A klasszikus kombinatorikus leszámlálás alapjai

Átírás

1 FEJEZET A lasszius ombiatorius leszámlálás alapjai A lasszius leszámlálási feladatoa va éháy ige egyszerű elve, amelyeet viszoylag öyű alalmazi. Persze a ehézség ott va, hogy e szabályoat potosa mior és hogya is lehet alalmazi. Az alábbiaba A, B, A i véges halmazoat jelöle és i. ϕ I. Az egyelőség szabálya: Ha A B és ϕ bijetív, aor A B. II. Az összeadás szabálya: Ha A B és A, B, aor A B A + B. III. A szorzás szabálya: Ha A, A,..., A, aor A A A i A i. i. Permutáció, variáció, ombiáció ismétléssel és ismétlés élül "...(i a redezése so fotos alalmazási területe va, vagy hogy (ii soa aor is redeze, amior em ellee, vagy hogy (iii a haszálatba levő redezési algoritmuso em eléggé hatéoya." D. E. Kuth: A számítógép programozás művészete 3. ötet 7. old., Műszai Köyviadó, Bp Defiíció. Az ülöböző elem egy permutációjá elem egy rögzített sorredjét értjü. Például 6 eseté legye,,3,4,5,6 a szóba forgó eleme, s az adott sorredjü 3,,4,,5,6. A permutációt lehet úgy is defiiáli, mit egy elemű halmaz ömagára való ( ölcsööse egyértelmű leépezését. Az előbbi permutációt eor meg lehet adi az alaba is, ez az ala a függvéye táblázattal való megadásáa egy x tömör jelölése:. A felső sorba a függetle változó értéei, az alsó sorba a függő változó megfelelő értéei szerepele. fatoriálisa modju az egymásutá övetező,,..., f(x számo szorzatát, jele!... ( és!, megállapodás szerit... Tétel. Az elemű H halmaz összes ülöböző permutációia a száma P!. Bizoyítás: A H halmaz elemeie a száma szeriti teljes iducióval bizoyítu. eseté az állítás igaz, mert egy elemet, csa egyféleéppe lehet sorba állítai. Tételezzü fel, hogy az állítás igaz -re, s mutassu meg, e feltevésből övetezi, hogy igaz ( + -re is. Legye megadva a H halmaz elemeie egy rögzített sorredje, pl. (h, h,..., h. Bármelyi permutációál a? jellel jelölt helye (?h,?h,...,?h? valamelyiére beszúrhatju a h + -t. Látható, hogy az elem bármely permutációjából ( + darab ülöböző ( + elemű permutációt lehet legyártai, tehát bármely -re teljesül a P + P ( + összefüggés, s mivel 8

2 . PERMUTÁCIÓK, VARIÁCIÓK, KOMBINÁCIÓK ISMÉTLÉSSEL ÉS ISMÉTLÉS NÉLKÜL 9!( + ( +!, ezért a bizoyítással ész vagyu... Defiíció. Legye adott elem, melye özül l, l,..., l számú redre egyforma és l + l + + l. Eze eleme egy rögzített sorredjét ismétléses permutációa evezzü. Például, ha egy osztály taulóit a dolgozatura apott jegye alapjá sorredbe állítju, aor az egyforma jegyet apott tauló özött már em teszü ülöbséget... Tétel. Ha az elem özül l, l,..., l redre egyforma és l + l + + l, aor! ismétléses permutációia a száma P,l,l,...,l l!l!... l!. Bizoyítás: Legye megadva a (h, h,..., h elemee valamely ismétléses permutációja. A permutációba lévő egyforma elemeet ülöböztessü meg idexeel és permutálju az eddig azoosa teitett elemeet is. Például egy 5 fős osztályba 3 ötöst és égyest adtu és a dolgozatoat (5,4,4,5,5 sorba osztottu i, idexelve az eddig egyformáa teitett jegyeet (5, 4, 4, 5, 5 3. E permutációból 3!! ismétlés élüli permutáció adódi. Egyetle egy ismétléses permutációból l!l!... l! számú ismétlés élüli permutációt apu, ezért P,l,l,...,l l!l!... l!!, s ie már valóba l!l!... l!-sal való osztás utá adódi a tétel állítása..3. Defiíció. Az ülöböző elem özül iválasztott redezett elemet -ad osztályú ismétlés élüli variációa evezzü. Például, ha egy futóverseye húsza idulta és az első 3 befutót díjaztá, aor a díjazottaat teithetjü elem harmad osztályú variációjáa. V.3. Tétel. elem ismétlés élüli -ad osztályú variációia a száma (... ( (. Bizoyítás: Rögzített mellett szeriti teljes iducióval bizoyítu. -re az állítás igaz, mivel elemből -t potosa féleéppe lehet iválasztai. Tételezzü fel, hogy -ra teljesedi és igazolju ( + -re. Bármelyi (h, h,..., h -ad osztályú variációhoz ( elem özül választhatu egy h + -ediet, hogy egy (h, h,..., h, h + ( + -ed osztályú variációt apju. Azaz igaz a övetező összefüggés V ( V+, miáltal tételü bizoyítást yert..4. Defiíció. Az ülöböző elemből, ha elemet oly módo választu i, hogy egy elemet többször is választhatu, és a sorred számít, aor elem -ad osztályú ismétléses variációjáról beszélü. Például, ha valai itölt egy tizeégy mérőzéses totó szelvéyt, aor az x,, elemee megadta egy 4-ed osztályú variációját..4. Tétel. Az ülöböző elem összes -ad osztályú ismétléses variációia a száma,ism. V

3 . A KLASSZIKUS KOMBINATORIKUS LESZÁMLÁLÁS ALAPJAI Bizoyítás: Jelölje,,,...,, az ülöböző elemet, eze eleme özül -t egymásutá leírva egy legfeljebb jegyű számot apu az alapú számredszerbe, melyee a száma yilvá, s ezzel a bizoyítás ész. Teithetjü az ülöböző elem egy -ad osztályú ismétléses variációját úgy is, mit az elemű H halmaz ömagával vett -szoros Descartes-szorzatáa egy elemét, s aor az is elég yilvávaló, hogy H H H H. Itt H jelöli a H halmaz elemeie a számát. Vegyü észre azt is, hogy az elemű H halmaz -szoros diret szorzatáa a (h, h,..., h elemét teithetjü oly módo is, mit a K {,,..., } halmazo értelmezett f függvéyt, melye az értéei redre h, h,..., h. Eor a K- értelmezett H-beli értéeet felvevő ülöböző függvéye száma. H-béli értéeet felvevő ijetív függvéye száma V Godolja végig a Kedves Olvasó, hogy a K- értelmezett (... ( (..5. Defiíció. ülöböző elem özül iválasztva elemet, melyeél a redezésre em vagyu teitettel, az elem egy -ad osztályú ombiációját apju. Például, ha valai az ötös lottó helyese itölt egy szelvéyt, ( aor a 9 eleme megadta! egy 5-öd osztályú ombiációját. Állapodju meg abba, hogy fogja jelöli az (!! számot. Az ( -t szoás biomiális együtthatóa is evezi..5. Tétel. elem -ad osztályú ombiációia a száma C ( Bizoyítás: elem valamely ismétlés élüli -ad osztályú ombiációjából! számú -ad osztályú ismétlés élüli variáció yerhető, ha az elemeet egymás özött permutálju. Tehát feáll a övetező: C! V. Figyelembe véve, hogy V (... ( (! (!, apju a tétel állítását...6. Defiíció. Ha az elem özül oly módo választu i darabot, hogy egy elem többször is szerepelhet és a sorredre em vagyu teitettel, aor az elem egy -ad osztályú ismétléses ombiációjáról beszélü..6. Tétel. elem -ad osztályú ismétléses ombiációia a száma C,ism ( + Bizoyítás: A bizoyítás alapötlete rövide csupá ayi, hogy megadu egy ölcsööse egyértelmű leépezést ( + ülöböző elem -ad osztályú ismétlés élüli ombiációi és ülöböző elem -ad osztályú ismétléses ombiációi özött. Legye az ülöböző elem,,..., egy és az ( + ülöböző elem,,...,, +,..., +. Az ülöböző elem egy ismétléses -ad osztályú ombiációja agyság szerit sorba redezve legye α α α. Az (α, α,..., α ismétléses ombiációa feleltessü meg az (α, α +, α 3 +,..., α + eleme ismétlés élüli -ad osztályú ombiációját. Látható, hogy α α + α + +, ezért az (α, α +, α 3 +,..., α + eleme valóba az + ülöböző elem ismétlés élüli ombiációja, s az összeadás.

4 . BINOMIÁLIS ÉS POLINOMIÁLIS TÉTEL egyértelműsége miatt a leépezés ölcsööse egyértelmű volta is garatált.. Biomiális és poliomiális tétel " Egyszer a fülembe a Gömb ezt súgta be: Azt hiszed, tőlem függ a Sors ítélete? ha saját forgásom tőlem fügött vola, a szeszély lácait é dobtam vola le." Omár Chájjám (48-3, Robáiyát, Magyar Helio, 958. Omár Chájjám oráa legjeletősebb polihisztora volt. A biomiális tétel első írásos yomai az ő írásaiba lelhető fel. Perzsiába máig ható épszerűségét 4 soros verseie öszöheti. Néháy évszázada már az ooz godot, hogy utázói művei özül az övéit iválogassá. Általáosabb megfogalmazásba modju i előbb a tételt..7. Tétel (poliomiális tétel. Legye a, a,..., a R, ahol R ommutatív gyűrű és egyél agyobb természetes szám, eor (a + a + + a! s!s!... s! as a s... a s s +s + +s Bizoyítás: Tudju, hogy bármely ommutatív gyűrűbe a több tag szorzását több taggal oly módo végezhetjü el, hogy mide tagot szorzu mide taggal. Ha felírju az téyezős (a + a + + a (a + a + + a... (a + a + + a szorzatot, aor az a -t s - ( s szer az zárójelből, az a -t s -szer az s zárójelből s ( s s s s s s s zárójelből s s s s... s s s s, az a -t s -szor az -féleéppe lehet iválasztai.! ( s! ( s!s! ( s s!s!... ( s s s! ( s s s!s!! s!s!... s! Omar Khayyam (48-3 (agolosa írva a teljes eve Ghiyath al-di Abu l-fath Umar ib Ibrahim Al-Nisaburi al-khayyami volt. (

5 . A KLASSZIKUS KOMBINATORIKUS LESZÁMLÁLÁS ALAPJAI tag együtthatója áll, amivel ál- Az ( egyelőség jobboldalá a tételbe szereplő a s a s... a s lításuat bizoyítottu..8. Tétel (biomiális tétel. Legye a, a ( R, ahol R ommutatív gyűrű és egyél agyobb természetes szám, eor (a + a s a s a s. s Bizoyítás: A tétel a poliomiális tétel speciális esete. s.. Követezméy. ( ( ( + + ( + ( (3 A ( azoosság azt mutatja, hogy az elemű halmaz (amely legye most az egyszerűség edvéért A {,,..., } összes részhalmazaia a száma. Valóba, az elemű halmaz összes részhalmazait össze lehet oly módo számoli, hogy összeszámolju a elemű részhalmazait (jelöljü A összes elemű részhalmazáa a halmazát F -val, s az így apott számoat redre összeadju. Az elemű halmaz, A elemű részhalmazaia a száma csa egy va, tudiilli az üres halmaz (F { }. Az A {,,..., } halmaz elemű részhalmazaia a száma, mivel az A {,,..., } egy elemű részhalmazai potosa a övetező halmazo: F ({{}, {},..., {}}. S az A {,,..., } halmaz elemű részhalmazaia a száma F... A Pascal-háromszög ábra. A Pascal-háromszög első 5 sorát írtu fel oly módo, hogy formuláal jelöltü a megfelelő biomiális együtthatóat.

6 . BINOMIÁLIS ÉS POLINOMIÁLIS TÉTEL ábra. A Pascal-háromszög első 5 sorát írtu fel oly módo, hogy a megfelelő biomiális együttható umerius értéeit írtu a háromszög megfelelő helyeire. A Pascal -háromszög tulajdoságai ma is so ember számára érdeese. So tulajdoságát fel lehet íri egyszerű éplete segítségével. r r r + r r r r r (r Ha, r Z,, aor r + r r + r + r Ha, m Z,, m, aor m + m + + m m Ha Z, és Z, < vagy >, aor. m m m ( Pascal, Blaise (63-66 fia volt Pascal, Etiee-e, ai levelezésbe állt Mersee-el (Mersee, Mari ( évese felfedezte a úpszeletebe írt hatszögere voatozó "Pascal-tétel"-t, s tizeyolc évese tervezett egy számológépet, melyet ésőbb megépített. Huszoöt évese a jazeistá Port Royali olostorába voult. 654-től léyegébe már csa teológiával foglalozott."értelmüet és ítélőépességüet társalgással alaítju i. Értelmüet és ítélőépességüet ugyacsa társalgással rotju el." (Pascal, B.; Godolato. Godolat Kiadó, Budapest, old. + m + ( m + m

7 4. A KLASSZIKUS KOMBINATORIKUS LESZÁMLÁLÁS ALAPJAI Az előző formula baloldalát teithetjü oly módo, hogy férfi és m ő özül először iválasztu db. férfit ill. őt, másodi lépésbe férfit és őt választu, s legvégül az férfi özül -t s az m ő özül -t választu. A jobboldalt pedig az áll, hogy férfi és m ő özül összese háyféleéppe választhatu i számú embert. Ugyaazo halmaza számoltu meg( az elemeit ét ( ülöböző módo, ezért ( a jobb és( a baloldal ( egyelő. Ha m, aor,,...,,...,, ezért j j Egy-egy A részhalmazát A-a megadhatu egy A- értelmezett, értéű függvéyyel is. Megállapodás szerit az A részhalmazba azo eleme tartoza, melyee az adott függvéy értéet vesz fel. Szoás az előbb említett függvéyt az A részhalmaz araterisztius függvéyée is evezi. A araterisztius függvéy fogalma émi fogódzót adhat a halmaz halmazra való hatváyozásáa a megértéséhez. Az előbbie szerit ugyais az A halmaz bármely A γ részhalmazához ölcsööse egyértelmű módo (bijetíve hozzáredelhetjü az A γ -a az f γ araterisztius függvéyét. Az A halmaz ülöböző araterisztius függvéyeie a halmazát lehet úgy teitei, mit az A halmazt a B {, }-ba leépező függvéye összességét. Ha az A halmaz elemű volt, aor tetszőleges részhalmazáa a araterisztius függvéye megadható egy -ból és -ből álló redezett tagú sorozattal. Az üres halmaza a csupa -ból álló tagú sorozat (,,..., felel meg. Az A halmaza a }{{} darab csupa egyeseből álló tagú sorozat (,,...,. Értelemszerűe az A {a }{{}, a } halmaza a (,,...,,,. Az előbbi sorozatoat ettes számredszerbe felírt számoa darab }{{} darab teithetjü. Az előző 3 sorozata, a (,,..., -a, az (,,..., -e és a (,,...,,, - }{{}}{{}}{{} darab darab darab e redre a,, 3 számo felele meg a ettes számredszerbe. Másrészről a,-ből álló redezett tagú sorozatot teithetjü az e, e,..., e orthoormált bázisvetoro által felfeszített dimeziós oca csúcspotjaia a oordiátáia. S a orábbi ettes számred Cub Cub Cub Cub 3 3. ábra. A dimeziós ocá gráfjai,,, 3 esetbe szerbeli megfeleltetés végül is azt eredméyezi, hogy az dimeziós oca mide csúcsához hozzáredeltü egy a egész számot, melyre teljesül, hogy a. A 3. illetve a 4. ábrá a oca csúcsait a + -gyel idexeltü, s midig csa az újoa "eletezett" potoat

8 . SPERNER TÉTELE AZ ANTILÁNCOKRÓL Cub 4 Cub 5 4. ábra. A dimeziós ocá gráfjai 4, 5 eseté jelöltü meg. A 4,5 dimeziós ocáa émely élét más-más típusú szaggatott voallal rajzoltu meg, azzal a céllal, hogy "szemléletesebb" legye az ábra. Részbe szereté a Kedves Olvasót arra ispiráli, hogy számolja össze, háy háromdimeziós oca határolja a égy dimeziós ocát, illetve háy égydimeziós oca határolja az ötdimeziós ocát. Az előzőe szerit feladattól, problémától függőe választhatu, hogy I. -ból és -ből álló redezett tagú sorozatoról, II. elemű halmaz részhalmazairól, III. dimeziós oca csúcspotjairól, IV. vagy az elemű halmazo értelmezett, értéű függvéyeről beszélü. 3. Sperer tétele az atilácoról Jól defiiált véges halmazo elemeie a leszámlálása ige so esetbe haszos lehet, bár em midig öyű feladat. E. Sperer 3 tétele a matematia so ülöböző területé bizoyult haszosa. Az itt özölt tömör és szellemes bizoyítás D. Lubbel 4 -től származi. A tétel megfogalmazása előtt ismertetjü a problémát. Legye az A {,,..., } és hatváyhalmazát (azaz részhalmazaia a halmazát jelölje P (A. Ati-láca modju az A részhalmazaia valamely F halmazát (F P (A, ha F bármely ét ülöböző A, A elemét teitjü, egyi sem tartalmazza a másiat, azaz sem A A sem A A. Háy eleme lehet legfeljebb F -e? Vegye észre a Tisztelt Olvasó, hogy bármely -ra ( az A összes elemű részhalmazaia a halmaza, F ati-lác. Ismert, hogy az számo özül a legagyobb az, ahol ez esetbe az x szimbólum az x egészrészét jelöli. A x egészrész függvéy az x-él em agyobb egész számo potos felső orlátjával egyelő. Az eddigie alapjá, ha 3 E. Sperer: Ei Satz Über eier edliche Mege; Math. Zeitschrift, 7 (98, D. Lubbel: A short proof of Sperer theorem, J. Combiatorical Theory (966, 99

9 6. A KLASSZIKUS KOMBINATORIKUS LESZÁMLÁLÁS ALAPJAI F egy legtöbb elemet tartalmazó ati-lác, aor F. Ha meg tudju mutati a fordított iráyú F egyelőtleséget, aor adódi E. Sperer tétele..9. Tétel (E.( Sperer tétele. Az A elemű halmaz legtöbb elemű ati-lácáa az elemeie a száma. Bizoyítás: Teitsü a B B B... B B A lácoat, ahol B i -e potosa i darab eleme va. E láco száma potosa!, mivel B egyetle elemét -féleéppe választhatju meg, az őt tartalmazó B ét elemű halmaza a másodi elemét elem özül választhatju i, s ha már iválasztottu B elemeit, aor B -adi elemét ( elem özül választhatju teljese szabado. Vizsgálju meg most azt, hogy valamely elemű részhalmaza az A -e háy ülöböző B B B... B B C B +... B A lácba szerepelhet. A B B B... B B C láco száma az előző fejtegetés szerit! és a C B +... B A láco száma (! és így az B B B... B B C B +... B A láco száma (fix C -val potosa!(!. Jelöljü most az F maximális elemszámú ati-lác elemű részhalmazaia a számát m -val, eor yilvá igaz, hogy az F -be szereplő részhalmazo száma F m + m m m m. Másrészről az is világos, hogy ha F -e valamely A eleme szerepel egy B B B... B B A B +... B A lácba, aor abba a lácba em szerepelhet F -e további más A eleme, mert az elletmodaa F ati-lác tulajdoságáa. Figyelembe véve ezt és azt, hogy az F C eleme potosa!(! B B B... B B C B +... B A lácot fog le, adódi, hogy m!(!!, amiből!-sal való osztás és redezés utá m!!(! m ( F legagyobb, apju, hogy ( egyelőtleséget végigszorozva adódi. Figyelembe véve, hogy az ( m m ( -vel, valóba az óhajtott F yerjü. A bizoyítás ezzel ész. számo özül a m, s ez utóbbi egyelőtleséget ( 4. Szita-formula (Tartalmazás és izárás elve A szita formula az eratosztheészi szita leszármazottja, abba az értelembe, hogy az eratosztheészi szita módszert adott azo számo meghatározására, melye prímszámo egy előre megadott véges halmazáa egyi elemével sem osztható. A szita-formula épletet ad a

10 . SZITA-FORMULA (TARTALMAZÁS ÉS KIZÁRÁS ELVE 7 H halmaz azo elemeie a számára, melye em elemei H előre adott H, H,..., H részhalmazai egyiée sem. A szita-formulát ige gyara szotá a tartalmazás-izárás elveét is emlegeti... Tétel (szita-formula. Legye adott a H véges halmaz és H, H,..., H részhalmazai, eor H H... H H H H... H + H H + H H H H + H H H H H H H 3... H H H +...+( H H... H H + ( s H i H i... H is. s i <i <...<i s Bizoyítás: Ismert, hogy H H... H H H H... H, ezért a bizoyítadó egyelőség evivales az alábbival: H H... H ( s H i H i... H is (4 s i <i <...<i s Ez utóbbi formula bizoyítását szeriti teljes iducióval végezzü. -re az állítás yilvávalóa igaz. eseté H H ( H + ( H + ( H H teljesül, mert a metszet elemeit duplá számoltu. Tételezzü fel, hogy a formula igaz, ha (. Igazolju az állítást -re. A [H H... H ] H H H... H + H (H H... H H formula az speciális eset alalmazásával apható meg. Jobb oldaláa utolsó tagjára alalmazva a disztributivitást, adódi az alábbi, céljaia jobba megfelelő formula: [H H... H ] H H H... H + H (H H (H H... (H H Az (5 jobb oldalá szereplő első tagra alalmazva az iduciós feltevést, írhatju, hogy H H... H ( s s a harmadi tagra pedig a övetezőt: (H H (H H... (H H ( s illetve (H H (H H... (H H s i <i <...<i s ( s s i <i <...<i s (5 H i H i... H is (6 i <i <...<i s H i H i... H is H H i H i... H is (7 Az (5 formulába visszaírva (6-t és (7-t, potosa a bizoyítadó (4 formulát apju, s ezzel a bizoyítás ész. 4.. Követezméy. Ha bármely s-re és tetszőleges (i, i,..., i s illetve (i, i,..., i s eseté H i H i... H is H i H i... H i s, aor H H... H H + s( s( H H... H s. s

11 8. A KLASSZIKUS KOMBINATORIKUS LESZÁMLÁLÁS ALAPJAI 4.. Követezméy. Legye A, A elemű halmaz, eor az A -et A -be épező szürjetív leépezése (függvéye száma + s( s( ( s. s Bizoyítás: A 4. övetezméyt alalmazzu arra az esetre, ha H i jelöli azoat az A -et A -re épező függvéyeet, melyeél az A a i eleme em lép fel épét. Megjegyzés. A szita-formuláa a számelméletbe vaa ifejezette fiom és redívül mély alalmazásai. Kombiatoriába a szita szép általáosítása öszöhető G. C. Rota 5 -a. 5. Permutáció, szimmetrius csoport "Mid a 7 szimmetriacsoportra találta példát az óori, jelesül az egyiptomi díszítőmotívumo özt." Herma Weyl, Szimmetria, Godolat, Bp. 98. Függvéye örébe ismert az összetett függvéy épzés művelete, ee megfelelőe értelmezhetü a permutáció özött is egy műveletet, a permutáció szorzását, mit a megfelelő ( leépezése ( egymásutá végrehajtását. ( Példa: Itt jobbról-balra szoroztu aa megfelelőe, hogy ha az f(g összetett függvéy azt jeleti, hogy ( először végrehajtju ( g-t, majd f-et. Persze ( az előbbi szorzást elvégezhetjü balról-jobbra is, az eredméy persze általába más lesz (ivéve, ha a ét elem felcserélhető, algebrai szempotból azoba ugyaaz az algebrai strutúra adódi midét esetbe, célszerű adott témaörö belül azoba csa az egyi írásmódot haszáli. Mi az utóbbi a balróljobbra írásmód hívei vagyu... Tétel. Az elemű H halmaz permutációi a permutáció szorzására ézve csoportot alota. Jele: S (az S a szimmetriára utal, a csoport szoásos eve a szimmetrius csoport. Bizoyítás: Igazolju sorba, hogy teljesede a csoportaxiómá. (i A permutáció szorzása étváltozós algebrai művelet, mert a H ömagára való ölcsööse egyértelmű leépezéseie egymásutája is H ömagára való ölcsööse egyértelmű leépezése. 5 Gia-Carlo Rota 93. április 7-é született az olaszországi Vigevao-ba, s elhuyt 999. április 8-á az ameriai Massachusetts álllam Cambridge evű városába.

12 . PERMUTÁCIÓK, SZIMMETRIKUS CSOPORT 9 (ii Az asszociativitás is teljesül, mivel leépezése szorzása midig asszociatív. Ha az f leépezés az A halmazt a B halmazra épezi le és g B-t a C halmazra, továbbá a h leépezés a C halmazt D-re, aor a h (g f az A-t ugyaúgy épezi le D-be, mit (h g f épezi le A-t a D halmazra. Valóba, A tetszőleges a elemére teljesül egyrészt az, hogy h (g f(a h((g f(a h(g(f(a, másrészt ((h g f(a (h g(f(a h(g(f(a. Az előbbie téylegese azt mutatjá, hogy bármely a elemére az A halmaza teljesül, hogy a h (g f leépezés a-hoz ugyaazt az elemet redeli, mit amit (h g f redel. Azaz a ét leépezés "mide a potba ugyaazt az értéet veszi fel", aor azoosa egyelő. (iii Létezi egységelem ti. az idetius leépezés. (iv Mide eleme va iverze is, mivel a ölcsööse ( egyértelmű leépezése ivertálható.... i... Vegye észre a Tisztelt Olvasó, hogy az permutáció iverze α α... α i... α α α az... α i... α permutáció.... i Defiíció. Azt a permutációt, melybe ét elem cserélt csupá helyet, traszpozícióa evezzü.... i... j... Például: Az permutáció az i, j elemee egy traszpozíciója. Bármely traszpozíciót ( felírhatu szomszédos traszpozíció szorzataét. Az... j... i i... j... idetius permutációból, -ből (j i darab szomszédos eleme a traszpozíciójával (cseréjével apju a... i... j i... j j i +... j i... permutációt, ( s ez utóbbi permutációból (i j szomszédos elem cserével adódi a... i... j... permutáció, azaz az idetius permutációból (i j szomszédos eleme a cseréjével megapju az i-t j-vel felcserélő... j... i... traszpozíciót. (.8. Defiíció. Az α i, α j eleme iverzióba vaa az... i... j... permutációba, ha α α α... α i... α j... α j < α i..9. Defiíció. Valamely permutációt aszerit modu párosa ill. páratlaa, hogy a permutációba lévő iverzió száma páros vagy páratla. Az eddigie alapjá yilvávaló, hogy szomszédos eleme cseréjeor a permutációba lévő iverzió száma vagy -gyel ő, vagy -gyel csöe. S mivel bármely traszpozíció az idetius permutációból páratla so szomszédos elem cseréjével megapható, ezért bármely traszpozíció páratla permutáció... Tétel. Bármely permutáció előáll véges so traszpozíció szorzataét. Bizoyítás: Ha adott véges so eleme egy rögzített sorredje, aor elemee pároéti felcserélésével eljuthatu bármely más előre rögzített sorredhez is. Az elemee a száma szerit bizoyíthatu., -re az állítás triviális. Tegyü fel, hogy az állítás igaz

13 3. A KLASSZIKUS KOMBINATORIKUS LESZÁMLÁLÁS ALAPJAI -re és bizoyítsu + -re. Az iduciós feltevés szerit elérhető traszpozícióal, hogy az első elem a helyé legye. Ha az utolsó ettő em a helyé áll, aor megcserélve őet ész vagyu a bizoyítással. 5.. Követezméy. A páros permutáció a szorzásra ézve csoportot alota. A páros és a páratla permutáció száma megegyezi, ha. Az elem összes permutációia a csoportját többféle módo is lehet reprezetáli. Legye adott az dimeziós (valós test feletti R -ről va szó térbe egy szabályos csúcspotú K szimplex. A K szimplex csúcspotjai essee egybe az e, e, e 3,..., e, e..... stadard bázisvetoroa a végpotjaival. A K szimplex ömagára való távolságtartó homogé lieáris leépezéseie a csoportja, potosa az elem szimmetria csoportjával egyezi meg. Jele esetbe az e, e, e 3,..., e, e..... e e oszlopvetoro tetszőleges... e permutációját lehet úgy teitei, mit egy e α e α... e α olya ϕ(x lieáris leépezést, amely ϕ(e i e αi, (i,,..., bázis vetoro épei által... i... j... adott. Eor az permutációhoz redelt lieáris leépezés α α... α i... α j... α mátrixa a stadard bázisba potosa azo E... i... j... -es α α... α i... α j... α mátrix lesz, amely az -es E egységmátrixból úgy eletezi, hogy az i-edi oszlopba az E mátrix α i -edi oszlopa erül. Az E... i... j... mátrixo a szoásos α α... α i... α j... α szorzásra ézve csoportot alota, s e csoport izomorf az elem S szimmetria csoportjával. Például: Ha az permutációa az E

14 mátrixot és az feleltetjü meg. ( Aor az. FELADATOK 3 permutációa az E ( mátrixot permutációt aptu, ha jobbról végeztü a szorzást. Összeszorozva az E 3 4 E mátrixoat a szoott módo, adódi az E megfelelő mátrix. Feladato "A étismeretlees egyeletbe legelőször megpróbálju megeresi az ismerősöet." Róa Sádor: A matematia humora, Tóth Köyveresedés és Kiadó Kft. Debrece, Az A városból B városba 5, oa C-be 3 út vezet. Háyféleéppe lehet eljuti A-ból C-be, B- eresztül?. Két végvára, atoája va, atoát iállítaa párviadalra. Háyféleéppe választhata i egy párt? 3. Egy hegy csúcsára 5 út vezet. Egy turista felmegy valamely úto, majd lejö egy másio. Háyféle útvoal özött választhatott? 4. A satáblá háyféleéppe választhatu i (i egy fehér és egy feete mezőt, (ii egy fehér és egy feete mezőt oly módo, hogy ülöböző sorba és ülöböző oszlopba legyee? 5. Hat házaspár özül háyféleéppe lehet iválasztai egy férfit és egy őt, hogy a ét iválasztott em házaspár? 6. Egy osárba alma ill. barac va. Julisa ivesz almát, vagy egy baracot. Julisa utá Jacsi választ egy almát és egy baracot is. Mior va Jacsia több választási lehetősége, ha Julisa almát, vagy ha baracot vett? 7. Jacsia és Julisa virágot szedte az erdőbe, 5 hóvirágot, ibolyát, és gólyahírt. Hazafelé mevé elosztottá a virágot egymás özött háyféleéppe tehetté meg azt? 8. Az A ill. B városoat főútvoal öti össze és azoat 9 másodredű útvoal eresztezi. Háyféle úto lehet eljuti A-ból B-be, feltéve hogy egy úto legfeljebb egyszer megyü végig? 9. Az A-ból iduló voato utas va, s B-ig m megálló, legésőbb B-be midei iszáll. Háyféleéppe törtéhet ez?

15 3. A KLASSZIKUS KOMBINATORIKUS LESZÁMLÁLÁS ALAPJAI. Értelmezze az előbbi feladatot oly módo, hogy az utasoat egyformáa teiti, s válaszolja meg az ott feltett érdést?. 999 jauárjába egy hétfői apo tizeégy diá aalízisből vizsgázott Daróczy Zoltá Taár Úrál. Háyféle eredméye lehet a vizsgáa, ha azap csa 5,4,3-as jegye születte?. Háy pozitív osztója va az egész száma, ha p α ill. az p α p α...p α 3. Az 5 lapos fracia ártyából 3-3-at osztaa 4 embere, háyféleéppe lehetséges ez? 4. Háyféleéppe lehet a 3 lapos magyar ártyából 6-t iválasztai oly módo, hogy mid a 4 szí szerepelje legalább egyszer? 5. Józsiáa 6 barátja va, alalommal meghív özülü hármat. Háyféleéppe teheti ezt meg úgy, hogy ugyaaz a társaság e jöjjö össze étszer? 6. Rajzoljo 5 olya téglalapot, melye oldalaia a hosszai az,,3,4,5,6,7,8,9, számo özül erüle i, méghozzá úgy, hogy midegyi potosa egyszer lép fel (ha a téglalapo egyforma oldalait egyszeres multiplicitással számolju, s az öt téglalap megfelelő módo egymás mellé helyezve egy újabb téglalapot alot. 7. Háy égyjegyű ill. ötjegyű számot írhatu fel 5 ill. 6 páratla számjegy segítségével 6-os számredszerbe. 8. Háy olya ötjegyű szám va a tízes számredszerbe, melybe (i a em fordul elő, (ii legalább egy páros számjegyet tartalmaz, (iii a 3 és a 7 számjegyeet tartalmazza egyágyas szállodai szobába háyféleéppe lehet elhelyezi 5 turistát?. Fehér, feete, sárga, é, piros és zöld gyögyöből háyféle 4 tagú lácot lehet csiáli? Meyi lesz azo láco száma, amelyebe legalább egy piros és legalább egy zöld szíű gyögy is va?. Piros, fehér, zöld és é szíű golyói vaa 6 ülöböző méretbe. Négy dobozba elhelyezü hat-hat golyót ügyelve arra, hogy egy dobozba ülöböző méretű, de azoos szíű golyó erüljee. Háyféle módo lehet 4 ülöböző méretű és szíű golyót iválasztai a dobozoból.. Határozza meg a hétjegyű számo özül azoa a számát, amelye (i csa páratla, (ii csa páros, (iii 5 páros és páratla, (iv 4 páros és 3 páratla számjegyet tartalmaza. 3. A 3 lapos magyar ártyából 7 lapot húzu. Háyféleéppe lehet az ász, irály, felső, alsó, tízes, ileces, yolcas sorredet ihúzi. 4. Egy társaságba 5 férfi és 5 ő va. Háyféleéppe lehet őet egy ere asztal öré úgy leülteti, hogy e üljö ét ő egymás mellett? 5. Határozza meg azoa az ötjegyű számoa az összegét, melyebe (i legfeljebb az,,3,4,5 számjegye szerepele, (ii az,,3,4,5 számo legfeljebb egyszer fordula elő, (iii legfeljebb a,,3,4,5, számjegye állhata, (iv melyee mide jegye ülöböző.?

16 . FELADATOK Három férfi és három ői maöet háyféleéppe lehet oly módo sorba állítai, hogy sem ét ő sem ét férfi em állhat egymás mellett? 7. m férfi és ő özül -t iválasztaa (midegyi iválasztott más-más ajádéot ap. Háy olya eset lesz, amior a iválasztotta özött potosa l hölgy lesz? 8. Adott a sío darab általáos helyzetű egyees (ics özöttü párhuzamos és semelyi három em illeszedi egy potra. Háy tartomáyra botjá a síot? 9. Adott a 3 dimeziós eulideszi térbe általáos helyzetű sí (semelyi ettő em párhuzamos, semelyi három em illeszedi egy egyeesre, semelyi égye ics egy özös potja. Háy részre botjá a teret? 3. ülöböző téyezőből álló szorzatot háyféleéppe lehet ét-ét téyezőből álló téyező szorzatára botai? 3. Háyféleéppe lehet öt dobóocával 8-at dobi? 3. Háyféleéppe lehet három dobóocával 4-et dobi? 33. Háyféleéppe helyezhetü el egy 5 polcos szeréybe 8 öyvet, ha egy polco elfér mid a 8? 34. Egy házaspár hat úrból és hat hölgyből álló társaságot hív vedégségbe, oly módo, hogy hata a férj és hata a feleség ismerősei. Háyféleéppe teheti ezt, ha a férje öt ő és hét férfi, a felesége hét ő és öt férfi ismerőse va? 35. Hófehére levelet írt a hét törpée. A goosz boszoráy azoba összecserélte a leveleet oly galádul, hogy sei sem a sajátját apta. Háyféleéppe tehette meg azt a goosz boszora? 36. Háromféle témáról levelez 7 tudós. Bármelyi tudós bármelyi másial levelez, de csa egy témáról. Bizoyítsa be, hogy va özöttü legalább 3 tudós, ai ugyaarról a témáról leveleze egymással. + m m m m 37. Bizoyítsa be, hogy ! 38. Háy szótárt ell iadi, hogy özvetleül lehesse fordítai ülöböző yelv bármelyiéről, bármely másira? 39. Háy -ra végződi a szám? 4. Határozza meg az x 8 -o együtthatóját az ( + x x 3 7 poliomba! 4. szám özül háy olya va, amely (i em osztható sem -vel, sem 3-mal, (ii em osztható sem -vel, sem 3-mal, sem 5-tel, (iv em osztható sem -vel, sem 3-mal, sem 5-tel, sem 7-tel? 4. Az elemű halmaza háy lieáris redezése va? 43. Egy csomag magyar ártyából háyféleéppe lehet iválasztai (i égy pároét ülöböző szíű lapot, (ii égy pároét ülöböző szíű és értéű lapot, (iii égy olyat, melye özül ettő irály? 44. Az ultiál háyféle leosztás lehetséges? 45. Három gyerme özött szétosztu 7 darab 5 foritos érmét. Háyféleéppe lehet megcsiáli az elosztást, (i ha az is előfordulhat, hogy valamelyi gyere egy érmét sem ap, (ii ha bármelyi gyerme legalább egy érmét ap, (iii ha bármelyi gyerme legalább három érmét ap?

17 34. A KLASSZIKUS KOMBINATORIKUS LESZÁMLÁLÁS ALAPJAI 46. Háyféleéppe húzhat fel valai az egyi ezée ujjaira 4 ülöböző gyűrűt, ha a hüvelyujjára em húz gyűrűt és ha bármely mási ujjára felfér mid a láy özött 8 rózsát, 3 íriszt, 5 amarilliszt, 8 tulipát és egy orchideát osztotta szét oly módo, hogy midegyiü egy-egy virágot apott. Meyi a lehetséges elosztáso száma? 48. A öyvespolco 7 öyv va. Háyféleéppe lehet özülü iválasztai 6 olyat, mely em egymás mellett áll? 49. Legye az szám aoius alaja p α p α...p α. Határozza meg az ülöböző pozitív osztóia az összegét! 5. Háy olya "szó" észíthető a f elejthetetle szóból, amelybe e betű icsee egymás mellett? 5. Háyféleéppe bothatu fel egy természetes számot három természetes szám összegére? (A sorredet is figyelembe véve. 5. Adott a sío az e ill. f párhuzamos egyeese e- m darab, f-e darab ülöböző pot va. Háy olya em elfajuló háromszög va a sío, melye a csúcsai az adott poto özül erüle i? 53. Egy égyzet mide oldalát egyelő részre osztu. Háy olya háromszög va, amelye csúcsai az előbb említett osztópoto özül erüle i? 54. Adott a sío darab egyees, amelye özül ics három, mely egy potra illeszede és bármely ettő metszi egymást. Háy metszéspotja va az darab egyeese? 55. Adott a sío darab pot, melye özül semelyi 3 ics egy egyeese. Háy egyeesét határozzá meg az előbb említett poto a sía? 56. Adott a háromdimeziós térbe pot, melye özül semelyi három ics egy egyeese, özülü m viszot egy síba helyezedi el, a megmaradt m pot özül már semelyi égy em omplaáris. Háy sí illeszthető az adott potra? 57. Háy olya háromszög va, melye csúcsai egybeese egy adott ovex szög csúcsaival, de ics özös oldalu? ( 58. Kombiatoriai ( úto igazolja, hogy (i (ii ( + 3 ( ( 3 (iii ( (iv