1. A radioaktivitás statisztikus jellege

Átírás

1 A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a leáyelem stabil, és a bomlás típusa egyszerű bomlás. Feltételezzük, hogy az N atommag egymástól függetle, így a bomlások is függetleek egymástól, egy atommag időegységre jutó bomlási valószíűsége időbe álladó, ezt bomlási álladóak hívjuk, jele: λ, mértékegysége 1/s Az elbomlott atommagok számáak eloszlása Vizsgáljuk a redszert valameyi ideig, ami lehet rövid is és hosszú is. Ezalatt az idő alatt akármelyik atommag elbomlásáak valószíűsége p 1, ami függ az eltelt időtől, és el em bomlásáak valószíűsége 1 p 1. Ha végigézzük az összes N atommagot, akkor midél két eset va, vagy elbomlott vagy em. Mid az N atommagra defiiáljuk egy b i értéket, ami 0 ha em bomlott el és 1 ha elbomlott az adott atommag ezalatt az idő alatt. A lehetséges esetek egy b 1 b 2 b 3... b N 1 b N számsorozattal írhatók le. A számsorozatból 2 N féle va. A sorred számít a sorozatba, hisze az adja meg, melyik atommagról beszélük. Mide b i logikai esethez p(b i ) valószíűség tartozik. A teljes számsor valószíűsége az egyes valószíűségek szorzata, mert függetle eseméyekről va szó. P(számsor)= p(b 1 )p(b 2 )... p(b 3 ), és p(b i = 1) = p 1 és p(b i = 0) = 1 p 1. Ha egy számsorozatba darab 1-es va, és N darab 0, akkor eek a bekövetkezéséek valószíűsége P 1 = p 1 (1 p 1 ) N. Ez azt jeleti, hogy darab atommag bomlott el a t idő alatt. Ilye sorozatból ( ) N darab va az összes számsorozat között, azaz eyi féle módo valósulhat meg az N atommag között, hogy atommag bomlott el. Ezért az összes N atommagból elbomlásáak valószíűsége az adott idő alatt: p() = p 1 (1 p 1 ) N. Azaz az elbomlott magok száma biomiális eloszlást követ. A biomiális eloszlás kiszámolásakor szembe kell ézi az N alatt az kiszámolásával, valamit két hatváyra emeléssel. Másik hátráya, hogy csak egész értékekél alkalmazható, ami persze természetese módo adódik abból, hogy az atomok száma is egész szám. Valószíűségszámítási kérdésekbe mégis előyös lesz, ha ezt az eloaszlást kicsit közelítjük. Az itt megtalálható számolás szerit a biomiális eloszlás Poissoeloszlásba megy át, ha N. Továbbá a Poisso-eloszlás Gauss-eloszlásba (Normál-eloszlásba) megy át. (ábra) Bomlások számáak eloszlása rövid idő alatt Ha egy rövid t ideig vizsgáljuk az N atommagot, az azt jleti, hogy t 1/λ, azaz p 1 1. Ekkor akármelyik atommag elbomlásáak valószíűsége p 1 = λ t. Ilyekor az elbomlott atommagok száma, azaz 1

2 éppe a mita aktivitásával egyezik meg. Ezért ilyekor a mita aktivitása is biomiális (Poisso-, Gausseloszlást) követ. p() = Egy atommag elbomlási valószíűségéek időfüggése (λ t) (1 λ t) N. Ha hosszabb t ideig vizsgáljuk az N darab atommagot, akkor a bomlási valószíűségre a p 1 = λt em alkalmazható. Ehelyett tegyük fel azt a kérdést, hogy ezalatt a hosszabb t idő alatt mekkora az atommag em elbomlásáak, tehát a túléléséek valószíűsége. Ez legye F(t). A hosszabb időitervallumot fel tudjuk osztai M darab, már téyleg rövid itervallumra, t = t/m. Ilyekor mide egyes szakaszo az elbomlás valószíűsége p 1 = λ t, a túlélésé 1 p 1 = 1 λ t. A t idő alatti, azaz M darab rövid időtartamo keresztüli túlélés valószíűsége: F (t) = (1 p 1 ) M = és ha végtele fiomsággal osztjuk fel a t időt: F (t) = ( 1 λ t ) M ( = 1 λt ) M M M ( lim 1 λt ) M = e λt M M A túlélési valószíűség expoeciálisa csökke, és a bomlási álladó szabja meg a csökkeés sebességét. Ha azt kérdezzük, hogy mekkora aak a valószíűsége, hogy az atommag túléli a t időt, de pot az ezutá következő t itervallumba bomlik el, akkor éppe azt határozzuk meg, hogy mekkora valószíűséggel élt t ideig az atommag. ***** Eek valószíűség sűrűsége va, hisze agyobb t eseté agyobb valószíűséget kapuk. Eek rokoa az a valószíűség, amikor az a kérdés, hogy mekkora valószíűséggel bomlik el az atommag a kezdettől számolva t idő múlva egy rövid t időitervallumo belül. Ilyekor azt modjuk, hogy pot t ideig élt az atommag, és a t idő múlva törtéő bomlás valószíűségéről va szó Az elbomlott atommagok számáak átlaga Mekkora a t idő alatt elbomlott atommagok számáak várható értéke,? Az valószíűségi változó eloszlását ismerjük, akkor meg tudjuk határozi a várható értékét (em precíze foglamazva az átlagát, de az átlag a tapasztalati várható értéket jeleti, amit egy adott mért mita eseté számoluk ki). = p() = i=0 p 1 (1 p 1 ) N = =0 = Np 1 N =1 =1 N(N 1)... (N + 1) p 1 (1 p 1 ) N = (N 1)... (N + 1) p 1 1 (1 p 1 ) N 1 ( 1)

3 Ha helyett bevezetjük az m = 1-et, akkor az = 1-től iduló összegzés m = 0-tól idul, és = N helyett m = N 1-ig tart: N 1 = Np 1 m=0 (N 1)... ((N 1) m + 1) m N 1 p m 1 (1 p 1 ) N 1 m = Np 1 = Np 1 (p 1 + (1 p 1 )) N 1 = Np 1 m=0 Tehát átlagosa Np 1 = Nλ t darab atommag fog elbomlai a t idő alatt. ( N 1 m ) p m 1 (1 p 1 ) N 1 m = 1.3. Az elbomlott atommagok számáak szórása Az elbomlott atommagok számáak szórása (σ ) is va természetese. Ez megmutatja, hogy az átlag (várható érték) meyire közelíti potosa a valóságba statisztikusa lezajló folyamatot. Ezt a biomiális eloszlás szórásáak kiszámításával tudhatjuk meg. A részletes számolást most mellőzzük, de megtalálható itt. Eszerit σ 2 = Np 1 (1 p 1 ) Az elejé feltettük, hogy t idő kicsi, és így p 1 1. Ez most alkalmazva σ 2 = Np 1 (1 p 1 ) Np 1. Azt kaptuk, hogy a radioaktív bomlások statisztikája olya, hogy = Np 1 σ 2. A kísérletezés sorá ez agyo haszos. Eze tulajdoság alapjá meg tudjuk becsüli egy mérési eredméy szórását 1 darab mérésből, és em kell sokszor egymás utá megméri midehhez. Ebből a relatív szórást is meg tudjuk határozi. σ = = 1 = 1 Nλ t 2. Az egyszerű bomlás leírása 2.1. Az el em bomlott atommagok számáak időfüggése Hogya változik a megmaradt atommagok száma időbe N(t)? Kérdés, hogy az időt milye fiomsággal változtatjuk. Ha az N(t) függvéyt meg akarjuk határozi, akkor tuduk kell mide egyes atommagról, hogy mikor bomlott el, és ebbe a pillaatba az N(t) értéke eggyel csökke. Azaz igazából az N(t) ugrásfüggvéyek Θ(t i ) összege, melyek értéke kezdetbe 1, egésze t i -ig, és oa kezdve pedig 0. N(t) = i Θ(t i). De t i statisztikusa változik mide i-re és mide egyes valóságos esetbe. Az egyszerű bomlás differeciálegyelete Az el em bomlott atommagok számáak potos ismerete helyett, vizsgáljuk meg, hogy ezek számáak várható értéke hogya változik. Ez azt jeleti, hogy az ugrásfüggvéyekkel leírt időfüggéseket megvizsgáljuk agyo sok esetbe és eze görbék átlagát kiszámoljuk. Közelítsük meg úgy a kérdést, hogy az N(t) függvéyt csak t időpotokét akarjuk ismeri. Ezek között a kezdeti N értékről átlagosa darabbal fog csökkei a darabszám. Azaz N(t + t) N(t) = N = = Np 1 = Nλ t A egatív előjel jelzi, hogy csökke a darabszám. A t-t agyo kis értékek felé csökketve az egyszerű bomlás differeciálegyeletéhez jutuk: Ṅ(t) = λn(t) 3

4 Az eddigiek alapjá látszik, hogy ez em írja le a valós és statisztikusa változó időfüggést, haem csak a megmaradt atommagok számáak sok esetre átlagolt időfüggését adja meg. Nagy N értékek mellett az eltérést százalékosa megadó relatív szórás kicsi lesz. Potosabba σ = 1 Nλ t miatt N t 1/λ eseté a statisztikus szórás kicsi lesz, és az N(t) függvéyt jó közelítéssel visszaadja eek a differeciálegyeletek a megoldása. Az expoeciális bomlástörvéy Az egyszerű bomlás differeciálegyeletéek megoldása az expoeciális függvéy. Erről meg lehet győződi egyszerűe kipróbálással. A megoldás eve expoeciális bomlástörvéy, megjegyezzük, hogy ez csak az egyszerű bomlásra voatkozik ilye egyszerű formájába. N(t) = N 0 e λt Az elleőrzés: d ( Ṅ(t) = N 0 e λt ) = λn 0 e λt = λn(t). dt N 0 a kezdeti atommagok számát jeleti Felezési idő Felezési idő az az idő, ami alatt a kezdeti magok száma átlagosa a felére csökke. Az expoeciális bomlástörvéy alapjá: N(T 1/2 ) = N 0 2 Ebből: N 0 2 = N 0e λt 1/2 2 = e λt 1/2 l2 = λt 1/2 T 1/2 = l2 λ 2.3. Átlagos élettartam Vizsgáljuk meg egy darab atommag elbomlásához szükséges időt. Legye eek jele t 1. Az átlagos élettartam eek az átlaga. Először t 1 valószíűségeloszlását határozzuk meg Aktivitás Az egységyi idő alatt elbomlott atommagok száma az aktivitás defiíciója. Ez egyszerű bomlsá eseté a deriválással is megfogalmazható: A = dn(t) dt. Ugyais egyszerű bomlásál a radioaktív atommag em keletkezik, csak bomlik. Általáosabb esetekbe tud az atommag keletkezi is. Ilyekor az aktivitásba csak a bomlások számát szabad belevei, a keletkezési 4

5 sebességet em. pedig ez utóbbi a darabszám időfüggvéy deriváltjába jeletkezik. Ezért általáosabba em a feti formulával defiiáljuk az aktivitást. Egyszerű bomlás eseté az expoeciális bomlástörvéy ismeretébe a deriválás azoba elvégezhető. A(t) = dn(t) dt = λn0 e λt = λn0 e λt = λn(t) Az A = λn általáos is érvéyes, hisze a λ defiíciója szerit ez az időegységre jutó bomlási valószíűség, tehát csak a bomlást számoljuk bele. A = λn 5