ELTE TTK Budapest, január

Átírás

1 Valószíűségszámítás Arató Miklós előadásai alapjá Készítették: Martiek László Tassy Gergely ELTE TTK Budapest, 008. jauár

2 Typeset by L A TEX

3 . el adás 007. IX.. szerda Klasszikus (kombiatorikus valószí ségi mez Legye Ω véges halmaz (eseméytér, ahol Ω-t biztos eseméyek, ω Ω-t elemi eseméyek és A Ω-t eseméyek evezzük. Továbbá legye az A eseméy valószí sége P (A := A Ω... Példa. Egy szabályos érmével kétszer dobuk, így P ( fejet dobuk =. Itt Ω = {F F, F I, IF, II} 4 és A = {F F }, azaz P (A = A =. Godolhaták, hogy Ω 4 Ω = {F, I, F I} és A = {F }, ekkor P (A = lee, de az els írja le jól a valóságot. 3.. Példa. Két lovag addig játszik egy játékot, míg valamelyikük el em éri a 6 potot. Mide egyes yertes játszma potot ér, valamit azoos eséllyel ( yerek. 8 mérk zés utá 5 : 3-ra (els :második állak, amikor be kell szütetiük a játékot. Kérdés, hogy milye aráyba osztozzaak a yereméye? Megoldás: legfeljebb 3-at játszaáak még le, ebb l 7 alkalommal az els yere (, stb. és egyetle alkalommal a második (. Tehát 7 : aráyba osztozak igazságosa..3. Példa. Adott db tárgy és N db ók. Kérdés: P (az els ókba k tárgy kerül =? a Maxwell-Boltzma-statisztika (pl. gázok leírása: Ω = {(i,..., i, i l N}, így Ω = N, A = ( k (N k. Ekkor P (A = ( k(n k. N b Bose-Eistei-statisztika (pl. fotook: Ω = {(j,..., j N, j l 0, j l = }, így Ω = ( +N N = ( +N (, A = k+n ( N = k+n ( N. P (A = k+n N ( +N. c Fermi-Dirac-statisztika: egy ókba lefeljebb egy tárgy lehet ( N. Ω = {(j, j,..., j N, j i = 0 vagy, j i = }. Itt Ω = ( ( N és A = N, P (A =. N Kérdés, hogy vajo melyik modell a jó? Válasz: Attól függ, ugyais láttuk, hogy midhárom modell haszálható bizoyos zikai jeleségek bemutatására, ugyaakkor a kombiatorikus példákba általába az a haszálatos. Mértékelmélet (ismétlés.4. Deíció. Az Ω részhalmazaiak A redszere algebra, ha (i Ω A, (ii A, B A A B A és (iii A A A = Ω\A A..5. Deíció. Az A algebra σ-algebra, ha A A A A és A A..6. Deíció. A µ halmazfüggvéy σ-additív az A algebrá, ha A A diszjukt halmazok és A A eseté µ( A = µ(a..7. Deíció. µ mérték az A σ-algebrá, ha emegatív, σ-additív halmazfüggvéy A-. a tárgyak helye a ókba meyi tárgy va 3

4 .8. Tétel (Caratheodory-féle kiterjesztési tétel. Legye µ σ-additív az A algebrá. Ekkor létezik egy A-t tartalmazó legsz kebb σ-algebra [σ(a], és µ egyértelm e kiterjeszthet σ(a- deiált mértékké..9. Deíció. (Ω, A, P Kolmogorov-féle valószí ségi mez, ha P mérték az Ω részhalmazaiból álló A σ-algebrá és P (Ω =..0. Deíció (Elevezések. Ω: biztos eseméy, illetve eseméytér. ω Ω: elemi eseméy. A A : eseméy (em feltétleül Ω összes részhalmaza. P : valószí ség. P (A: az A eseméy valószí sége (0 P (A... Deíció (Geometriai valószí ségi mez. Legye Ω R d és µ(ω <. Mide A Ω mérhet halmazra legye P (A = µ(a µ(ω... Példa. Péter és Juli 0 és óra között találkozak, legfeljebb 0 percet várva a másikra. Mekkora valószí séggel találkozak? :00 0:0 0:00 0:0 :00 P (találkozak = ( 5 6 = Tétel. Legye µ végese additív emegatív halmazfüggvéy az A algebrá és µ(ω véges. Ekkor a következ k ekvivalesek: (i µ σ-additív (vagyis, ha A σ-algebra, µ(ω =, akkor µ valószí ség. (ii Ha A, A,... A és A A + mide -re, akkor µ( A = lim µ(a. (iii Ha A, A,... A és A A + mide -re, akkor µ( A = lim µ(a. (iv Ha A, A,... A, A A + mide -re és A =, akkor lim µ(a = 0. Bizoyítás. (i (ii: A = A (A \A (A 3 \A..., így µ( A = µ(a + µ(a \A + µ(a 3 \A +... = µ(a + µ(a µ(a + µ(a 3 µ(a... = lim µ(a. (ii (iii: µ(a = µ(a \(A \A = µ(a µ(a \A. Továbbá A \A A \A + és (A \A = A \ A, illetve lim µ(a \A = µ( (A \A = µ(a \ A. Ekkor lim(µ(a µ(a = µ(a µ( A. (iii (iv: triviális. (iv (i: legyeek A -ek diszjuktak, ekkor µ( A = µ( A i + µ( A i, ahol az els tag értéke = i=+ µ(a i, a második tag pedig eseté ullához tart, hisze A i =. Vagyis µ( A = µ(a, tehát µ valóba σ-additív..4. Jelölés. A B = AB..5. Állítás. P (A B = P (A + P (B P (AB. = i=+ i=+ A i i=+ A i és 4

5 Bizoyítás. A B = A AB, így P (A B = P (A + P (AB. Továbbá B = AB AB, így P (B = P (AB + P (AB, amib l P (AB = P (B P (AB. A kett t összevetve pot a bizoyítadó állítást kapjuk..6. Tétel (Poicaré-formula. P (A A... A = ( k+ S (, ahol S ( k = i <...<i k P (A i... A ik. Bizoyítás. Teljes idukcióval: = -re igazoli kell, hogy P (A A = S ( S (, ahol S ( = P (A + P (A és S ( = P (A A, az el z állítás éppe ezt modja ki. Most tegyük fel, hogy -re igaz, ézzük meg ( + -re: P (A A... A A + = P (A... A + P (A + P (A A +... A A + = = ( k+ P (A i... A ik + P (A + ( l+ P (A j... A jl A + = i <...<i k + = ( k+ i <...<i k + l= P (A i... A ik. k j <...<j l.7. Példa. Egy fogadáso ember vesz részt, midekiek va esery je, amik a ruhatárba véletleül összekeveredek. Mi a valószí sége, hogy lesz köztük olya, aki a sajátját kapja vissza? Ω =!, A i : az i. ember a sajátját kapja. Tehát a kérdés: P (A... A =? P (A i... A ik = ( k!, azaz S (! k = ( ( k! =. Így P (A k! k!... A = ( k+, ami tart -hez, ha. k! e.8. Állítás (Jordá Károly formulája, bizoyítás élkül. P (A,..., A közül potosa r darab következik be = r ( k (r+k ( S, ahol r = 0,,..., és S( 0 =. k=0 k r+k.9. Deíció. Legye P (B > 0, ekkor az A eseméy feltételes valószí sége a B feltételre ézve: P (A B = P (AB P (B..0. Megjegyzés. Ha P (B > 0, akkor mide A A-ra Q(A := P (A B választással (Ω, A, P ( B Kolmogorov-féle valószí ségi mez... Példa. Két gyereket tekitve meyi aak a valószí sége, hogy midkett ú, ha tudjuk, hogy legalább az egyik ú? Legye A : midkett ú, B : legalább ú, ekkor P (A B = P (AB = P (A = P (B P (B /4 =. 3/4 3.. Lemma (Bayes-formula. Legye 0 < P (B < és P (A > 0. Ekkor P (A B P (B P (B A = P (A B P (B + P (A B P (B. Bizoyítás. P (B A = P (BA P (AB = = P (A B P (B P (A P (AB+P (AB P (A B P (B+P (A B P (B..3. Példa. A férakál átlagosa 00-ból 5 szívak, a kél pedig 0000-b l 5. Kérdés: Mi a valószí sége aak, hogy egy illet fér, ha tudjuk, hogy szívak? Legye A : szívak, B : fér. Ekkor P (A B = 5 5, P (A B =, P (B = P (B =. Ie alkalmazva a Bayes-formulát, kapjuk, hogy P (B A = Tétel (Teljes valószí ség tétele. Legye A,..., A i,... teljes eseméyredszer (azaz diszjuktak és A = Ω, valamit P (A i > 0 mide i-re. Ekkor P (B = P (B A i P (A i (= i P (BA i. i Bizoyítás. Tudjuk, hogy B = i BA i, alkalmazzuk a P (B A i P (A i = P (BA i összefüggést. 5

6 . el adás 007. IX. 9. szerda.. Példa. Adott két ók, az egyikbe db húszezer és 9 db ötszáz foritos, a másikba 0 db húszezer foritos. Találomra választva egy ókot, mi a valószí sége, hogy húszezer foritost húzuk? A teljes valószí ség tétele szerit P (A = P (A B P (B + P (A B P (B = + =, 0 0 ahol B i az i-edik ók választását jelöli, A pedig azt, hogy húszezer foritost húzuk... Példa. Szidbádak 00 hölgyb l kell választaia egyet oly módo, hogy egyesével elmeek el tte (aki már elmet, em tér vissza, az els m hölgyet elegedi, majd a többiek közül kiválasztja az addigi legszebbet. Kérdés, hogy mekkora valószí séggel választja ki ilye módo valóba a legszebb hölgyet. Legye A : a legszebbet választja, B k : a k. hölgyet választja, B 0 : egyiket sem választja. B 0, B m+,..., B teljes eseméyredszer, így P (A = P (A B 0 P (B 0 + k=m+ P (A B k P (B k = 0 + k=m+ P (AB k. A hölgyek lehetséges sorredjei: Ω = 3... =!. Az olya lehet ségek száma, amikor a k- adik helye a legszebbet választottuk, AB k =... m m (m+... (k k... (. (El ször -féleképpe kiválasztjuk a k-adik helyre a legszebbet, majd az utáa következ ket tetszés szerit. Utáa a k. helyt l haladuk visszafelé, az m+-edik helyig mideütt eggyel kevesebb l választhatuk, mit aháy hölgy maradt, ugyais a legszebbiket em választhatjuk. Végül az els m helye tetsz leges lehet a sorred. Ekkor P (AB k = AB k = m, így P (A =! (k Mivel k=m k+ m ha m -ra teljesül, hogy m x dx = l m k=m = max m k k=m m k=m+ k, ezért m l m k=m P (AB k = m m k=m k, akkor belátható, hogy m /e.3. Deíció. A és B függetleek, ha P (AB = P (A P (B..4. Megjegyzés. a Ha P (A = 0, akkor A mide más eseméyt l függetle. b Ha P (B > 0, akkor A és B potosa akkor függetleek, ha P (A B = P (A. k=m+ k = m k=m. k m l m +. Továbbá k. c Az egymást kizáró eseméyek em függetleek, azaz P (A > 0, P (B > 0, P (AB = 0 eseté A és B em függetle..5. Példa. Egy dobozba M piros és (N M fehér golyó va, ezek közül húzuk ki kett t. Legye A: az els piros, B: a második piros. a Visszatevéssel: P (A = M N N = M N, P (B = N M N = M N és P (AB = M M N b Visszatevés élkül: P (A = M(N = P (B = M M(M, de P (AB = ( M N(N N N(N N = P (A P (B. = P (A P (B..6. Deíció. Az A, A,..., A eseméyek függetleek, ha P (A i... A ik = P (A i... P (A ik mide k -re és i <... < i k -re..7. Példa. Tekitsük az alábbi halmazokat: A B Itt P (A = P (B = P (C = és P (AB = P (AC = P (BC =, azaz a három eseméy párokét 4 függetle, de P (ABC = 0 P (A P (B P (C, így együttese em függetleek. C 6

7 .8. Deíció. Az A, A,... eseméyek függetleek, ha mide -re A,..., A függetleek..9. Példa (Tökremeés. Péter és Gábor úgy játszaak, hogy midkette valószí séggel yerek egy játszmába a másiktól foritot. A játék addig megy, amíg valaki a másik összes pézét el em yeri. Péterél legye k = 0 forit, Gáborál pedig k = 6 forit. Mekkora valószí séggel megy tökre Péter? Legye p(k := P (Péter k foritról tökremegy = P (A, így p(0 = és p( = 0. Továbbá legye B : az els lépésbe Péter yer, illetve B : az els lépésbe Gábor yer. Ekkor P (A = P (A B P (B +P (A B P (B = p(k+ +p(k, ahol k, azaz p(k = p(k++p(k. Ebb l p(k + p(k = p(k p(k = d, továbbá p(k = p(k p(k + p(k p(k p( p(0 + p(0 = + k d. Mivel 0 = p( = + d, így d =. Ie pedig p(k = k, ami a feti példába: P (A = 0 = Példa (Szimmetrikus bolyogás. Egy számegyeese lépegetük az egészeke 0-ból kiidulva, mide lépésbe ugyaakkora eséllyel lépük balra, mit jobbra. Kérdés: mekkora valószí séggel térük vissza a 0-ba? (ezt az eseméyt jelöljük C-vel Legye D, hogy az els lépésbe jobbra, ill. D, hogy az els lépésbe balra megyük, így P (C = P (C D + P (C D, ahol P (C D azt jeleti, hogy -b l eljutuk 0-ba, amiek pedig em kisebb a valószí sége, mit P (-b l el bb jutuk el 0-ba, mit -be = mide -re (lásd a tökremeésél. Tehát P (C D mide -re. Viszot ekkor P (C D =, ugyaígy P (C D =, azaz P (C =. Megjegyzés: dimezióba még ugyaeyi, de 3 dimezióba már -él kisebb ez a valószí ség... Deíció (Borel-σ-algebrák. (R, B(R : Σ = { [a i, b i : < a i < b i + diszjuktak } algebra és σ(σ = B(R σ-algebra. B(R = σ({x : x I,..., x I } : I,..., I itervallumok = σ({x i : x B,..., x B } : B j B(R. B(R = σ({x : x I,..., x I } :, I,..., I itervallumok = σ({x : x B,..., x B } :, B j B(R = σ({x : (x,..., x B } :, B B(R. B(R T = σ({x = (x t t T : x t I,..., x t I } :, t,..., t T, I,..., I itervallumok.. Tétel (bizoyítás élkül. Legye T em megszámlálható, ekkor mide A B(R T -hez létezek olya t, t,... T elemek és B B(R, hogy A = {x = (x t t T : (x t, x t,... B}..3. Következméy. A = {x : sup x t < c} / B(R [0,]. Tegyük fel ugyais idirekte, hogy eleme, 0 t ekkor létezik t 0, t 0,... és B 0 B(R, melyekre A = {x : (x t 0, x t 0,... B 0 }. Legye y t c A, így { (y t 0, y t 0,... B 0 c : t {t 0, valamit z t :=, t 0,...}. Ekkor (z c + : t / {t 0, t 0 t 0,...}, z t 0,... = (y t 0, y t 0,... B 0, következésképpe z A, ami pedig elletmodás, hisze sup z t > c. Valószí ségi változók.4. Deíció. ξ : Ω R valószí ségi változó, ha mide B B(R-re {w : ξ(w B} A. (Kés bb belátjuk, hogy ezzel ekvivales, hogy mide x R számra {w : ξ(w < x} A. { : w A.5. Deíció. Az A A eseméy idikátor valószí ségi változója χ A (w = 0 : w / A..6. Deíció. A ξ valószí ségi változó diszkrét, ha értékkészlete véges vagy megszámlálható, azaz létezek olya x i valós számok és A i teljes eseméyredszer, hogy ξ = x k χ Ak. k 7

8 .7. Deíció. Q ξ (B = P (w : ξ(w B a ξ valószí ségi változó eloszlása (B B(R..8. Megjegyzés. Q ξ valószí ségi mérték (R, B(R-e. Ha ξ diszkrét, azaz Q ξ (B = P (ξ B = x k B (p i 0 megadható az eloszlás; p i = és Q(B = P (ξ = x k, akkor x i -kb l és p i := P (ξ = x i -kb l x k B.9. Példa (Nevezetes diszkrét valószí ségi eloszlások. Biomiális eloszlás: Vegyük függetle kísérletet, ahol egy kísérlet p valószí séggel sikeres, és ξ jelölje a sikeres kísérletek számát (0 k. Ekkor P (ξ = k = ( k pk ( p k, jele: B(, p. Geometriai (Pascal-eloszlás: Függetle kísérleteket végzük, amelyek p valószí séggel sikeresek, η az els sikeres kísérlet sorszáma (k =,,.... Ekkor P (η = k = ( p k p 3 Hipergeometriai eloszlás: Adott egy dobozba M piros és N M fehér golyó, ezekb l húzuk véletleszer e darabot. Jelölje ξ a kihúzott piros golyók számát (visszatevés élkül, és legye k = 0,,..., mi(m,. Ekkor P (ξ = k = (M k ( N M k. ( N 4 Poisso-eloszlás: Legye 0 < λ x paraméter, továbbá k = 0,,,.... Ekkor P (η = k = e λ λk e ami összegezve: λ λk = e λ λ k =. (Ez az egyik leggyakrabba alkalmazott eloszlás. k! k! k=0 k=0 5 Negatív biomiális eloszlás: Függetle kísérleteket végzük, amelyek p valószí séggel sikeresek, ξ az r-edik sikeres kísérlet sorszáma (ahol r rögzített. Ekkor P (ξ = k = ( k r ( p k r p r, ahol k = r, r +,.... (Megjegyzés: r = -re pot a Pascal-eloszlást kapjuk..0. Állítás. A Pascal-eloszlás örökifjú tulajdoságú, azaz P (ξ > k + l ξ > k = P (ξ > l. Bizoyítás. P (ξ > k + l ξ > k = P (ξ>k+l ξ>k P (ξ>k p k. = P (ξ>k+l P (ξ>k k!, = ( pk+l ( p k = ( p l = P (ξ > l... Lemma. Legye Σ az R részhalmazaiak olya redszere, hogy σ(σ = B(R. Ekkor ξ : Ω R potosa akkor valószí ségi változó, ha {w : ξ(w E} A mide E Σ-ra. Bizoyítás. A iráy triviális. A iráy bizoyításához legye D = {D B(R : ξ (D A}. Ekkor Σ D B(R. Mivel D σ-algebra, ezért B(R = σ(σ σ(d = D B(R, így D = B(R... Következméy. ξ valószí ségi változó {w : ξ(w < x} A mide x valós számra..3. Deíció. A ξ valószí ségi változó eloszlásfüggvéye F ξ (x = P (ξ < x, ahol x R. Ekkor F ξ (x = Q ξ ((, x. Diszkrét esetbe P (ξ = x k = F ξ (x k+ F ξ (x k..4. Állítás. Az F ξ eloszlásfüggvéyre teljesülek az alábbiak: F ξ mooto öv. lim F ξ(x = 0 és lim F ξ(x = x x + 3 F ξ balról folytoos és jobbról létezik a határértéke mide x R helye. Bizoyítás. Ha x y, akkor (, x (, y, így Q ξ (, x Q ξ (, y, azaz F ξ (x F ξ (y, így -et megkaptuk. Legye x sorozat, ekkor {w : ξ(w < x } {w : ξ(w < x + } és {w : ξ(w < x } =, így az.3.tételb l P (ξ < x = F ξ (x 0, ha. Hasolóképpe x + eseté {w : ξ(w < x = Ω, így P (ξ < x = F ξ (x, ezzel -t megkaptuk. Hasolóa bizoyíthatjuk a 3-ik részt is, ugyais legye x x, ekkor {w : ξ(w < x } = {w : ξ(w < x}. Ha pedig y y, akkor {w : ξ(w < y } = {w : ξ(w y}, így lim F y ξ(y = y P (ξ y, így 3-at is megkaptuk. 8

9 3. el adás 007. IX. 6. szerda 3.. Állítás. Ha (R, B(R, Q valószí ségi mértéktér, akkor va olya (Ω, A, P valószí ségi mez és azo ξ valószí ségi változó, amelyek eloszlása Q. Tekitsük ugyais az (R, B(R, P := Q Kolmogorovféle valószí ségi mez t, és legye ξ(w = w. Ekkor Q ξ (B = P (ξ B = P (w B = P (B = Q(B. 3.. Tétel. Tegyük fel, hogy F kielégíti az eloszlásfüggvéyek három tulajdoságát. Ekkor egyértelm e létezik (R, B(R-e olya P valószí ségi mérték, hogy P ([a, b = F (b F (a mide a < b < eseté. { } Bizoyítás. Legye Σ := [a i, b i : < a i < b i <,, ekkor Σ algebra és σ(σ = B(R. Tetsz leges A = [a i, b i Σ eseté legye P 0 (A := (F (b i F (a i, ez végese additív = halmazfüggvéy. Lássuk be, hogy P 0 σ-additív is! Legye A i A, A A +... mooto fogyó halmazsorozat, melyre A =. Ekkor elég megmutati, hogy lim P 0 (A = 0 (.3.Tétel szerit. Tegyük fel el ször, hogy létezik olya pozitív N szám, melyre A [ N, N] mide -re. Ekkor P 0 ([a, b = F (b F (a = lim F b b (b F (a = lim P b 0([a, b (mivel F balról folytoos, továbbá b P 0 ([a, b P 0 ([a, b [ és [a, b ] [a, b. Így mide A -hez va olya B Σ, hogy lezártjára [B ] A és P 0 (A P 0 (B ε. Mivel A =, így a [B ]-ek metszete is üres, ezért a Heie-Borel-tétel szerit va olya 0 (ε, hogy 0 (ε 0 (ε [B ] =, mert ezek kompakt halmazok. Ekkor P 0 ( B = 0, és így P 0 ( 0 (ε A P 0 ( A = = = 0 (ε 0 (ε ε + P 0 ( B ε, vagyis lim P 0 (A = 0. ε = } {{ } =0 Ha em létezik ilye tulajdoságú N, akkor lim F (a = 0 és lim F (b =, valamit P 0([ N, N a b + = F (N F ( N felhaszálásával létezik olya pozitív N, hogy P 0 ([ N, N > ε. Az A [ N, N halmazokra teljesül az el z eset, mivel (A [ N, N =, amib l lim P 0 (A [ N, N = 0. Ekkor P 0 (A P 0 (A [ N, N + P 0 (R\[ N, N, így lim sup P 0 (A lim sup P 0 (A [ N, N + ε, ε =0 vagyis lim P 0 (A = 0. Ezzel midkét esetbe beláttuk, hogy P 0 σ-additív a Σ algebrá. Ekkor a Caratheodory-tétel szerit P 0 egyértelm e kiterjeszthet valószí ségi mértékké az (R, B(R σ-algebrára Következméy. Ha F kielégíti az eloszlásfüggvéyek három tulajdoságát, akkor va olya ξ valószí ségi változó, melyre F ξ = F. Ugyais ha P ([a, b = F (b F (a létezik, akkor va olya ξ valószí ségi változó, amelyre Q ξ = P, így Q ξ ([a, b = P ([a, b = F (b F (a. Legye a :=, ekkor Q ξ ((, b = F (b = F ξ (b Következméy. F ξ egyértelm e meghatározza az eloszlást. lezárt 9

10 Abszolút folytoos eloszlású valószí ségi változók Legye ξ : Ω R valószí ségi változó, Q ξ az eloszlása, és (R, B(R, µ mértéktér, azaz µ mérték Deíció. A ξ valószí ségi változó abszolút folytoos eloszlású a µ mérték szerit, ha Q ξ abszolút folytoos a µ mértékre. Az f = dq ξ (Rado-Nikodym-derivált a ξ µ-mérték szeriti s r ségfüggvéye. dµ 3.6. Deíció. ξ abszolút folytoos eloszlású, ha létezik a Lebesgue-mérték (azaz µ = λ szeriti s r ségfüggvéye. (Megjegyzés: ekkor a Rado-Nikodym-tétel szerit Q ξ λ Állítás. Q ξ (B = f(x dx ami alatt a Lebesgue-mérték szeriti itegrált értjük, ekkor B f 0 majdem mideütt és f(x dx =. Továbbá egy ilye tulajdoságú függvéyre és a Q(B = R f(x dx választással (R, B(R, Q Kolmogorov-mez. B 3.8. Állítás. F ξ (x = P (ξ < x = x f(s dλ(s, illetve F (x = f(x véges sok potot kivéve Példa (Egyeletes eloszlás itervallumo. Tekitsük [a, b]- geometriai valószí ségi mez t, ahol ξ(w = w. Ekkor P (ξ < x = : a < x < b. Az ilye eloszlásfüggvéy valószí ségi 0 : x a x a b a : b x változót egyeletes eloszlásúak { evezzük az [a, b] itervallumo. Jelölése: E(a, b vagy U(a, b. S r ségfüggvéye pedig f ξ (x = 0 : x / [a, b] : x [a, b]. b a 3.0. Példa (λ-expoeciális eloszlás. Jelölje τ egy izzó élettartamát, ekkor a P (τ > t + s τ > s = P (τ > t tulajdoságot örökifjúak modjuk, ahol t, s > 0. Legye G(t = P (τ > t, így G(t+s P (τ>t+s, τ>s P (τ>s G(s = = G(t, azaz G(t + s = G(t G(s. Ebb l következik, hogy G(t = e λt alakú. Mivel G(t valószí ség, ezért λ > 0. Az eloszlásfüggvéy balról folytoossága miatt P (τ < t lim P (τ t ε ε 0 lim P (τ < t ε = P (τ < t és ebb l P (τ < t = lim P (τ t ε = lim ε 0 ε 0 ε 0 ( e λ(t ε = e λt. Az ilye { 0 : t 0 F τ (t = eloszlásfüggvéy valószí ségi változókat λ-expoeciális eloszlásúak e λt : 0 < t { 0 : t 0 evezzük. A s r ségfüggvéye f τ (t =. Köye látható a fordított iráy is, λ e λt : 0 < t tehát, hogy egy expoeciális eloszlású valószí ségi változó örökifjú eloszlású. 3.. Példa (Normális eloszlás. A ξ valószí ségi változó stadard ormális eloszlású, ha s r ségfüggvéye f(x = π e x (x R. Ha ezt itegráljuk a számegyeese, akkor -et kapuk eredméyül, tehát a függvéy valóba s r ségfüggvéy: e t +s dt ds (φ,r = π dφ e r 0 0 tehát az eloszlásfüggvéy: Φ(x = π x ( r dr = π e t e t [ e r dt = ] dt. Jelölése: N(0,. 0 e t dt e s ds = = π. Így π e t dt =, Általáosa: P (m+σξ < x = P (ξ < x m x m = Φ(. A s r ségfüggvéy: f σ σ m+σξ(x = π σ e (x m σ. Ez a ormális eloszlás m és σ paraméterekkel, jelölése: N(m, σ. Általába ha η N(m, σ, akkor η m N(0,. σ 0

11 3.. Példa { (Gamma-eloszlás. A ξ Γ(λ, α eloszlású, ha s r ségfüggvéye: 0 : x 0 f ξ (x = λ α, ahol Γ(α = x α e x dx. (Megj.: Γ( = (!. Γ(α xα e λx : 0 < x Lemma. Legye φ Borel-mérhet függvéy és ξ valószí ségi változó. Ekkor φ(ξ is valószí ségi változó. Bizoyítás. Tetsz leges B B(R eseté {w : φ(ξ(w B} = {w : ξ(w φ (B} A Következméy. Ha ξ valószí ségi változó, akkor ξ, ξ +, illetve ξ is valószí ségi változó Deíció. ξ általáosított valószí ségi változó, ha ξ : Ω [, + ] és ξ (B A mide B B(R-re Tétel. a Legye ξ emegatív általáosított valószí ségi változó. Ehhez létezek olya 0 ξ ξ véges sok értéket felvev valószí ségi változók, hogy ξ (w ξ(w mide w Ω-ra. b Legye ξ általáosított valószí ségi változó, ekkor létezek olya ξ, ξ,... véges sok értéket felvev valószí ségi változók, hogy ξ (w ξ(w mide w Ω-ra. Bizoyítás. a Legye ξ (w := k χ{ k ξ(w < k } + χ{ξ(w }. b ξ = ξ + ξ, ezekre a szerit létezek a megfelel sorozatok, amelyek külöbsége jó lesz Állítás. Legyeek ξ, ξ,... általáosított valószí ségi változók, amelyekre mide w Ω-ra létezik a ξ(w = lim ξ (w határérték. Ekkor ξ is általáosított valószí ségi változó. lim sup ξ = if sup m Bizoyítás. {ξ < x} = {lim ξ < x} = {lim sup ξ = lim if ξ } {lim sup ξ < x} A, mivel Ω ξ m, továbbá általáosított valószí ségi változók imuma és szuprémuma is általáosított valószí ségi változó. Ha ugyais η általáosított valószí ségi változó, akkor {sup η x} = {η x} A és {if η < x} = {η < x} A Jelölés. A ξ (általáosított valószí ségi változó által geerált σ-algebrát F ξ jelöli, ahol F ξ = σ(ξ = {{w : ξ(w B}, B B(R} Tétel. Az η valószí ségi változó potosa akkor F ξ -mérhet, ha va olya φ Borel-mérhet függvéy, melyre η = φ(ξ. Bizoyítás. Ha η = φ(ξ, akkor η F ξ -mérhet, mert {w : η(w B} = {w : ξ(w φ (B} F ξ. A megfordítás bizoyításához legye Φ ξ = {η : F ξ -mérhet } és Φ ξ = {φ(ξ : φ Borel-mérhet }. Ha A F ξ és η = χ A, akkor létezik olya B B(R, hogy A = {w : ξ(w B}, ekkor χ B Borel-mérhet függvéy és η = χ A = χ B (ξ Φ ξ. Így az A i F ξ eseméyekre c i χ Ai Φ ξ. Ha η F ξ -mérhet, akkor az el z tétel szerit létezek olya η véges sok értéket felvev, F ξ -mérhet valószí ségi változók, hogy η (w η(w mide w Ω-ra. Így φ (ξ(w η(w mide w Ω-ra, ahol φ Borel-mérhet. Legye B := {x R : lim φ (x} Borel-mérhet, ekkor φ(x := { lim φ (x : x B 0 : x / B Borelmérhet függvéy, valamit η(w = lim φ (ξ(w = φ(ξ(w, azaz η Φ ξ.

12 ξ (w 3.0. Deíció. ξ(w =. -dimeziós valószí ségi vektorváltozó, ha mide i-re ξ i ξ (w valószí ségi változó. 3.. Állítás. ξ potosa akkor -dimeziós valószí ségi vektorváltozó, ha ξ : (Ω, A (R, B(R mérhet. Bizoyítás. : Legye B B(R. Ekkor {ξ k B} = {ξ R,..., ξ k B,..., ξ R} = {ξ R... B... R} A. : Legye B i B(R, ekkor {ξ B,..., ξ B } = k {ξ k B k } A és {ξ B... B } A, így σ(b... B = B(R. 3.. Deíció. Legye B B(R, ekkor Q ξ (B = P (ξ B a ξ eloszlása Megjegyzés. (R, B(R, Q ξ Kolmogorov-féle valószí ségi mez. Ha (R, B(R, Q is Kolmogorov-féle valószí ségi mez, akkor létezik olya ξ -dimeziós valószí ségi vektorváltozó, hogy Q ξ = Q és ξ(w = w Deíció. F ξ (x := P (ξ < x,..., ξ < x a ξ eloszlásfüggvéye Tétel (Bizoyítás élkül. F potosa akkor egy -dimeziós valószí ségi változó eloszlásfüggvéye, ha teljesülek a következ k: F mide változóba mooto öv. lim F ξ(x = 0 (i =,..., és lim F ξ(x =. x i x i +,,..., 3 F mide változóba balról folytoos, és jobbról létezik a limesze. 4 Mide a k < b k (k =,..., eseté ( ( ε k F ε a + ( ε b,..., ε a + ( ε b 0 ε i =0 vagy 3.6. Megjegyzés. Egy ξ valószí ségi vektorváltozóra az utolsó összeg pot P (a k < ξ k < b k, k =,..., Deíció. ξ diszkrét, ha véges vagy megszámlálhatóa sok értéket vehet fel Deíció. ξ abszolút folytoos eloszlású a µ mértékre ézve, ha létezik a dq ξ dµ Rado-Nikodymderivált Megjegyzés. Legye ξ diszkrét, értékkészlete {z, z,...}, ekkor az m(b = {i : z i B} számlálómértékre ézve ξ abszolút folytoos eloszlású, azaz létezik a dq ξ dm Rado-Nikodym-derivált Tétel. Legye adott az A R tartomáyo egy g folytoosa diereciálható függvéy, melyek létezik az iverze. Továbbá legye ξ valószí ségi változó A-beli értékkel, melyek s r ségfüggvéye f ξ. függvéy Jacobi- Ekkor g(ξ s r ségfüggvéye f g(ξ (y = f ξ (g (y J, ahol J = mátrixa. Bizoyítás. Legye η = g(ξ és C = g(a. Ekkor [ ] g i (y y j a g Q η (B = P (η B = P (g(ξ B = P (g(ξ B C = P (ξ g (B C = = f ξ (x dx = f ξ (g (y J dy. g (B C B C

13 4. el adás 007. X. 3. szerda 4.. Deíció. Az F, F,..., F eseméyredszerek függetleek, ha bármely A F,... A F választása eseté A,..., A függetleek. 4.. Deíció. A ξ,..., ξ valószí ségi változók függetleek, ha F ξ,..., F ξ függetleek Deíció. A ξ, ξ,... valószí ségi változók függetleek, ha mide -re ξ,..., ξ függetleek Állítás. A ξ,..., ξ potosa akkor függetleek, ha bármely B i B(R-re P (ξ B,..., ξ B = P (ξ i B i, vagy ami ezzel ekvivales, F (ξ (x = F ξi (x i mide x-re Tulajdoság. Legyeek ξ,..., ξ diszkrétek. Ekkor potosa akkor függetleek, ha P (ξ = x,..., ξ = x = P (ξ i = x i mide x i -re. Legyeek ξ,..., ξ abszolút folytoos valószí ségi változók. Itt a függetleség ekvivales azzal, hogy f ξ (x = f ξi (x i. 3 Kostas valószí ségi változó mide valószí ségi változótól függetle. 4 Legyeek ξ,..., ξ függetleek és g i -k Borel-mérhet k. Ekkor g (ξ,..., g (ξ is függetleek. 5 Legyeek ξ,..., ξ függetleek és h Borel-mérhet, k-dimeziós. Ekkor h(ξ,..., ξ k, ξ k+,..., ξ is függetleek Állítás (Kovolúciós formula. Legyeek ξ és η függetle, abszolút folytoos valószí ségi változók. Ekkor ξ+η is abszolút folytoos eloszlású, és s r ségfüggvéye f ξ+η (x = f ξ (x y f η (y dy + = + f ξ (y f η (x y dy. ( ( ( ( x x Bizoyítás. Legye g =, azaz y x x + x = x és y = x +x, így g y y = ( y y y és J = 0 =. (A továbbiakba írjuk sorvektorokat az oszlopvektorok helyett. A korábbi tétel szerit g(ξ, η s r ségfüggvéye f g(ξ,η (y = f ξ,η (g (y J, azaz: f (ξ,ξ+η (y, y = f (ξ,η (y, y y = f ξ (y f η (y y. Mivel P (ξ + η B = P (ξ R, ξ + η B, így f ξ+η (y = f (ξ,ξ+η (y, y dy = f ξ (y f η (y y dy = f η (y f ξ (y y dy Állítás (Diszkrét eset. Legyeek ξ és η függetleek, értékkészletük pedig {x k } és {y l }. Ekkor P (ξ + η = z = P ( {ξ = x k, η = y l } = P (ξ = x k, η = y l = P (ξ = x k P (η = y l. x k +y l =z x k +y l =z x k +y l =z 3

14 4.8. Példa (Diszkrét esetek. Legyeek ξ B(, p és η B(, p függetleek. Ekkor ξ + η B( +, p. Ugyais ξ + η értékkészlete 0,,..., +, így P (ξ + η = k = mi{k, } l=max{k,0} ( pl ( p l ( l p k ( p + k ( + k k l p k l ( p k+l =, azaz ξ + η B( +, p. k l=0 mi{k, } ( l=max{k,0} l P (ξ = l P (η = k l = ( ( p k l pk + k = Megj.: ugyaez egyszer bbe is kiszámítható: legyeek X, X,... függetle, azoos eloszlású p- idikátorok, ekkor X +...+X B(, p, X X +m B(m, p, és így X +...+X +m B( + m, p. Legyeek ξ λ-poisso és η µ-poisso függetleek. Ekkor ξ + η (λ + µ-poisso. Ugyais P (ξ + η = k = k P (ξ = l P (η = k l = k l=0 l=0 λl e λ µk l e µ l! (k l! = e (λ+µ e (λ+µ k! (λ + µ k, azaz valóba (λ + µ paraméter Poisso-eloszlást kapuk. k! k l=0 ( k l λl µ k l = 3 Legyeek ξ p-pascal és η p-pascal függetleek, valamit X = ξ + η a. sikeres kísérlet sorszáma. Ekkor P (X = k = ( k ( p k p, vagyis másodred p paraméter egatív biomiális eloszlást kaptuk Példa (λ-expoeciális eset. Legyeek ξ,..., ξ függetle λ-expoeciális { valószí ségi változók és η = ξ +...+ξ. Azt állítjuk, hogy ekkor η s r ségfüggvéye g (x = 0 x 0 x λ e λx. x > 0 (! Ezt -re voatkozó teljes idukcióval látjuk be a következ képpe: Az = esetet már láttuk a 3.0. Példába. Tegyük fel, hogy -ig igaz az állítás, most ézzük ( + -re: g + (x = f (ξ +...+ξ +ξ + (x = λ + e λx! f ξ +...+ξ (x y f ξ+ (y dy = g (x y g (y x (x y dy 0 x 0 z dz x 0 = x λ + e λx! (x y λ e λ(x y λe λy dy = (! (x > 0, amivel a várt eredméyre jutottuk. Példakét vegyük egy olya autóbuszjáratot, ahol a buszok követési ideje egymástól függetle, azoos λ-expoeciális eloszlású. Jelölje ξ az els busz beérkezési idejét, ξ az els és a második busz érkezése közötti id t stb. Ekkor vajo várhatóa háy busz érkezik a [0, t id itervallumba? Jelölje N a beérkezett buszok számát, ekkor N eloszlása (λt-poisso, ugyais: t 0 x λ e λx t dx (! 0 P (N = = P (N P (N + = P (η < t P (η + < t = x λ + e λx! dx = λ! t 0 x e λx dx t x λe λx dx 0 [x e λx ] t 0 t 0 x e λx dx = (λt e λt,! azaz eyi valószí séggel jö potosa busz a megállóba t id alatt. A kérdés potos megválaszolásához szükségük va a következ deíció (várható érték bevezetésére. 4

15 Várható érték 4.0. Deíció. A ξ valószí ségi változó várható értéke Eξ = ξ dp, ha ez utóbbi létezik. Az Ω itegrál akkor értelmes, ha létezik Eξ + és Eξ, valamit mi(eξ +, Eξ <, azaz a kett közül legalább az egyik véges. 4.. Tulajdoság (a Lebesgue-itegrál tulajdoságai alapjá. E(c ξ = c Eξ. Ha ξ η, akkor Eξ Eη. 3 Ha létezik Eξ, akkor Eξ E ξ. 4 Ha létezik (és véges Eξ, akkor mide A A-ra létezik (és véges E(ξ χ A. 5 Ha létezik Eξ, Eη, és Eξ + Eη értelmes, akkor E(ξ + η = Eη + Eξ is létezik. 6 Ha ξ = 0 majdem mideütt, akkor Eξ = 0. 7 Ha ξ = η majdem mideütt és létezik a véges Eξ, akkor Eη is létezik és Eη = Eξ. 8 Ha ξ 0 és Eξ = 0, akkor P (ξ = 0 =. Ez köye adódik a következ tételb l, hisze {ξ > 0} = {ξ > }, és a Markov-egyel tleségb l P (ξ > P (ξ Eξ = 0. = 4.. Tétel (Markov-egyel tleség. Legye ξ emegatív valószí ségi változó, amelyek létezik az Eξ várható értéke, továbbá legye c pozitív szám. Ekkor P (ξ c Eξ Bizoyítás. tétel rögtö következik. Az Eξ = ξ dp ξ dp c dp = c P (ξ c egyel tleségekb l a Ω {ξ c} {ξ c} 4.3. Példa. Ha c kostas valószí ségi változó, akkor triviálisa Ec = c. Az A idikátoráak várható értéke Eχ A = 0 P (χ A = 0 + P (χ A = = P (A. 3 Legye ξ diszkrét, ekkor Eξ = x k P (ξ = x k. k 4 Tegyük fel, hogy ember midegyikéhez tartozik egy esery, melyeket beadak a ruhatárba. Sajos közbe összekeveredek, így véletleszer e kap mideki egyet távozáskor. Várhatóa háya távozak a saját esery jükkel? Legye ξ azo emberek száma, akik a sajátjukat kapják vissza, valamit η i :=, ha az i-edik ember a sajátját kapja, külöbe pedig η i := 0. Ekkor ξ = η η és Eξ = Eη Eη = =. (Ugyais Eη i = P (i a sajátját kapja =. 5 Legye ξ B(, p biomiális eloszlású valószí ségi változó. Ekkor Eξ = k ( k p k ( p k = k=0 ( p p k ( p (k = p. Ugyaez egyszer bbe: ha ξ = η η (függetle k } {{ } =(p+( p = idikátorok összege, akkor Eξ = Eη Eη = p. Példa: egy dobozba M darab piros és N M darab fehér golyó va. Húzzuk a dobozból visszatevéssel véletleszer e darabot, és ξ B(, M M jelölje a pirosak számát. Így Eξ =. N N 6 Legye ξ λ-poisso, ekkor Eξ = k e λ λ e λ λ k k = λ = λ. k! k=0 (k! = 7 Végezzük most a biomiális eloszlás várható értékéél látott golyós példához hasoló kísérletet, csak visszatevés élkül húzzuk a dobozból. Ekkor a ξ valószí ségi változó hipergeometrikus mi(,m eloszlású, és várható értéke: Eξ = k (M k ( N M k. Az egyszer bb kiszámítás céljából legye k=0 ( N ξ = η η M, ahol η i :=, ha az i-edik piros golyót kihúztuk, külöbe pedig 0. Ekkor P (η i = = (N ( N = M, így Eξ =. N N 5 c.

16 Az eloszlás és eloszlásfüggvéy segítségével is felírható a várható érték. Eξ = x dq R ξ(x = x df R ξ(x és Eg(ξ = g(ξ dp = g(x dq Ω R ξ(x = g(x df R ξ(x, ahol a df ξ (x szeriti itegrálás a Lebesgue-Stieltjes-itegrálást jelöli. Ebb l az abszolút folytoos valószí ségi változók várható értéke: Eξ = x f R ξ(x dλ(x és Eg(ξ = g(x f R ξ(x dλ(x Példa. Az egyeletes eloszlás várható értéke ξ E(a, b eseté Eξ = b x a+b dx =. a b a A λ-expoeciális eloszlás várható értéke Eξ = x λ e λx dx = [ x e λx ] [ e λx dx = 0 e λx λ ] 0 = λ. 3 A ormális eloszlás várható értéke ξ N(0, eseté Eξ = x π e x dx = 0, hisze a s r ségfüggvéy szimmetrikus, így az itegrálba egy páratla függvéy szerepel (továbbá az itegrál koverges, mert elég agy x-re x e x felülr l becsülhet az e x függvéyel. Általáosa pedig m + σξ N(m, σ eseté E(m + σξ = m + σ Eξ = m Állítás (Bizoyítás élkül. Eξ = ( F 0 ξ(y dy 0 F ξ(y dy. Speciálisa, ha ξ 0, akkor Eξ = ( F 0 ξ(y dy Példa. Legye ξ λ-expoeciális, ekkor Eξ = e λy dy =. (A várakozásak megfelel e 0 λ a buszok -val követik egymást, hisze t id alatt λt fut be. λ 4.7. Deíció. ξ ξ majdem mideütt, ha P (w : ξ (w ξ(w = Tétel (mooto kovergecia. Legye ξ η, ξ mooto öv, Eη > és ξ ξ majdem mideütt. Ekkor Eξ Eξ. Legye ξ η, ξ mooto csökke, Eη < és ξ ξ majdem mideütt. Ekkor Eξ Eξ. ( 4.9. Következméy. η 0 eseté E η = Eη. = = 4.0. Tétel (Fatou-lemma. Ha ξ η és Eη >, akkor E(lim if ξ lim if Eξ. Ha ξ η és Eη <, akkor lim sup Eξ E(lim sup ξ. 3 Ha ξ η és Eη <, akkor E(lim if ξ lim if Eξ lim sup Eξ E(lim sup ξ. 4.. Tétel (majorált kovergecia. Ha ξ η, Eη < és ξ ξ majdem mideütt, akkor E ξ <, Eξ Eξ és E ξ ξ 0 (ha. 4.. Tétel. Legyeek ξ és η függetle valószí ségi változók, valamit E ξ és E η végesek. Ekkor E ξ η is véges és E(ξ η = E(ξ E(η. Bizoyítás. Legye ξ és η 0. Vezessük be a következ ξ és η -eket: ξ := k=0 k χ { k k+ ξ< }, melyre 0 ξ ξ, ξ ξ majdem mideütt, ξ ξ <. Ugyaígy η := l=0 l χ { l l+ η< }, ahol 0 η η, η η majdem mideütt, η η <,. 6

17 A majorált kovergecia tételb l lim Eξ = Eξ és lim Eη = Eη. Ekkor E(ξ η = ( k l k P ξ < k + l, η < l + = Eξ Eη, k,l ahol a függetleség miatt P (... = P ( k ξ < k+ P ( l η < l+. Tehát E(ξ η E(ξ η E ξ η ξ η E( ξ η η + η ξ ξ E ξ + E η E ξ + (E η + E η η E ξ + (E η + 0. Így E(ξ η E(ξ η és Eξ Eη Eξ Eη, azaz E(ξ η = Eξ Eη, amib l már a végesség is yilvávaló. (Általába pedig így írhatjuk fel ket: ξ = ξ + ξ és η = η + η Deíció. {ξ } egyeletese itegrálható, ha sup ξ { ξ >c} dp 0, ha c. Megj.: ugyaez más alakba: sup E{ ξ χ { ξ >c}} 0, ha c Megjegyzés. Legye ξ η, Eη <, ekkor sup E{ ξ χ { ξ >c}} E{η χ {η>c} }. Ha Ψ k = η χ {η>k}, akkor Ψ k η, mooto csökke és Ψ k 0 majdem mideütt. Ekkor pedig EΨ k 0, ha k. Így {ξ } egyeletese itegrálható Állítás. {ξ } egyeletese itegrálható valószí ségi változó sorozat. Ekkor sup E ξ <. Bizoyítás. E( ξ χ { ξ c}, ezért sup Az egyeletes itegrálhatóság miatt va olya 0 < c, amelyre sup E( ξ χ { ξ <c} + ξ χ { ξ c} c +, azaz véges. E ξ = sup } {{ } c 4.6. Tétel. Ameyibe {ξ } egyeletese itegrálható, akkor a E(lim if ξ lim if Eξ lim sup Eξ E(lim sup ξ. b Ha ξ ξ majdem mideütt, akkor E ξ <, Eξ Eξ és E ξ ξ 0 (ha. Bizoyítás. a Legye c > 0, ekkor Eξ = E{ξ χ {ξ <c}} + E{ξ χ {ξ c}}, illetve lim if E{ξ χ {ξ c}} E{lim if ξ χ {ξ c}} E{lim if ξ }. Mivel ξ egyeletese itegrálható, így sup E{ξ χ {ξ< c}} < ε elég agy c-re. Ezért Eξ ε + E{ξ χ {ξ c}}, így lim if Eξ ε + E{lim if ξ }. A lim sup-os rész teljese hasolóa igazolható, ezzel az állítás a részét beláttuk. b a szerit Eξ Eξ, másrészt ξ, ξ ξ egyeletese itegrálhatók és ξ ξ, ξ ξ 0 majdem mideütt, így E ξ E ξ, E ξ ξ 0 és a 4.5.Állításból E ξ <. 7

18 5. el adás 007. X. 0. szerda 5.. Tétel. Tegyük fel, hogy 0 ξ ξ majdem mideütt és Eξ véges. Ekkor Eξ Eξ < egyeérték azzal, hogy {ξ } egyeletese itegrálható. Bizoyítás. Az egyeletese itegrálhatóságból az el z el adáso elhagzott 4.6.Tétel miatt következik, hogy Eξ Eξ <. Tehát elég belátuk az ellekez iráyt. Legye B := {a : P (ξ = a > 0}. Ha a / B, akkor ξ χ {ξ<a} ξ χ {ξ<a} majdem mideütt és ξ χ {ξ<a} egyeletese itegrálható, valamit E(ξ χ {ξ <a} E(ξ χ {ξ<a}. Legye a 0 / B olya, hogy E(ξ χ {ξ a0 } < ε. Továbbá N 0 olya agy egész szám, melyre E(ξ χ {ξ a 0 } E(ξ χ {ξ a0 } + ε, ha N 0. Így E(ξ χ {ξ a0 } < ε N 0 eseté. Most legye a / B em kisebb az a 0 -ál, ekkor E(ξ χ {ξ a } ε, ha > N 0. Továbbá E(ξ χ {ξ c} ε mide -re, ha c a. Azt kaptuk tehát, hogy sup E(ξ χ {ξ c} c 0, azaz ahogya az egyeletes itegrálhatóságot deiáltuk. ξ 5.. Deíció. A ξ =. várható értéke létezik, ameyibe mide i, -re létezik egyekét Eξ az Eξ i várható érték, és ekkor Eξ :=.. Eξ ξ Aalízisb l ismertek a következ eredméyek Egyel tleségek. Jese-egyel tleség: Ha létezik Eξ és g kovex, akkor g(eξ Eg(ξ. Cauchy-egyel tleség: E ξ η Eξ Eη. 3 Hölder-egyel tleség: Ha r > és r + s =, akkor E ξ η ( E( ξ r r (E( η s s. 4 Mikowski-egyel tleség: Ha r >, akkor ( E ξ + η r r ( E( ξ r r + ( E( η r r. A Jese-egyel tleségb l köye adódik a következ állítás Állítás (Ljapuov-egyel tleség. Ha 0 < s < t, akkor (E ξ s s (E ξ t t. Bizoyítás.Ha 0 < s < t, akkor legye r = t s, η = ξ s és g(x = x r. Ekkor a Jese-egyel tleség alapjá g(eη Eg(η, azaz (E ξ s t s E ξ t Deíció. Legye P (A > 0, ekkor ξ feltételes várható értéke az A feltételre ézve a következ : E(ξ A := ξ dp. Speciálisa, ha ξ diszkrét, akkor E(ξ A = ξ dp = A ξ P (A A P (A A P (A χ {ξ=xk } dp = x P (A A {ξ=x k } k dp = x P (A k P (A {ξ = x k } = x k P (ξ = x k A. k k k k 5.6. Tétel (Teljes várható érték tétel. Legye ξ diszkrét valószí ségi változó véges várható értékkel és A, A,... teljes eseméyredszer, ahol 0 < P (A i. Ekkor Eξ = E(ξ A P (A. 8

19 Bizoyítás. E(ξ A P (A = x k P (ξ = x k A P (A = x k P (ξ = x k A k k P (A = x k P (ξ = x k = Eξ. (A két szumma az abszolút kovergecia miatt volt felcserélhet, k majd alkalmaztuk a teljes valószí ség tételét Példa. Wald-azoosság: Legyeek X, X,... függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók, amelyekre létezik EX i, és N egy t lük függetle pozitív, egészérték valószí ségi változó. Ekkor E(X +... X N = EX EN, ugyais E(X X N = E(X X N N = P (N = = = EX P (N = = EX EN, hisze P (X X N = y N = = P (X +...+X =y,n= P (N= = P (X X = y. Ie pedig E(X X N = y N = = EX. geometriai eloszlás: Legye P (η = k = ( p k p, ahol k. Ekkor Eη = = k ( p k p. Jelölje A azt az eseméyt, hogy az els kísérlet sikeres. Ekkor Eη = E(η A P (A + E(η A P (A, amib l Eη = p + ( + Eη ( p, így Eη =. p 3 szimmetrikus bolyogás: Jelölje ξ a lépések számát -b l 0-ba ( 0, továbbá legye v( := Eξ. Legye A az az eseméy, hogy az els lépésbe jobbra lépük. Ekkor Eξ = E(ξ A + E(ξ A, itt E(ξ A = + v( + és (Eξ A = + v(, így v( = + v( + + v(, továbbá v(0 = 0. Vagyis v( + v( = v( v( =... = v( v(0. Ebb l v( = v( v( +v( +v( +...+v( v(0+v(0, ahol kettesével beírhatjuk a szomszédos tagok helyére a korábbi formulát, így az összeg értéke v( ( = (v( ( 0. Így v( mide N-re, vagyis v( = +. Ebb l az is következik, hogy szimmetrikus bolyogásál várhatóa végtele sok lépésbe térük vissza a kiidulási potba Deíció. D ξ = E(ξ Eξ a ξ valószí ségi változó szóráségyzete, ha az Eξ létezik és véges. ξ szórása pedig a szóráségyzet égyzetgyöke, azaz Dξ = D ξ Deíció. Eξ k a ξ k-adik mometuma és E ξ k a ξ k-adik abszolút mometuma Tulajdoság. A szóráségyzet midig emegatív. Továbbá D ξ potosa akkor véges, ha Eξ véges. Ugyais: ( ξ + ξ és Eξ < miatt Eξ <, így (ξ Eξ (ξ + Eξ, ( ξ ((ξ Eξ + (Eξ. 5.. Deíció. Az E(ξ Eξ k a ξ k-adik cetrális mometuma és E ξ Eξ k a ξ k-adik abszolút cetrális mometuma. 5.. Tulajdoság. D ξ = Eξ (Eξ, hisze D ξ = E(ξ Eξ = E(ξ ξeξ + (Eξ = Eξ EξEξ + (Eξ. Mide A valós számra E(ξ A D ξ, ugyais E(ξ A = E(ξ Aξ + A = Eξ (Eξ + (Eξ A Eξ + A = D ξ + (Eξ A. 3 D ξ = 0 potosa akkor, ha ξ = c majdem mideütt. Hisze ha majdem mideütt kostas, akkor ξ Eξ = c c = 0, így E(ξ Eξ = 0. Megfordítva, ha E(ξ Eξ = 0, akkor (ξ Eξ = 0 m. m., így ξ = Eξ m. m., azaz kostas. 4 D (aξ + b = a D ξ, hisze E(aξ + b aeξ b = E(a (ξ Eξ = a E(ξ Eξ. 5 Legyeek ξ, ξ,..., ξ párokét függetleek és D ξ,..., D ξ <. Ekkor D (ξ ξ = D ξ i. Ugyais: D (ξ +...+ξ = E ( (ξ i Eξ i ( = E i Eξ i (ξ + (ξ i Eξ i (ξ j Eξ j = i j ( E(ξ i Eξ i + E ((ξ i Eξ i (ξ j Eξ j. Tehát D c i j i ξ i = c i D ξ i. D ξ i =E(ξ i Eξ i E(ξ j Eξ j =0 0 9

20 5.3. Példa. A idikátoráak szóráségyzete D χ A = Eχ A (Eχ A = Eχ A (Eχ A = P (A ( P (A. Legye ξ B(, p (azaz biomiális valószí ségi változó, x,..., x függetle p-id. Ekkor x x B(, p és D ξ = D (x x = D x D x = p ( p. 3 Legye η λ-expoeciális valószí ségi változó, melyek várható értéke korábbi ismereteik alapjá Eη =. Továbbá: λ Eη = x λ e λx dx = [ x ( e λx ] + 0 x e λx dx, ahol az összeg 0 0 els tagja 0, az itegrál pedig x λ e λx dx = Eη, tehát λ 0 λ Eη =. Ezzel a szóráségyzet λ D η = Eη (Eη =. λ 4 Legye ξ N(0,, azaz ormális eloszlású valószí ségi változó. Mivel Eξ = 0, ezért D ξ = Eξ = ] x π e x dx = π [x ( e x + e x dx =. Általáosa pedig π = legye m + σξ N(m, σ, ekkor D (m + σξ = σ D ξ = σ. 5 Végül legye η λ-poisso. Azt már tudjuk, hogy Eη = λ. Továbbá Eη = k λk e λ = (k! k= λk e λ + (k! k=0 k λk e λ k! = λk e λ = (λ + (λ, azaz D η = Eη (Eη = λ + λ λ = λ. (k! 5.4. Deíció. A ξ és η valószí ségi változók kovariaciája cov(ξ, η = E { (ξ Eξ(η Eη }, korrelációja R(ξ, η = corr(ξ, η = cov(ξ,η Dξ Dη Tulajdoság. cov(ξ, η = E(ξ η Eξ Eη. R(ξ, η, hisze cov(ξ, η = E { (ξ Eξ(η Eη } CSB E(ξ Eξ E(η Eη = Dξ Dη. 3 R(ξ, η = akkor és csak akkor, ha létezik a 0 és b, hogy ξ = aη + b (majdem mideütt. Ugyais ha létezik ilye a és b, akkor ξ Eξ = a(η Eη, D ξ = a D η, azaz Dξ = a Dη, továbbá cov(ξ, η = ae(η Eη = ad η. Tehát R = ad η = a. a DηDη a A másik iráy bizoyításához tegyük fel, hogy R(ξ, η =. Ekkor ξ = ξ Eξ és η = η Eη választásával Eξ = Eη = 0 és D ξ = D η =. Ie E(ξ η = és E(ξ η = Eξ E(ξ η +Eη = 0, Dξ Dη így ξ = η majdem mideütt, azaz ξ az η-ak egy lieáris traszformáltja. Aalóg módo vizsgálható a - korrelációjú eset. 4 Ameyibe ξ és η függetleek, akkor R(ξ, η = 0, ugyais cov(ξ, η = E(ξη Eξ Eη = Eξ Eη Eξ Eη = Állítás. mi E(ξ aη a,b b = E(ξ m r σ σ m = Eη, σ = D ξ, σ = D η és r = R(ξ, η. (η m = ( r σ, ahol m = Eξ, Bizoyítás. E(ξ aη b = E(ξ m a(η m + m am b = = σ +a σ +(m am b a cov(ξ, η = σ +a σ a rσ σ = ( r σ +(aσ rσ, =m am =r σ σ (aσ rσ r σ ami a := r σ σ választása eseté lesz miimális Deíció. ξ szórásmátrixa V (ξ = E { (ξ Eξ(ξ Eξ T } := Σ, amely pozitív szemideit, ugyais a T Σa = E { a T (ξ Eξ(ξ Eξ T a } Tétel (Csebisev-egyel tleség. Ha ξ szóráségyzete véges, azaz D ξ <, valamit 0 λ, akkor teljesül a P ( ξ Eξ λ D ξ egyel tleség. λ Bizoyítás. A Markov-egyel tleségb l köye adódik, hisze az η := (ξ Eξ választással P (η λ Eη = D ξ. λ λ 0

21 5.9. Példa. Egy párt szavazótáborát szereték megbecsüli úgy, hogy legalább 0, 95 valószí séggel legfeljebb %-ot tévedjük. Jelölje N az összes ember, M a kérdéses pártra szavazók, pedig a megkérdezettek számát, ekkor p := M -et akarjuk jól közelítei. Legye továbbá x N i értéke, ha az i-edik megkérdezett az adott pártra szavaz és 0 külöbe. Ekkor a ( x x P M N 0, 0 0, 95 egyel tleségek kell teljesülie, ami potosa akkor igaz, ha P ( x +...+x Csebisev-egyel tleség alapjá P ( x +...+x 0000 p( p p > 0, 0 D ( x+...+x 0,0, ahol, tehát ember választása biztosa eleged. p > 0, 0 0, 05. A D ( x i = 0,0 p( p = 0,0

22 6. el adás 007. X. 7. szerda 6.. Tétel (A agy számok gyege törvéye. Legyeek ξ, ξ,... párokét függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók, D ξ i < és Eξ i = m. Ekkor mide 0 < ε-ra ξ i P m ε 0, ha. Bizoyítás. Tudjuk, hogy E ξ i = m. Ekkor a Csebisev-egyel tleséget felhaszálva P ξ i m ε ξ D i ε = ( D ξ i = ε D ξ i = D ξ 0, ha. ε ε 6.. Példa. Tekitsük függetle kísérleteket, mide kísérlet legye p valószí séggel sikeres. Jelölje η a sikeres kísérletek számát az els kísérletbe. Ekkor P ( η p ε 0, ha. Legye ugyais η = X X, ahol X i =, ha az i-edik kísérlet sikeres, külöbe pedig 0. Továbbá EX i = p és D X i = p( p. Így X i -kre teljesülek az el bbi tétel feltételei, tehát a relatív gyakoriság tart p-hez. Tekitsük (R T, B(R T -t, vagy speciálisa (R, B(R -t. Tegyük fel, hogy az U T véges halmazokra (R U, B(R U - adott egy Q U valószí ségi mérték Deíció. Q U egyeztetett eloszláscsalád, ha mide U U T végesekre teljesül, hogy mide B B(R U -re Q U (B = Q U (B R U \U. Ekkor azt modjuk, hogy Q U a Q U vetülete R U -re Tétel (Kolmogorov, bizoyítás élkül. Legye adott (R T, B(R T - a Q U egyeztetett eloszláscsalád. Ekkor egyértelm e létezik (R T, B(R T - olya Q eloszlás, hogy Q vetülete R U -ra Q U mide U T végesre Deíció. F t,...,t (x,..., x egyeztetett eloszlásfüggvéyek, ha mide k -re F t,...,t k (x,..., x k = F t,...,t k,t k+,...,t (x,..., x k, +,..., Tétel. Legyeek az F t,...,t eloszlásfüggvéyek egyeztetettek, t i T R és t < t <... < t. Ekkor létezik (Ω, A, P és azo ξ t (t T valószí ségi változók úgy, hogy P (ξ t < x,..., ξ t < x = F t,...,t (x,..., x mide t <... < t -re és x i R-re. Bizoyítás. Legye U = {t,..., t }-re Q U ((ω t,..., ω t : ω t < x,..., ω t < x = F t,...,t (x,..., x. Ekkor Q U egyeztetett eloszláscsalád, így a Kolmogorov-tétel alapjá egyértelm e létezik olya Q T mérték (R T, B(R T -, amelyek U-ra vett vetülete Q U. (R T, B(R T, Q T és ξ t (ω := ω t pot megfelel. Fotos! Tekitsük például az F, F,... eloszlásfüggvéyeket. Legye F t,...,t (x,..., x = F t (x... F t (x. Ez egyeztetett eloszlásfüggvéy-család, így az el z tétel szerit létezik olya valószí ségi mez és azo függetle ξ, ξ,... valószí ségi változók, hogy ezek eloszlásfüggvéyei pot F, F,..., mivel P (ξ t < x,..., ξ t < x = F t,...,t (x,..., x = F t (x... F t (x Deíció. A ξ valószí ségiváltozó-sorozat sztochasztikusa tart ξ-hez, ha mide 0 < ε-ra st. P ( ξ ξ ε 0, eseté. Jelölése: ξ ξ (vagy ξ ξ.

23 6.8. Tétel. Ha ξ ξ, akkor P (ξ < x P (ξ < x (, ez utóbbi mide folytoossági potjába. Bizoyítás. Legye A := { ξ ξ < ε}. Ekkor P (ξ < x = P (ξ < x A P (A + P (ξ < x A P (A P (ξ < x A P (A + P (A = P ((ξ ξ < (x ξ A P (A + P (A P (ξ < (x + ε A P (A + P (A = P (ξ < x + ε, A + P (A P (ξ < x + ε + P (A. Ebb l következik, hogy lim sup P (ξ < x P (ξ < x + ε + lim sup P (A, ahol a második tag 0 mide 0 < ε-ra. Ha x folytoossági potja P (ξ < x-ek, akkor lim sup P (ξ < x P (ξ < x. A másik iráyt a következ képpe mutathatjuk meg: P (ξ < x P (ξ < x, A = P (ξ + ξ < x + ξ, A = P (ξ < x + ξ ξ, A P (ξ < x ε, A = P (ξ < x ε P (ξ < x ε, A P (ξ < x ε P (A, ebb l lim if P (ξ < x P (ξ < x ε lim sup P (A, ahol a második tag értéke 0. Így lim if P (ξ < x P (ξ < x ε mide 0 < ε-ra, amib l lim if P (ξ < x P (ξ < x. Vagyis a folytoossági potokba lim sup P (ξ < x P (ξ < x és lim if P (ξ < x P (ξ < x, ekkor yilvá lim P (ξ < x = P (ξ < x Deíció. ξ ξ eloszlásba, ha F ξ (x F ξ (x az utóbbi mide folytoossági potjába. ξ ξ majdem mideütt, ha P (w : ξ (w ξ(w =. [ valószí ség kovergecia]. ξ ξ L p -be, ha E ξ ξ p Állítás. Ha ξ ξ L p -be, akkor ξ ξ, azaz sztochasztikusa is, hisze ez utóbbi deíciójába szerepl valószí ség felülr l becsülhet egy 0-hoz tartó sorozattal, evezetese P ( ξ ξ ε = P ( ξ ξ p ε p E ξ ξ p ε p Állítás. ξ ξ majdem mideütt akkor és csak akkor, ha lim P (sup ξ ξ > ε = 0 m m mide pozitív ε-ra. Bizoyítás. Legye A = {w : ξ (w ξ(w} = A = r= m= m r= m= m { w : ξ (w ξ(w } r { w : ξ (w ξ(w > }. r, ekkor Így ξ ξ majdem mideütt potosa akkor, ha P (A = 0. Deiáljuk még a következ halmazokat: {w : ξ (w ξ(w > } = {w : sup ξ r (w ξ(w > } = B r r,m. Ezek m függvéyébe yilvá m m mooto fogyó halmazsorozatot alkotak, azaz B r,m B r,m+ B r,m+.... Legye B r = B r,m, ekkor az.3.tétel szerit P (B r = lim P (B r,m. Továbbá B r B r+ B r+... és A = B r. m r Azaz újfet az.3.tételb l P (A = lim P (B r = sup P (B r. P (A = 0 potosa akkor áll fe, ha r r P (B r = 0 mide r-re (= lim P (B r,m = 0 mide r-re, ezzel az állítást igazoltuk. m 6.. Következméy. Ha ξ ξ majdem mideütt, akkor ξ sztochasztikusa is kovergál ξ-hez, ugyais P ( ξ m ξ > ε P (sup ξ ξ > ε m 0. m 6.3. Következméy. Ha P ( ξ ξ > ε < mide pozitív ε-ra, akkor ξ ξ majdem ( = ( mideütt, ugyais P sup ξ ξ > ε = P { ξ ξ > ε} P ( ξ ξ > ε m 0. m m =m m= 3

24 6.4. Példa (ξ tart ξ-hez majdem { mideütt, de L p -be em. Legye Ω := [0, ] geometriai valószí ségi mez és ξ (w = e : w [0, ] 0 : w / [0, ]. Ekkor ξ 0 majdem mideütt, viszot E ξ p = ep + ( 0 = ep 6.5. Deíció. Legye az A eseméysorozatra lim if A l := = l= A l, ill. lim sup A k := = k= Ekkor w lim if A l potosa akkor teljesül, ha w az A -ek közül csak véges sokak eleme, illetve w lim sup A k potosa akkor teljesül, ha w végtele sok A -ek eleme Tétel (Borel-Catelli-lemmák. Ha P (A <, akkor az A -ek közül valószí séggel csak véges sok következik be. = Ha P (A = és az A -ek függetleek, akkor az A -ek közül valószí séggel végtele sok = bekövetkezik. Bizoyítás. ( ( P A k P A k P (A k 0, azaz 0 valószí séggel következik be végtele = k= k k= sok, így -gyel véges sok. ( ( ( ( P A k m P A k, ahol P A k P A k = m P (A k e m P (A k k=, = k= = k k k= k= ami eseté 0-hoz tart. (Az utolsó becslésél felhaszáltuk, hogy x e x Példa (ξ tart ξ-hez L p -be, de em tart majdem mideütt. Legyeek ξ -ek függetleek, P (ξ = = d, P (ξ = 0 = d és E ξ p = d. A ξ sorozat potosa akkor tart L p -be 0-hoz, ha d 0. Továbbá ξ potosa akkor tart 0-hoz majdem mideütt, ha valószí séggel véges sok ξ em 0, ami pedig a Borel-Catelli-lemma szerit ekvivales azzal, hogy d véges. Így például a d = választás eseté ξ 0 majdem mideütt, viszot L p -be ige Tétel (Nagy számok Catelli-féle er s törvéye. Legyeek ξ, ξ,... függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók és E ξ Eξ 4 véges. Ekkor Eξ majdem mideütt. (Megj.: Elég, ha E ξ i <, ez a agy számok Kolmogorov-féle er s törvéye. ξ k Bizoyítás. Legye ξ k = ξ k m, ahol m = Eξ, így azt kell beláti, hogy mideütt. Ha S = ξ k, akkor a 6.3. Következméy szerit elég azt igazoli, hogy véges. A Markov-egyel tleséget alkalmazva P ( S > ε E( S 4, ahol ε 4 S 4 = ( ξ ξ 4 = és ξ k ξ i ξ j + i<j i j,i k,i<k ES 4 = E ξ E ξ i E ξ j = E ξ i<j ξ i ξ j ξk + 4 ( i<j<k<l ( E ξ. ξ k = A k. 0 majdem P ( S > ε ξ i ξj ξk ξl + 4 ξ i 3 ξ j (Az utolsó három szumma várható értéke 0, mivel ξ i -k függetleek, és E ξ i = 0. Ekkor ES4 < c, 4 így P ( S > ε véges, azaz a feti valószí ség valóba 0-hoz tart. = i j 4

25 Nézzük most eek a tételek két alkalmazását! 6.9. Példa (Borel. Legye Ω = [0, ], w = 0, w w... -es diadikus tört és ξ (w = w, azaz az -edik számjegy. Ekkor { } { } w : ξ (w = x,..., ξ (w = x = w : x + x x w < x + x x +. Mivel P (ξ = x,..., ξ = x =, ezért P (ξ i = x i =, ahol x i = 0 vagy és függetleek. Ekkor ξ k Eξ = majdem mideütt Példa (Mote-Carlo módszer. Legye f : [0, ] [0, ] folytoos. Kérdés: f(x dx 0 becsülhet -e { véletle számgeerálás segítségével? Legyeek ξ, η, ξ, η,... függetle E(0, -eloszlásúak, ha f(ξ i > η i és ϱ i =. Belátható, hogy Eϱ i = P (f(ξ i > η i = f(xdx, így a tétel szerit 0 0, külöbe ϱ i f(x dx majdem mideütt Állítás (Scheé-tétel. Ha ξ 0, ξ ξ majdem mideütt és Eξ Eξ <, akkor L ξ ξ. Bizoyítás. Elég agy -re Eξ véges. E ξ ξ = E { { (ξ ξ χ {ξ ξ }} + E (ξ ξχ {ξ >ξ}} = E { (ξ ξ χ {ξ ξ}} + E(ξ ξ 0, ugyais 0 (ξ ξ χ {ξ ξ} ξ és a majorált kovergecia =Eξ Eξ 0 m.m. tétele (4.. Tétel miatt E ( (ξ ξχ {ξ ξ} Állítás. ξ tart ξ-hez majdem mideütt akkor és csak akkor, ha ξ majdem mideütt Cauchy. Bizoyítás. ( : sup ξ k ξ l sup ξ k ξ + sup ξ l ξ, ezért ha, akkor midkett k, l k l valószí séggel tart 0-hoz, így az összeg is, tehát a sorozat Cauchy { m. m. lim ξ (w w / A ( : Legye A = {w : ξ (w em Cauchy}, valamit ξ(w = 0 w A Állítás. ξ L p ξ valamely ξ-re potosa akkor, ha ξ Cauchy L p -be Deíció. ξ sztochasztikusa Cauchy, ha mide pozitív ε-ra P ( ξ ξ m ε,m Állítás. Ha ξ sztochasztikusa Cauchy, akkor létezik olya k részsorozat, melyre ξ k majdem mideütt koverges. Bizoyítás. Legye =, a k-adik tagot pedig a következ képpe kapjuk: k = mi { > k : mide s, t -re P ( ξ t ξ s > k < k}. Ekkor P ( ξ k+ ξ k > k < <, k k k így a Borel-Catelli-lemmából P ( ξ k+ ξ k > k végtele sokszor = 0 és ξ k+ ξ k < valószí séggel. Így az A = { w : ξ k+ ξ k = } ξ (w + ( ξk (w ξ és ξ(w = (w k w / A k= 0 w A választással ξ k ξ majdem mideütt Állítás. ξ akkor és csak akkor sztochasztikusa Cauchy, ha sztochasztikusa koverges. Bizoyítás. Ha ξ sztochasztikusa koverges, akkor P ( ξ ξ m ε P ( ξ ξ ε + P ( ξ m ξ ε, ahol a jobb oldal midkét tagja tart 0-hoz. Megfordítva, ha ξ sztochasztikusa Cauchy, akkor létezik olya részsorozat, hogy ξ k ξ majdem mideütt, így ξ k ξ, P ( ξ ξ ε P ( ξ ξ k ε + P ( ξk ξ ε, ahol szité tart 0-hoz az összeg két tagja. 5