véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?

Átírás

1 BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is a statisztika? Egy populációból veszük mitát. (A szavakat a KSH találta ki.) A mita alapjá akaruk valamit modai, de az egész populációról. 3 Állítsuk megbízhatóságáról is yilatkozuk. NÉPSZAVAZÁS 4 A mitavétel em akármilye. Akárháyszor elvégezzük, más és más eredméyt kapuk. Ez a mitavétel lesz a dolog kulcsa.. VENEREAL DISEASE Ezért kell értei a valószíűségszámításhoz. Nevezzük a mitavételt kísérletek. Kísérlet : determiisztikus : előre meghatározható eredméyhez vezet véletle : statisztikai törvéyekek egedelmeskedik (Mi az ami közös a épszavazásba, a betegségek gyógyulásába és a fiz. kém. laborba?) Mi kell a statisztika taulásához? MATEMATIKA: halmazelmélet algebra mértékelmélet (differeciál- és itegrálszámítás) aalízis Példa: NÉPSZAVAZÁS (Belépje-e az Egyesült Királyság az Európai Uióba?) YES NO SUM Scotlad Norther Irelad Kérdés: Va-e külöbség Scotlad és Norther Irelad véleméye között? Válasz: Aak a valószíűsége, hogy ics, 0 8.

2 MIK A VÉLETLEN TÖRVÉNYEI? Defiíció: Eseméytér: a véletle kísérlet összes lehetséges kimeeteléek halmaza. Elemei: az egyes kísérletek kimeetelei. Az eseméytér lehet: korlátos folytoos: pl. testmagasság végtele diszkrét: pl. radioaktív bomlás véges diszkrét: pl. látósejtek száma a retiá, kockadobás, ura (MI A BAJ A KLASSZIKUS ELMÉLETTEL?? (Kombiatorika)) végtele folytoos: ha így defiiáljuk! egyváltozós többváltozós Defiíció: Eseméy: Az eseméytér tetszőleges részhalmaza. Elevezés: Bekövetkezik egy eseméy, ha a kísérlet olya kimeetele fordul elő, amelyek valódi része az eseméy. HF. Háy lehetséges eseméy va egy kocka dobásáál (és kettőél)? Egy kocka: ábra Ø: az üres halmaz (hogy az eseméytér zárt legye, e vezesse ki belőle semmilye művelet.) Defiíció: Diszjukt (egymást kizáró) eseméyek: Ha (tetszőleges párra) icse párokét közös részük. (A metszetük üres.) Példák: Páratla / páros kocka vagy kisebb / -él agyobb A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS AXIÓMÁI Legye: A és B egy eseméytér két (diszjukt) eseméye (azaz A B = 0). Jelölés: P(A) az A, P(B) a B eseméy valószíűségeit jelölő számok, ha teljesül 3 aióma.. 0 P(A) P(B)-re természetese ugyaez igaz. P(A B) = P(A) + P(B) 3. P(S) = S: A teljes eseméytér

3 Milye eseméy A B??? Eyi aióma elég. P U i= i= Szokás még: A = P ( A ) i i vagy 0 P(A) de ezek már az előzőek következméyei! Néháy fotos következméy: valószíűség számítás tételek 0. P(Ø) = 0. P(A). P( A ) = P(A) Háy eseméyt specifikál egy kísérlet kimeetele? ( A az A komplemetere.) P U i i kiterjesztés több (párokét függetle) eseméyre i= i= 3. A = P ( A ) 4. A. aióma következméye: eseméyek külöbségéek valószíűsége P ( A / B) = P ( A) P ( A V) (Ha B A P ( A / B) = P ( A) P ( B) Milye eseméy az A / B? 5. Ha két eseméy em diszjukt, felbotható három diszjukt eseméyre. Legye D E Ø Felbotás: D E, D / (D E), E / (D E) uiójuk: D E P (D E) = P (D / (D E)) + P (E / (D E) = = P (D) + P (E) P (D E) Vegyük észre: ha D és E diszjuktak, visszakapjuk a. aiómát. Kiterjeszthetjük több eseméyre POINCARÉ tétele. Mit jelet A B? (Ha B, akkor A is.) Ekkor: P (A) P (B) P (B / A) = P (B) P (A) Hogy álluk P (A / B)-vel? FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG Jelölés: A B : A, feltéve, hogy B bekövetkezett. Defiíció: P ( A B) ( A B) P( B) P = az A eseméy B-re voatkoztatott feltételes valószíűsége. 3

4 Tétel: A és B eseméyek függetleek, ha P (A B) = P (A) P (B) Bizoyítás: P ( A B) P( A) = P ( B) ( B A) P ( B) P = (a B eseméy valószíűsége függetle A-tól.) Szimmetria okokból ( A B) P ( A) P = A valószíűség gyakorlati értelmezése: Tapasztalati gyakoriság Klasszikus valószíűség (egyeletes, diszkrét) Geometriai valószíűség Defiíció: Függetleek egymástól azok a kísérletek, amelyek kimeeteleiek valószíűségét em befolyásolják a többi kísérletek kimeetelei. Elevezés: Ismétlés: ha az újabb kísérletek függetleek a korábbiaktól. Beroulli tétele (sztochasztikus kovergecia): ha A, = tapasztalati gyakoriság p ( P ( A) p < ε ) lim P A, = tetszőleges ε -ra (Az aiómák igazolhatók a ha A, = tapasztalati gyakoriságokból p em kell hozzá az egyeletes valószíűség.) VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ehéz fogalom! Elevezés: Egyszerű (elemi) eseméyek: diszkrét eseméytér elemei. Folytoos eseméytérbe: X (, + ) MÉRÉSKOR NINCS FOLYTONOS ESEMÉNYTÉR! Majdem lehetetle eseméy Majdem biztos eseméy 0 lehetetlesége: két ember két molekula } távolsága 4

5 Defiíció: A valószíűségi változó az eseméytére értelmezett függvéy. A kísérlet mide egyes kimeeteléek megfelelőe felvesz egy értéket, ez az ő realizációja. Értékkészlete alkotja a valószíűségi változó eseméyterét. Más eve: statisztika. Változó: NAGY lati betű, Mit jelet P (X = )? realizáció: kis lati betű Hogy va ez egy kocka dobásáál?? Mi a folytoos megfelelője a P (X = ) -ek?? P ( < X + ) vagy, ha elvégezhető a 0 átmeet: P ( < X + d ) Mi a 0 feltétele??? N. B. Valószíűségi változók bármely függvéye is valószíűségi változó! (Miért?) Bármely függvéy, amely érvéyes valószíűségi változók között, érvéyes ugyaúgy a realizációk között is. (Miért?) VALÓSZÍNŰSÉGI SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY Legye X egy valószíűségi változó, S az ő eseméytere. Kérdés: Hogya oszlaak el S fölött a valószíűségek? Defiíció: Ha X folytoos valószíűségi változó, akkor valószíűségi sűrűségfüggvéye az az f () függvéy, amelyek az A itervallumo vett itegrálja megadja aak a valószíűségét, hogy X realizációi az A itervallumo belül leszek, azaz: jel. P ( X A) = P ( A) = f ( ) A d. Az X (, + d ) elemi eseméy valószíűsége f () d, és f () d 0, d 3. f ( ) = S A (, )-beli defiíció eseté: ( ) d f = Hogy lehet ezt így kiterjesztei? 5

6 Defiíció: Ha X diszkrét valószíűségi változó, akkor mide egyes értéke (realizációja) elemi eseméy, p() valószíűséggel. Ekkor a p() = P (X = ) az X valószíűségi sűrűségfüggvéye. Erre igaz jelölés. P ( A) = P ( A) = p ( ). 0 p () 3. ( ) A p = A Aalógia: Tömegpotok / kotiuum mechaikája i = test test m ρ dv test ( m ) = f ( ) i f ρ dv ρ : tömegsűrűség test (Stieltjes itegrál) Mostara épült fel teljese a haszálható matematikai apparátus: Véletle kísérlet kimeetelek S halmaz eseméytér A S X 0 eseméy valószíűsége P(A) valószíűségi változó X R 0 X f p( ) ( ) d a realizáció valószíűsége (A matematikus em az S halmazt tekiti alapkét, haem aak összes részhalmazából álló H halmazt!) 6

7 Defiíció: Az Y valószíűségi változó eloszlásfüggvéye: F() = P (y ) F ( ) = p( y) diszkrét y < F ( ) = f ( y) dy folytoos Fogalmak áttekitése \ eloszlás típusa folytoos diszkrét sűrűségfüggvéy f () p () elemi eseméy valószíűsége f () d p () adott A eseméy valószíűsége f ( ) d p ( ) A A eloszlásfüggvéy F () F () P (X ) F () F () P ( X ) F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) f ( ) d X = X = p ( X ) Vegyük észre! lim P( a < X b) = 0 a b folytoos X-re P( = b) = 0 b majdem lehetetle eseméy p ( b) = 0 majdem biztos eseméy VÁRHATÓ ÉRTÉK Defiíció: X valószíűségi változó bármely g() függvéyéek várható értéke: M ( g( ) ) = g S ( ) f ( ) g d ( ) p( ) folytoos diszkrét 7

8 (Stieltjes itegrállal: ( g( ) ) = g( ) df( ) Feltételek: Ha a g( ) p( ) M ) sor koverges, illetve a g( ) f ( ) Speciális várható értékek: 0 d itegrál létezik és véges. X várható értéke (X átlaga, X eloszlásáak középértéke) µ = µ = M ( ) Jeletése: ezt szórják körül a kísérlet eredméyei. M: mea (más jelölés: E: epectatio) X (eloszlásáak) r-edik cetrális mometuma µ = M µ r = S f ( ) p d ( ) r [( ) ] = M ( M ( ) ) r [ ] N.B.: Ha az eloszlás szimmetrikus, mide páratla cetrális mometuma zérus.. cetrális mometum: X (eloszlásáak) szóráségyzete / variaciája D ( ) = σ = V ( ) = µ = M ( µ ) Elevezés: Stadard deviáció (hiba): σ = D ( ) D: deviatio σ : scatter Két valószíűségi változó eseté: KOVARIANCIA [ ] = M [( M ( ) ) ] ( X, Y ) = M [( µ )( Y )] C µ Vegyük észre a határesetet: C (X, X) = D (X) = V(X) (szóráségyzet, variacia) Kovariacia mátri: elemei: C(X i, X j ) főátló: V(X ii ) (= variacia) Belőle származik a korrelációs együttható: ( X, Y ) ( X ) D ( Y ) C ρ ( X, Y ) = ormált kovariacia D r 8

9 Tétel: Ha X és Y függetleek M(XY) = M(X) M(Y) ekkor C(X, Y) = 0 és ρ (X, Y) = 0 MEGFORDÍTVA CSAK AKKOR IGAZ, ha X és Y együttes eloszlása ormális. Tétel: Mide emegatív f (), ha itegrálható a (, ) itervallumo, és f ( ) d = Ha g ( ) d N g( ), valószíűségi sűrűségfüggvéy lehet., de véges, akkor is lehet sűrűségfüggvéy, ahol N g( ) = d N : NORMA ELOSZLÁSFÜGGVÉNY TÍPUSOK Biomális eloszlás Legye: tetszőlegese ismételhető kísérlet két kimeetellel: A és A P(A) = p P( A ) = q = p Biomiális mitavétel Legye ismétlésből K az A eseméyek száma { 0,,, } S = K k S Defiíció: P k k k K k p q ( = ) = ez a sűrűségfüggvéy Jelölés: K ~ B(p, ) A év eredete: P (K = k) kifejezés a (p + q) biomális sorból való. µ = p σ = p q = p ( p) Más év: Beroulli-eloszlás ismételt alteratívák eloszlása Alakalmazás: Népszavazás, feleletválasztás, stb... 9

10 Poisso eloszlás Diszkrét Gyakra haszálható. Időbe: egyeletes valószíűséggel bekövetkező eseméyek száma adott időitervallumba. Térbe: egyeletes valószíűséggel bekövetkező eseméyek (véletle elhelyezkedése) száma adott felülete. (Esőcsepp, radioaktív bomlás, gépelési hiba, LÓRÚGÁS, forgalom, gólok focimeccse, telefohívások, sejtszaporodás, születések száma) Eseméytér: N Jelölés: K ~ P(m) Defiíció P (K = k) = P(b) = m k m e k! k N µ = m σ = m σ = m Tétel: c-szeres itervallum: K ~ P(c m) ha K ~ P(m ) és K ~ P(m ) függetleek, akkor K + K ~ P (m + m ) Határeloszlás-tételek: B, ha p << ( p ) P( p) B ( p ) P( p), ha lim p = m (azaz, ha ő, p csökke) Epoeciális eloszlás Folytoos Időbe: (egyeletes eloszlású) véletle eseméyek bekövetkezéséek idejéig eltelt idő ÉLETTARTAM-eloszlás Térbe: (egyeletes eloszlású)véletle eseméyek helyéek távolsága egy adott (tetszőleges) helytől Várakozás!, ütközések távolsága /ideje, élettartam. REAKCIÓKINETIKA! f = a e = 0, a, ha ( ) a > 0 ha 0 < 0 F e ( ) = e µ = a átlagos élettartam, ütközési gyakoriság, szabad úthossz, relaációs idő 0

11 σ = a σ = a A Poisso rokoa! POISSON-folyamat Normális eloszlás Felfedezője: Abraham de Moivre ezért hívják még Gauss-eloszlásak. Pétervári játék: Addig dobuk, míg fej em jö ki. Ha -edikre dobuk fejet, rubelt kapuk. Meyit kell befizeti a bakak, hogy e meje tökre? Dobások: B(0.5, ) de Moivre: lim P ( h, fej h, írás < ) = Defiíció ( ) ( µ ) σ f = e < < π σ π e d Jelölés: X ~ N (µ, σ ) Defiíció µ a Z = X STANDARD NORMÁLIS eloszlású σ Z ~ N (0, ) f ( z) = e π Határeloszlások X = Z σ + µ táblázatok, belső függvéyek (matematikusok-fizikusok) Közpoti határeloszlás tétele Legyeek,,... azoos eloszlású valószíűségi változók, µ és σ (véges) paraméterekkel, akkor eseté a i ~ N (, σ ) i= i= = : i Mérések!! µ, továbbá ~ lim N σ, µ, amiből (, ) σ σ = χ eloszlás e f ( ) = 0 <, > 0 Γ

12 ~ χ a szabadsági fokok száma Miért fotos? Ha,, 3,... függetleek és N (µ, σ ) eloszlásúak: Várható értéke: µ = W = i = i σ µ W ~ χ Mérések! Elevezés: W m ~ χ redukált χ - eloszlás: µ = Studet-féle t-eloszlás (Studet: agol úr áleve, eze a éve írta matematikai cikkeit) Kivételes: t kis betű, de valószíűségi változó!! lim f = < t <, > 0 ( t) t = N +, t β + Γ Γ β =, Γ + ábra ( 0, ) Jeletőség: mitavétel ld. később 30 fölött az eltérés kisebb mit 0 % Z Ha Z ~ N (0, ) és U ~ χ függetleek, akkor T = ~ t U F-eloszlás (Fisher-féle F-eloszlás) ~ ~ f (): ige boyolult Ha U χ és V χ függetleek, akkor redukált háyadosaik eloszlása ilye: µ ~ F és, F, = F, Számolás: χ, = F : redukált χ - eloszlás