II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok

Átírás

1 6 Szálálási feldto. A oitori eleei II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.. Vlószíűségszáítási feldto A lsszius vlószíűségszáítás éháy lpfoglát ár VI. osztály tultáto. Eszerit, h K véges száú ieetellel redelező ísérlet és A egy vele pcsoltos eseéy, or z A vlószíűségé z A- edvező eseéye és z összes eseéye száá ráyát értjü. II... Megoldott feldto. Meyi vlószíűsége, hogy egy doóocávl egy doásól htost doju? Megoldás. A doás ht ülööző ieetele lehetséges. Eze özül egy eset edvező (ior htost dou), tehát eresett vlószíűség. 6. Meyi vlószíűsége, hogy vlely véletleszerűe válsztott étjegyű terészetes szá oszthtó legye 7-tel? Megoldás. A étjegyű száo,,,,..., 97, 98, 99, tehát z összes esete szá 9. Eze özül 4,, 8, 5, 4, 49, 56, 6, 7, 77, 84, 9 és 98 edvező, tehát eresett vlószíűség. 9. Válsszu i tlálor egy ovex tízszög ét csúcsát. Meyi vlószíűsége, hogy z áltlu eghtározott egyees idét oldlá soszöge égy csúcs lesz? Megoldás. Száozzu egytől tízig csúcsot trigooetrius iráy, és jelöljü iválsztott csúcso egfelelő eseéyt csúcso írt ét száól lotott hlzzl. A ísérlete tehát övetező ieetelei lehetségese: {, } {, } {, 4} {, 5} {, 6} {, 7} {, 8} {, 9} {, } {, } {, 4} {, 5} {, 6} {, 7} {, 8} {, 9} {, } {, 4} {, 5} {, 6} {, 7} {, 8} {, 9} {, } {4, 5} {4, 6} {4, 7} {4, 8} {4, 9} {4, } {5, 6} {5, 7} {5, 8} {5, 9} {5, } {6, 7} {6, 8} {6, 9} {6, } {7, 8} {7, 9} {7, } {8, 9} {8, } {9, } Eze özül z {, 6}, {, 7}, {, 8}, {4, 9} és {5, } potpáro egfelelő 5 válsztás edvező, tehát eresett vlószíűség A ieetele özt icsee itütetette, vgyis zo egyfor eséllyel övetezhete e.

2 Szálálási feldto. A oitori eleei 7 4. Egy töör foc ide lpját efestjü fehérre, jd ide élét tíz részre osztju, és ezer egyfor gyságú is ocár drolju. Meyi vlószíűsége, hogy egy tlálor válsztott is ocá ) cs egy lpj v efestve, ) cs ét lpj v efestve, c) háro lpj v efestve, d) egyetle lpj sics efestve? Száítsd i égy vlószíűség összegét! Mit tpsztlsz? Mgyrázd eg, it észleltél! Megoldás. Vizsgálju eg, hogy ull, egy, ét vgy háro efestett lppl redelező is ocá z eredetie hol helyezedhette el. Háro lp cs or lehet efestve, h z eredetivel özös csúcs v ocá. Az ilye ocát sroocá evezzü. Mivel z eredeti ocá yolc csúcs v, összese yolc 8 sroocá lesz. Így c) érdésre válsz:. A is ocá or v 5 ét lpj efestve, h e srooc, de ( szétvágás előtt) volt z eredetivel özös éle. Az ilye ocát élocá evezzü. Mide élre yolc dr éloc illeszedi, tehát összese 8 96 éloc v. Így ) érdésre válsz: 96. H is ocá egy lpj v efestve, or e srooc és e 5 is éloc, de z eredetivel volt özös lpj ( szétvágás előtt). Nevezzü ezeet ocát lpocá. Mide lpr ilye oc illeszedi, tehát összese oc. Így z ) érdésre válsz. Azo ocá, 5 elyee egyetle lpju sics efestve, együttese egy s ocát 5 64 lot, tehát 5 ilye is oc v. A d) érdésre válsz:. A pott 5 vlószíűsége összege. Ez zt fejezi i, hogy egy is ocá hároál tö lpj e lehet efestve, tehát iválsztott ocávl zoos festett ocá száát vlelyi lpotál egszáoltu. Az itt egoldott feldto idegyiée sierült egszáoli edvező, illetve z összes esete száát. Láthtju zo, hogy ez áltláos esete speciális szálálási ódszereet igéyelhet (próáld egoldi.,. vgy 4. feldtot, h e étjegyű száo özül válsztsz, h tízszög helyett -szög v, illetve h oc lpjit részre osztod). Gyr előfordul, hogy szálálási ísérletei csődöt od, vgy h sierül is egsejtei z eredéyt, tácstlo vgyu, ior egoldás leírásáról v szó. A egválszoldó érdése öze egyre érdeeseeé és izgtóá vál. Lássu éháy ilye proléát! Mire érdeese fogdi: egy z egy elle rr, hogy ét egyfor ocávl 4 doásól lesz egy dupl htosu, vgy egy z öt elle rr, hogy egy doásól lesz egy dupl htosu? Hát rr érdees-e fogdi, hogy egy érée száz egyás utái feldoását lejegyezve lesz egyás utá leglá tíz fej vgy tíz írás? E érdése egválszolás előtt fejlesszü szálálási techiát! Ezt első is ocá egszáolásor is eggodolhttu vol.

3 8 Szálálási feldto. A oitori eleei II.. Háy cspt v? A Descrtes-szorzt llzási.. Feldt. Egy tácversey utá z első háro láy (Ic, Kt és Zsuzs) és z első ét fiú (Peti, Roi) özül szereté legjo összeillő párt iválszti (ide pár egy láyól és egy fiúól áll). ) Háy oly pár épzelhető el, elye fiú tgj Peti? Hát oly, elye fiú tgj Roi? ) Összese háy pár épzelhető el? c) Hogy ódosul z összes lehetséges páro szá, h égy láy és ét fiú, égy láy és háro fiú, hét láy és öt fiú özül ell iválsztu legjo tácoló párt? d) Próálj egfoglzi egy áltláos eljárást z összes pár felsorolásár! Megoldás ) Mivel z összes lehetséges párt i ell próáli, Peti (árcs Roi) idháro láyl egy-egy párt lotht. Így övetező páro épzelhető el: Peti Ic Roi Ic Peti Kt Roi Kt Peti Zsuzs Roi Zsuzs Az is láthtó, hogy tö pár e lothtó (ert ide pár ell leie egy fiú, és z elő felsoroltu z összes oly párt, elye vlelyi fiú szerepel). c) Mide fiú égy pár szerepelhet (ert égy láy v), így összese 4 8 pár épzelhető el. Mide fiú égy pár szerepelhet (ert égy láy v), így összese 4 pár épzelhető el. Mide fiú hét pár szerepelhet (ert hét láy v), így összese pár épzelhető el. Jelöljü esete szereplő láyot A-vl, B-vel, -vel, illetve D-vel és fiút X- szel, Y-l, illetve Z-vel. A lehetséges párot z lái szerit redezhetjü X-A Y-A Z-A X-B Y-B Z-B X- Y- Z- X-D Y-D Z-D Itt z első oszlop zo páro szerepele, elyee X fiú tgj, ásodi zo, elyee Y, és hrdi zo, elyee Z. Ez csoportosítás z áltláos esete is jó. H láy és fiú özül válsztu, or lehetséges páro sort és oszlopot trtlzó tálázt redezhetőe, tehát összese lehetséges pár létezi... Feldt. Egy curászdá zárás utá egrdt ht goóc epres és égy goóc csois fgyi. A curász isfi iöyörögte, hogy ehesse egy dg fgyit, és g döthesse el, hogy elyi fgyiól háy goócot eszi. Háy ülööző lehetőség özül válsztht isfiú? Vizsgálju eg z elői lehetőségee szereplő dgo százléos összetételét! Háy ülööző összetételű dg v?

4 Szálálási feldto. A oitori eleei 9 Megoldás. A leírás egyszerűsítésée céljáól jelöljü cs szápárol ülööző lehetséges dgot. A szápár első tgj jeletse z epres, íg ásodi tg csois goóco száát. A (, ) szápár háro epres és ét csois goócot trtlzó fgyidg felel eg. Mivel egy fgylltdg z epres goóco szá ullától htig és csois goóco szá ullától égyig változht, 5 7 -es tálázt redezhetjü szápárot. (, ) (, ) (, ) (, ) (4, ) (5, ) (6, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (4, ) (5, ) (6, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (4, ) (5, ) (6, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (4, ) (5, ) (6, ) (, 4) (, 4) (, 4) (, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) A (, ) pár egy ülö csoportot jelet, hisz ez esete e eszélhetü százléos összetételről. Az első sor töi elee isét ülö csoport (száz százlé epres) árcs z első oszlop töi elee (száz százlé csois). A töi pár eseté iszáítju z első és ásodi tg ráyát, és ét párt potos, or sorolu egy csoport, h ei egfelelő ráyo egyelő. Felsorolju z előietől ülööző, leglá ételeű csoportot: {(, ), (, ), (, ), (4, 4)} {(, ), (, 4)} {(, ), (4, ), (6, )} {(, ), (6, )} {(, ), (6, 4)} A töi pár idegyie eghtároz egy-egy csoportot, tehát összese 9, százléos összetétel szerit ülööző dg létezi... Jelölése és értelezése. Legye E és ét hlz.. Redezett elepáro egy E-eli és egy -eli ele együttesét értjü, h iserjü z elee sorredjét is. Péld. A.. feldt esetée E {,,,, 4, 5, 6 } {,,,, 4} z epres goóco lehetséges szá és csois goóco lehetséges szá. Az (, ) elepárt or teitjü redezette, h rögzítjü, hogy elyi elee trtozi E-hez és elyi -hez. A.. feldt esetée z első szá z E-hez trtozott, ásodi ele -hez. Így világos, hogy z (, ) elepár ülöözi (, ) elepártól.. Az összes oly redezett elepáro hlzát, elye z első elee E-ől ásodi pedig -ől szárzi, z E és hlzo Descrtes-szorztá (vgy diret szorztá) evezzü, és E -vel jelöljü. E, és {,, }, or E {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) }. H L{Ic, Kt, Zsuzs} és F{Peti, Roi}, or L F {(Ic, Peti), (Ic, Roi), (Kt, Peti), (Kt, Roi), (Zsuzs, Peti), (Zsuzs, Roi)}. A,, c, d B, ℵ, or Péld. H { } H { } és { } B {(, ), (, ℵ), (, ), (, ℵ), ( c, ), ( c, ℵ), ( d, )(, d, ℵ) } A.

5 4 Szálálási feldto. A oitori eleei.4. Feldt. Alpozz eddigi tpsztltidr, és egészítsd i övetező ijeletéseet úgy, hogy igz állításohoz jussál! ) H z A hlz eleeie szá és B hlz eleeie szá, or z A B hlz és B A hlz elee v. ) Az A B és B A hlzo potos or egyelő, h. c) Az A B hlz potos or részhlz B A hlz, h.5. Feldt I. Egy ciócsoport ét sofőről (Rudi és Tói), háro rádiósól és égy esterlövészől áll. Vlely cióju oly hárotgú cspt vesz részt, elye v egy sofőr egy rádiós és egy esterlövész. Háy oly cspt épzelhető el, elye Rudi sofőrje? Összese háy cspt épzelhető el? II. Jelöljü S -gyel és S -vel sofőröet, R -gyel, R -vel és R -l rádiósot és M -gyel, vlit M -vel esterlövészeet. Írd fel z összes elépzelhető csptot! III. H csoporthoz cstlozi öt oszértő és z ció részt vevő cspthoz oszértő is ell, háyszorosár öveszi lehetséges cspto szá? IV. Próálj áltláos eredéyt egfoglzi! Megoldás I. H Rudi sofőr, or háro rádiós és égy esterlövész özül ell iválszti egyet-egyet. Ez 4 ódo érhető el, tehát oly csptot lehet elépzeli, elye Rudi sofőrje. H Tóit válsztju sofőre, szité csptot tudu elépzeli, tehát összese 4 felállás lehetséges. II. A táláztos reprezetáció itt eheze hszálhtó, ezért ás szálálást ell itlálu. Készítsü el z lái árát: O S S R R R R R R M M M M M M M M M M M M H z O potól z lsó sor ru eljuti yil eté, or ide lehetséges útvol egy lehetséges cspt felel eg. Például vstg yill jelzett útvol z ( S, R, M ) cspt iválsztását jeleti. Mivel z lsó sor érezési lehetőség v, összese cspt épzelhető el. H lpos egfigyeljü z ár szerezetét, láthtju, hogy égy esterlövész eseté z lsó sor érezési lehetőség vol, tehát z I. érdésre dott válszu egerősíthető és áltláosíthtó. H csoporthoz öt oszértő cstlozi, or z elői árát i ell egészítei ég egy sorrl oly ódo, hogy ide M-el jelzett csoópotól öt yíl iduljo i. Ez zt jeleti, hogy z összes lehetősége szá ötszöröződi. Így égytgú cspt épzelhető el.

6 Szálálási feldto. A oitori eleei 4 IV. Foglzzu eg áltláos is feldtot és z eredéyeiet. Legye A A, A,..., tetszőleges hlz, és eressü z összes oly redezett, eleű, A hlzo száát, elyee -di elee H z A hlz eleeie szá, ide hsoló árát úgy, hogy -di sor z re. Így -di sor ide eleétől potos A - tlálhtó ide, -re., -re, észítsü z előihez A eleei legyee ide, - összese elee - tlálhtó v ide, -re. A dr yíl idul, h,, tehát... oly redezett, eleű hlz létezi, elye -di.6. Jelölése és értelezése. Teitsü z A, A, A,..., A tetszőleges hlzot.. Redezett elehárso egy A, egy A és egy A hlzeli ele vlilye rögzített sorrede vett együttesét értjü.. eleet trtlzó redezett eleredszer ltt egy eleű hlzt értü, elye ide eleéről tudju, hogy z A, A, A,..., A hlzo elyiéhez trtozi.. Az összes oly redezett elehárso hlzát, elye első elee A -e, ásodi A -e és hrdi A - v z A, A és A hlzo Descrtes-szorztá evezzü, és A A A -l jelöljü. 4. Az összes oly eleet trtlzó redezett eleredszer hlzát, elye z i-edi elee ide i, eseté A -e v, z A, A,..., A - és A hlz Descrtes-szorztá evezzü, és A A A... A A i - vel jelöljü..7. Péld. H A i {, } i, 4, or z A A A A4 hlz eleei övetező száégyese: (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ). Mide égyeleű redezett - jelsorozt teithető egy ettes száredszereli szá is, tehát z A A A A4 hlz potos yi elee v, háy legfelje égyjegyű ettes száredszereli szá létezi. Az utói szá 6, tehát A A A A4 -e összese 6 elee v..8. Feldt. Jelöljü redre A-vl, B-vel és -vel z {,, }, {, } és {M, N} hlzt. ) Írd fel z A B, B A, A ( B ), ( A B) és A B hlzot! ) Hsolítsd össze z elői lpot utolsó háro hlzát, és egészítsd i z lái ijeletéseet! H z A, B és hlzo eleeie szá redre, és c, or z A ( B ), ( A B) és A B hlzo eleeie szá Az A ( B ), ( A B) és A B hlzo.. i i

7 4 Szálálási feldto. A oitori eleei Észrevételeiet tétele foglltu össze..9. Tétel. H z A hlz eleeie szá ide A A A Ai i,... A hlz eleeie szá..., és eseté, or z hlzo összeszorzásor sorred felcserélése élül árilye csoportosítást elvégezhetü. A tétel (tetiilg) teljes izoyítását tetii idució ódszerével dhtju eg. Úgy godolju zo, hogy i egértette z elői feldto egoldását, ez izoyítás seiféle töletet e dht, ezért izoyítás részletezését z olvsór ízzu... Feldt ) Sorold fel z N 5 5 szá príosztóit! ) H d terészetes osztój N-e, or ilye príosztói lehete d-e, és eze ilye htváyo fordulht elő d prítéyezős felotásá? c) Háy dr terészetes osztój v N-e? Megoldás. Az N príosztói, és 5, továá N egyetle osztój se trtlzht ezetől ülööző prítéyezőt. A d prítéyezős felotásá legfelje ásodi, legfelje z ötödi és z 5 legfelje z első htváyo fordulht elő (ezt z ötödi osztály tult lpjá tudju). Tehát d 5, hol,,,,,,, 4, 5 γ,. Eszerit, z N osztói szá α { } β { } és { } egegyezi {,, } {,,,, 4, 5 } {, } Descrtes-szorzt eleeie száávl. Mivel szorzt 6 elee v, z N is 6 terészetes osztóvl redelezi... Feldt ) Háy terészetes osztój v z M 9 szá? Hát P 5 szá? ) Egészítsd i övetező ijeletést úgy, hogy igz állítást pjál! H p, p,..., p és pároét ülööző príszáo, or z α α α p α p p p... p szá terészetes osztói szá... Megoldás. Az elői feldthoz hsoló z M osztói szá egegyezi {,, } {,,,, 4, 5} {, } {,,, } Descrtes-szorzt eleeie száávl, tehát M-e 44 osztój v. A P osztói szá egyelő {,,..., 7} {,,..., 5} {,,, } {,,..., 9} Descrtes-szorzt eleeie száávl, vgyis P-e 9 osztój v. II... Gyorlto és feldto. Háy legfelje htjegyű terészetes szá létezi?. Háy oly terészetes szá létezi, elye hetes száredszereli reprezetációj potos hét szájegyet trtlz?. Egy helyőrség étszáz öztoáj, tíz ltisztje, égy rádiós és háro tisztje özül égytgú ülöítéyt ell válsztod, és i ell jelölöd ülöítéy 5 α β γ

8 Szálálási feldto. A oitori eleei 4 vezetőjét. A ülöítéye egy öztoát, egy rádióst, egy ltisztet és egy tisztet ell trtlzi, vezető cs rádiós vgy tiszt lehet. Háy ülööző ódo válszthtod i ülöítéyt? 4. Vizsgáld eg övetező egyelősége helyességét: A B A B ; ) ( ) ( ) ( ) ) ( A \ B) ( A ) \ ( B ) ; c) ( A B) ( A ) ( B ). 5. Írd egyszerű l z ( A A) ( A ) ( B A) ( B ) ifejezést úgy, hogy cs egy diret szorzt szerepelje ee! 6. Egyszerre háro, ülööző szíű doóocávl dou. Mi vlószíűsége, hogy háro szá özül z egyi ási ettő összege? 7. Vlelyi Ls Vegs-i szió egy játégépé háro orog forog. Midegyi orog oldlát 4 egyfor részre osztottá, és ide részre ráfestetté z lái ht rjz vlelyiét oly ódo, hogy idegyi égyszer szerepelje idegyi orogo. A orogo egyástól függetleül forog, és játéos ide orogról idig cs egy-egy árát látht. A játéos or yer, h idháro orogo ugyzt z lztot látj. Meyi vlószíűsége, hogy ár z első játé yerü? H cet egy játé, egéri-e szió, hogy égy dollárt fizesse egy yereségért? 8. ) Vlely eleű száhlz eleeiől háy ülööző ódo állíthtu össze egy oly szápárt, elye eleei ülööze? ) Egy eleű száhlz eleei özül háy ülööző ódo állíthtu össze oly szápárt, elye eleei egyelő is lehete? 9. Az űrhjós csoport tíz őől és hric férfiől áll. Eől csoportól háyféleéppe lehet iválszti oly öttgú csptot, elye ét ő és háro férfi v?. Igz-e, hogy h z terészetes szá d terészetes osztój v és z terészetes szá d, or z szá d d osztój v? Milye feltételre v szüség hhoz, hogy z állítás igz legye?. Egy örtöe cell v, eze -től -ig v egszáozv, és ide cellá z jtjár oly zárt szerelte, elye háro etű láthtó (lásd elléelt árát). Az jtó or yíli i, h z etű v legfelül. Miutá ro ellsz, örtöőr -szer örejárj cellát A -di örútj llávl ide -di cell zárjá fordít egyet (trigooetrii iráy -ot). Háy zár lesz yitv reggel? Melye eze?

9 44 Szálálási feldto. A oitori eleei II.. Reurzív száláláso, vgy Lss járj, tová érsz filozófiáj A elléelt árá idegyié z A potól B-e ell eljutu úgy, hogy ezőről ezőre és cs jor vgy felfele léphetü. Tehát árelyi ezőről cs felső vgy jo oldli szoszédjár léphetü. A érdés z, hogy háy ülööző ódo tehetjü (idegyi tál esetée ülö-ülö) eg ezt? B B A A II.. ár II.. ár Láthtó, hogy h ezdettől z A-ól B-e vezető utt vizsgálju, or elég ehéz dolgu v. Ez helyzet rögtö egváltozi, h tálá idegyi ezőjére ráírju, hogy A-ól háy ülööző úto juthtu z illető ezőre. Ez egy fotos ötlet, és övetezőe hszur válht. A lépésszályo lpjá egy ezőre cs l oldli vgy z ltt levő ezőről léphetü, tehát ide ező e ét szoszédos ezre írt szá összege áll. Ezt szályt hszálv próáld folytti, it i elezdtü! B B A A II.. ár II.4. ár Az A és B ező özéppotjit összeötő szsz áltl ettészelt ezőre írt száot teitsü egy szásorozt ezdőértéeiét. Tudád-e folytti ezeet soroztot? Áltláosítv: h z dr egyás ágyzott -es égyzet jo felső srá egjeleő szá és z dr egyás ágyzott -s égyzet jo felső srá egjeleő szá áltláos tgjá épletét., eressü eg z ( ) N és ( ) N sorozto

10 Szálálási feldto. A oitori eleei 45 H z árá üres ezőire ráírju egfelelő száot, pju:, 4, 8, 6,, 64, 8 és , 8, 54, 4 6, 5 486, Láthtó, hogy idét sorozt érti hldváy, z első vóciese, ásodié. Ezt figyelee véve, egsejthetjü, hogy z áltláos tg éplete, illetve. Az első ár esetée ezt sejtést iducióvl zol igzolhtju z lái digr lpjá: A ásodi esete eláthtju, hogy e elégséges sejtésü. Az lpjá e tudju izoyíti z áltláos tg épletét. (Azt e tudju izoyíti, it legegyszerű észrevei, vgyis zt, hogy ( ) sorozt érti hldváy.) Ez zért v így, ert sejtésü seit se állít fölött, illetve tőle jor elhelyezedő száoról, pedig iszáításor ezeet is ell hszálu. A száot egvizsgálv észrevehetjü, hogy eze htváyi, tehát z állítás, it igzoli szereté övetező:,, és fölött, illetve tőle jor elhelyezedő száo -el egyelő. Észrevételü lpjá fetihez hsoló digrot észíthetü. N A gyo száo feltételezést trtlzzá. A yil lpjá láthtó, hogy eze egyértelűe eghtározzá töi száot, és pott értée igzoljá sejtésüet ()-re, tehát tetii idució elve lpjá sejtésü igz. II... Perutáció... Feldt. Egy polco z lái árá láthtó öt ülööző trófeát ell elhelyezü. Háyféle sorrede helyezhetjü el?

11 Szálálási feldto. A oitori eleei 46 Megoldás. A feldt isét ecspó, ert ár ez z öt trófe is ülööző sorrede helyezedhet el, és ez elég so hhoz, hogy tlálgtás útjá felírhssu. Szüség v tehát egy szálálási ódszerre, ely szerit geerálhtju lehetséges sorredeet, és ely iztosítj zt, hogy vló z összes sorredet egtlálju. Ehhez vizsgálju eg egyszerű eseteet. Próálju előállíti z összes lehetséges sorredet,,, 4 és cs eze utá 5 trófe eseté. Jelöljü t, t, t, t4 és t5 -tel z,,, 4, illetve 5 trófe összes lehetséges sorredjét. H egy trófeá v, or ezt egyféleéppe tehetjü polcr ( sorredre godolu, és e egyére), tehát t. Két trófeát ár ét ülööző sorrede helyezhetü el, tehát t. Vizsgálju eg, hogy i törtéi, h z elői ét sorred vlelyiét iegészítjü hrdi trófeávl. Az elői ár szerit ezt tehetjü sor elejére, ét trófe özé vgy sor végére, tehát z elői ét sorred idegyiéől háro ülööző háro trófeát trtlzó sor észíthető. H egy hárs sorredől elhgyju hrdi trófeát, or egy ettes sorredhez jutu, tehát z elői szeresztés z összes hárs sorredet egdj, így t 6. Az itt llzott ötlet továr is hszálhtó. Egy háro trófeát trtlzó sorred égy ülööző égy trófeát trtlzó sorredet szárztt, tehát ht hárs sorred összese dr lehetséges sorredet htároz eg égy trófe eseté. Így t 4 4. Egy égy trófeát trtlzó sor öt helyre tehetjü z ötödi trófeát, tehát ide égyes sorred öt dr ötös sorredet htároz eg. A 4 égyes sorred összese 4 5 sorredet szárztt z öt trófeár. Áltláosítsu z eredéyeiet! Vizsgálju eg, hogy ilye összefüggés létezi, illetve trófe összes lehetséges sorredjée szá özt. Jelöljü t -el trófe összes lehetséges sorredjée száát, h ulláál gyo terészetes szá. Az trófe özt összese - hely v, ivel sor elejére, illetve végére is helyezhetjü z ()-edi trófeát, összese ülööző sorredhez jutu. Ee lpjá érvéyes t ( ) t összefüggés ide N eseté. (5) Az eddig vizsgált t értéeet írhtju övetező l: t, t, t, t 4 és t 4 5, tehát z első 4 5 terészetes szá szorzt, h 5. A továi z (5) összefüggés segítségével igzolju, hogy ez ide terészetes szár igz. A leírás egyszerűsítésée céljáól evezetjü övetező jelöléseet: t

12 Szálálási feldto. A oitori eleei Jelölés. Az első, ullától ülööző terészetes szá szorztát z! sziólul jelöljü, és -ftoriális (vgy egyszerűe -ftor) olvssu.... Példá és összefüggése: ) Száítsu i z első tíz szár z -ftor értéét!!,!,! 6, 4! 4, 5!, 6! 7, 7! 54, 8! 4 9!! Láthtó, hogy z -ftoriális gyo gyors öveszi, ezért iszáítás ár viszoylg is étjegyű eseté is ehézséget oozht. A tíz szájegyet ijelző zseszáológép se d potos értéet 6 eseté. Érdeességéppe iszáoltu 5!-t és! -t : 5! ! ) Megegyezés szerit zt odju, hogy!. c) Az értelezést hszálv írjáto egyszerű l övetező ifejezéseet: ( )! ( )! ( ) ( )! ( )! 5... ( ) () d) Feldtgyűjteéyee gyr tlálozhtto ég ( )!!, illetve ( )!! szióluol is. Eze z első dr, ullától ülööző páros, illetve pártl terészetes szá szorztát jelöli, és e tévesztedő össze (( )! )! jelöléssel, ely -ftor ftoriálisát jelöli. Így (6)!! íg (( 6)!)! 7!..4. Értelezés. Az A hlz egy perutációjá z A összes eleéől szeresztett redezett hlzt értjü. H z A hlz eleet trtlz, or A eleeiől úgy phtu egy redezett hlzt, hogy z A ide eleéhez hozzáredelü z,,,, száo özül egyet oly ódo, hogy ülööző eleehez ülööző száo trtozz. (Mide elehez hozzáredeljü sorszáát.) Az eleeől és hozzáju redelt száoól épzett páro lotjá redezett hlzt. Áltlá z eleeet hozzáju redelt száo szeriti övevő sorrede szotu felíri, ezért gut száot elhgyhtju. Képezzü ét redezett hlzt z {, c, 5,, t, } hlzól! Az lái tálázto zt láthtju, hogy z,,, 4, 5 és 6 száo hlz elyi eleéhez trtoz. Az ezee egfelelő redezett hlzo, 5,, c, t és, 5, c,,, t. (, ) ( ) c t 5 c t A száolásot egy Texs Istruets TI-9-es gépe végeztü.

13 Szálálási feldto. A oitori eleei 48 Az egyszerű írásód edvéért táláztot, h cs lehet, ellőzzü. Például z {,, } hlzól épezhető összes redezett hlz (lásd trófeát): (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) é s (,, )...5. Tétel. Egy eleű hlz perutációi száát -el jelöljü, és P!, ide terészetes szár. Bizoyítás. Az (5) összefüggés lpjá P ( ) P, N. A - redre z,,,, értéet dju, jd összeszorozzu pott egyelőségeet. A P, P, P,..., P szá idét oldlo egjelei, tehát szorztu egyszerűsíthetü velü. A l oldlo z egyszerűsítés utá z első terészetes szá szorzt áll, z lái szerit: P P Tehát II... Vriáció P P P P ( ) ( ) P... P P P P P!! N -re.... Feldt. Egy httgú társság tgji özül egy titárt és egy íroot ell iválsszu. Háy ülööző ódo tehetjü ezt eg? Megoldás. A titárt ht eer özül ell iválsztu, tehát erre ht lehetőségü v. Mide iválsztott titárhoz egrdt öt tg özül árit válszthtu íro, tehát összese 6 5 lehetőségü v. Száozzu eg társság tgjit -től 6-ig. A lehetséges válsztásot tálázt foglltu össze: (, ) (, ) (, ) (4, ) (5, ) (6, ) (, ) (, ) (, ) (4, ) (5, ) (6, ) (, 4) (, 4) (, 4) (4, ) (5, ) (6, ) (, 5) (, 5) (, 5) (4, 5) (5, 4) (6, 4) (, 6) (, 6) (, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 5) A szápáro első tgj titár száát, íg ásodi sorszá z íro száát jelöli.... Feldt. H z íro és titár ellé egy üldöcöt is ell válsztu, or ez háyszorosár öveli lehetséges válsztáso száát? Megoldás. A üldöcöt titár és z íro ide lehetséges válsztás eseté egrdt égy tg özül ell iválsztu, ez égyszeresére öveli lehetséges válsztáso száát.... Feldt. H V -vl jelöljü egy eleű hlz összes eleű redezett részhlzi száát, i z összefüggés V és V özt? (Eleezd z elői feldt egoldását!) P

14 Szálálási feldto. A oitori eleei 49 Megoldás. Jelöljü A-vl z eleű hlzut. Mide eleű X redezett részhlzól potos ( ) dr ( ) eleű redezett részhlzt szereszthetü, h X-hez ( ) -edi eleét hozzádju z A \ X vlelyi eleét (z utói hlz potos ( ) elee v). Világos, hogy így ide ( ) eleű redezett részhlzt egpu, és e phtu egyetle ( ) eleű redezett részhlzt se ét, ülööző ódo, tehát V ( ). (6)..4. Értelezés. Vlely hlz eleeiől szeresztett redezett részhlzt z illető hlz egy vriációjá evezzü.. Bárely hlz eleeiől szeresztett eleű redezett részhlzt hlz egy -d osztályú vriációjá evezzü. Egy eleű hlz -d osztályú vriációi száát V -vl jelöljü (, N)...5. Példá ) A... feldt egy hteleű hlz ásodosztályú vriációi száát ellett eghtározu, és tálázt gu ásodosztályú vriáció szerepelte. ) A.. prgrfus egy eleű hlz -ed osztályú vriációit száoltu eg, és ezeet perutáció eveztü. c) A... feldt zt vizsgáltu, hogy i z összefüggés hteleű hlz ásod és hrdosztályú vriációi szá özött, íg... feldt áltláos összefüggést tláltu egy eleű hlz -d és ( ) -ed osztályú vriációi szá özt. A... feldt egoldás lpjá tlálju áltláos épletet vlely eleű hlz -d osztályú vriációi száár, vgyis V -r. Aárcs perutáció esetée helyettesítsü (6) összefüggése helyett redre ( )-et, ( )-t,, -t, -t és -et, jd szorozzu össze pott egyelőségeet: V V ( ) V ( ) V ( ) V V... V V V V ( ) V ( ) V ( ) ( )... Érvéyes tehát övetező tétel:..6. Tétel. H és, N, or egy eleű hlz -d osztályú vriációi szá V... V ( ) ( ) ( ) ( ).

15 Szálálási feldto. A oitori eleei Megjegyzés. > eseté V száot ullá teitjü, hisz ee z esete egy eleű hlz eleeiől e tudu egyetle eleű redezett részhlzt se szeresztei. H tööre felírást óhjtu, z elői összefüggés jo oldlá álló ifejezést ővítjü ( )!-sl, és így V éplethez jutu. Az elői éplete! ( )! lehetővé teszi, hogy godolodás élül válszolju gyo so oyolult érdésre, éplet egjegyzése zo ögá e elégséges. Ngyo so feldt egoldásor öyee tudju jd hszosíti levezetés egy-egy részletét...8. Példá ) Háy, cs ülööző szájegyet trtlzó öt- vgy htjegyű terészetes! szá létezi? A válsz..6. tétel szerit , 4! ert tíz lehetséges szájegy özül egy redezett hteleű részhlz eghtároz egy öt- vgy htjegyű terészetes száot szerit, hogy redezett részhlz első elee ull vgy se. Így egegedett öt- vgy htjegyű száo szá tíz ele htodredű vriációi száávl egyelő. ) Háy oly terészetes szá létezi, ely,,, 4, 5 és 7 szájegyee ívül e trtlz ás szájegyeet, és eze legfelje egyszer szerepele ee? A száot szájegyei szá szerit csoportosítju, és z egyes csoporto eleeie száát ülö-ülö htározzu eg. Az dott ht szájegy összes lehetséges 6! sorredje özül zo, elye ullávl ezdőde, e szárztt htjegyű száot. Eze szá egegyezi z,, 4, 5 és 7 száo összes lehetséges sorredjée száávl, tehát -tel. Így htjegyű száo szá: P 6 P5 6! 5! 7 6. H z öteleű redezett részhlzo szááól ivoju zo z öteleű redezett hlzo száát, elye -vl ezdőde, éppe z ötjegyű száo száát pju, tehát V 6 V5 6! 5! 7 6. Hsoló godolteettel 4 égyjegyű száo szá: V V ; V hárojegyű száo szá: V V ; étjegyű száo szá: V ; z egyjegyű száo szá: V ( ull is egyjegyű). Ez összese szá. II... Koiáció... Feldt. A terroristá ht túsz özül ettőt szdo r egedi. Háy ülööző ódo lehetséges ez? H túszo özt ét redőr v, és terroristá véletleszerűe válsztjá ét szdo ocsátdó túszt, i vlószíűsége, hogy egyi redőr se szdul i? P 5

16 Szálálási feldto. A oitori eleei 5 Megoldás. Száozzu eg túszot -től 6-ig. Mivel túszot egyszerre egedi szdo itt e redezett elepárot ell egszáolu, he z {,,, 4, 5, 6} hlz ételeű részhlzit. Ezeet z lái tálázt foglltu össze: {, } {, } {, } {, 4} {, 4} {, 4} {, 5} {, 5} {, 5} {4, 5} {, 6} {, 6} {, 6} {4, 6} {5, 6} Tehát z első érdésre válsz: 5. H ét redőrt z -es, illetve -es szál jelöltü, or z elői táláztól leolvshtó edvező esete szá is. Azo részhlzo szá, elye e trtlzzá se z -est, se -est, 6 potos 6. A eresett vlószíűség tehát. 5 5 Elleőrizd, hogy z eredéy e függ ttól, hogy ilye száol jelöltü redőröet! Hsolítsd össze ezt táláztot... feldt egoldásá szereplő tálázttl!... Feldt. Hogy változi lehetősége szá, h... feldt háro túszt egede szdo? Megoldás. H elő iválszt ét eert (5 lehetőség) és egrdt 4 özül ég egyet (4 lehetőség), or ez összese5 4 6 lehetőség. Az így pott hárs csoporto tgji özül egy (it utolsó válsztott) eg v jelölve. Az ilye hársot úgy is egszáolhtju, hogy elő létrehozzu z összes hárotgú csoportot (eze szá legye c), jd ide csoportól z összes lehetséges ódo ijelölü egy-egy tgot. Így c csoportot pu. Mivel idét esete ugyzot csoportot száláltu, ét eredéy egyelő, tehát c. Ie c. Ugyezt egözelíthetjü ásféleéppe is. Jelöljü A-vl z {,,, 4, 5, 6} hlzt. Képzeljü el, hogy felírtu egy gy rtolpr z A összes hrdredű vriációját és egy ási lpr z összes hároeleű részhlzát. H egy hrdi rtor ide részhlz helyett előle épezhető összes redezett részhlzt írju, or ugyzot redezett hlzot pju, elye z első lpo szerepele. Tehát, h c dr hároeleű részhlz létezi, or hrdi lpo 6 c dr redezett hlz jelei eg. A..6. tétel szerit z első lpo redezett hlz v, tehát 6 c. Aárcs z elő, ie is ifejezhetjü c-t, és ugyzt z értéet pju, it ási ódszerrel. Így V levezettü vriáció, oiáció és perutáció özti összefüggést:. P Láthtó, hogy idét ötlet hszos lehet z áltláos prolé egoldásá is. Elő foglzzu eg z áltláos esetet, és vezessü e éháy jelölést.

17 5 Szálálási feldto. A oitori eleei... Értelezés és jelölés. Vlely eleű hlz eleű részhlzát hlz egy -d osztályú oiációjá evezzü.. Vlely eleű hlz -d osztályú oiációi (vgy eleű részhlzi) száát -vl jelöljü (, N)...4. Feldt. Bizoyítsáto e övetező egyelőségeet: ), h (iegészítő oiáció éplete); ( ) ( ) ), h. Bizoyítás. ) A l oldl egy eleű X hlz eleű részhlzi szá. Mide R részhlzhoz redeljü hozzá opleeterét ( X \ R -et). Így ide eleű részhlzhoz hozzáredelü egyetle eleű részhlzt. Az is láthtó, hogy ülööző hlzohoz ülööző részhlzot redelü, tehát ugyyi eleű részhlz létezi, it eyi eleű. Ezt éppe összefüggés fejezi i. ) Teitsü egy, tgú társságot, és válsszu i özülü egy tgú izottságot, vlit izottság egy elööt. A potosság edvéért evezzü űödéséptelee egy izottságot, h ég ics elöe, és űödőépese, h ár egválsztottá z elööt is. Vizsgálju eg, háy ülööző összetételű űödőépes izottság jöhet létre? (Elve ugyzt ell teü, it... feldt.) A jelölései lpjá űödéséptele izottságot válszthtu. Mivel tg özül ári lehet elö, ide ilye izottságól ülööző űödőépes izottság jöhet létre, tehát lehetséges űödőépes izottságo szá ( ). Másrészt, egy ilye izottság úgy is ijelölhető, hogy elő izottság tgját, jd z elöét válsztju i. A tgot ülööző ódo válsztu i és ide ilye tghoz egrdt ( ) özül ell egy elööt válsszu. Ez ( ) ülööző űödőépes izottságot jelet. Mivel idét esete ugyzot izottságot száoltu, ét eredéye egyelőe ell leie, tehát ívát egyelőséget igzoltu. Megjegyzés. H elő izottság elöét válsztju eg és cs ezutá tgot, or z eredéyhez jutu, tehát ( ) ( ). Aárcs perutáció vgy vriáció eseté z áltláos épletet itt is zol levezethetjü z elői egyelőség töszöri felhszálásávl. Az eredéyt övetező tétele foglltu:..5. Tétel. H (, N), or!! ( )! Bizoyítás. A (..4) összefüggése helyett redre z,,, 4,, értéet helyettesítjü, jd pott egyelőségeet összeszorozzu:

18 Szálálási feldto. A oitori eleei 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) ( )!... H z utolsó egyelőség jo oldlá álló ifejezést ővítjü ( )! -sl és ifejezzü száot, éppe tétele szereplő ifejezéshez jutu..6. Megjegyzés. A... feldt rtolpos egoldását is áltláosíthtju. Jelöljü A-vl egy -eleű hlzt. Képzeljü el, hogy felírtu egy gy rtolpr z A V dr és egy ási lpr z összes eleű összes -d redű vriációját ( ) részhlzát ( dr). H egy hrdi rtor ide részhlz helyett előle épezhető összes redezett részhlzt (perutációt) írju, or ugyzot redezett hlzot pju, elye z első lpo szerepele. De egy részhlz potos! redezett részhlzt szárztt, így hrdi lpo! dr redezett hlz! jelei eg. A..6. tétel szerit z első lpo V redezett hlz v, tehát ( )! V!. P! ( )!..7. Feldt. Bizoyítsu e z lái összefüggéseet vlilye szálálásr hivtozv, jd száor felírt épleteet hszálv! ) ; ) Megoldás. ) Az egyelőség l oldl z {,,,..., } hlz eleű részhlzi szá. Osszu részhlzot ét csoport: z első csoport zo részhlzo erüljee, elye e trtlzzá -et, és ásodi zo, elye trtlzzá. Az első csoporteli hlzo ide eleét z,,,, özül ell iválsztu, tehát ilye részhlz létezi. A ásodi csoporteli részhlzo egy elee rögzített (z ), és töi ( )-et z,,,, özül ell iválsztu, tehát ilye részhlz v. Mivel ide eleű részhlz cs z egyi csoport trtozi, ét csoport eleeie száát összedv z összes eleű részhlzo száát ell pu. Tehát igzoltu ért egyelőséget.. H <, értée ull, hisz egy eleű hlz ics eleű részhlz.

19 Szálálási feldto. A oitori eleei 54 H száo épletét hszálju, izoyítás echius száolásr reduálódi: ( )! ( )! ( )!! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )!! ( )! ( )! ( )! ( ) ) Ezt ár..4. feldt egoldás utá tett egjegyzése igzoltu ( helyett ()-et és helyett -et ell helyettesíteü). A épletee lpuló izoyítás övetező:! ( )!! ( )! ( )!! ( )! II..4. A Pscl-hároszög és száo érti értelezése.4.. Feldt. Az övetező ár ide ezőjére írju rá, hogy háy ülööző úto lehet odjuti, h egy ezőről cs jo oldli vgy z ltt levő ezőre léphetü! Néháy ezőre ár ráírtu egfelelő száot. Írd rá töire is! A B Világos, hogy z első sor és z első oszlop ide ezejé áll. A lépésszályo szerit ide ezőre l oldli és fölötte álló ező elhelyezett száo összege erül. Láthtó, hogy ezzel ódszerrel és ellő türeleel iszáolhtju árely tetszőlegese gy tál árely ezejére írt száot. H zo rr godolu, hogy -di sor és -di oszlop elhelyezett száot szereté iszáoli, (vgy ár gyságát ecsüli) vlószíű, hogy iá egy ás ódszert próálu tláli. H z -edi sor és -edi oszlop tlálhtó ezőre szereté éri, or vízszites és függőleges lépést ell teü, tehát z összes lehetséges ilye út vízszites és függőleges lépést trtlz. H vlie le szereté íri egy ilye utt, or elégséges lee száú etűt íru: v-t ide vízszites lépésre és f-et ide függőleges lépésre. Az árá szürével.

20 Szálálási feldto. A oitori eleei 55 jelzett út vffvvvff jelsorozttl írhtó le. Mivel z dr v etűt és dr f etűt trtlzó jelsorozt egyértelűe eghtározz z utt és fordítv, elégséges z ilye jelsorozto száát eghtározi. Egy jelsorozt egyértelűe eghtározott, h z helyől ijelölü -et (ide erüle v etű és töi helyre z f etű). Ezt..5. tétel szerit ülööző ódo tehetjü eg, tehát z -edi sor és -edi oszlop áll. Ee lpjá tálázt írju e száot, és vizsgálju eg z idexeet! A Láthtó, hogy z AB átlór erőleges iráy eté z lsó idexe e változ. Ezt jo látju, h táláztot elfordítju úgy, hogy z AB átló függőleges legye. Az így pott hároszöglú táláztot Pscl-hároszöge evezzü. A..4. feldt ) potj lpjá széletől egyfor távolságr levő száo egyássl egyelő. A feldt első egoldását (vgy..7. feldt ) potját) figyelee véve száo (és Pscl-hároszög) egyszerű geerálási szályához jutu. Mide sor z első és utolsó ele z, és töi ele fölötte álló ét szá összege (lásd z árát) II..5. Newto ioiális tétele.5.. Feldt. Száítsu i ( ) -t, h {,,, 4, 5 } össze z együtthtót Pscl-hároszög eleeivel! B, jd hsolítsu