Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Átírás

1 Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február

2 Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla itegrálok A deíciók egyszer következméyei Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek Alapitegrálok Alapitegrálokra vezet típusok Itegrálás ügyese Parciális itegrálás Itegrálás helyettesítéssel Racioális függvéyek itegrálása Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések A határozott itegrál A határozott itegrál értelmezése A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása A határozott itegrál alkalmazásai Improprius itegrálok Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz... 4 II. Megoldások 7. Primitív függvéyek határozatla itegrálok A deíciók egyszer következméyei Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek Alapitegrálok Alapitegrálokra vezet típusok Itegrálás ügyese Parciális itegrálás

3 Tartalomjegyzék..5. Itegrálás helyettesítéssel Racioális függvéyek itegrálása Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések A határozott itegrál A határozott itegrál értelmezése A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása A határozott itegrál alkalmazásai Improprius itegrálok Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz... 7

4 4 Tartalomjegyzék

5 I. rész Feladatok 5

6

7 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok 7. Primitív függvéyek határozatla itegrálok.. A deíciók egyszer következméyei F. Határozza meg az alábbi függvéyek összes primitív függvéyét: a f :, + ; b f :, ; c f :, π ; d f : si + R. F. Határozza meg az f : I R függvéy I potba elt primitív függvéyét, ha a f : cos R, : π 4 ; b f : R +, : 8. F. Keresse meg azt a f függvéyt, amelyre a f R+, f4 ; b f >, f ; + c f R, f, f ; d f R +, f, f ; e f e + 5 si R, f, f ; f f si, R, f, f, f. F4. Igazolja, hogy a sig függvéyek ics primitív függvéye. F5. a Bizoyítsa be, hogy ha az I R itervallumo értelmezett f : I R függvéyek az F, F : I R primitív függvéyei, akkor c R, hogy F F c I.

8 8. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b Mutassa meg, hogy az el z állításba az a feltétel, hogy D f itervallum legye, léyeges: Adjo meg olya emüres H R yílt halmazt, olya F, F : H R diereciálható függvéyeket, amelyre F F teljesül mide H eseté, ugyaakkor F és F em kostasba külöbözek egymástól... Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek... Alapitegrálok F6. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: 6 a 8 + d, I : R; b + d, I : R + ; c + d, I : R + ; d d, I : R + ; 5 e + d, I :,. f f... Alapitegrálokra vezet típusok alakú itegrálok F7. Mutassa meg, hogy ha f : I R pozitív és diereciálható az I itervallumo, akkor f f d l f + c I. F8. Az el z feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a d, I : R; + b d, I : R; c tg d, I : π, π e ; d d, I : R; e + 5 d e, I :, ; l f d, I :, + ; l

9 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 9 f α f alakú itegrálok F9. Tegyük fel, hogy az f : I R függvéy pozitív és diereciálható az I itervallumo és α valós szám. Mutassa meg, hogy f α f d f α+ α + + c I. F. Az el z feladat eredméyéek felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a +4 4 d, I : R; b d, I : R + ; c e e d, I : R; d si cos d, I : R; l 5 arsh e d, I : R+ ; f + d, I : R+ ; g d, I : 5, + ; 5 h 4 cos tg d, I :, π ; fa + b d alakú itegrálok F. Legye I R egy itervallum és F : I R a f : I R függvéyek egy primitív függvéye. Mutassa meg, hogy ekkor bármely a R \ {}, b R eseté F a + b fa + b d + c I. a F. Az el z feladat eredméyéek felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: a d > ; b d < ;

10 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok c + d R; d d > ; e d < ; f d >. F. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: d a + R; b d d c R; + + d d 5 < < f g g d alakú itegrálok F4. Tegyük fel a következ ket: i a g : I R függvéy deriválható az I itervallumo, ii J R egy itervallum és R g J, iii az f : J R függvéyek létezik primitív függvéye. Ekkor az f g g függvéyek is létezik primitív függvéye és f g g d F g + c J, R; ahol F a f egy primitív függvéye. Godolja meg, hogy ez az állítás speciális esetkét tartalmazza az F7., F9. és F. feladatok eredméyeit! F5. Az el z feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a si d, I : R; b c 6 + si + d, I : R; d + l d, I : R+ ; sh d, I : R + ;

11 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek e cos + tg d, I : π, π ; e tg f cos d, I : π, π.... Itegrálás ügyese F6. Az itegradus alkalmas átalakítása utá számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a + + d, I : R; b d, I :, + ; c 4 + d, I : R; d + d, I : R; 4 e tg d, I : π, π ; f tg d, I : π, π ; g si d, I : R; h cos d, I : R; i si cos 7 d, I : R; j cos cos d, I : R; k si d, I :, π; cos l 5 + cos d, I : π, π; m si d, I :, π; cos d, I : π, π ; o si cos d, I : R; p si cos 4 d, I : R. q + tg tg d, I : π 4, π Parciális itegrálás Parciális itegrálás: Tegyük fel, hogy az f és a g függvéyek deriválhatók az I itervallumo és f g-ek va primitív függvéye. Ekkor az fg függvéyek is va

12 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok primitív függvéye az I itervallumo és fg d fg f g d I. F7. A parciális itegrálás szabályát alkalmazva számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a e d, I : R; b si d, I : R; c e si d, I : R; d e ch d, I : R; e l d, I : R + ; f arctg d, I : R; g l d, I : R + ; h 5 e d, I : R. F8. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a cos + e + d, I : R; b d, I : R; c 4 + arcsi d, I :, ; d cosl d, I : R + ; e l d, I : R + ; f cos lsi d, I :, π; l g d, I : R+ ; h l d, I : R +. F9. Legye N, és tegyük fel, hogy az f, g : a, b R függvéyek -szer deriválhatók és f, g folytoosak. Mutassa meg, hogy fg fg f g + + f g.

13 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek F. Igazolja, hogy tetsz leges,,... eseté si d cos si + cos d si cos Itegrálás helyettesítéssel si d cos d. A második helyettesítési szabály: Tegyük fel a következ ket: i I és J R-beli itervallumok, ii g : I J egy bijekció tehát g-ek va iverze és g DI, iii f : J R és az f g g függvéyek létezik primitív függvéye az I itervallumo. Ekkor az f függvéyek is létezik primitív függvéye a J itervallumo és f d f gt g t dt tg J. Ilyekor azt modjuk, hogy az gt helyettesítést alkalmazzuk. F. Állítsa el helyettesítéses itegrálással a következ határozatla itegrálokat: a d, ; b + d R; c d > ; d d < ; e + d R; f + 5 d R; a g + b + c d a, b, c R...6. Racioális függvéyek itegrálása Racioális függvéyek evezzük két poliom háyadosát, azaz az R : P Q

14 4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok alakú függvéyeket, ahol P és Q poliomok. A három alaptípus itegrálása El ször azt jegyezzék meg, hogy az alábbi három típusú racioális függvéy primitív függvéyét hogya lehet meghatározi.. alaptípus: α d α, +, ahol α R és N adott számok. Ez egy alapitegrál: { α d l α + c, ha α + + c, ha,, alaptípus: a + b a + b + c d I, ahol I egy olya itervallum, amelye a + b + c >, azaz a számlálóba a evez deriváltja szerepel; az itegradus tehát f f Eek is tudjuk már a primitív függvéyét: a + b a + b + c d la + b + c + C I. alakú.. alaptípus: A + B a + b + c d, ahol b 4ac < és R. A evez be lev másodfokú poliomak ics valós gyöke, ezért az itegradus az egész R-e értelmezve va. A számláló tehát egy tetsz leges els fokú poliom, a evez pedig olya másodfokú poliom, amiek ics valós gyöke. Ez már ehezebb!!!. A midig alkalmazható eljárást a d feladatba mutatjuk be.

15 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 5 F. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott itervallumoko: a d, > ; b d, < ; + c + + d, I : R; d + d, I : R; + + e + + d, I : R; f + 5 d, I : R; g + 7 d, I : R; h d, I : R. + F. Igazolja, hogy tetsz leges,,... eseté d d. Határozza meg az f : R függvéy primitív függvéyét. + Parciális törtekre botás módszere Tetsz leges R P racioális függvéy primitív függvéyéek meghatározását az a fotos észrevétel teszi lehet vé, hogy mide ilye tört egyszer alakú Q törtek az ú. parciális törtek összegére botható. Eek az eljárásak az egyes lépései a következ k:. lépés: A P törtet egy poliomak és egy olya racioális törtek az összegekét Q írjuk fel, amelybe a számláló fokszáma már kisebb, mit a evez fokszáma: P Q T + P Q, ahol T és P poliomok, de P fokszáma kisebb, mit Q fokszáma. Ezt sok esetbe egyszer átalakításokkal, az általáos esetbe pedig poliomosztással végezhetjük el. Például: ; az alapjá

16 6. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok. lépés: Itt már feltesszük, hogy a P törtbe a P fokszáma kisebb, mit Q Q fokszáma. A evez be lev poliomot ameddig csak tudjuk szorzatra alakítjuk. Emlékezzeek a korábba megismert techikákra!!! Például: Q ; Q + + ; Q ; Q ; Q Figyeljük meg, hogy a felbotásba els fokú téyez k, illetve olya másodfokú téyez k szerepelek, amelyekek icseek valós gyökei. Általába is bizoyítható, hogy mide Q valós együtthatós poliomot fel lehet íri valós együtthatós els - és másodfokú téyez k szorzatakét, ahol a másodfokú téyez kek már icseek valós gyökeik. Adott Q poliom eseté egy ilye felbotás meghatározása em midig egyszer feladat!!!. lépés: a parciális törtekre botás. A evez t l függ e keressük az egyszer alakú törteket mégpedig határozatla együtthatókkal. Például: 4 A + A 4 ; A + B + C + + ; A + A + B + C + B + C + +. Itt vegyék észre, hogy az els fokú téyez k eseté a számlálóba egy álladót, a másodfokú téyez k eseté pedig a számlálóba egy els fokú poliomot kell vei. Általába:

17 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 7 Ha a evez be szerepl Q poliomba az r els fokú téyez az m-edik hatváyo szerepel, akkor ehhez a téyez höz A r + A r + + A m r m alakú törtek tartozak. Ha a evez be szerepl Q poliomba a + p + q másodfokú téyez ez tehát már egy olya poliom, amiek ics valós gyöke, mert a p 4q diszkrimiása egatív az -edik hatváyo szerepel, akkor ehhez a téyez höz B + C + p + q + B + C + p + q + + B + C + p + q alakú törtek tartozak. Az R P racioális tört az ilye parciális törtek összege. Q Az A i, B i, C i együtthatók meghatározására egy természetes módszer kíálkozik: a jobb oldalo hozzuk közös evez re, majd a számlálót hatváyai szerit redezzük. Az így adódó tört számlálója egyel a bal oldalo lev tört számlálójával. Tudjuk már azt, hogy két poliom akkor és csak akkor egyel, ha a megfelel együtthatói megegyezek. A két oldal számlálójába az együtthatók egyel ségéb l a határozatla együtthatókra egy egyeletreszert kapuk. Eek megoldásai a keresett A i, B i, C i együtthatók. F4. Parciális törtekre botással számítsa ki a következ határozatla itegrálokat a megadott itervallumoko: a d, I :, 4; 4 b d e f d, I :, + ; c 6 + d, d, + 4 d, I : R+ ; I :, + ; I :, + ; d, I :, ;

18 8. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok g + d, I :, + ; h 4 5 d, I :, 5 ; 4 i 8 + d, I :, ; 4 j 8 d, I :, + ; + k d, I : R. + 4 R,..7. Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések a+b c+d d alakú itegrálok, ahol Ru, v kétváltozós poliomok háyadosa. Ezekbe a gyökös kifejezést egy új változóval helyettesítve racioális törtfüggvéy itegrálására jutuk. Potosabba: legye t : a + b c + d. A gt helyettesít függvéyt úgy kapjuk meg, hogy ebb l az -et kifejezzük, majd a második helyettesítési szabályt alkalmazzuk. F5. Alkalmas helyettesítéssel vezesse vissza az alábbi itegrálokat racioális függvéyek itegráljára: a + d > ; b + d > ; c d > ; d d > ; + e d < ; f d < < ; g d > ; h d < ;

19 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 9 i d < <. + R si, cos d alakú itegrálok, ahol Ru, v kétváltozós poliomok háyadosa. Ebbe az esetbe a t tg helyettesítést, azaz az arctg t : gt helyettesít függvéyt alkalmazzuk, és felhaszáljuk az alábbi azoosságokat: si si cos si + cos cos cos si si + cos tg + tg tg + tg t + t, t + t. Mivel g t t R, + t ezért a g függvéy szigorúa mooto öveked, ezért va iverze és az a t g tg π, π függvéy. F6. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat úgy, hogy visszavezeti racioális függvéyek itegráljára: a d < < π; si b cos d π < < π; + si c d < < π; cos cos d d π < < π; + cos e + tg d < < π. F7. Oldja meg az el z feladatot ügyese is. Alkalmazza a következ azoosságokat: a...

20 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b... c + si cos cos + si cos si + si cos ; cos d + cos + cos cos ; e + tg cos cos + si si + cos +. 5 cos + si A végeredméyeket hasolítsa össze az el z feladatba kapott végeredméyekkel. F8. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: a + si + cos d π < < π; b + si + cos d π < < π; c + 5 cos d < < π; d L-Sch 64. oldal 8. feladat. S e d alakú itegrálok, ahol Su egyváltozós poliomok háyadosa. Ebbe az esetbe a t e helyettesítést, azaz az l t : gt helyettesít függvéyt alkalmazzuk. Mivel g t >, ha t >, ezért g szigorúa öveked, ezért va iverze, és az a t t e g > függvéy. F9. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat úgy, hogy visszavezeti racioális függvéyek itegráljára: 4 a d > l ; e 4 b e d R; e + e c + 4 d R; e + 4e +

21 . A határozott itegrál. A határozott itegrál.. A határozott itegrál értelmezése F. Mutassa meg, hogy a Dirichlet-függvéy em Riema-itegrálható a [, ] itervallumo. F. Adjo meg olya f : [a, b] R függvéyt, amelyik em Riema-itegrálható [a, b]-, de f már Riema-itegrálható [a, b]-. F. A deíció alapjá számítsa ki a következ határozott itegrálokat: a d, b d. F. Mutassa meg, hogy az f : [a, b] R korlátos függvéy akkor és csak akkor Riema-itegrálható a kompakt [a, b] itervallumo, és az itegrál értéke az I valós szám, ha az [a, b] itervallumak va olya felosztássorozata, amelyhez tartozó alsó- és fels közelít összegek sorozata koverges, és midkett ek az I szám a határértéke. Jelekkel: f R[a, b] és b a f I { ha [a, b]-ek τ felosztássorozata, amelyre F4. Az el z feladat állítását felhaszálva igazolja, hogy a b b a b a b e d e b e a α d bα+ a α+ α + a < b; lim sf, τ lim Sf, τ I. + + < a < b, α valós szám; c d l b l a a < b. a F5. Mutassa meg, hogy ha f akkor és csak akkor Riema-itegrálható a kompakt [a, b] itervallumo és az itegrál értéke I, ha bármely mide határo túl omodó τ felosztássorozat eseté lim s f, τ lim S f, τ I. + +

22 . A határozott itegrál F6. Bizoyítsa be, hogy l. F7. Lássa be, hogy az, ha R \ Q f : q, ha p Q \ {}, p, q q, ha Riema-függvéy Riema-itegrálható [, ]-e és f... A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása F8. Adjo meg olya Riema-itegrálható függvéyt, amelyikek ics primitív függvéye. F9. Mutassa meg, hogy ha f folytoos az [a, b] itervallumo és itt f, akkor b a f f az [a, b]-. F4. A NewtoLeibiz-tétel felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozott itegrálokat: a c e g 5 4 π 5 d ; d + ; e si d; e b sil d; d d ; f e d + + ; h l l d; e d.

23 .. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása F4. Alkalmasa megválasztott függvéyek határozott itegráljáak felhaszálásával számítsa ki az alábbi határértékeket: a lim + k + k ; b k 9 ; c d e lim + lim + lim + k α + α + + α lim α >. + α+ ; + ; F4. CauchyBuyakovszkijSchwarz-egyel tleség: Tetsz leges f, g R[a, b] függvéyek eseté F4. Számítsa ki az b a b b fg d f d g d. I : a d,,,... itegrálokat. Keresse I -re rekurziós formulát. F44. Bizoyítsa be, hogy ha f folytoos a [, ] itervallumo, akkor f d a f d. F45. Lássa be, hogy m d m d m, N.

24 4. A határozott itegrál F46. Bizoyítsa be, hogy Bm, : m d m!! m + +! m, N. F47. Igazolja, hogy ha f : [, ] R egy folytoos függvéy, akkor fu u du u ft dt du. F48. Bizoyítsa be az alábbi egyel tleségeket: a b c e π d 4, e r si d π r e r, si + d, 7, d π π 4 si d 6. F49. Határozza meg az alábbi miimumokat: a mi { c d : c R } ; b mi { π/ π/ si a b d : a.b R }. ahol r > valós szám, + 4 d 6 5, F5. Keresse meg azokat az a < b valós számokat, amelyekre az b a + d itegrál értéke maimális. F5. Igazolja, hogy f D[, ], f > eseté { mi } f c : c R f f.

25 .. A határozott itegrál alkalmazásai 5 F5. Keresse meg a következ határértékeket: +h a lim + t dt, h h b lim si t t dt. F5. Mutassa meg, hogy az f : sit dt R függvéy deriválható, és számítsa ki a deriváltfüggvéyt. F54. Tegyük fel, hogy f : R R olya folytoos függvéy, amelyre si π teljesül. Meyi az f értéke a 4 potba? F55. Bizoyítsa be a következ állításokat: a Ha f mooto öveked, akkor f d k f k ft dt R f f N. b Ha f diereciálható és f korlátos a [, ] itervallumo, akkor va olya -t l függetle c > valós szám, amellyel az f d k f c k egyel tleség mide N számra teljesül... A határozott itegrál alkalmazásai Síkidom terülte A Ha a korlátos f : [a, b] R függvéy Riema-itegrálható az [a, b] itervallumo és f [a, b], akkor az f grakoja alatti A : {, y R a b, y f}

26 6. A határozott itegrál síkidom területét így értelmezzük: ta : b a f d. Ha f az [a, b] itervallumo, akkor a B : {, y R a b, f y } síkidom területe: B Legye tb : b a f d. ϕ t y ϕ t t [α, β], t [α, β] a sima elemi Γ R görbe egy paraméteres el állítása. Tegyük még fel azt is, hogy ϕ szigorúa mooto öv és ϕ t t [α, β]. Ekkor a C : {, y R ϕ t, y ϕ t, t [α, β]} síkidom területe: C Az tc r ϱϕ, β α ϕ tϕ t dt. α ϕ β polárkoordiátás alakba megadott görbe által meghatározott E : {, y R r cos ϕ, y r si ϕ; r ϱϕ, α ϕ β} szektorszer tartomáy területe, ha ϱ itegrálható: T E β α ϱ ϕ dϕ. F56. Számolja ki az y egyelet egyees és a az y + 6 egyelet parabola által közrezárt síkidom területét.

27 .. A határozott itegrál alkalmazásai 7 F57. Határozza meg az y 4 és az y 4 görbék által meghatározott síkidom területét. F58. Határozza meg az y 4 és az y görbék által meghatározott síkidom területét. F59. Számítsa ki az alábbi síkbeli halmazok területét: a {, y R 4, y 4 4 }, b {, y R a e, y l }, c {, y R + y, a, b > }. a b F6. Határozza meg az f ás a g függvéyek grakoja által határolt síkrész területét: a f : p >, g : p R, p > ; b f : R, g : 4 R. F6. Szemléltesse az alábbi paraméteres alakba megadott síkbeli görbéket: a ϕ t : cos t t [, π, y ϕ t : si t t [, π asztrois; b ϕ t : cos t cos t t [, π, y ϕ t : si t si t t [, π kardiodid; Számítsa ki a görbék által meghatározott síkidomok területét. F6. Szemléltesse az alábbi polárkoordiátákba megadott síkbeli görbéket: a r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π, π ] kör; b r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π 4, π 4 ] lemiszkáta. Számítsa ki a görbék által meghatározott síkidomok területét. Síkbeli görbe ívhossza B Legye Γ R egy sima elemi görbe és ϕ ϕ, ϕ : [α, β] R a Γ egy paraméterezése. Ekkor a Γ görbe rektikálható, és Γ ívhossza: lγ β α [ϕ t ] + [ ϕ t ] dt.

28 8. A határozott itegrál A Legye Γ az f : [a, b] R folytoosa diereciálható függvéy grakoja. Ekkor a Γ görbe rektikálható, és ívhossza: lγ b a + [ f t ] dt. C Ha ϱ : [α, β] R folytoosa diereciálható, akkor az r ϱϕ α ϕ β polárkoordiátás alakba megadott Γ görbe rektikálható és az ívhossza: lγ β α ϱ ϕ + [ ϱ ϕ ] dϕ. F6. Határozza meg az alábbi függvéyek grakojáak a hosszát: a f 4, b f lcos π, c f, d f / 5, e f l 8 4, f f 6 +. F64. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakba megadott görbék ívhosszát: a ϕ t : e t si t, y ϕ t : e t cos t t [, π/; b ϕ t : cos t, y ϕ t : si t t [, π/. F65. Határozza meg az alábbi polárkoordiátás alakba megadott görbék ívhosszát: a r ϱϕ : si ϕ ϕ [, π]; b r ϱϕ : ϕ [π/, π]. ϕ

29 .. A határozott itegrál alkalmazásai 9 Forgástest térfogata Legye f : [a, b] R folytoos függvéy és tegyük fel, hogy f az [a, b] itervallumo. Az f grakojáak az -tegely körüli forgatásával adódó forgástest térfogata: H : {, y, z R a b, y + z f} V H : π b a f d. F66. Határozza meg az f : [a, b] R függvéy grakojáak az -tegely körüli megforgatásával adódó forgástest térfogatát: a f : [, ]; 4 Forgástest felszíe b f : si [, π]; c f : e [, ]. Legye f : [a, b] R egy folytoosa diereciálható függvéy és tegyük fel, hogy f az [a, b] itervallumo. Az f grakojáak az -tegely körüli forgatásával adódó H : {, y, z R a b, y + z f} forgásfelület felszíe: F H : π b a f + [ f ] d. F67. Határozza meg az f : [a, b] R függvéy grakojáak az -tegely körüli megforgatásával adódó forgástest felszíét: a f : [, ]; b f : si [, π]; c f : [, 4].

30 . A határozott itegrál.4. Improprius itegrálok D. Tegyük fel, hogy az f függvéy Riema-itegrálható a tetsz leges a, b R itervallum a lehet és b lehet + is mide kompakt [α, β] a, b részitervallumá, és legye c a, b egy tetsz leges, de rögzített pot. Az f függvéyt impropriusa itegrálhatóak evezzük az a, b itervallumo vagy azt modjuk, hogy f improprius itegrálja koverges a, b-, ha létezek és végesek az alábbi határértékek: lim t a+ c t f d és lim s b s és f improprius itegráljá ezek összegét értjük: b a f d : lim t a+ c t f d + lim s b c f d, s c f d. T. Ha f impropriusa itegrálható az a, b itervallumo, akkor az improprius itegráljáak az értéke függetle a deíciójába szerepl c a, b pot megválasztásától. T. Tegyük fel, hogy a korlátos f függvéy Riema-itegrálható a kompakt [a, b] R itervallumo. Ekkor f impropriusa is itegrálható a, b- és eze az itervallumo az improprius itegrálja megegyezik az f függvéy [a, b]- vett Riema-itegráljával. F68. Vizsgálja meg az alábbi improprius itegrálok kovergeciáját. Ha koverges, akkor határozza meg az értékét: a c e + + d α R, b α + d α R, d α d, f d α R, α + d, d. F69. Dötse el, hogy az alábbi improprius itegrálok közül melyek a kovergesek. A kovergesek eseté számolja ki az itegrál értékét.

31 .4. Improprius itegrálok a c e e d, l, d, l d, b d f e d, l d, l p d p R. T. Az összehasolító kritérium: Legye a, b R ahol lehet a és lehet b +, és tegyük fel, hogy f is és g is Riema-itegrálható a, b-ek mide kompakt részitervallumá, továbbá f g a, b. Ha az b g d improprius itegrál koverges, akkor az b f d improprius itegrál is koverges majoráskritérium. a a Ha az b f d improprius itegrál diverges, akkor az b g d improprius itegrál is diverges mioráskritérium. a a F7. Dötse el, hogy az alábbi improprius itegrálok kovergesek-e: a c e + e d , b cos + + d, d d, f + d , + d, 5 + d. D. Akkor modjuk, hogy az b f d improprius itegrál abszolút kover- ges, ha az b T4. Ha az b a a a f d improprius itegrál koverges. f d improprius itegrál abszolút koverges, akkor koverges is. F7. Mutassa meg, hogy az alábbi improprius itegrálok kovergesek: a cos d, b + si d.

32 . A határozott itegrál F7. Bizoyítsa be, hogy + si + a d koverges, b si d diverges. T5. Tegyük fel, hogy az f : [, + R + függvéy folytoos, mooto csökke. Mutassa meg, hogy a f számsor koverges vagy diverges aszerit, hogy az + f d improprius itegrál koverges vagy diverges. A tétel érvéybe marad abba az esetbe is, amikor f a feti tulajdoságokkal a [k, + itervallumo k N redelkezik. Ebbe az esetbe f, illetve + f d helyébe f, illetve + f d érted. k k F7. Az el z tétel felhaszálásával vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi számsorokat: a α R; b α l. F74. Mutassa meg, hogy + + d 4 5. F75. Mutassa meg, hogy a b lim d határérték létezik és véges, de a b + b d improprius itegrál diverges. Emlékeztet ül: a + fd improprius itegrált akkor modjuk kovergesek, ha a fd és + fd improprius itegrálok midegyike koverges, és ebbe az esetbe + fd : fd + + fd.

33 .4. Improprius itegrálok F76. A valószí ségszámításba a λ > paraméter epoeciális eloszlás s r ségfüggvéye így va deiálva: f λ : λe λ [, +. Néháy λ > paraméter eseté szemléltesse az f λ függvéyt, és mutassa meg, hogy az f grakoja alatti terület a [, + itervallumo mide λ > eseté -gyel egyel, azaz + f λ d F77. Számítsa ki a következ itegrálokat: a b + + λe λ d; mide λ > számra. /λ λe λ d λ > paraméter. F78. Milye a, b R eseté lesz + fd, ha a f : e a R; { e b a b, ha [, + f :, ha,. F79. Mutassa meg, hogy + e a mide a, + paraméterre. F8. A statisztikába és a valószí ségszámításba fotos szerepet játszó Gaussféle haraggörbét így deiálják: f : e R. Ez a függvéy az ú. stadard ormális eloszlás s r ségfüggvéye. Szemléltesse a függvéy grakoját. Mutassa meg, hogy a + / e d improprius itegrál koverges. Jegyezze meg, hogy + e d π.

34 4. A határozott itegrál A Φ : π e t dt R függvéyt valószí ségitegrálak, illetve Gauss-hibaitegrálak evezik. F8. Legye µ tetsz leges valós és σ pozitív valós paraméter, és tekitse az f : σ µ π e σ R, függvéyt. Mutassa meg, hogy a + b + c + fd haszálja fel, hogy + fd µ; fd σ + µ. e d π; F8. a Bizoyítsa be, hogy mide > valós számra az + t e t dt improprius itegrál koverges. A Γ : + függvéyt gammafüggvéyek evezzük. t e t dt R + b Igazolja, hogy i Γ + Γ R +, ii ha,,,..., akkor Γ +!..5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz F8. A biomiális sor. Tetsz leges α R eseté az α k : αα α k + k! k,,,...

35 .5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 5 biomiális együtthatókkal képzett k α k k hatváysor ezt evezzük biomiális sorak mide < eseté koverges, és az összegfüggvéye az + α, függvéy: + k F84. A Wallis-formula: F85. A Stirlig-formula: α k + α,. k lim π. lim +! e π, azaz! közelítésére az alábbi formula érvéyes:!, π ha +. e F86. Mutassa meg, hogy π irracioális szám.

36 6. A határozott itegrál

37 II. rész Megoldások 7

38

39 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok 9 M. a b c d M. a b M. a f. Primitív függvéyek határozatla itegrálok.. A deíciók egyszer következméyei d l + c, + ; d l + c, ; si d ctg + c; d arctg + c. + cos d si + c és si π + c c ; 4 cos d si. 4 π d + c. d f + c és f4 4 + c + c c, azaz f. + d f l + + c és f + l + + c + c c, azaz f l + +. d f + c és f + c c és f + + d f + + c és f c c és f +. 6 b f c f

40 4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok d f d f + c és f + c c és f + + d f l + + c és f l + + c c és f l +. e f e + 5 si e + 5 si d f e 5 cos + c és f e 5 cos + c c 4 és f e 5 cos + 4 e 5 cos + 4 d f e 5 si c és f e 5 si c c és f e 5 si + 4. si d f cos + c és f cos + c c és f cos + cos d f f si f si + c és f si + c c és f si + si + d f + cos + + c és f + cos + + c c és f + cos +... Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek... Alapitegrálok M6. a d c, b + d c, 4 c d 7 8 d c, 8

41 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 4 + d d + + d c, 5 f f e + 5 d d+5 d +5 arcsi +c.... Alapitegrálokra vezet típusok alakú itegrálok M7. Az f függvéy egy primitív függvéye l f, mert l f f. Mivel f f f f itervallumo értelmezett, ezért mide primitív függvéye l f-t l egy kostasba külöbözik. M8. a + d + d l + + c, b d d l 6 + 7, si si c tg d cos d d lcos + c, cos d e f e e + 5 d d l d l f α f alakú itegrálok c e e + 5 d le c, d l l + c, l d l l + c. l M9. M7-hez hasolóa. M. a d 6 b d 8 e e d, c, d e e d e 4 + c, 4 + c,

42 4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok d si cos d si cos d si4 + c, 4 l e 5 d l5 d l6 + c, 6 arsh f + d, arsh arsh d + + c arsh + c, d d g h c, cos tg d fa + b d alakú itegrálok M. M7-hez hasolóa. M. a d b c d d + d arctg + c, d arth + + cos tg d + c d c, + d d tg + c. + c, +c 4 4 +c, d + d

43 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 4 e d d arcsi +c, f M. a d d arctg 5 + d 5 + c, 5 d b [ + 4 ] + c d d [ + 8 ] + d [ ] 5 f g g d alakú itegrálok d arch + c. 6 + d [ 5 ] d + 5 d d arctg + + c, d d d d arsh c, + 5 d d arcsi 5 + c. M4. M7-hez hasolóa. M5. a si d si cos d + c,

44 44. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok sh b d sh d ch + c, c 6 + si + d cos + + c, d + l d d arctgl + c, + l e d arshtg + c, cos + tg f M6. a b c d e f g e tg cos d cos etg d e tg + c.... Itegrálás ügyese + d + d d arctg+c, d d + 7 d d + 7 d + 7 l + c, 4 + d arctg + c, + d [ + ] + d + + d + d + 4 d + d c, si si tg d cos d d l cos + c, cos si tg cos d cos d d cos cos d tg + c, cos cos si d d d d si +c, 4

45 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 45 h cos d cos cos d cos si d cos d cos si d si si + c, siα + β + siα β i a si α cos β azoosság alapjá si + si 4 si cos 7 d d si si4 d si d si 4 d cos cos 4 + c, 4 cosα + β + cosα β j most a cos α cos β azoosságot alkalmazzuk: cos cos d [cos + + cos ] d 5 si si 6 + c, k si d si cos d cos + si si cos d si cos d si { cos cos si, ha π d 4 si cos, ha π π ; { 4 si + cos, ha az π 4 f : cos si +, ha π π 4 függvéy egy primitív függvéy. cos l 5 + cos d cos 5 cos + si + cos si d cos 5 cos d cos cos d 5 cos d 5 tg + c, m si d si cos d d cos tg d ltg + c. si cos cos

46 46. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok M7. a b c d..4. Parciális itegrálás e d f f, g e g e e e e d 4 e + c. si d f f, g si g cos + cos d f f, g cos g cos + [ si ] si d cos + 9 si + cos + c. 9 e si d cos si f e f e, g si g cos e cos + e cos d f e f e, g cos g si e cos + e si e si d; redezés utá kapjuk, hogy e si d e cos + e si + c. e ch d parciális itegrálással is meghatározható, de egyszer bb a következ : e ch d e5 e + c; e e + e e 5 d + e d

47 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 47 e l d l d g, g ; f l, f l d l + c; f arctg d arctg d g, g, f arctg, f + arctg + d arctg d arctg l c; g l d g, g ; f l, f l d l 9 + c; h 5 e d e d g e, g e ; f, f e d e e d e + c. M8. a cos + e + d f e +, f e + ; g si + cos +, g e+ si + e + si + d f e +, f e + ; g cos + si +, g + si + e [ e + cos + e + cos + d ] + si + e + 4 e+ cos + 9 e + cos + d, 4

48 48. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok redezés utá azt kapjuk, hogy cos + e + d e+ si + + e + cos + + c; b + 4 4, c arcsi d arcsi d g, g ; f arcsi, f arcsi d arcsi + d arcsi + + c; d cosl d cosl d g cosl, g sil ; f, f sil sil d sil + sil d g sil, g cosl ; f, f sil + cosl cosl d cosl d sil + cosl + c; e l d l d l d l +c F 7/e; f cos lsi d g cos, g si ; f lsi, f cos si si lsi si cos d si lsi cos d si si lsi si + c; g l d l d l + c;

49 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 49 h l d g, g ; f l, f l l l d l l d g, g ; f l, f l l d l l c...5. Itegrálás helyettesítéssel M. Az elkövetkez feladatok megoldásához az alábbi összefüggés yújt segítséget: f d fgtg t dt tg Itt f egy I itervallumo adott pl. folytoos függvéy, g : J I pedig egy szigorúa mooto öveked vagy csökke diereciálható függvéy a J itervallumo. Ilyekor azt modjuk, hogy az gt helyettesítést alkalmazzuk. Figyeljük majd a g helyettesít függvéy szigorú mootoitásáak az elle rzésére! a Most az si t : gt helyettesítést alkalmazzuk. Mivel, ezért, ha g-t a π, π itervallumo tekitjük, akkor itt g szigorúa mooto öveked, ezért a feti képlet alkalmazható: d si t cos t dt cos t tarcsi tarcsi t si t 4 + c arci siarcsi cosarcsi + c tarcsi arcsi b Itt az + c sh t : gt t R; g, g t ch t t R helyetesítést alkalmazzuk:

50 5. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok ch + d + sh t ch t dt t ch t dt tarsh tarsh M. a ch t + dt sh t tarsh 4 + t ch t sh t +c + t tarsh +c tarsh ch arsh + arsh + c + + arsh + c; d > itegrál kiszámításához alkalmazza az c Az ch t : gt t > helyettesítést. f Alkalmazhatjuk az sh : gt t R helyettesítést. A feladatot megoldhatjuk az 5 4 [ ] azoosság felhaszálásával is. b c d e f..6. Racioális függvéyek itegrálása d l + c, ha, +, d l + c, ha,, d d l c, d d + + l d l [ + ] + d l arctg + + c, + + d + + d 4 [ ] d [ arctg + ] + c, d [ d d + 5 d] [l + 5 +

51 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek d] [l [ 9 ] + d] l arcta[ 9 9 ] + c, 6 + g + 7 d + 7 d [ + 7 d d] [l [ 6 ] + d M.... l arcta[ 6 ] + c. M4. a Az itegradus felbotása kis próbálkozással is meghatározható: , 4 de a biztos módszert is alkalmazhatjuk: az 4 A + B A 4 + B 4 4 A + B 4A + B 4 alapjá A + B, 4A + B adódik, amib l A, B következik. Ezért 4 d d + 4 d l + l4 + c, ha < < 4.

52 5. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b d A + d + B + + d + d + l + l + + c + l + c, ha,. d + d c Az l függvéy értelmezési tartomáyára kell gyeli! A számolások az el z feladathoz hasolók; a változások: d 6 + d d d + d + + d + d l + l + + c + l + c, ha, +. + d d A + + B d 5 l + + l + c ha, +. e d + d A d A + d l c ha, +. +

53 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 5 f Az itegradus így botható fel: Ezt a felbotást a biztos módszerükkel így határozhatjuk meg: az + 4 A + B + C + 4 A B + C + 4 A + B + C + 4A + 4 alapjá A + B, C, 4A, azaz A, B. Ezért d 4 d d g Az + d + 4 l 8 l c, ha >. + d + + d l d A + + d + 4 B + C d + a. alaptípusak megfelel törtfüggvéy. A primitív függvéye: + d + d d + 4 l + + [ ] d l + arctg + c l + arctg + c ha, +.

54 54. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok Ezért + d l + arctg + c ha, +. j Az itegradus felbotása: A + A + B + C + + B + C +. Közös evez re hozás, majd a számlálóba a változó együtthatóiak összehasolítása utá egy 6 ismeretlees egyeletredszert kapuk az A i, B i, C i ismeretleekre. A szóba forgó felbotást azoba így is meghatározhatjuk: [ ] Az egyes tagok primitív függvéyei ie már a szokásos módo határozhatók meg. k El ször a evez t kell felbotai tovább már em botható valós téyez k szorzatára. A felbotásba els fokú téyez k yilvá em leszek az + 4 egyeletek ui. ics valós gyöke, ezért + 4 összeget két másodfokú téyez szorzatára kell felbotauk. Ezt émi ügyeskedéssel így tehetjük meg:

55 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 55 Így amib l a szokásos módszerrel adódik. Ezért + d 4 + A + B C + D + +, A, B, C, D + + d d d + d 4 l d+ + 4 l d 4 l d d 4 l arctg + arctg + + c...7. Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések M5. a Legye t. A helyettesít függvéy t : gt t >.

56 56. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok Mivel g t t >, ha t >, ezért g szigorúa mooto öveked, következésképpe a második helyettesítési szabály alkalmazható: + d + t + t t dt dt t + t t dt + t t t l + t + c t l + + c, ha >. b t, > ; t : gt t > és g t t t > miatt g szigorúa mooto öveked. Így t + d t t t + t t dt t + + dt t t + t [ t + t + ] dt t [ t ] t + lt + + c t l + + c, > c d d t : 6 ; t 6 : gt t > ; g t 6t 5 t >, g t t + t 6t5 dt 6 t 6 + t dt t 6 t + 6 dt t + t 6 t t + dt 6 t + t 6 6 t 6 t + 6t 6 l + t + c t l c;

57 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 57 d + 4 d d t : 4 ; t 4 : gt t > ; g t 4t t > ; g t t + t 4t dt + t 4 t dt 4 t + t 4 4 t + t dt t 4 t t dt 4 t + t 4 4 t 4 t t + dt 4 t 4 t 4 lt + + c t l c g Tudjuk, hogy a t helyettesítés racioális törtfüggvéy itegrálására vezet. Ha >, akkor yilvá < t <, ami azt jeleti, hogy az t : gt t, helyettesít függvéyt alkalmazzuk. Mivel g t 6t t > t,, ezért g szigorúa mooto öveked, így a határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabályuk valóba alkalmazható: t 6t d t t dt t. Mivel t 6t t t dt t + 4 t t dt + + dt t + l t + t 4 t dt + t + t + c, t

58 58. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok ezért d + + l + c >. M6. a si d t +t + t dt ttg t dt ttg l t + c ttg l tg + c, ha < < π. b... c + si cos d + Most az t+t t +t +t t t ttg + + t dt ttg t + t dt ttg törtet parciális törtekre botjuk: t + t A t + Bt + C + t alapjá C, A, B, tehát Ezért t + t t t + t. t + t t + + t t + t dt ttg A + Bt + Ct + A t + t t ttg + t t + l t l + t + c ttg ctg + l tg l + tg +

59 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 59 M7. M8. a + si + cos d dt + t + t +t +t ttg + t + t + t dt ttg + t dt ttg lt + + c ttg l tg + + c, ha π, π. M9. a 4 e 4 d 4 t 4 t dt te A 4 t + B t + 4 C dt t + te tt t + dt te t t + 8 dt t + te l t + lt + lt + + c te + l e 4 + c, ha > l. b e e + d e + e + 4 le + + c R

60 6. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok c e + 4 e + 4e + d t + 4 t + 4t + t dt te t + 4 tt + t + dt te 4 t + t t + dt te 4 l e + 6 l e + + c R

61 . A határozott itegrál 6. A határozott itegrál.. A határozott itegrál értelmezése M.... M. Legye f, ha [a, b] Q és f, ha [a, b] Q. M. A feladat a részébe tekitse az [, ] itervallum egyeletes felosztásait. A b részbe mide N eseté vegye az [, ] itervallumak azt a felosztását, amelyet az i i,,,..., potok határozak meg. b megoldása: Legye f : [, ], q :, és tekitsük az [, ] itervallum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez tartozó alsó közelít összeg: sf, τ q q i f i i i i q i q i, Hasolóa a τ felosztáshoz tartozó fels közelít összeg: Mivel Sf, τ q i f i i i i i q i q i q i ha +. q i q i q i i q q, ha +. lim sf, τ I f I f lim Sf, τ + +, ezért I f I f. Az f függvéy tehát itegrálható az [, ] itervallumo, és f.

62 6. A határozott itegrál M. Ha f R[a, b] és b a f I, akkor I f I f I, ezért mide N számhoz létezik [a, b]-ek olya τ felosztása, amelyre I sf, τ I f I f Sf, τ I +. A τ felosztássorozatra tehát lim sf, τ lim Sf, τ I teljesül. + + Ha [a, b]-ek va olya τ felosztássorozata, amelyre teljesül, akkor az lim sf, τ lim Sf, τ I + + I lim sf, τ I f I f lim Sf, τ I + + egyel tleségekb l következik, hogy I f I f I, azaz f Riemaitegrálható az [a, b] itervallumo és b f I. a M4. A feladat a részébe tekitse az [a, b] itervallum egyeletes felosztásait. A b és c részbe mide N eseté vegye az [a, b] itervallumak azt a felosztását, amelyet az b i a i,,,..., potok határozak meg. c megoldása: Legye f : [a, b], q : b, és tekitsük az [a, b] a itervallum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez tartozó alsó közelít összeg: sf, τ f i i i i i q i q i a. q i q b A sorozat határértékéek a meghatározásához vegyük észre, hogy a b a b, és eek határértéke a g : a b R epoeciális függvéy potbeli deriváltjával hozható kapcsolatba. Mivel g D{} és g l a b, ezért a lim sf, τ lim g l a + + b b l b a.

63 .. A határozott itegrál értelmezése 6 A τ felosztáshoz tartozó fels közelít összeg: Sf, τ f i i i i i q i q i q b q i a. Mivel a h : b a R függvéy deriválható, és h l b, ezért a a lim Sf, τ lim b / lim a h l b + + b + / a. Azt kaptuk tehát, hogy az [a, b] itervallumak va olya felosztássorozata, a- melyhez tartozó alsó- és fels közelít összegek sorozata ugyaahhoz a számhoz tart. Alkalmazzuk most az el z feladat állítását. M5.... M6. A sor Leibiz-típusú sor, tehát koverges. Itt a hagsúly az összeg meghatározásá va. Ehhez tekitse a következ cseles átalakításokat: Ez utóbbi az R+ függvéyek az [, ] itervallum egyel részre való felosztásával vett alsó közelít összege. Az F4. feladat c része alapjá ez a függvéy itegrálható, és d l. Az el z feladat állítását felhaszálva kapjuk a bizoyítadó egyel séget. M7. Mivel mide itervallumba va irracioális szám és így olya, ahol f értéke, ezért a [, ] itervallum tetsz leges τ felosztása eseté sf, τ, tehát I f sup{sf, τ τ F[a, b]}. Azt kell megmutati, hogy is igaz. I f azt jeleti, hogy I f if{sf, τ τ F[a, b]} ε > -hoz τ F[, ] : Sf, τ < ε..

64 64. A határozott itegrál Adott ε > számhoz egy ilye τ felosztást a következ képpe adhatuk meg. Vegyük egy olya N számot, amelyre < ε teljesül. Vegyük észre, hogy a függvéy -él agyobb értéket -él kevesebb helye veszi fel. Ugyais, ha f, akkor p és q kell, hogy legye, márpedig q mide q -hez -él kevesebb p va, amelyre < p < és p, q. q Ezért tekitsük [, ]-ek az egyel részre való τ felosztását. Mutassa meg, hogy Sf, τ <... A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása M8.... M9.... M4. a d d arcsi + c, 9 d [ arcsi ] arcsi arcsi π. b sil d cosl + c, e sil d cos. c Mivel + d ezért 4 d d l + c, ha >, [ + d l ] 4 l l l 4. d Mivel d d arctg + + c, ha R, + +

65 .. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 65 ezért [ ] d arctg + arctg arctg π. e Parciális itegrálással e si d adódik, ezért π [ si cos ] π e si d e eπ +. si cos e + c R si π cos π e π f Parciális itegrálással l d l + c > adódik, ezért e l d si cos e [ ] e l e l e e l. g El ször az itegradus primitív függvéyeit határozzuk meg. Alkalmazzuk a t +, 5, t 4 helyettesítést, azaz tekitsük az t : gt t 4 helyettesít függvéyt. A g függvéy szigorúa mooto öveked az [, 4] itervallumo, deriválható és g t t t [, 4], ezért a határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabályt alkalmazhatjuk: d + + t + t t dt. t +

66 66. A határozott itegrál Mivel ezért t + t t dt t t + t dt [ A t + B t + t dt ] dt t t t + dt t + dt 5 lt + 4 lt + + C, 5 d + + d 5 l l C. A NewtoLeibiz-tétel alapjá tehát 5 d + + d [l l + + ] 5 5 h El ször az itegradus primitív függvéyeit határozzuk meg. Most a t e, l, t helyettesítéssel próbálkozuk, azaz vesszük az l + t : gt t l. 5 helyettesít függvéyt. A g függvéy deriválható és g t t t [, ], g +t tehát szigorúa mooto öveked. A határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabály tehát alkalmazható: e t d t + t dt dt t e + t t e t arctg t t e arctg e + C. e A NewtoLeibiz-tétel alapjá tehát l e d [ e arctg ] l e π.

67 .. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 67 M4. a megoldása: Mivel , ezért ezt az összeget felfoghatjuk úgy is, mit az f : + > függvéyek a [, ] itervallum egyeletes felosztásához tartozó közelít összege. S t ez f mooto csökkeése miatt egy alsó közelít összeg. Az f függvéy folytoos, tehát itegrálható, és + d. Az F5. feladat állítását felhaszálva kapjuk, hogy a kérdezett sorozat határértéke. e megoldása: Mivel ezért a : α + α + + α α+ lim a + i α, i α d + α. Megjegyzés. Ez az eredméy azt jeleti, hogy mide ε > valós számhoz létezik olya N ide, hogy mide természetes számra feállak az ε α+ α + α + α + + α + ε α+ α + egyel tleségek. Nagy -ekre tehát az α + α + + α összeg az α+ α+ számmal jól közelíthet. Ezt úgy is ki szoktuk fejezi, hogy α + α + + α aszimptotikusa egyel α+ α+ -gyel, ha +, és ezt rövide így szokás jelöli: α + α + + α α + α+ +.

68 68. A határozott itegrál Vagy azt modjuk, hogy az α + α + + α összeg α+ agyságred. Figyelje meg, hogy ha α, vagy, akkor a szóba forgó összegeket zárt alakba is fel tudjuk íri, és ebb l kaphatuk iformációt arról, hogy az összeg agy -ekre mekkora. Más α-kra pl. α zárt alak vagy ics vagy pedig eheze adható meg. A feladatba mutatott egyszer eszközökkel tehát mide α > valós szám eseté a zárt alak ismerete élkül kaptuk iformációt az összeg agy -ekre való viselkedésér l. M4. Ha b a f b a g, akkor az fg f + g [a, b] egyel tleségb l b b fg d fg d [ b f d+ a a a b a ] g d következik, tehát ekkor igaz az állítás. Tegyük fel, hogy b f és b a a g közül legalább az egyik -tól külöböz, például b f >. Mide λ valós paraméter eseté az F : λf + g a függvéy itegrálható [a, b]-, és az itegrálja emegatív, azaz b a b λf + g λ f + λ a b a fg + b g a λ R. A jobb oldal λ-ak egy másodfokú poliomja, és ez a poliom mide λ R eseté emegatív, ami csak úgy lehetséges, ha a diszkrimiása, azaz b b b fg 4 f g, amib l már következik az állítás. M4. I d. Ha, akkor I I + a d I I + [ ] a a d d d I I,

69 .. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 69 azaz Ezért I I + I,,.... +,,.... M44. Végezze el az t gt t [, ] helyettesítést. M M46. Parciálisa itegrálva azt kapjuk, hogy [ m+ m + Ezért Bm, ] Bm, + m + Bm +, m +! m + m + M47. Itegráljo parciálisa. M48. a d + 6 m d m+ d d 4. b Mivel si [, π ], ezért π π e r si d π d er si π Bm +,. m + m + m + Bm +, m + m+!m! d m + +!. e r π d π r [ ] e r π π π r e r. c Az itegrálszámítás középértéktétele szerit létezik olya ξ [, ], amellyel si d si ξ + + d si ξ[ arctg ] π 4 si ξ π si <, 7. 4

70 7. A határozott itegrál d A CauchyBuyakovszkij-Schwarz-egyel tleség alapjá d + 4 d d 5. e Legye f : si, π. Mivel f cos tg, π és tg mide, π potba a tg függvéy ui. kove, π/- e és a grakojáak az érit je a potba az y egyees, ezért f mooto csökke, π/-e, ezért 8 f π π π 4 π π 4 si M5. a Az itegradus folytoos, ezért az F : d f π π 4 π 4 + t dt R 6. itegrálfüggvéye mide R potba diereciálható és F + R, következésképpe F lim h F + h F h h lim h h +h + t dt. M55. b Jelölje M az f egy fels korlátját: f M [, ]. Legye egy rögzített természetes szám, és tekitsük a [, ] itervallum k k,,,..., osztópotokkal vett egyeletes felosztását. Ekkor ezért : f d k k k [ k f d f k k k f f k ] d k k k k k f d, f d k k k k k f f k f k d d.

71 .. A határozott itegrál alkalmazásai 7 Alkalmazzuk most az f függvéyre a [ k, k ] itervallumo a Lagrage-féle középértéktételt: va olya ξ [ k, k ], amelyre Az f korlátossága miatt f f k f ξ k. Ezért a k k k f f d M k k M M egyel tleség mide N eseté teljesül. k t dt M... A határozott itegrál alkalmazásai M6. a Az ívhossz kiszámolásához szükségük va a deriváltra: Ezért l 4 f. + [ f ] 4 d d [ 8 7 b Mivel f si tg, ezért cos l π π + [ f ] d π cos + si d cos ] 4 + tg d π cos d.

72 7. A határozott itegrál Az cos, π függvéy primitív függvéyét a már ismert t tg -es helyettesítéssel számítjuk ki: Ezért cos d l π t +t + t dt ttg t dt ttg t + + t dt ttg [ cos d l + tg tg t + t dt ttg ] π l M66. b A si 4 R függvéy primitív függvéye: l + t si 4 d si cos d si d cos d si d 4 si cos 4 d 4 4 si si c, 8 4 ezért a keresett térfogat: π π f d [ si Improprius itegrálok t + c ttg +. si 4 ] π 8 π. si cos d.5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz M8. Ha α emegatív egész szám, akkor a tagok bizoyos idet l kezdve -val egyel k, így a sor koverges. Ha α em ilye, akkor egyik együttható sem.

73 .5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 7, ezért a D'Alembert-féle háyadoskritérium és α α k α k + k + k alapjá α k+ α k k+ k α α k k α kk+ α k k +, ha k +, ezért a sor valóba koverges mide, eseté. Jelöljük f-fel a sor összegét: f : + k α k,. k Megmutatjuk, hogy f hasoló deriválási szabály érvéyes, mit az + α < függvéyre. Erre a függvéyre ugyais + α α + α, azaz + + α α + α teljesül mide, potba. Ehhez hasolóa feáll az + f αf, egyel ség. Ez a hatváysor deriválására voatkozó állítás és felhaszálásával így igazolható: + α + α + f + k k k k k k k + [ α α ] k + + k k α k + k k + k + α k + k k k α k αf. k k Ebb l most már az f + α egyel ség köye bizoyítható. Legye ugyais g : f,. + α

74 74. A határozott itegrál A g függvéy deriválható és miatt g f + α fα + α + α + f αf + α, ezért g álladó, -e. Az potba g, ezért valóba feáll az f + α, egyel ség. M84. Az állítást az I : π si d,,,... itegrálok kiszámításá keresztül látjuk be. Világos, hogy I π d π és I π si d ha >, akkor parciálisa itegrálva azt kapjuk, hogy I amib l adódik. π cos si d I [ si ] π I cos π π [ ] π cos. cos si cos d si si d I I, I I,,... I I I π, I + + I I. Mivel mide természetes számra ezért si + si + si I + I + I, π/, N,

75 .5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 75 azaz + + π + π. Ebb l + + π 4 + π M85. Az alapötlet az, hogy az l d itegrált, azaz az l függvéy [, ] itervallumo vett grakoja alatti területet a beírt trapézok területéek összegével közelítjük. A szóba forgó itegrál köye meghatározható: l d [ l ] l + l l e +l e l e. e Tekitsük most az l kokáv! függvéy grakojába beírt azo töröttvoalat, amelyek szögpotjai a görbe,,..., abszcisszákhoz tartozó potjai. Az e töröttvoal alatti síkidom területe egy háromszögek és trapézak a területéb l tev dik össze, és az értéke: l + l + l + + l + l l + l + + l l l!, ezért a területek külöbsége: : l e! e e l l > N. e! azért pozitív, mert az l függvéy kokáv az egész R + -o. A geometriai tartalomból yilvávaló, hogy a sorozat mooto öveked. Egy szellemes geometriai megfotolásból az is következik, hogy a sorozat felülr l korlátos és l mide N eseté. Ezért a sorozat koverges. Az ep függvéy szigorúa mooto öveked, ezért az e e e!

76 76. A határozott itegrál sorozat is koverges, és a határértéke pozitív. A sorozat reciproka, tehát az a :! e N sorozat is koverges. Feladatuk a határértékéek a kiszámolása. Ehhez két észrevételt érdemes megjegyezi: egyrészt azt, hogy ami az a a a a a másik észrevétel az, hogy a a < lima lim a a, és lima lima yilvávaló következméye. A a Wallis-formulával hozható kapcsolatba: a a [ 4 6 ] [ ]! e! e [! ]! A Wallis-formula alapjá ezért lim + lim lima lim π +,! e lim a + a + π π, ami azt jeleti, hogy lim +! e π.

77 .5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 77 M86. Elég igazoli azt, hogy π irracioális. Ezt idirekt módo látjuk be. Ha π racioális lee, akkor létezéek olya p, q N számok, amelyre π p q teljesüle. Vegyük most egy olya N számot, amelyre ilye va, miért?, és tekitsük az πp <! f :! R függvéyt. Az iderekt feltételt felhaszálva parciális itegrálással mutassa meg, hogy A : πp f si π d egy egész szám. Ez viszot elletmodás, mert < A πp! d πp! <.