A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
|
|
- Ágoston Lőrinc Fehér
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz: egyetle eleme sics o emüres halmaz: legalább egy eleme o jól megadott halmaz: ha bármely elemről eldöthető, hogy beletartozik-e A és B az X alaphalmaz részhalmazai, ekkor metszet: A B = { x X x A x B } Két halmaz diszjukt, ha metszetük üres halmaz. uió: A B = { x X x A x B } külöbség: A \ B = { x X x A x em B } egyéb: A A az A részhalmaza ömagáak: reflexív tulajdoság ha A B és B A A = B vagyis atiszimmetrikus (A részhz.-a B-ek és fordítva) ha A B és B C A C trazitív tulajdoság (A a agyobb hz.-ak is részhz.-a) 2. Descartes-szorzat, hatváyhalmaz Descartes-szorzat: az A és B halmazok Descartes-szorzatá az A és B halmazok elemeiből alkotott összes redezett elempár halmazát értjük. Jelölése: A B = { (a;b) a A b B } Az A B szorzathalmaz egy T A B részhalmaza az A és B halmazok elemei közti kételemű (biér) reláció Ha (a; b) T, akkor a és b relációba vaak: atb Hatváyhalmaz: egy halmaz összes részhalmazaiak halmaza Egy elemű halmazak 2 darab részhalmaza va Kommutativitás = felcserélhetőség Asszociativitás = csoportosíthatóság Disztributivitás = szétbothatóság 3. Csoport, gyűrű, test (~A2) félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás) csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak ÉS létezik zérus elem ill. iverz elem (összeadásak a kivoás, szorzásak az osztás az ivertálása) (pl. egész számok halmaza eseté az összeadás) Abel-csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak és kommutatívak is ill. létezik a zérus elem és az iverz elem gyűrű: olya csoport, amelybe a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra ézve (pl. az egész számok eseté az összeadásra ézve a szorzás) A gyűrűbe tehát elvégezhető: az összeadás, a kivoás és a szorzás 1
2 test: olya csoport, amelybe a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra ézve (pl. racioális számokál az összeadásra ézve a szorzás disztributív) A testbe, mit algebrai struktúrába tehát elvégezhető az összeadás, kivoás, szorzás és az osztás 4. Komplex számok algebrai, trigoometrikus, expoeciális alakja algebrai alak: z = a + bi (z valós része a, képzetes része pedig b) kojugált: z = a bi abszolút érték: z = a 2 + b 2 (Pitagorasz-tételből), és mivel z z = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 +b 2, ezért z = z z trigoometrikus alak: z = r(cosφ + i siφ), mivel cosφ = a r siφ = b r Tehát a = rcosφ és b = rsiφ, ie már egyértelműe következik a trigoometrikus alak az algebraiból r-t kiemelve (a = r cosφ és bi = r isiφ) expoeciális alak: z = r e i φ ez csak egy szimbólum, rövidítés, ami megköyíti a számolást a komplex számokkal, léyegébe a trigoometrikus alak kicsit rövidebbe. 5. Komplex számok hatváyozása z = [r(cosφ + isiφ)] = r (cos(φ) + isi(φ)) (de Moivre-képlet) Bizoyítás: teljes idukcióval 1) =1 OK =2 OK 2) idukciós feltétel: = k ekkor z k = r k (cos(kφ) + isi(kφ)) ha = k + 1, akkor z k+1 = z k z = r k (cos(kφ) + isi(kφ)) r(cos(φ) + isi(φ)) = r k+1 [cos(kφ + φ) + isi(kφ + φ)] = r k+1 [cos((k + 1)φ) + isi((k + 1)φ)] és k+1 az volt, tehát a bizoyítás kész. 6. Komplex számok gyökvoása z 1 = z 2 = r 1 (cos(φ 1 ) + isi(φ 1 )) = r 2 (cosφ 2 + isiφ 2 ) z 1 = z 2 Két komplex szám akkor egyelő, ha a hosszuk és argumetumuk is egyelő: r 1 = r 2 (hossz) φ 1 = φ 2 + k 2π (argumetum) forgásszög, periodicitás miatt p = 2π Így φ 1 = φ 2+k 2π k {0, 1, 2,, 1} Tehát z φ + k2π φ + k2π = r [cos + i si ] Az -edik gyökvoás utá olya komplex számokat kapuk, amik egy szabályos sokszög (-szög) csúcsai! Tehát -edik gyökvoás eseté db komplex szám a megoldás. 2
3 Numerikus sorozatok Mitől umerikus? Attól, hogy a sorozat a pozitív egész számok halmazá értelmezett függvéy. 1. Numerikus sorozat határértéke TÉTEL: Az (a ) koverges és határértéke az a R akkor és csak akkor, ha bármely poz. ε-hoz létezik olya N(ε) küszöbidex (küszöbszám), hogy a sorozat N(ε)-ál agyobb idexű elemei már az a ε-sugarú köryezetébe esek. (az ilye idexű elemekből végtele sok va!) TÉTEL 2: Az (a ) koverges és határértéke az a R akkor és csak akkor, ha az a bármely poz. ε-sugarú köryezeté kívül csak véges sok eleme va a sorozatak. (ez ekvivales az első tétellel) Következméy: Ha egy sorozatak véges sok elemét megváltoztatjuk, vagy a sorozathoz véges sok elemet hozzáveszük / elhagyuk belőle, akkor sem a kovergecia, sem a határérték em változik meg! 2. Koverges, diverges sorozat DEFINÍCIÓ: Az (a ) koverges, ha va olya a R szám, hogy mide ε > 0 valós szám eseté létezik N(ε) valós küszöbszám, hogy a a < ε, ha > N(ε) azaz a ε < a < a + ε Az a számot az (a ) határértékéek hívjuk, és a lim a = a vagy az a a, ha jelölést haszáljuk. Az (a ) diverges, ha em koverges. Tételek: - Koverges sorozat korlátos. (Mide koverges sorozat korlátos, de em mide korlátos sorozat koverges, csak az, ami mooto is, így pl. ( 1) em!) - Mooto korlátos sorozat koverges. - Mooto, em korlátos sorozatak va határértéke. koverges va határértéke va határértéke/torlódási potjai em biztos, hogy koverges Bolzao-Weierstrass-tétel: mide korlátos sorozatak va koverges részsorozata. 3. Nevezetes sorozatok Olya sorozatok, amelyek határértékét NEM KELL BIZONYÍTANI, csak felhaszáli! Beroulli-féle egyelőtleség: ha x 1, akkor (1 + x) 1 + x I. a 0, ha a < 1 1, ha a = 1 +, ha a > 1 diverges, ha a < 1 II. a 1, ha (a > 0) III. a k 0 (ullsorozat), ha a < 1 és k rögzített természetes szám 3
4 IV. V. 1, ha ( 2) a 0 (a R) Hisze a faktoriális gyorsabba ő, mit a hatváyfüggvéy!! Legfotosabb: (1 + α ) e α 4. Cauchy sorozat Defiíció: Az (a )-t Cauchy-sorozatak evezzük, ha mide ε > 0 eseté N(ε) küszöbidex, hogy a a m < ε, ha, m > N(ε) (, m N) Tétel: Cauchy-féle kovergecia kritérium (szükséges ÉS elégséges feltétel) Az (a ) akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy sorozat! 5. Torlódási pot Defiíció: A h a H halmaz torlódási potja, ha h bármely köryezetébe va H-ak h-tól külöböző eleme. A t szám a sorozat torlódási potja, ha t akármilye kicsi köryezete a sorozat végtele sok elemét tartalmazza. Például ( 1) Fotos: A határérték is torlódási pot! Függvéyek, derivált 1. Függvéyek, értelmezési tartomáy, értékkészlet függvéy: ha az A (emüres) halmaz mide egyes eleméhez hozzáredeljük a B (emüres) halmaz potosa egy elemét, akkor ezt a leképezést függvéyek evezzük. értelmezési tartomáy: azo elemek halmaza, melyekhez a függvéy hozzáredel egy-egy elemet a B halmazból, jele esetbe ez az A halmaz. D f = A értékkészlet: A képhalmaz, azaz a B halmaz azo elemei, melyeket az f függvéy téylegese hozzáredel az A valamelyik eleméhez. Az értékkészlet tehát része a képhalmazak: R f B 2. Függvéy határérték Azt modjuk, hogy az f függvéy határértéke az a potba A, ha mide ε > 0 számhoz létezik olya δ(ε) > 0, hogy ha 0 < x a < δ(ε), akkor f(x) A < ε. /Ez a Cauchy-féle defiíció/ x a < δ(ε) azt jeleti, hogy: δ(ε) < x a < δ(ε) /+a a δ(ε) < x < a + δ(ε) Szemléletesese: azt jeleti, hogy a függvéyértékek (f(x)-ek) tetszőlegese megközelítik az A számot, ha az ε értékek elég közel kerülek a-hoz. 4
5 Az f függvéyek az a potba acsa (akkor és csak akkor) va határértéke, ha va bal- és jobboldali határértéke és ez a kettő megegyezik! Határérték a végtelebe Az f függvéy határértéke + -be A, ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε), hogy f(x) A < ε, ha x > N(ε). Az f függvéy határértéke -be A, ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε), hogy f(x) A < ε, ha x < N(ε). A végtele, mit határérték Az f függvéy határértéke a-ba +, ha bármely N > 0 eseté va olya δ(n), hogy f(x) > N, ha 0 < x a < δ(n). Az f függvéy határértéke a-ba, ha bármely N > 0 eseté va olya δ(n), hogy f(x) < N, ha 0 < x a < δ(n). 3. Függvéy folytoosság Az f függvéy az értelmezési tartomáyáak a potjába folytoos, ha ebbe a potba létezik határértéke és ez egyelő az adott potbeli helyettesítési értékkel, azaz ha lim f(x) = f(a). x a Defiíció: Az f függvéyt folytoosak evezzük az a D f potba, ha bármely ε > 0 eseté va olya δ(ε) > 0 szám, hogy ha x a < δ(ε), akkor f(x) f(a) < ε. Az f függvéy egy itervallumo egyeletese folytoos, ha bármely ε > 0 számhoz va olya δ > 0 szám, hogy f értelmezési tartomáyáak bármely x 1, x 2 elemére, amelyek távolsága egymástól kisebb δ-ál, feáll az f(x 1 ) f(x 2 ) < ε egyelőtleség. Tétel: Az f függvéy potosa akkor folytoos értelmezési tartomáyáak a potjába, ha ott balról és jobbról is folytoos. Def.: Az f függvéy folytoos az ]a, b[-o, ha folytoos ]a, b[ mide potjába. Az f függvéy folytoos az [a, b]-o, ha folytoos ]a, b[-o és a-ba balról, b-be jobbról folytoos. A folytoosság éháy evezetes következméye: - ha f folytoos egy zárt itervallumo, akkor ott egyeletese folytoos. - Bolzao-tétel: ha a függvéy a zárt itervallumo folytoos, és az itervallum két végpotjába az értékei külöböző előjelűek, akkor az itervallum belsejébe va zérushelye. Másképp: felvesz mide f(a) és f(b) közé eső értéket egy folytoos függvéy egy zárt itervallumo. - Weierstrass-tétel: Zárt itervallumo folytoos függvéy felveszi a miimumát és a maximumát is függvéyértékkét; továbbá mide olya értéket, ami a legagyobb és legkisebb érték közé esik. (Arról em szól a tétel, hogy a függvéy HOL veszi fel a mi. és max. értékét.) 5
6 4. Iverz függvéy Ha az f: X Y függvéyél a leképezés iráyát megfordítjuk, vagyis az Y halmaz elemeit képezzük le az X halmaz elemeire, akkor ez a fordított leképezés általába em függvéy, mert em biztos, hogy egy y Y elemek egyetle x X elem felel meg. Ezért fotos az, hogy f bijektív, azaz kölcsööse egyértelmű legye, mert ekkor az f 1 -gyel jelölt fordított leképezés is már függvéy lesz. Defiíció: Ha az f: X Y függvéy kölcsööse egyértelmű, akkor az f 1 = Y X függvéyt f iverz függvéyéek evezzük. Ekkor igaz az alábbi összefüggés: f 1 (f(x)) = f(f 1 (x)) = x Egyszerűbbe megfogalmazva: az f és az f 1 függvéyekél az értelmezési tartomáy és az értékkészlet helyet cserél. Eek következtébe az ábrázolásál a koordiátategelyek helyet cserélek, s az y = f(x) és y = f 1 (x) görbék egymásak tükörképei az y = x egyeesre ézve. 5. Derivált Legye f: I R R függvéy értelmezve az x I potba és aak egy köryezetébe. Ha x a, akkor az f(x) f(a) háyadost differeciaháyadosak evezzük. x a f(x) f(a) Ha létezik és véges a lim határérték, akkor azt az f függvéy deriváltjáak vagy x a x a a potbeli differeciálháyadosáak evezzük és a d f(a) vagy f (a) jelöléseket haszáljuk. dx f(x+ x) f(x) Régi jelölés: lim = f (x) x 0 x Ha x-szel elkezdek közelítei a-hoz: a szelőkből éritő lesz. m = tgα = f(x) f(a) x a Adott potbeli derivált = adott potbeli éritő meredeksége! Az éritő egyelete: y = f (a)(x a) + f(a) ~ m(x x 0 ) = y y 0 átredezve Defiíció: az f: [a; b] R függvéy balról differeciálható a b potba, ha létezik és véges a f(x) f(b) lim egyoldali határérték. x b x b Az f: [a; b] R függvéy jobbról differeciálható az a potba, ha létezik és véges a lim x a+ f(x) f(a) x a egyoldali határérték. Eszerit megkülöböztetük bal- és jobboldali deriváltat. TÉTEL: az f: I R függvéy differeciálható az a I potba ha létezik (és így véges) a bal- és jobboldali deriváltja a-ba ÉS ezek egyelők. TÉTEL: ha az f függvéy differeciálható az x 0 potba, akkor ott folytoos. (DE: attól, hogy folytoos, em biztos, hogy differeciálható a függvéy mide potjába!) Defiíció: az f: ]a; b[ R függvéy differeciálható ]a;b[-o, ha differeciálható x ]a; b[ potba. Az f: [a; b] R függvéy differeciálható [a;b]-o, ha differeciálható ]a; b[-o ÉS a-ba jobbról, b-be balról differeciálható. 6
7 +Az iverz függvéy deriválási szabálya:! f: I R R fv. szig. mo. és folytoos az x 0 pot egy köryezetébe; f (x 0 ) 0. Ekkor az f fv. iverze is differeciálható a b f(x 0 ) potba és (f 1 (b)) 1 = f (x 0 ) 6. Lokális szélsőérték defiíciója és feltétele Defiíció: Legye f: I R R, a I. Azt modjuk, hogy f-ek a-ba lokális maximuma va, ha va olya δ > 0, hogy f(a) f(x) mide olya x- re, ami bee va a-ak a δ sugarú köryezetébe. f-ek a-ba lokális miimuma va, ha va olya δ > 0, hogy f(a) f(x) mide olya x- re, ami bee va a-ak a δ sugarú köryezetébe. Szükséges feltétel: ha f: I R R függvéy differeciálható és f-ek α it I-be szélsőértéke va, akkor f (α) = 0. // α it I: olya α, ami I egy belső potja Elégséges feltétel: ha f: I R R függvéy differeciálható ÉS α it I, továbbá va ekük egy r > 0 számuk, amire az teljesül, hogy f (x) 0, ha x ]α r; α] VAGY f (x) 0, ha x [α; α + r[ akkor f-ek α-ba lokális maximuma va. f (x) 0, ha x ]α r; α] VAGY f (x) 0, ha x [α; α + r[ akkor f-ek α-ba lokális miimuma va. Egyszerűbbe: az f függvéyek az x 0 -ba lokális szélsőértéke va, ha f (x 0 ) = 0 DE f (x 0 ) 0. - ha a 2. derivált pozitív, akkor lokális miimuma (kovex!) - ha a 2. derivált egatív, akkor lokális maximuma va (kokáv!) - Általáosabba: f (α) = 0 = f (α) = 0 = f (α) = 0 f ( 1) (α) = 0, de f () (α) 0 (f -edik deriváltja MÁR NEM NULLA) - Ekkor f () deriváltját vizsgáljuk: ha páros, akkor va csak szélsőértéke (ugyaúgy, vagyis ha pozitív, akkor lokális miimum; ha egatív, akkor lokális maximum.) 7. L Hospital szabály TÉTEL: Legye f és g differeciálható függvéyek az α pot egy köryezetébe (α-ba em szükségképpe). Továbbá, lim f(x) = lim g(x) = 0 x α x α vagy lim x α f(x) = lim x α g(x) = Ahol α {a; a + 0; a 0; ± } lim x α f (x) lim f(x) Ekkor: = x α lim g (x) lim x α x α g(x) Fotos, hogy akkor lehet csak haszáli, ha a háyados határértéke 0 0 vagy alakú! 7
8 Középérték tételek és itegrálás Függvéyek és deriváltjaik kapcsolatáak vizsgálatakor haszálhatjuk fel a középértéktételeket 1. Rolle középértéktétel Legye f folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, továbbá f(a) = f(b) = 0. Ekkor létezik ξ ]a; b[, melyre f (ξ) = 0 (vízszites éritő!) Ha f(x) 0 (azoosa, mide potba ulla) ekkor yilvá f(ξ) = f (ξ) = 0. Érdekesebb: ha f(x) 0 α) eset: Weierstrass tétele miatt (folytoos függvéy zárt itervallumo felveszi a szélsőértékét függvéyértékkét) létezik a függvéyek maximuma! Azaz va olya ξ, amire igaz, hogy f(ξ) f(x) mide x [a; b] eseté. Ekkor f(x) f(ξ) törtet vizsgálva: x ξ az f(x) f(ξ) számláló midig 0, mert f(ξ) f(x) a evező pedig pozitív, ha x > ξ, így az egész tört egatív, tehát f (ξ) 0 a evező pedig egatív, ha x < ξ, így az egész tört pozitív, tehát f (ξ) 0 De ha lim ξ x f(x) f(ξ) x ξ = f (ξ) = 0 (csak az egyelőség a jó ekük) β) eset: α-val aalóg módo bizoyítható. γ) eset: α és β esetekből összerakható. 2. Lagrage középértéktétel (a Rolle középértéktétel általáosítása) Legye f folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, ekkor létezik ξ ]a; b[, hogy f(b) f(a) = f (ξ) b a Ez körülbelül azt jeleti: ha húzuk egy voalat (húrt) a két végpot között, akkor lesz legalább egy pot a függvéye, amiek a deriváltja (vagyis az adott potbeli éritő meredeksége!) megegyezik a húr meredekségével! Vagyis az ábrá a piros húr párhuzamos lesz a zöld éritővel! 8
9 Tekitjük az (a, f(a)) és a (b, f(b)) potokat összekötő húrt, amiek az egyelete: h(x) = f(a) + f(b) f(a) (x a) b a //ez az m(x x 0 ) = y y 0 képletből jö ki g(x) f(x) h(x), így g(a) = f(a) h(a) = f(a) f(a) = 0 és g(b) = f(b) h(b) = f(b) f(b) = 0 g folytoos az [a; b]-o, mert f és h is az g differeciálható ]a; b[-o, mert g (x) = f (x) h (x) = f (x) f(b) f(a) b a A Rolle-tételt alkalmazva a g függvéyre: létezik ξ ]a; b[, melyre g (ξ) = 0 (vízszites éritő) Így g (ξ) = f (ξ) f(b) f(a) b a = 0 = f (ξ) = f(b) f(a) b a 3. Cauchy középértéktétel Legye f és g folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, ekkor létezik ξ ]a; b[, hogy f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ) Bizoyítás Alkalmas segédfüggvéy bevezetésével: h(x) f(x) + λg(x) ahol λ-t úgy választjuk meg, hogy h(a) = h(b) teljesüljö. h(a) = h(b) f(a) + λg(a) = f(b) + λg(b) átredezve f(a) f(b) = λ[g(b) g(a)] leosztva, (-1)-et kiemelve f(b) f(a) g(b) g(a) = λ h(x) f(x) + λg(x) volt, tehát h (x) f (x) + λg (x) = f (x) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x) Most még alkalmazzuk a Rolle tételt a segédfüggvéyre: ξ ]a; b[, melyre h (ξ) = 0, ebből h (ξ): = f (ξ) f(b) f(a) g(b) g(a) g (ξ) = 0, ezt átredezve adódik, hogy f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a) Megjegyzés: a Cauchy-féle középértéktételből g(x) = x választással adódik a Lagrage középértéktétel: f(b) f(a) b a hisze így g(b) = b és g(a) = a g (x) = x = 1 9 = f (ξ) 1
10 4. Riema-itegrálhatóság Defiíció: f: [a, b] R korlátos függvéy. (Nem kell folytoosak, ill. deriválhatóak leie!) I = sup{s(f, d) d [a, b]-ek egy beosztása} Darboux-féle alsó itegrál I = if{s(f, d) d [a, b]-ek egy beosztása} Darboux-féle felső itegrál Az f függvéy Riema-itegrálható [a; b]-o, ha a Darboux-féle alsó- és felső itegráljai megegyezek. E közös értéket az f függvéy Riema-itegráljáak evezzük és f(x)dx-szel jelöljük. Darboux tétele: 0 I s(f, d) < ε valamit 0 S(f, d) I < ε teljesül. Vagyis: a felső/alsó it. közelítő összeg tetszőlegese kicsivé tehető. A Riema-itegrálhatóság kritériumai: Korábba: a S(f, d) felső itegrálközelítő összeg mooto csökke, a s(f, d) alsó itegrálközelítő összeg mooto ő! A kettő itegrálközelítő összeg határértéke pedig -be a Riema-itegrál. b a m i if{f(x) x [x i 1 ; x i ] } M i sup{f(x) x [x i 1 ; x i ] } a beírt téglalapok közül a legagyobb magassága a köré írt téglalapok közül a legkisebb magassága s(f, d) i=1 m i (x i x i 1 ) S(f, d) i=1 M i (x i x i 1 ) O(f, d) Oszcillációs összeg: S(f, d) s(f, d) TÉTEL: első kritérium, oszcillációs összeggel Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f R[a; b] (az [a, b]-o értelmezett Riema-itegrálható függvéyek halmazáak eleme az f függvéy) potosa akkor, ha mide ε > 0 eseté létezik olya d beosztás, hogy O(f, d) < ε; vagyis hogy az oszcillációs összeg tetszőlegese kicsivé tehető! Bizoyítása: f Riema-itegrálható [a, b]-o, tehát I = I = I. A Darboux-tételt összeadva így kijö, hogy S(f, d) s(f, d) < 2 ε = ε, azaz O(f, d) < ε 2 TÉTEL: második kritérium, itegrálközelítő összeggel (ezt akartuk bizoyítai) Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f Riema-itegrálható ε > 0 eseté δ(ε) > 0, hogy σ(f, d, t) I < ε ha d < δ(ε) (d beosztásáak fiomsága kisebb) és t egy tetszőleges közbeeső érték-vektor. A σ(f, d, t) f(t i) (x i x i 1 ) i=1 összeget az f függvéy d beosztásához, t közbeeső érték vektorhoz tartozó itegrálközelítő összegéek hívjuk. 10
11 Bizoyítása: Darboux-tételből! s(f, d) > I ε ill. S(f, d) < I + ε TÉTEL: harmadik kritérium, ormális beosztással I ε < s(f, d) σ(f, d, t) S(f, d) < I + ε ε < σ(f, d, t) I < ε így σ(f, d, t) I < ε Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f Riema-itegrálható [a;b]-o ha bármely (d k ) ormális beosztássorozat és t (k) közbeeső értékvektor-sorozat eseté σ(f, d k, t (k) ) koverges. Ekkor lim σ(f, d k, t (k) ) = f. k a 5. Newto-Leibiz-formula az itegrálszámítás alaptétele b Legye f R[a, b]-o és F: [a, b] R olya, hogy F folytoos [a, b]-o, deriválható az ]a, b[-o és F (x) = f(x) mide x ]a, b[-ra (azaz F deriváltja mide potba f-et adja!). Jelölése: F(b) F(a) [F(x)] a b b Ekkor f(x)dx = F(b) F(a) a Bizoyítása: természetese egy mide határo túl fiomodó, ormális beosztássorozattal. 6. Improprius itegrál Eddig, a Riema-itegrálál: legye f korlátos Defiíció:! a, b R b, a < b A bővített valós számok halmaza: R b R { ; + }, továbbá teljesüljö a következő két feltétel is: 1. Mide [x, y] ]a, b[ eseté f legye Riema-itegrálható [x, y]-o. (x, y R) 2. Létezze olya c R, a < c < b, hogy lim f(t)dt x a x c és y lim f(t)dt y b c határértékek létezzeek és végesek legyeek. Ekkor az I lim f(t)dt x a x c + lim y b y c f(t)dt összeget az f függvéy improprius itegráljáak b a evezzük az ]a, b[-o és f(t)dt-vel jelöljük. - Azt is modjuk, hogy az f függvéy improprius Riema-itegrálja az ]a; b[ itervallumo koverges. - Ha az 1. feltétel teljesük, DE a 2. feltétel NEM, akkor az f függvéy improprius Riemaitegrálja ]a,b[-o diverges! (Ez fotos, mert ekkor em létezik az improprius itegrál.) - I értéke függetle c-től - Ha f em korlátos az itervallum egy γ belső potjáak köryezetébe, akkor az itervallumot kettévághatjuk; az improprius itegrál additív 11
12 Numerikus sorok Defiíció: Az a umerikus sorozat tagjaiból képzett végtele összeget umerikus sorak evezzük. a =1 1. Numerikus sor fogalma a = a 1 + a 2 + a 3 + =1 Az (a ) umerikus sorozatból képezzük az alábbi sorozatot: s 1 a 1 s 2 a 1 + a 2 s 3 a 1 + a 2 + a 3 2. Numerikus sor kovergeciája s = a j j=1 Azt modjuk, hogy a a sor koverges, ha (s ) koverges. - a a sor. tagja vagy általáos tagja - s a sor. részletösszege Az (s ) sorozat határértékét a a sor összegéek modjuk, azaz s = lim s = lim a j = a j A umerikus sorok kovergeciájáak szükséges feltétele: Ha a umerikus sor koverges (a ) umerikus sorozat ullsorozat, azaz lim a = 0. Állítás: A aq 0 végtele geometriai sor koverges q < 1, ekkor a sorösszeg a j=1 A umerikus sorok kovergeciájáak elégséges feltétele: TÉTEL: A a umerikus sor koverges ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε) ε-tól függő szám, hogy: a +1 + a a m < ε ha, m > N(ε) és m > Cauchy-féle kovergecia kritérium: a a m < ε, ha, m > N(ε) Vagyis: a umerikus sor koverges ha (s ) Cauchy-sorozat! TÉTEL: Ha a koverges, akkor bármely csoportosított sora is koverges és a két sor összege megegyezik! (Megfordítva is igaz.) Defiíció: a a sort abszolút kovergesek evezzük, ha a koverges. Ha a sor koverges, DE NEM abszolút koverges, akkor feltételes kovergeciáról beszélük. j=1 1 1 q 12
13 TÉTEL: Abszolút koverges sor feltételese is koverges. (Visszafelé em igaz!) (Ott érdekes ez, ahol poz. és eg. számok váltogatják egymást.) TÉTEL: Abszolút koverges sor bármely átredezett sora is koverges. 3. Numerikus sor divergeciája Például, ha a szükséges feltétel (ullsorozat) em teljesül, akkor diverges. Jellegzetes diverges sor: 4. Kovergecia tesztek 1 =1 Majorálás/miorálás: Legye a és b emegatív tagú sorok, melyekre a < b mide természetes számra vagy egy bizoyos -től, ekkor: Miorás kritérium: HA a diverges, akkor b is az. Majorás kritérium: HA b koverges, akkor a is az. D Alambert-féle háyadosteszt Legye a egy pozitív tagú sor (hogy e osszuk 0-val). Ha létezik 0 < q < 1 valós szám, hogy a lim +1 < q ( N vagy > a 0 ), akkor a koverges. a Ha lim +1 a > 1, akkor diverges; ha lim +1 a a kovergeciájáról! = 1, akkor em tuduk semmit a Cauchy-féle gyökteszt Legye a egy emegatív tagú (a gyökvoás miatt) umerikus sor. Ha létezik 0 < q < 1 valós szám, hogy lim a < q ( N vagy > 0 ), akkor a koverges. 13
14 + TÉTEL: itegrál kritérium Ha x 1 eseté az f folytoos, emegatív és csökkeő, akkor f() umerikus sor koverges vagy diverges aszerit, hogy az f(x)dx 1 improprius itegrál koverges vagy diverges-e. DEFINÍCIÓ: A ( 1) +1 b umerikus sort alteráló umerikus sorak hívjuk. TÉTEL: Leibiz típusú sorok A ( 1) +1 b alteráló umerikus sor koverges ha (b ) mooto csökkeő ullsorozat. Továbbá, s s < b +1, ahol s a ( 1) +1 b alteráló sor sorösszege, s pedig az. részletösszege. 14
Matematika szigorlat (A1-A2-A3)
Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenA2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015
A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenMatematika A2 tételek
Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív -
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenFONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK
FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK. táblázat Szimbólum Jeletése, eve Olvasása Példa N N + Z Q Q * R C 0, { } +, % " $ Œ Ã, Õ» «\ +,, * :,, / = π := < > ª @ ~ Természetes számok halmaza Pozitív egész
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenMatematika A1 vizsga elméleti kérdések
Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenKÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév
KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenKétváltozós függvények
Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenVégtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8
Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok
RészletesebbenSorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához
Segédayag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Sáfár Orsolya Komplex számok fogalma A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, aak érdekébe, hogy a gyökvoás mûvelete elvégezhetõ legye
RészletesebbenFeladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal
Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
Részletesebben