1. Komplex szám rendje

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Komplex szám rendje"

Gabi Kozma
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl, hogy z = z l, de l. Eor z l = z l = 1. Így: Defiíció Az egész szám jó itevője a z omplex száma, ha z = 1. Mivel a l és l jó itevő egyie pozitív, ezért z-e va pozitív jó itevője. A jó itevő tulajdoságai. Lemma Legye d a z legisebb pozitív jó itevője. Eor a jó itevő potosa a d többszörösei. Legye jó itevő. Osszu el -et maradéosa d-vel: = dq + r, ahol 0 r < d. Eor 1 = z = z dq+r = (z d ) q z r = 1 q z r = z r. Tehát r is jó itevő. A d a legisebb pozitív jó itevő. Mivel r < d, ezért r em lehet pozitív. Tehát r = 0. De aor = dq + r = dq, azaz többszöröse d-e. Megfordítva, ha többszöröse d-e, azaz = dq, aor z = z dq = (z d ) q = 1 q = 1, azaz jó itevő. mert jó itevő a hatváyozás azoosságai miatt z d = 1, mert d jó itevő A tétel bizoyításáa vége. Beláttu: Legye d a z legisebb pozitív jó itevője. Eor a jó itevő potosa a d többszörösei. Követezméye: z = z l z l = 1 d l. Ezért 1 = z 0 = z d, z 1,...,z d 1 pároét ülöböző. Eze z összes hatváyai, mert ha tetszőleges egész, aor = dq + r, ahol 0 r < d, és d r miatt z = z r. (Így z csa az -e a d-vel való osztási maradéától függ.) Tehát z ülöböző hatváyaia a száma d. Azaz z redje d, és a hatváyo periódiusa ismétlőde. Ezzel a tételt beláttu.

2 A red tulajdoságaia összefoglalása. Összefoglalás Legye z em ulla omplex szám. A z egységgyö, ha z m = 1 alalmas m > 0 egészre. A z potosa aor egységgyö, ha hossza 1, szöge 2π-e racioális többszöröse. Ha z em egységgyö, aor bármely ét egész itevőjű hatváya ülöböző. Ilyeor z redje. Ha z egységgyö, aor a hatváyai periódiusa ismétlőde. hossza z redje, jele o(z). A periódus z = z l o(z) l. Így z = 1 o(z). A z jó itevői azo az egésze, melyere z = 1. A z redje a legisebb pozitív jó itevője. A jó itevő potosa a red többszörösei. 2. Hatváy redjée éplete A bolhás feladat. Egy bolha ugrál örbe egy szabályos -szög csúcsai úgy, hogy mide ugrásál csúcsyit jut előre. Háy ugrás utá jut vissza a iidulópothoz? Háy ört tesz meg ezalatt? Háy csúcsot érit összese? Legye = 6, a csúcsoat számozzu így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. bejárás ugrásszám örszám csúcsszám /(, ) /(, ) /(, ) A bolhás feladat megoldása. Az (, ) legagyobb özös osztót jelöl. A bolha -asával ugrál: m ugrás utá a m-edi csúcso lesz. Ez aor a iidulópot, ha m. A legisebb ilye m ell. m (, ) (, ) m 2

3 Mivel /(, ) és /(, ) relatív príme, ez aor igaz, ha: (, ) m. A legisebb ilye m maga az /(, ). Így a bolha /(, ) ugrást tesz meg, amior először visszaér. HF: eyi csúcsot is érit. Ezalatt -szor eyi távolságot tesz meg, ami /(, ). A ör hossza, ezért a megtett örö száma a megtett távolság -edrésze, vagyis /(, ). Hatváy redjée éplete. Tétel Ha z redje véges és egész, aor o(z ) = o(z) (o(z), ). Legye z redje, írju z hatváyait egy -szög csúcsaira. Amior z -t hatváyozzu, aor -asával ugrálu örbe a csúcsoo, a z 0 = 1-ből iidulva. A bolhás feladat miatt először az /(, )-adi lépésbe apu 1-et. Vagyis z -a az /(, )-adi hatváya lesz először 1. o(i) = 4. Ezért o(i 3 ) = 4 (4, 3) = 4. A red meghatározása. Állítás Ha (, ) = 1, aor ε = cos(2π/) + i si(2π/) redje. Láttu, hogy ε 1 = cos(2π/) + i si(2π/)-e a -adi hatváya ε, ezért ε 1 hatváyai potosa az -edi egységgyöö. Így ε 1 -e darab hatváya va, azaz redje o(ε 1 ) =. A hatváy redjée éplete miatt o(ε ) = o(ε1 ) = /(, ). Mivel (, ) = 1, ezért o(ε ) =. Megjegyzés Ha és em relatív príme, aor ε redje isebb, mit (az -e valódi osztója). a red meghatározására. Állítás Ha (, ) = 1, aor ε = cos(2π/) + i si(2π/) redje. Meyi lesz z = cos i si 336 redje? 3

4 Megoldás cos i si 336 hossza 1, szöge 336 1, ami 336/360 2π. Mivel 336/360 racioális szám, z egységgyö. Egyszerűsítve: = Tehát z = cos(14 2π/15) + i si(14 2π/15). Mivel (14, 15) = 1, ezért z redje a feti állítás miatt Primitív egységgyöö Primitív -edi egységgyöö. Defiíció Az ε szám primitív -edi egységgyö, ha hatváyai potosa az -edi egységgyöö. Tétel Az ε 0 számra az alábbi három állítás evivales. (1) Az ε primitív -edi egységgyö. (2) Az ε redje. (3) ε = cos(2π/) + i si(2π/), ahol (, ) = 1. Emléeztető Ha (, ) = 1, aor ε = cos(2π/) + i si(2π/) redje. Ha (, ) 1, aor ε redje -él isebb. Így (2) (3). A primitív -edi egységgyöö jellemzése. Emléeztető Az ε szám primitív -edi egységgyö, ha hatváyai potosa az -edi egységgyöö. Bizoyítadó: Az ε 0 számra evivales: (1) Az ε primitív -edi egységgyö. (2) Az ε redje. (1) (2) Ha ε hatváyai potosa az -edi egységgyöö, aor darab hatváya va, így redje. (2) (1) Ha ε redje, aor -edi hatváya 1, és ezért -edi egységgyö. Így mide hatváya is az. Redje, tehát hatváya va. Így mide -edi egységgyööt megapu. ε = 1 (ε ) = (ε ) = 1 = 1. 4

5 A primitív -edi egységgyöö száma. Legye pozitív egész. Eor a ϕ() Euler-függvéy a 0, 1,..., 1 számo özül az -hez relatív príme száma. Számelméleti tétel Ha aoius alaja = p α pα, ahol α i 0, aor ϕ() = ( p α 1 1 pα Állítás A primitív -edi egységgyöö száma ϕ(). )... ( p α p α 1 A primitív -edi egységgyöö: ε = cos(2π/)+i si(2π/), ahol (, ) = 1. Láttu: ε = ε l l. Példá primitív -edi egységgyööre. A egyedi primitív egységgyöö i 1 = i és i 3 = i, mert 1 és 3 relatív príme 4-hez, de 0 és 2 em. ϕ(4) = 2. A hatodi primitív egységgyöö cos(2π/6) + i si(2π/6) = i 2 cos(5 2π/6) + i si(5 2π/6) = i 2, mert 1 és 5 relatív príme 6-hoz, de 0, 2, 3, 4 em. ϕ(6) = 2. Ezzel elvégeztü a Kiss-jegyzet 1.4. Szaaszát. 4. A biomiális tétel Biomiális együttható. Ismétlés Ha va tárgyu, aor ezeet! = ( 1) ülöböző módo tudju sorba rai. Az itt szereplő! szám eve: fatoriális. Megállapodás szerit 0! = 1. Ismétlés Ha va tárgyu, és ebből darabot aaru iválasztai (a sorredre való teitet élül), aor ezt ( ) =! ( 1)...( + 1) =!( )!! ülöböző módo tehetjü meg. Az itt szereplő ifejezés az alatt a biomiális együttható. Megállapodás szerit ee értée ulla, ha >, vagy ha < 0. ). és 5

6 A biomiális tétel. Fejtsü i az (a + b) 3 szorzatot. Az (a + b)(a + b)(a + b) szorzatot ifejtve egy összeget apu. A tago u 1 u 2 u 3 szorzato, ahol u 1, u 2, u 3 {a, b}, az összes lehetséges ombiációba (összese 2 3 = 8 tag). a 3 csa egyféleéppe eletezhet: ha u 1 = u 2 = u 3 = a. a 2 b úgy eletezhet, hogy u 1, u 2, u 3 özül ettő a-val egyelő. Ezt a ettőt ( 3 2) = 3-féleéppe választhatju i. Hasolóa ab 2 -ből is három darab lesz, b 3 -ből pedig egy. A biomiális tétel (Kiss-jegyzet, Gyaorlat) ( ) ( ) ( ) (a + b) = a + a 1 b + a 2 b ab 1 + b (Lásd a és Gyaorlatoat is.) 6

Hasonló dokumentumok

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i