A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

Átírás

1 A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak emcsak a geometriába va fotos szerepük, haem a legkülöbözőbb feladatok megoldásába is segíthetik a kiidulási adatok elredezését, összefüggések felismerését, megköyíthetik a feltárt összefüggések későbbi felidézését és elleőrzését. A matematika külöböző területei már régóta haszálatosak az úgyevezett Ve- és Ve-Euler-diagramok, a halmazok közötti kapcsolatok, viszoyok tükrözésére, adott tulajdosággal redelkező halmazok és azok számosságáak (elemei számáak) meghatározására, valamit egyes állítások logikai értékéek megállapítására, logikai következtetések vizsgálatára (ezért is evezik ezeket még halmazábrákak is). Egy Ve-diagramot körökkel, vagy más zárt görbékkel, vagy eél általáosabb alakzatokkal, például egyszerű zárt görbével aduk meg a síko. Mide görbe belseje valamilye halmazt ábrázol, a zárt görbé kívül eső rész pedig aak komplemeterét. Az {A, A 2,..., A } görbecsaládot Ve-diagramak evezzük, ha a görbék a síkot potosa 2 diszjukt tartomáyra botják, és a tartomáyok megegyezek az összes lehetséges X X 2... X k alakú halmazzal, k {, 2,..., }, ahol mide X i helyére az A i egyszerű, zárt görbe belsejét vagy külsejét írhatjuk, i {, 2,..., }. A körvoalakról az egyszerű zárt görbékre törtéő általáosítás okára yomba rávilágít az alábbi észrevétel, mely már Ve 880-as dolgozatába megtalálható: Bármely diagramba legfeljebb három körvoal fordulhat elő. A bizoyítás léyege: darab körvoal a síkot legfeljebb részre osztja. Ezért a Ve-diagram értelmezése alapjá következik: 3. Az =, = 2 és = 3 esetekek megfelelő diagramok a síkot redre 2, 2 2, 2 3 részre osztják, lásd a következő ábrákat: Másfajta görbékkel bármely értékre lehet görbét tartalmazó Ve-diagramot készítei (lásd ugyaott). A probléma ellebe ott va, hogy az >3 szám övekedésével az ábrák egyre boyolultabbak, eheze haszálhatók feladatok megoldására. Nézzük éháyat = 4 eseté:

2 Mid a égy ábra a síkot 6 diszjuk tartomáyra osztja, mid a égy eset általáosítható > 4 eseté is, a második talá a legegyszerűbb és a legközelebb áll a körrel alkotott diagramokhoz, hisze ez ellipszisekkel készült. A harmadik a kifli alak miatt általáosítható, a mellékelt ábrá látható az =5 eset. A egyediket téglalapokból készítettük. Említésre méltók Edwards kostrukciói, aki a Vediagramot gömbfelszíe készíti el, majd kivetíti a síkba. Az első három halmazt három egymást metsző főkör határolja, a egyediké meg úgy kayarog, mit teiszlabdá a varrat. A visszavetítés utá fogaskerék alakú halmazok keletkezek, ahol mide egyes további halmazak egyre több foga va. Íme éháy kostrukció: Köye belátható, hogy > 3 eseté az egyes tartomáyok azoosítása már körülméyes. Térjük vissza a Ve-diagramok beidított taulmáyozásához. Az X X 2... X k alakú halmazokat atomokak evezzük. Ha a síkot görbe p síkdarabra vágja és a létrejövő atomok száma a, akkor yilvávalóa a p. A Ve-diagramokra teljesül: a = p = 2. Ezekívül az a p 2 esetekbe is haszált diagramokkal is gyakra találkozhatuk. Íme éháy példa: Az első esetbe a p 2 (a = 7, hisze a 6-os számmal jelölt síkdarabok ugyaahhoz az atomhoz tartozak), a második esetbe 5 = a = p 2. Az ilye típusú diagramot általába Ve Euler-diagramak evezik. Ez a megevezés ikább hazákba hoosodott meg, más országokba ikább tágabb értelembe vett, ugyacsak Ve-diagramokak evezik. Érdemes megjegyezi, hogy az értelmezés szeriti Ve-diagram görbéje által határolt síkbeli részek között mide lehetséges atom létezik. Más szóval a Ve-diagram eseté midegyik X X 2... X k alakú halmaz létezik, míg a Ve Euler-diagram eseté ez em föltétleül igaz. Tehát a Ve-diagramok az úgyevezett Ve Euler-diagramok részhalmazát képezik. Az elkövetkezőkbe bemutatjuk e diagramok éháy alkalmazási lehetőségét. Egyik azoali alkalmazását az úgyevezett logikai szita-formulák képezik. A továbbiakba jelöljük X vagy card( X ) az X halmaz elemeiek a számát (számosságát). A kétkörös Ve-Euler diagramról leolvasható, hogy két halmaz eseté igaz, hogy A B = A + B A B (). Továbbá, ha X S, akkor yilvávaló, hogy S X = S X, és most az X = A B választással, az A, B S feltételekkel, az () alapjá kapjuk, hogy S ( A B) = S A B + A B ( ). Az () és ( ) összefüggéseket 2

3 másodredű szita-formuláak, vagy egyszerűe logikai szitáak hívjuk (a logikai szitára még haszálatos a befoglalás-kizárás formula elevezés is). Hasoló összefüggést állapíthatuk meg három halmaz eseté is, ha a három körös Vediagramot követjük. Ez alapjá felírható, hogy A B C = A + B + C A B B C C A + A B C (2). Az előbbiek mitájára, az A, B, C S feltételek mellett levezethető a következő összefüggés is: S ( A B C) = S A B C + A B + B C + C A A B C (2 ). A (2) és a (2 ) képezik a harmadredű szita-formulákat. Természetese a szita-formula érvéyes marad háromál több tag eseté is. Eek az általáos alakja: Ai = Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ( ) Ai i= i= j< j j< j< k i= U (3) és továbbá + S U Ai = S Ai + Ai Aj Ai Aj Ak ( ) Ai (3 ). i= i= j< j j< j< k i= A (3) és a (3 ) -ed redű szita-formulákat a matematikai idukcióval is bizoyíthatjuk. A továbbiakba olya alkalmazásokat mutatuk be, amelyekek a megoldása Ve- Euler diagrammal és a szita-formulával egyarát elvégezhetők, de mutatuk be olya feladatokat is, amelyekél az egyik vagy a másik módszer előyösebb.. feladat: Egy fagyisál kétféle fagyiból lehet választai: csoki és vaília. -e állak sorba a fagyisál 5-e kértek csokis fagyit. Vaíliát 3-mal többe kértek mit csak csokist. Háya kértek csokis és vaíliás fagyit is? Megoldás: Jelölje Cs illetve V azok halmazát akik csokis illetve vaíliás fagyit vásároltak. Készítsük el a mellékelt ábrá látható Ve-Euler diagramot. Jelölje Cs V = x akkor Cs V = 5 x és V Cs = 8 x, ezért az (5-x)+x+(8-x)= egyeletből x=2. 2. feladat: Háy darab olya kétjegyű pozitív egész szám va, amely osztható 5-tel, vagy 6-tal, esetleg mid a kettővel? Megoldás: Összese 99-9=90 kétjegyű szám va, ebből kiszámoljuk, hogy háy 5-tel és 6-tal osztható kétjegyű szám va. Legye A= {0,5,,95} az 5-tel osztható kétjegyű számok halmaza és B= {2,8,24,,96} a 6-tal osztható kétjegyű számok halmaza. Tehát A B = {30, 60,90} a 30-cal osztható kétjegyű számok halmaza. 99 Ekkor A 99 = = 9 = 8 5, 6 5 B = = = 6 (ki kellett veük az 5 és a 6 99 egyjegyű számokat), továbbá A B = = Az ()-es szita-formula alapjá felírható, hogy A B = A + B A B = = 30. Tehát 30 kétjegyű szám osztható 5-tel vagy 6-tal. 3. feladat: Háy darab olya kétjegyű pozitív egész szám va, amely em osztható sem 5-tel, sem 6-tal? Megoldás: Erre a kérdésre úgy is válaszolhatuk, hogy figyelembe vesszük, hogy az előbbi feladat alapjá 30 szám osztható 5-tel vagy 6-tal, tehát 90-30=60 em osztható egyikkel sem. Ellebe a feladat megoldható a komplemeter szita-formulával: 3

4 99 S ( A B) = S A B + A B, ahol A = = 9 = 8 5, B 99 = = 6 = 5 6, A B = 3, és a kétjegyű számok száma S = 90. Tehát S ( A B) = = feladat: Háyféle képpe alakíthatuk ki 6 betűs szavakat az a, e, m, o, u, y betűkkel úgy, hogy e tartalmazzák a me és you szavakat? Megoldás: Legyeek S= az összes szó, A= a me-t tartalmazó szavak, B= a you-t tartalmazó szavak. A komplemeter szitaképlet: S ( A B) = S A B + A B. De S =6!, A =5! (mert me, a, o, u, y száma 5), B =4! (mert you, a, m, e száma 4), A B =3! (mert a me, you, a száma 3). Tehát a válasz: = feladat: Az egyeteme 200-a taulak agolt, 50-e spayolt és 40-e fraciát. 80-a agolt és fraciát, 20-a agolt és spayolt, 0-e spayolt és fraciát, 5-e pedig midhárom yelvet taulják. Háya taulak összese yelvet? Megoldás: Betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát. Először a belső 5- öt írjuk be. Ezutá a 80-5= 75-öt, a 20-5= 5-öt, végül a 80-5= 75-öt. Ezutá kitöltjük a legkülső tartomáyokat: 200- (5+5+75)= 05, 50- (5+5+5)=25, 40- (5+5+75)= 55. Ezutá összeadva a tartomáyokba levő számokat 385 adódik. A feladatot a szita-formulával is megoldhatjuk: legyeek A={agolul tudók}, S={spayolul tudók}, F={fraciául tudók}. Tehát: A S F = A + S + F A S S F F A + A S F = = = 385. Tehát eyie taulják valamelyik yelvet. 6. feladat: Egy osztály 32 taulója közül 6-a taulak agolul, 3-a fraciául, 3-a émetül. Az említett yelvek közül 5-e émetül és fraciául is, 7-e émetül és agolul is, 6-a agolul és fraciául is taulak. Négye midhárom yelvet taulják. Háya em taulják az említett yelvek egyikét sem? Megoldás: Betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát. Először a belső 4-est írtuk be, azutá 5-4=, 7-4=3, 6-4=2, majd 6-(3+4+2)= 7, 3- (+4+2)= 6, )= 5. Az ábrá látható összes számok összege 28, és mivel 32-28= 4, ezért ez a válasz. A szita-formulával S ( A F N) = = S A F N + A F + F N + N A A F N = = = 4, vagyis eyi tauló em taulja a három yelv közül egyiket sem. 7. feladat: Az osztályba 38 tauló va. Mideki űzi a következő sportágak valamelyikét: atlétika, röplabda, úszás. 9-e atletizálak, 2-e röplabdázak, 2 tauló úszik; 7 tauló atletizál és röplabdázik, 6 tauló atletizál és úszik, 3 tauló röplabdázik és úszik. Háy tauló űzi midhárom sportot? Megoldás: Legye A B C = x és betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát, majd összegezzük a bee látható kifejezéseket: + x x + 3+ x + 7 x + 3 x + 6 x + x = 38 x=2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Szita-formulával is dolgozhatuk. Legyeek: A={atletizálók}, R={röplabdázók}, U={úszók}. Tehát felírható, hogy: 4

5 A R U = A + R + U A R R U U A + A R U. Beírva a számosságokat kapjuk, hogy: 38 = A R U, vagyis A R U = 2 tauló űzi midhárom sportot. 8. feladat: Egy osztály létszáma 30. Az osztályba három yelvet taulak: agolt, oroszt és fraciát, és mide diák taulja legalább az egyik yelvet. Agolul 4-e, oroszul 5-e, fraciául 25-e taulak. Potosa két yelvet összese 6 diák taul. Háya taulják midhárom yelvet? Megoldás: Legye redre Fr, A, Or a fraciául, agolul, illetve oroszul beszélő taulók halmaza; F, A, O a csak fraciául, csak agolul, csak oroszul beszélő taulók száma. Az x, y, z, t számok jeletése a diagramról leolvasható. A feltételek alapjá: F + A + O + x + y + z +t = 30; x + y + z = 6; F + x + y + t = 25; A + x + z + t = 4; O + y + z + t = 5. Ezért F + A + O = 30 6, F + A + O t = 54, ahoa t = 9. Tehát eyie taulják midhárom yelvet. 9. feladat: Egy 29 fős osztályak három kérdést tettek fel, mideki igeel vagy emmel válaszolhatott. A szereted-e a mateket kérdésre 22 ige, a szereted-e a fagyit kérdésre 8 ige, a szereted a palacsitát kérdésre 8 ige érkezett. Tudva azt, hogy azok közül akik szeretika mateket 7-e em szeretik a fagyit és 8-a em szeretik a palacsitát, valamit 2-e szeretik a fagyit és a palacsitát, de közülük 2 em szereti a mateket. Háya modtak emet midhárom kérdésre? Megoldás: Jelölje: S= az osztály taulói, M= {szeretik a mateket}, F= {szeretik a fagyit}, P= {szeretik a palacsitát}. Tehát S = 29, M = 22, F = 8, P = 8. Vegyük észre, hogy: M F = 22 7 = 5, M P = 22 8 = 4, F P = 2 és F P M = 2 2 = 0. A szita-formula alapjá S ( M F P) S= M F P M + F F P+ P M + M F P ahoa kapjuk, hogy S ( A B C) = 29 ( ) + ( ) 0 = 2 vagyis eyie modtak emet midhárom kérdésre. A feladatot a Ve-diagrammal is megoldhatjuk, ha először a 0-et írjuk be, aztá a 4-0=4, 5-0=5, 2-0=2, majd sorra a 22-(4+0+5)=3, 8-(2+0+5)=, és végül a 8-(4+0+2)=2 értékeket. Ez összese 27, így 29-27=2 a felelet. 0. feladat: A matematika dolgozatba 4 feladatot kellett megoldai. a) Az. feladatot 30, a 2.-at 32, a 3.-at 34, a 4.-et 32 oldotta meg jól. b) Az. és 2.-at 2, az. és a 3.-at 2, az. és a 4.-et 2, a 2. és a 3.-at 5, a 2. és a 4.-et, a 3. és 4.-et 0-e oldották meg helyese. c) Az., 2., 3. feladatokat 6-o, az., 2., 4. feladatokat 5-e, az., 3., 4. feladatokat 3-a, a 2., 3., 4. feladatokat 4-e oldották meg helyese. d) Az összes feladatot 3-a oldották meg hibátlaul. e) Voltak 0-e akikek egyetle feladatot sem sikerült megoldai. Háya írtak dolgozatot matematikából? Megoldás: A szita formulát alkalmazzuk 4 tagra, miszerit 4 4 U i i= i= A = A A A + A A A A A A A = i i j i j k = ( ) ( ) + ( ) 3 = 7. Tehát 7+0=8 tauló írt dolgozatot matematikából. A feladatot 5

6 Ve-Euler diagrammal is megoldhatjuk, ha belülről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát, de hamar rájövük, hogy ez sokkal körülméyesebb mit a három kör eseté.. feladat: Egy 24-es létszámú sportosztály taulói égy sportágba szerepelek: kézilabdázak, focizak, jégkorogozak és kosárlabdázak. Mide tauló sportol, de seki sem szerepel kettőél több sportágba. Tudjuk, hogy 9-e em kézilabdázak, -e em focizak, 6-a em jégkorogozak, 2-e pedig em kosárlabdázak. Tudjuk még, hogy 0-e focizak, de em kosarazak, -e pedig kézilabdázak, de ők sem kosarazak. Háya, és milye összetételbe űzek két-két sportágat? Megoldás: A feltevésből azt kapjuk, hogy 24 9 = 5-e kézilabdázak, 24 = 3-a focizak, 24 6 = 8-a jégkorogozak, 24 2 = 2-e pedig kosárlabdázak. Mivel = 48, és ez az összes taulók számáak a 2-szerese, következik, hogy mideki potosa két sportágba vesz részt, mert seki sem szerepel 2-él több sportágba. Az ábrá látható halmazok az egyes sportágakba szereplő taulókat jelölik, a betűk pedig a két-két sportágat űzők számát jeletik, a következőképpe: a kézilabda-foci; b kézilabda-jégkorog; c foci-jégkorog; d kézilabda-kosárlabda; e jégkorog-kosárlabda; f foci-kosárlabda. a + b + d = 5 (), a + c + f = 3 (2), b + c + e = 8 (3), d + e + f = 2 (4), a + c = 0 (5), a + b = (6). Az. és 6. egyelőségből azt kapjuk, hogy d = 4, a 2. és 5. alapjá f = 3, a 4. alapjá e = 5. De 2-e em kosarazak, tehát a + b + c = 2, de a + c = 0 b = 2, a = 9 és c =. 6