foú rterisztius egyelete ülöböző vlós gyöe v. Eor z áltláso tg lj: A r A r... A r 3. Fejezet. Mooto sorozto. Korlátos sorozto A övetező ét fejezetbe sorozto gyr előforduló tuljdoságit tulmáyozzu, mit mootoitás, orlátosság, vgy overgeci.a potos defiíciót övetező trtlmzzá. Ee ét fejezete z ismeretébe oly érdésere tudu mjd válszoli mit például: Kérdés. Teitse övetező soroztot:,,,..., 7..., rdicls Növevő-e sorozt? Korlátos-e sorozt? V-e htárértée sorozt? Követezze éháy defiíció.

6 Defiíció. Az ( ) N sorozt em csöeő, h mide eseté. H z egyelőtleség szigorú teljesül, or sorozt övevő. Hsoló értelmezzü em övevő soroztot (h mide -re), és csöeő soroztot. Azot soroztot, melye em csöeő, vgy em övevő mooto sorozto evezzü. Defiíció. Az ( ) N sorozt felülről orlátos, h is létezi egy oly M szám, melyre M mide -re. Ezt z M-et sorozt egy felső orlátjá evezzü. Hsoló, sorozt lulról orlátos, h v egy oly m szám, melyre m mide - re. Egy ilye m-et sorozt egy lsó orlátjá evezzü. Végül soroztot or evezzü orlátos, h egy időbe lulról is és felülről is orlátolt. Néháy péld. Az sorozt is ) övevő, b) lulról orlátos és c) felülről em orlátos. A b sorozt ) em csöeő, b) em övevő és c) orlátos.. Megjegyzedő, hogy h v felső orlátj egy sorozt, or z em egyértelmű, mivel például M vgy M is felső orláti ugy sorozt. Hsoló tuljdoság teljesül z lsó orlátor is. 9. feldt. Igzolj, hogy egy ( ) sorozt or és csis or orlátos, h létezi egy oly M > 0 melyre < M (mide -re) 0. Feldt. Tulmáyozz övetező sorozto mootoitását: ), b) b, c) c, d) d 3, 3 e) e ( ), f) f ( ), g) g ( ), h) h feldt. Tulmáyozz övetező sorozto mootoitását: 5 ), b) b, c) c, d) d 3 3 e) e ( ), f) f ( ), g) g ( ), h) h. 3. feldt. Vizsgálj meg, hogy övetező sorozto orlátos-e? ), b), c), d) 3, 3 e) ( ), f) ( ), g) ( ), h) Feldt. Vizsgálj meg, hogy övetező sorozto orlátos-e? ), b) b, c) c 5, d) d 3 3

7 e) e ( ), f) h) h. 3 f ( ), g) g ( ), 4. feldt. Igzolj, hogy z (s ) sorozt, hol s..., em orlátos. 3 4 Felhszálhtó övetező egyelőtleség: x log ( x) h x 0 (mi lízis segítségével öye igzolhtó). Megoldás. Az dott egyelőtleség lpjá redre:... log( ) log( ) log( )... log( ) log... 3 log ( ) tehát z dott összeg em orlátos felülről. A reurreci relációvl dott soroztot is tulmáyozhtu mootoitás vgy orlátosság szempotjából. Lássu ezt övetező példáb. 5. feldt. Igzolj, hogy z reurreci relációvl értelmezett sorozt, melyre, egy övevő, orlátos sorozt. Megoldás. Pozitív sorozto eseté elegedő felső orlátot megtláli (hisze pl. 0 egy lsó orlát). Tudju, hogy <, tehát <. Iducióvl bizoyítju, tehát, tegyü fel, hogy <, egy -r. Eor -re zt pju, hogy: < tehát z idució teljesül, és így sorozt felülről orlátos., A mootoitás vizsgáltor össze ell hsolíti z -t z -el. Mivel tudju, hogy >, próbálju meg bebizoyíti, hogy > mide -re teljesül. Midét oldlt égyzetre emeljü, és z > egyelőtleséggel evivles > egyelőtleséggel folyttju, mit átírv pju 0 >. Most elemezzü z x x - prbol előjelét (hisze ez jobboldlo álló ifejezés). Gyöei x, x, tehát mide x-re mi teljesíti < x < feltételt, prbol egtív. Az első részbe viszot éppe zt igzoltu, hogy 0 < <, mide -re, tehát 0. Ebből övetezi, hogy >, mit z feltehető volt.. > (Megjegyzés: Mivel igzoltu, hogy sorozt övevő, 0 < < orláto helyett jvított < < orláto vehető. Megemlíthető, hogy z előző példáb tulmáyozott sorozt potos z sorozt, mely fejezet elejé érdését jelei meg. Feleltü tehát z ott feltett érdése özül ettőre.

8 Meg ell válszolu zt érdést is, hogy sorozt v-e htárértée, Ezt övetező Fejezetbe tárgylju. 4.Fejezet. Sorozto overgeciáj A övetezőbe sorozto overgeciáját tárgylju. Első megözelítésbe ( potos defiíció ésőbb övetezi) z ( ) sorozt or özelíti meg vgy overgál z L htárértéhez, miözbe z ő, h egy tetszőleges ε > 0 tűréshtár mellett, sorozt tgji legfeljebb ε -l tére el L-től. Potosítv: Defiíció. Az ( ) sorozt overges L vlós számhoz, és ezt lim jelöli, h bármely dott ε > 0 eseté v egy N természetes szám úgy, hogy bármely N, teljesíti övetezőt: L < ε. () H sorozt em overges, or divergese evezzü. Az L számot z ( ) sorozt htárértéée evezzü. Az lim L jelölés helyett éh rövidebb lim L vgy z L jelölést hszálju. Néh előyösebb defiíciób szereplő () egyelőtleségeet övetező, velü evivles lb íri: L ε < < L ε Megjegyezhető, hogy h ( ) overges, or Defiíciób szereplő N em egyértelmű: h egy tetszőleges N eseté z () teljesül bármely N-re, or z N helyett egy ál gyobb szám is vehető. Szité fotos tudi, hogy áltláb N értée függ ε-tól. H ε-t megváltozttju, redszerit N-et is másét ell iválszti. Egy mási tudivló mi Defiícióból zol övetezi, z, hogy h z ( ) sorozt overges or z ( ) sorozt is z, és tuljdoéppe lim lim. Ez godolt folytthtó: lim lim lim bármely N eseté. L Példá. ) A osts ( ) sorozt, zz h c mide -re, overges, és b) Az sorozt overges 0-hoz, zz lim 0. Bizoyítás. ) Nyilvá, dott ε > 0, bármely N-re teljesül, hogy h N or: c ε < c < c ε lim c. b) Vegyü egy dott ε > 0 értéet. Legye N egy oly egész szám mely gyobb mit. Vehetjü például z N ε ε értéet. Eor mide N ε > teljesül z ε < ε. Mivel > 0 ez zt is jeleti, hogy bármely N eseté: 0 < ε. Vgyis Defiíció szerit lim 0.

9 A övetező ét feldtot ésőbbiebe leírt tételeel öye meg lehet oldi, de z olvsó zt jvsolju, hogy oldj meg őet diret Defiíció lpjá. 6. feldt. Igzolj, hogy, és sorozto 0-hoz overgese feldt. Igzolj, hogy: lim, lim és lim. 8. Feldt. Igzolj, hogy z (-) sorozt em overges 0-hoz. Áltláosbb mutss i, hogy egyáltlá em overges semmilye L-hez sem.. (Utsítás z első részhez: Igzolhtó, hogy ε > 0 eseté em lehetséges egy oly N- < et tláli, melyre h N or ε < ( ) ε ). 9. Feldt. Igzolj, hogy h egy ( ) soroztr teljesül lim L, or lim L Igz-e fordított állítás?. Megoldás. Azol beláthtó övetező egyelőtleség lpjá: 0 L L. A fordított állítás hmis, mit zt z előző péld is igzolj: láthttu, hogy (-) em overges, ugyor lim lim (-) lim. Mielőtt további példát du sorozto overgeciájár, bizoyítsu be éháy, továbbib felhszálhtó tételt.. Tétel. Mide overges sorozt orlátos. Bizoyítás. Legye z ( ) egy overges sorozt, melyre lim L. Allmzzu overgeci Defiícióját ε -re. Erre z ε > 0 értére létezi egy N úgy, hogy mide N eseté: L <, tehát < L. Válsszu i z M mx {,,..., N, L } értéet. Most már yilvávló, hogy mide -re M. Megjegyzés. A tétel fordítottj em igz, hisze például (-) sorozt orlátos, de em overges. 0. Feldt. Tegyü fel, hogy z ( ) ullától ülöböző tgot trtlmzó sorozt overges és lim L, hol L 0. Igzolj, hogy z sorozt is orlátos. (Ezt z eredméy felhszálv igzoli fogju, hogy másodi sorozt is overges). (Utsítás. Legye ε L L < ε és így L > 0. Létezi tehát oly N, melyre bármely N eseté L > ).. Tétel. H z ( ), (b ) és (c ) három oly sorozt, melyre b c mide -re és lim lim c L, or lim b L.

10 Bizoyítás. Legye egy dott ε > 0. Mivel lim L, létezi egy oly N melyre mide N eseté. L ε < () (tuljdoéppel ε < < L ε is teljesül, de eü cs z első egyelőtleségre v szüségü). Hsoló létezi egy oly N is, melyre mide N eseté c < L ε. () Legye N mx (N, N ). H tehát N, z () és () egyidejűleg teljesül, tehát L ε < b c < L ε. Ez zt jeleti, hogy bármely N eseté L ε < b < L ε, tehát (b ) overges és lim b L. 3. Tétel. Tegyü fel, hogy z ( ), (b ) oly overges sorozto melyere lim A és lim b Eor B és vegyü p, q álldót. lim(p qb ) pa qb és lim( b ) AB. H még feltételee felül b 0 A mide -re és B 0, or lim. b B Bizoyítás. Legye ε > 0 Defiíció értelmébe. H egy dott szám. Eor lim ε p > 0 is igz. Hszálju fel ezt L, létezi egy oly N, hogy mide N eseté: ε A < () p Hsoló létezi egy oly N, hogy mide N eseté: ε b B < () q Legye N mx (N, N ). Most mide N eseté z () és () egyidejűleg teljesül, és eze lpjá: Útmuttás p qb (pa qb) < p pa qb p q < ε ε p q qb < ε ε ε lim( b ) AB bizoyításár. Hszálju övetezőet: b AB ( A)b A(b B) hol M (b ) (overges) sorozt egy felső orlátj. A A b M A A b b B B

11 A Útmuttás lim : bizoyításár. Elsőét megjegyezzü, hogy z előzőe b B értelmébe elegedő zt bizoyíti, hogy lim. b B Hszálju fel, hogy b B b B b M hol M egy felső orlátj z B Bb B sorozt, mi 0. feldt szerit létezi) 7. feldt. Igzolj, hogy z si( 3 7) sorozt 0-hoz overges. (Útmuttás. Felhszálhtó, hogy: - 7 si( 3 7) és lim lim 0.) b. Feldt. Számíts i övetező htárértéet: lim Megoldás. A törtet 3 -el egyszerűsítve és 3. Tételt llmzv: lim lim lim Feldt. Legye és for. Keresse meg -et és 3 ( )( ) igzolj, hogy z ( ) sorozt overges. 3 Megoldás. Számítsu i sorozt éháy további tgját:, és Kitlálhtó, hogy Vlób ezt iducióvl bizoyíti is lehet, felhszálv reurreci relációt. A bizoyítást z olvsór bízzu. Most már öye beláthtó, hogy sorozt overges és lim. 4. Feldt. Tegyü fel, hogy ( ) egy pozitív tgú overges sorozt, melyre lim L. Igzolj, hogy lim L vlmit, áltláosbb, lim L bármely rögzített N eseté. (Útmuttás. H L 0 felhszálhtju övetező zoosságot és egyelőtleséget: L L L ) L L Néháy igzá fotos htárértéet számítu i övetező három feldtb. 5. Feldt. Igzolj, hogy h c < or lim c 0. Megoldás. H c 0 or z eredméy zol beláthtó, tehát feltehető, hogy 0 < c <. Eor v oly d > 0 melyre c és így: d

12 0 < c c < (ez utóbbi egyelőtleség z úgyevezett Beroulli ( d) d egyelőtlesége lpszi, mi szerit ( x) x, h x 0. Ee bizoyítás biomiális tétele lpszi, de iducióvl is igzolhtó). De mivel lim 0, feldt d megoldás most már 3. Tétel lpjá beláthtó. 6. Feldt. Igzolj, hogy bármely > 0 eseté, teljesül lim. Megoldás. H zol beláthtó. Legye >. Eor >, tehát d lb írhtó, hol d > 0. Eor ( d ) d (ismét Beroulli egyelőtleséget llmzzu, ( x) x, h x 0). Ee lpjá: 0 < d < Mivel lim 0,. tétel lim d 0. Eor viszot 3. tétel hszálhtó, és: lim lim( d ). A 0 < < esetbe vegyü -t mi yilvá >. Az imét bizoyított lpjá: lim lim. Most már cs z iverz értée soroztát és 3. Tételt ell hszáli, hogy ebbe z esetbe is belássu, szité igz lim, teljesül lim. 7. Feldt. Igzolj, hogy lim. tehát bármely > 0 eseté, (Utsítás. Az előző godoltmeethez hsoló bizoyíthtó, de fel ell hszáli Beroulli egyelőtleségél erősebb ( x) ( ) ( ) x x x, for x > 0 egyelőtleséget, mi biomiális tétel lpjá övetezi.) Szité fotos tudivló, (de itt em fogju bebizoyíti), hogy ftoriális gyorsbb ő, mit z expoeciális függvéy, tehát bármely c > 0 eseté c lim 0,! vlmit z expoeciális függvéy gyorsbb ő, mit htváyfüggvéy, zz: lim 0 c. 8. Feldt. Legye (x ) egy pozitív tgú számti hldváy. Tulmáyozz z x és s x sorozto overgeciáját! Megoldás. Egy számti hldváy eseté: d 0, mivel pozitív tgú sorozt. Eor: x x ( ) d, hol. Ugyor x x

13 x x x d és tehát lim lim x ( )d x Az dott s eseté: x. x x d d ( )d ( )d, d. ( )d Ugyor jobboldlo egy em orlátos sorozt áll, (lásd 4. Feldtot).Így z. Tétele megfelelőe z (s ) sorozt diverges. 9. Feldt. Legye (x ) egy pozitív tgú mérti hldváy. Tulmáyozz z log x log x és p x xx3...x x sorozto overgeciáját. Megoldás. Egy mérti hldváy áltláos tgj: x xr. A feltétel lpjá x és r > 0, tehát logx logx logr lim lim logx logx ( )logr log x logr lim log x logr 0 logr lim 0 logr A másodi sorozt eseté lim ( ) x x r x r r lim lim 5. Fejezet. Mootoitás és overgeci r. A sorozto overgeciáj eseté z egyi legfotosbb tétel övetező: 4. Tétel. Mide orlátos em csöeő sorozt overges. Ee bizoyítását em célu leíri, bár em túl ehéz. A bizoyítás vlós számot meghtározó xiómá egyié, mégpedig z ú. Teljességi Axiómá lpszi. A 4. Tételt felhszálv, vgy diret úto is beláthtó, hogy mide lulról orlátos, em övevő sorozt szité overges. Követezze 4. Tétele éháy llmzás. Elsőét mostmár be tudju bizoyíti, hogy 3. Fejezetbe Kérdését említett és 5. feldtb már tulmáyozott sorozt vlób overges. Kijeleti, hogy mide orlátos, emüres vlós számhlmz v legisebb felső orlátj (szuprémum). Ez zt jeleti, hogy v egy oly felső orlát mi z összes többi felső orlátál isebb, vgy egyelő. Kimutthtó, hogy 4. tételebe szereplő htárérté éppe orlátos em csöeő sorozt, mit orlátos emüres hlmz legisebb felső orlátj.

14 30. feldt. Igzolj, hogy z reurreci éplettel, és z ezdeti feltétellel dott sorozt overges. Mi htárértée? Megoldás. Kimutttu z előzőebe, hogy z ( ) sorozt csöeő és orlátos. A 4. Tétel lpjá tehát overges, eressü meg sorozt htárértéét. Jelöljü lim vesszü, és tudju, hogy Ugyor lim L. A reurreci reláció lpjá lim L lim lim. Eor tgo htárértéét (lásd 4. Fejezet, overgeci megjegyzést). Ugyor 3. tétel és 4. Feldt lpjá: lim L.. () Defiíciój utái Vesü egybe z () összefüggés ét oldlát, övetezi L L. Midét oldlt égyztre emelve z L L 0 egyelete pju, mie megoldási, L. A feldt feltételeie, < L, cs z L felel meg, tehát lim. 3. feldt. Vegyü z si reurreci éplettel értelmezett soroztot, hol. Igzolj, hogy sorozt csöeő, és orlátos, tehát overges. Mi htárértée? (Utsítás. Felhszálhtó six < x, bármely x > 0. Az L htárértére teljesülie ell z L 0 és L sil feltételee.) 3. feldt. Vegyü z soroztot. Igzolj, hogy orlátos, övevő, és így overges. Bizoyítás. Allmzzu számti és mérti özép özti egyelőtleséget övetező számr:,,,..., umbers Azt pju, hogy > és tehát >, zz >, vgyis ( ) övevő. Azt, hogy ( ) orlátos, biomiális tétel felhszálásávl igzolhtju: 3 ( ) ( )( ) ( )( )......! 3!!......! 3!!...! 3!! 3... L

15 < 3. Ezzel befejeztü bizoyítást. Az előző feldtb tulmáyozott sorozt fotos szerepet játszi z Alízisbe. Gyr híres Euler szám, z e Defiíciójét jelei meg, mi természetes (Neper féle) logritmus lpj is. Defiíció szerit: e lim.