Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Átírás

1 A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját épező részt agol yelvterülete összeszámlálási problémáa evezi. Nagyo gyara alalmazható ét egyszerű szabály: az összeadási- és a szorzási szabályo. Az összeadási szabályt először ét egyszerű példá eresztül világítju meg. Példa: 1. Egy hallgatóa az óraredjébe 2 lyuas óra va. Ezért elhatározza, hogy még felvesz egy tárgyat. Az adott időpotba a ötelező szamai tárgya özött csa ettő va, amit fel tud vei, a em szamai, választható tárgya özött pedig három. Háyféleéppe döthet? A válasz elég egyszerű: a lehetséges ötelező szamai tárgya száma + a lehetséges em szamai, választható tárgya száma, jele esetbe Diszrét matematiából az évfolyam zárthelyit az első emeleti 134, a másodi emeleti 219, 239 és a harmadi emeleti 318, 319, 320 termebe írjá. Sajos, egy hallgató elfelejtette, hova ell meie, és mivel elésett, már em is tudja,megérdezi seitől sem. Háyféleéppe döthet? A lehetősége száma yilvávalóa az első emeleti., másodi emeleti és harmadi emeleti terme számáa összege. Egyszerűe megfogalmazva az összeadási szabályt, ha x-féleéppe végezhetü el egy dolgot, és y-féleéppe egy mási dolgot, és csa egyetle egyet csiálhatu, aor ezt az egyetle dolgot x+y féleéppe tehetjü meg. Az összeadási szabály valójába a halmazelméleti szita formula egy speciális esete, amior pároét diszjut (özös elemeteet em tartalmazó) halmazo úióját vesszü. A halmazelméleti szita (em diszjut halmazora voatozó) formula: Ha A 1,..., A véges elemszámú halmazo, aor r Bércesé Nová Áges

2 Összeadási szabály: Egymást ölcsööse izáró lehetőségee a száma az összes a lehetősége számáa összegével egyelő. Máséppe: egymást izáró halmazo uiójáa elemszáma a halmazo elemszámáa összege. A 1 A 2 A 3 A = A 1 A 2 A 3 A Szorzási szabály: Ha egy feladatot 2 olya részfeladatra lehet botai, hogy először az egyi, majd tőle függetleül a mási feladat elvégezhető, aor ha az első x-féleéppe, a másodi y-féleéppe hajtható végre, aor az egész feladat x*y féleéppe hajtható végre. Halmazoal fogalmazva, ha ét halmazból ell egymástól függetleül választau, melyee számossága x és y, aor az összes választási lehetőség x.y- Példa: A mezá 2-féle leves és mellé 4-féle főétel özül lehet választai. Háyféle meü állítható össze? Levese Főétele Húsleves Gyümölcs - leves Rátott hús rumplival 1 2 Túrós tészta 3 4 Sólet 5 6 Raott áposzta 7 8 Megoldás: 2*4 = 8, tehát 8-féle meü állítható össze. Ez a é dupla szegélyű téglalap területe. Szorzási szabály általáosítása: Ha egy feladatot db olya részfeladatra lehet botai, hogy mide részfeladat a többitől függetleül elvégezhető, és eze midegyie x 1, x 2, x 3, x - féleéppe hajtható végre, aor az egész feladatot x 1 *x 2 * x 3 * * x féleéppe lehet megoldai. Feladato: - A meübe emcsa leves és főétel, de desszert és ital is szerepelhet. Háyféle meü állítható össze, ha ötfajta ital és háromfajta desszert választható? - Fogalmazza meg a szorzási szabály általáosítását halmazoal! - Háy három sávos zászló észíthető 6 szíből? - Háy három szíű zászló észíthető 6 szíből? Az összeszámlálási problémá egy része típusoba sorolható, s eze típusfeladato általáosa megoldható. A szoásos típus feladato: - Permutáció: ülöböző eleme háyféle sorbaredezése lehetséges? - Kombiáció: elemből háyféleéppe választható i elem, ha a sorred em számít? - Variáció: elemből háyféleéppe választható i elem, ha a sorred em számít? Bércesé Nová Áges

3 Az alábbiaba ismertetjü eze típusfeladato megoldásait, itérve az ú. ismétléses esetere is. Az egyi legegyszerűbb tehát feladat ülöböző személy, tárgy sorredbe redezése. Magát a sorredet, de az eljárást is, (ismétlés élüli) permutációa evezzü. Példa: Az a,b,c, d eleme ét ülöböző permutációja: a b c d és b a c d A érdés az, hogy ülöböző eleme háy permutációja va? Jelölés: A permutáció számát jelöljü P-vel és az alsó idexbe írju, hogy háy elemet aaru sorbaredezi: P. Egy eleme yilvá 1, ettőe: a, b és b, a, vagyis ettő permutációja va: P 1 =1, P 2 = 2 A továbbia miatt eze utóbbit célszerű úgy felfogi, hogy az első helyre választott elem vagy a, vagy b. A maradé helyre pedig egy-egy elem választható, ezeet az A és a B halmazoba (a ezdő elem eve szerit) csoportosítottu: A a b B b a E ét halmaz elemei a permutáció (em az a, és b eleme!), ezért e ét halmaz diszjut, hisze az ab és a ba sorrede em egyelő. Így az összeadási szabály alalmazható: 1 + 1=2 1=2, tehát 2 az összes ét elemű permutáció száma. Három elem összes permutációja az A, B, C halmazoba csoportosítva (a ezdő elem eve szerit): A B C a b c b a c c a b a c b b c a c b a Ha az első helyre az a elemet választju, aor ehhez a maradé ét elem étféleéppe írható fel. Ha az első helyre a b elemet választju, aor ehhez a maradé ét elem étféleéppe írható fel. Ha az első helyre a c elemet választju, aor ehhez a maradé ét elem étféleéppe írható fel. Az összeadási szabály alalmazható az A, B, C halmazora (elemei ülöböző, hisze midegyi sorred más és más). Ez tehát összese = 3 2=3 2 1=6 Bércesé Nová Áges

4 Ha égy elem va, aor az első helyre 4-ből választhatu, a maradé három helyet viszot az előzőe értelmébe hatféleéppe tudju itöltei, s mivel midegyi égyes ülöböző, a eletező A, B, C, D halmazo diszjuta, ezért ismét alalmazható az összeadási szabály, csahogy most midegyi halmazba 6 elem va: P 4 = =4 6= =24 A a b c d a b d c a c b d a c d b a d b c a d c b B b a c d b a d c b c a d b c d a b d a c b d c a C c a b d c a d b c b a d c b d a c d a b c d b a D d a b c d a c b d b a c d b c a d c a b d c b a Eze tapasztalato alapjá általáosa az sejthető, hogy ülöböző elem összes lehetséges sorredjeie száma , vagyis a számo szorzata 1-től -ig. Fet =1,2,3,4 esetere bizoyítottu. Tegyü fel, hogy P = Ezt felhaszálva ell azt bizoyítai a teljes idució módszere szerit, hogy P +1 = (+1)!. Úgy tudu P +1 -re övetezteti, hogy az új elemet hozzávéve, +1 db csoportot alothatu, amelye midegyiébe ülöböző eleme vaa (hisze midegyi sorred más és más), és elemszámu egyelő, P. Ee oa, ugyaúgy mit a 4 elemél, hogy egy elemet elsőe iválasztva a maradé elem P féleéppe írható utáa. Az első elemet pedig (+1)- féleéppe választhatju. Ezért az első elem szerit csoportosítva az egyes halmazo elemszámaia összege adja az elem összes lehetséges permutációia számát: P +1 = P + P + P + + P =(+1) P =(+1) (-1) 3 2 1=(+1)! Ezzel bebizoyítottu a övetező tételt. Tétel: ülöböző elem permutációia száma P = =! Jelölés: A tétel megfogalmazásába bevezettü egy új jelölést: =!, olvasd: fatoriális. Előfordulhat, hogy a sorbaredezedő eleme özött egyformá is vaa, pl.: a a b c. Ez az eset az ú. ismétléses permutáció, mivel ha csa egy sorredet látu, az tűi fel, hogy abba egy vagy több adott elem ismétlődi. Ezt úgy ell értelmezü, hogy aor az alaphalmaz potosa ayi egyforma elemet tartalmaz, aháyszor ismétlőde az eleme. Például, ha az aabcccddddd sorredet teitjü, aor az a elemből 2 db, a b elemből 1 db., a c elemből 3 db., a d elemből pedig 5 db. va. Defiíció: Ha elem özül permutációa evezzü. Jelölése: P azoos, aor eze ülöböző sorredjeit ismétléses Bércesé Nová Áges

5 Eor, ha egymás özt felcseréljü az egyforma elemeet, em apu új sorredet. A lehetséges ülöböző sorrede száma így evesebb, mitha ugyaayi, de egymástól ülöböző elemet raá sorba. Az összeszámlálás miatt ideigleese ülöböztessü meg a ét egyforma elemet: a 1 a 2 b c. Az a 2 a 1 b c eszerit ugyaaz a permutáció. Így azoba öyebbe össze tudju számláli a ülöböző sorredeet. Ha csa ét eleme egyelő, aor yilvávaló, hogy mide ismétléses permutációból az eleme idexelésével ét ismétlés élüli permutáció származtatható. Ha az ismétléses permutáció számát x-szel jelöljü, aor 2 x= P, vagyis x = P /2. Ha em ét, haem db. egyelő elem va, aor bármely permutációba az egyforma elemeet!- féleéppe permutálhatju egymás özt, más szavaal, ha idexeléssel megülöböztetjü az egyforma elemeet, egy adott permutációból! ismétlés élüli permutációt épezhetü. Mivel ez mide egyes permutációál ugyaaz a szám, ezért ezeet összeadva és az ismétléses permutáció ismeretle számát ismét x-szel jelölve:! x= P, vagyis x= P /!. Hasolóéppe bizoyítható az általáos eset, ha,,...! 1 2 j P!!...! 1 j azoos elem va, aor Tétel:,,...! 1 2 j 1, 2,...j P, ahol P elem, melye özül azoos,!!...! ismétléses permutációját jeleti. 1 j 2,2 8! Példa: A hallgató szó betűiből P ülöböző ismétléses 2!2! 2 2 permutáció észíthető. A övetező típusfeladat legye az ú. ombiáció. Defiíció: ülöböző elem -adosztályú ombiációja az elem özül iválasztott elem, teitet élül azo iválasztási sorredjére. Eze összes számát C -val jelöljü. Példa: Az a, b, c, d eleme összes harmadosztályú variációja: a b c, a b d, b c d, a c d. Az a, b, c, d eleme összes másodosztályú variációja: a b, a c, a d, b c, b d, c d. Pratius a db iválasztott elemet valamilye természetes redezés (ábécé, övevő) sorredbe szerit leíri. Defiíció: ülöböző elem -adosztályú ombiációja az elem özül iválasztott elem, teitet élül azo iválasztási sorredjére. Eze összes számát C -val jelöljü. Bércesé Nová Áges

6 Tétel: ülöböző elem -adosztályú ombiációia száma: C! )!. Olvasd: alatt a.!( Bizoyítás: Képzeljü el, hogy az elemet egy sorba felírju valamely természetes sorredbe. Ezutá az eleme alá íru db I betűt (melye jeletése: IGEN. a felettem levő elem i va választva!), és (-) db N betűt (NEM, a felettem lévő elemet ics iválasztva). Például: 7 elemből válasszu i három elemet eze a módo: a b c d e f g I I NN INN Vagyis, a b és e va iválasztva. Ha leírju, hogy NNININI, aor tudju, hogy c e és g va iválasztva. Tehát csa össze ell számoli, háyféleéppe írhatju fel a db. I betűt és a és (-) db N betűt. Ez pedig em más, mit ülöböző elem, melye özött és (-) egyforma va,,-! ismétléses permutációja: P.!( )! Példa: A hagyomáyos ötös lottóba 90 számból ell ötöt iválasztai, így a feti tétel 90 alalmazásával ez -féleéppe lehetséges. 5 Feladat: Háyféleéppe lehet itöltei a hatos lottót, ahol 45 számból ell hatot választai? Az ötös és a hatos lottó özül melyiet lehet többféleéppe itöltei? A ombiáció ismétléses, ha egy elemet többször is választhatu. Példa: az a,b,c,d eleme másodosztályú ismétléses ombiációi: a b, a c, a d, b c, b d, c d, a a, b b, c c, d d. Tétel: ülöböző elem -adosztályú ismétléses ombiációia száma:,i 1 C. Bizoyítás: Az egy sorba felírt eleme sorszámát tudju. Az első helye álló elemet iválaszthatju vagy egyszer, vagy étszer, vagy -szor. Ee megfelelőe írju ayi I betűt, aháyszor iválasztju az első pozíció álló elemet. Ezutá írju egy elválasztójelet, pl. *-ot, és folytassu a többi elemre is eszerit. Például az a,b,c,d eleme másodosztályú ismétléses ombiációia leírása: a b, a c, a d, b c, b d, c d, a a, b b, c c, d d. I*I**, I**I*, I***I, *I*I*, *I**I, **I*I, II***, *II**, **II*, ***II. Összese -1 db egyforma elválasztójelet ell íri, és összese db I -t. Eze mide lehetséges sorredje megadja az összes iválasztási lehetőséget. Ezért eze összes lehetséges sorredje: ( 1)!!( 1)!,-1 1 P 1 Bércesé Nová Áges

7 Példa: 15 fajta fagyiból háyfajta 4 gombócos fagyit választhatu, ha a gombco egyformá is lehete, és em számít, milye sorredbe erüle a tölcsérbe. Megoldás: 4,i C Végül teitsü át a variációt. Defiíció: ülöböző elem -adosztályú variációjá az elemből iválasztott elem egy sorredjét értjü. Eze összes számát V -val jelöljü. Példa: Az a,b,c eleme másodosztályú variációi: a b, b a, a c, c a, b c, c a. Tétel: ülöböző elem -adosztályú variációia száma:! V ( 1) ( 2)... ( ( 1))! Bizoyítás: A feti példába egy sorba írtu az eleme másodosztályú ombiációjáa megfelelő variációat, ti. ugyaazoat az elemeet választottu i, és felírtu a lehetséges sorredjeiet, ami ez esetbe 2 volt. Ezt azoba bármely eseté meg lehet tei: a -adosztályú ombiációból úgy apju meg a -adosztáyú variációat, hogy a iválasztott elem összes sorredjét veszü, ez!. Mivel összese C db ombiáció va, és az eze által meghatározott permutáció midegyie!, ezért e halmazo számosságát összeadva:!! C!! ( 1) ( 2)... ( ( 1))!( )! ( )! Példa: A tombolá 100 szelvéyt adta el, és 10 yereméy va. Háyféleéppe húzhatjá i a yertes szelvéyeet, ha midem szelvéyt csa egyszer húzhatu i? Megoldás: Feladat: Mi a apcsolat V és P özött? Lehetséges olya tombola is, amior az egyes húzáso utá visszateszi a ihúzott szelvéyt, vagyis egy szelvéyt többször is isorsolhata. Ebbe az esetbe ismétléses variációról beszélü. Defiíció: A variáció ismétléses, ha egy elemet többször is választhatu. Jelölése: Példa: Az a,b,c eleme másodosztályú ismétléses variációi: a b, b a, a c, c a, b c, c a, aa, bb, cc.,i V Bércesé Nová Áges

8 Tétel: ülöböző elem -adosztályú ismétléses variációia száma:,i V... Bizoyítás: A választást épzeljü el halmazból, melyee ugyaazo az elemei, s melyeből egy-egy elemet ell választai. A szorzási tétel alalmazásával ez valóba. Példa: A totó játéál meg ell tippeli, hogy ét focicsapat özül melyi yer. A ét mérőző csapat adott sorredbe szerepel, így 1.,2. vagy x jelet ell tei az adott mérőzéshez, melye jeletése: - 1: az elsőe felsorolt csapat yer - 2: a másodia felsorolt csapat yer - x: dötetle lezs az eredméy Általába 13+1 mérőzést sorola fel. Háyféleéppe tölthető i a totószelvéy? Megoldás: Mivel a mérőzése egymástól függetlee, midig e 3 elemű halmazból ell választai, tehát a itöltése száma: Feladato: - egy halmaza háy részhalmaza va? - háyféleéppe lehet egy buszjegyet ilyuasztai? Bércesé Nová Áges