Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Átírás

1 Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika (Scolar Kiadó, Budapest, 2009)

2 A1 miimumkérdések Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség 2. Descartes-szorzat, hatváyhalmaz 3. Csoport, gyűrű, test 4. Komplex számok algebrai, expoeciális, trigoometrikus alakja 5. Komplex számok hatváyozása 6. Komplex számok gyökvoása Numerikus sorozatok 1. Numerikus sorozat határértéke 2. Koverges, diverges sorozat 3. Nevezetes sorozatok 4. Cauchy sorozat 5. Torlódási pot Függvéyek, Derivált 1. Függvéy, értelmezési tartomáy, értékkészlet 2. Függvéy határérték 3. Függvéy folytoosság 4. Iverz függvéy 5. Derivált 6. Lokális szélsőérték defiíciója és feltétele 7. L Hospital szabály Középérték tételek és Itegrálás 1. Lagrage középérték tétel 2. Rolle középérték tétel 3. Cauchy középérték tétel 4. Riema-itegrálhatóság 5. Newto-Leibitz formula 6. Improprius itegrálok Numerikus sorok 1. umerikus sor fogalma 2. umerikus sor kovergeciája (feltételes is), 3. umerikus sor divergeciája 4. kovergecia tesztek

3 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz: egyetle eleme sics o emüres halmaz: legalább egy eleme o jól megadott halmaz: ha bármely elemről eldöthető, hogy beletartozik-e A és B az X alaphalmaz részhalmazai, ekkor metszet: A B = { x X x A x B } Két halmaz diszjukt, ha metszetük üres halmaz. uió: A B = { x X x A x B } külöbség: A \ B = { x X x A x em B } egyéb: A A az A részhalmaza ömagáak: reflexív tulajdoság ha A B és B A A = B vagyis atiszimmetrikus (A részhz.-a B-ek és fordítva) ha A B és B C A C trazitív tulajdoság (A a agyobb hz.-ak is részhz.-a) 2. Descartes-szorzat, hatváyhalmaz Descartes-szorzat: az A és B halmazok Descartes-szorzatá az A és B halmazok elemeiből alkotott összes redezett elempár halmazát értjük. Jelölése: A B = { (a;b) a A b B } Az A B szorzathalmaz egy T A B részhalmaza az A és B halmazok elemei közti kételemű (biér) reláció Ha (a; b) T, akkor a és b relációba vaak: atb Hatváyhalmaz: egy halmaz összes részhalmazaiak halmaza Egy elemű halmazak 2 darab részhalmaza va Kommutativitás = felcserélhetőség Asszociativitás = csoportosíthatóság Disztributivitás = szétbothatóság 3. Csoport, gyűrű, test (~A2) félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás) csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak ÉS létezik zérus elem ill. iverz elem (összeadásak a kivoás, szorzásak az osztás az ivertálása) (pl. egész számok halmaza eseté az összeadás) Abel-csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak és kommutatívak is ill. létezik a zérus elem és az iverz elem gyűrű: olya csoport, amelybe a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra ézve (pl. az egész számok eseté az összeadásra ézve a szorzás) A gyűrűbe tehát elvégezhető: az összeadás, a kivoás és a szorzás 1

4 test: olya csoport, amelybe a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra ézve (pl. racioális számokál az összeadásra ézve a szorzás disztributív) A testbe, mit algebrai struktúrába tehát elvégezhető az összeadás, kivoás, szorzás és az osztás 4. Komplex számok algebrai, trigoometrikus, expoeciális alakja algebrai alak: z = a + bi (z valós része a, képzetes része pedig b) kojugált: z = a bi abszolút érték: z = a 2 + b 2 (Pitagorasz-tételből), és mivel z z = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 +b 2, ezért z = z z trigoometrikus alak: z = r(cosφ + i siφ), mivel cosφ = a r siφ = b r Tehát a = rcosφ és b = rsiφ, ie már egyértelműe következik a trigoometrikus alak az algebraiból r-t kiemelve (a = r cosφ és bi = r isiφ) expoeciális alak: z = r e i φ ez csak egy szimbólum, rövidítés, ami megköyíti a számolást a komplex számokkal, léyegébe a trigoometrikus alak kicsit rövidebbe. 5. Komplex számok hatváyozása z = [r(cosφ + isiφ)] = r (cos(φ) + isi(φ)) (de Moivre-képlet) Bizoyítás: teljes idukcióval 1) =1 OK =2 OK 2) idukciós feltétel: = k ekkor z k = r k (cos(kφ) + isi(kφ)) ha = k + 1, akkor z k+1 = z k z = r k (cos(kφ) + isi(kφ)) r(cos(φ) + isi(φ)) = r k+1 [cos(kφ + φ) + isi(kφ + φ)] = r k+1 [cos((k + 1)φ) + isi((k + 1)φ)] és k+1 az volt, tehát a bizoyítás kész. 6. Komplex számok gyökvoása z 1 = z 2 = r 1 (cos(φ 1 ) + isi(φ 1 )) = r 2 (cosφ 2 + isiφ 2 ) z 1 = z 2 Két komplex szám akkor egyelő, ha a hosszuk és argumetumuk is egyelő: r 1 = r 2 (hossz) φ 1 = φ 2 + k 2π (argumetum) forgásszög, periodicitás miatt p = 2π Így φ 1 = φ 2+k 2π k {0, 1, 2,, 1} Tehát z φ + k2π φ + k2π = r [cos + i si ] Az -edik gyökvoás utá olya komplex számokat kapuk, amik egy szabályos sokszög (-szög) csúcsai! Tehát -edik gyökvoás eseté db komplex szám a megoldás. 2

5 Numerikus sorozatok Mitől umerikus? Attól, hogy a sorozat a pozitív egész számok halmazá értelmezett függvéy. 1. Numerikus sorozat határértéke TÉTEL: Az (a ) koverges és határértéke az a R akkor és csak akkor, ha bármely poz. ε-hoz létezik olya N(ε) küszöbidex (küszöbszám), hogy a sorozat N(ε)-ál agyobb idexű elemei már az a ε-sugarú köryezetébe esek. (az ilye idexű elemekből végtele sok va!) TÉTEL 2: Az (a ) koverges és határértéke az a R akkor és csak akkor, ha az a bármely poz. ε-sugarú köryezeté kívül csak véges sok eleme va a sorozatak. (ez ekvivales az első tétellel) Következméy: Ha egy sorozatak véges sok elemét megváltoztatjuk, vagy a sorozathoz véges sok elemet hozzáveszük / elhagyuk belőle, akkor sem a kovergecia, sem a határérték em változik meg! 2. Koverges, diverges sorozat DEFINÍCIÓ: Az (a ) koverges, ha va olya a R szám, hogy mide ε > 0 valós szám eseté létezik N(ε) valós küszöbszám, hogy a a < ε, ha > N(ε) azaz a ε < a < a + ε Az a számot az (a ) határértékéek hívjuk, és a lim a = a vagy az a a, ha jelölést haszáljuk. Az (a ) diverges, ha em koverges. Tételek: - Koverges sorozat korlátos. (Mide koverges sorozat korlátos, de em mide korlátos sorozat koverges, csak az, ami mooto is, így pl. ( 1) em!) - Mooto korlátos sorozat koverges. - Mooto, em korlátos sorozatak va határértéke. koverges va határértéke va határértéke/torlódási potjai em biztos, hogy koverges Bolzao-Weierstrass-tétel: mide korlátos sorozatak va koverges részsorozata. 3. Nevezetes sorozatok Olya sorozatok, amelyek határértékét NEM KELL BIZONYÍTANI, csak felhaszáli! Beroulli-féle egyelőtleség: ha x 1, akkor (1 + x) 1 + x I. a 0, ha a < 1 1, ha a = 1 +, ha a > 1 diverges, ha a < 1 II. a 1, ha (a > 0) III. a k 0 (ullsorozat), ha a < 1 és k rögzített természetes szám 3

6 IV. V. 1, ha ( 2) a 0 (a R) Hisze a faktoriális gyorsabba ő, mit a hatváyfüggvéy!! Legfotosabb: (1 + α ) e α 4. Cauchy sorozat Defiíció: Az (a )-t Cauchy-sorozatak evezzük, ha mide ε > 0 eseté N(ε) küszöbidex, hogy a a m < ε, ha, m > N(ε) (, m N) Tétel: Cauchy-féle kovergecia kritérium (szükséges ÉS elégséges feltétel) Az (a ) akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy sorozat! 5. Torlódási pot Defiíció: A h a H halmaz torlódási potja, ha h bármely köryezetébe va H-ak h-tól külöböző eleme. A t szám a sorozat torlódási potja, ha t akármilye kicsi köryezete a sorozat végtele sok elemét tartalmazza. Például ( 1) Fotos: A határérték is torlódási pot! Függvéyek, derivált 1. Függvéyek, értelmezési tartomáy, értékkészlet függvéy: ha az A (emüres) halmaz mide egyes eleméhez hozzáredeljük a B (emüres) halmaz potosa egy elemét, akkor ezt a leképezést függvéyek evezzük. értelmezési tartomáy: azo elemek halmaza, melyekhez a függvéy hozzáredel egy-egy elemet a B halmazból, jele esetbe ez az A halmaz. D f = A értékkészlet: A képhalmaz, azaz a B halmaz azo elemei, melyeket az f függvéy téylegese hozzáredel az A valamelyik eleméhez. Az értékkészlet tehát része a képhalmazak: R f B 2. Függvéy határérték Azt modjuk, hogy az f függvéy határértéke az a potba A, ha mide ε > 0 számhoz létezik olya δ(ε) > 0, hogy ha 0 < x a < δ(ε), akkor f(x) A < ε. /Ez a Cauchy-féle defiíció/ x a < δ(ε) azt jeleti, hogy: δ(ε) < x a < δ(ε) /+a a δ(ε) < x < a + δ(ε) Szemléletesese: azt jeleti, hogy a függvéyértékek (f(x)-ek) tetszőlegese megközelítik az A számot, ha az ε értékek elég közel kerülek a-hoz. 4

7 Az f függvéyek az a potba acsa (akkor és csak akkor) va határértéke, ha va bal- és jobboldali határértéke és ez a kettő megegyezik! Határérték a végtelebe Az f függvéy határértéke + -be A, ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε), hogy f(x) A < ε, ha x > N(ε). Az f függvéy határértéke -be A, ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε), hogy f(x) A < ε, ha x < N(ε). A végtele, mit határérték Az f függvéy határértéke a-ba +, ha bármely N > 0 eseté va olya δ(n), hogy f(x) > N, ha 0 < x a < δ(n). Az f függvéy határértéke a-ba, ha bármely N > 0 eseté va olya δ(n), hogy f(x) < N, ha 0 < x a < δ(n). 3. Függvéy folytoosság Az f függvéy az értelmezési tartomáyáak a potjába folytoos, ha ebbe a potba létezik határértéke és ez egyelő az adott potbeli helyettesítési értékkel, azaz ha lim f(x) = f(a). x a Defiíció: Az f függvéyt folytoosak evezzük az a D f potba, ha bármely ε > 0 eseté va olya δ(ε) > 0 szám, hogy ha x a < δ(ε), akkor f(x) f(a) < ε. Az f függvéy egy itervallumo egyeletese folytoos, ha bármely ε > 0 számhoz va olya δ > 0 szám, hogy f értelmezési tartomáyáak bármely x 1, x 2 elemére, amelyek távolsága egymástól kisebb δ-ál, feáll az f(x 1 ) f(x 2 ) < ε egyelőtleség. Tétel: Az f függvéy potosa akkor folytoos értelmezési tartomáyáak a potjába, ha ott balról és jobbról is folytoos. Def.: Az f függvéy folytoos az ]a, b[-o, ha folytoos ]a, b[ mide potjába. Az f függvéy folytoos az [a, b]-o, ha folytoos ]a, b[-o és a-ba balról, b-be jobbról folytoos. A folytoosság éháy evezetes következméye: - ha f folytoos egy zárt itervallumo, akkor ott egyeletese folytoos. - Bolzao-tétel: ha a függvéy a zárt itervallumo folytoos, és az itervallum két végpotjába az értékei külöböző előjelűek, akkor az itervallum belsejébe va zérushelye. Másképp: felvesz mide f(a) és f(b) közé eső értéket egy folytoos függvéy egy zárt itervallumo. - Weierstrass-tétel: Zárt itervallumo folytoos függvéy felveszi a miimumát és a maximumát is függvéyértékkét; továbbá mide olya értéket, ami a legagyobb és legkisebb érték közé esik. (Arról em szól a tétel, hogy a függvéy HOL veszi fel a mi. és max. értékét.) 5

8 4. Iverz függvéy Ha az f: X Y függvéyél a leképezés iráyát megfordítjuk, vagyis az Y halmaz elemeit képezzük le az X halmaz elemeire, akkor ez a fordított leképezés általába em függvéy, mert em biztos, hogy egy y Y elemek egyetle x X elem felel meg. Ezért fotos az, hogy f bijektív, azaz kölcsööse egyértelmű legye, mert ekkor az f 1 -gyel jelölt fordított leképezés is már függvéy lesz. Defiíció: Ha az f: X Y függvéy kölcsööse egyértelmű, akkor az f 1 = Y X függvéyt f iverz függvéyéek evezzük. Ekkor igaz az alábbi összefüggés: f 1 (f(x)) = f(f 1 (x)) = x Egyszerűbbe megfogalmazva: az f és az f 1 függvéyekél az értelmezési tartomáy és az értékkészlet helyet cserél. Eek következtébe az ábrázolásál a koordiátategelyek helyet cserélek, s az y = f(x) és y = f 1 (x) görbék egymásak tükörképei az y = x egyeesre ézve. 5. Derivált Legye f: I R R függvéy értelmezve az x I potba és aak egy köryezetébe. Ha x a, akkor az f(x) f(a) háyadost differeciaháyadosak evezzük. x a f(x) f(a) Ha létezik és véges a lim határérték, akkor azt az f függvéy deriváltjáak vagy x a x a a potbeli differeciálháyadosáak evezzük és a d f(a) vagy f (a) jelöléseket haszáljuk. dx f(x+ x) f(x) Régi jelölés: lim = f (x) x 0 x Ha x-szel elkezdek közelítei a-hoz: a szelőkből éritő lesz. m = tgα = f(x) f(a) x a Adott potbeli derivált = adott potbeli éritő meredeksége! Az éritő egyelete: y = f (a)(x a) + f(a) ~ m(x x 0 ) = y y 0 átredezve Defiíció: az f: [a; b] R függvéy balról differeciálható a b potba, ha létezik és véges a f(x) f(b) lim egyoldali határérték. x b x b Az f: [a; b] R függvéy jobbról differeciálható az a potba, ha létezik és véges a lim x a+ f(x) f(a) x a egyoldali határérték. Eszerit megkülöböztetük bal- és jobboldali deriváltat. TÉTEL: az f: I R függvéy differeciálható az a I potba ha létezik (és így véges) a bal- és jobboldali deriváltja a-ba ÉS ezek egyelők. TÉTEL: ha az f függvéy differeciálható az x 0 potba, akkor ott folytoos. (DE: attól, hogy folytoos, em biztos, hogy differeciálható a függvéy mide potjába!) Defiíció: az f: ]a; b[ R függvéy differeciálható ]a;b[-o, ha differeciálható x ]a; b[ potba. Az f: [a; b] R függvéy differeciálható [a;b]-o, ha differeciálható ]a; b[-o ÉS a-ba jobbról, b-be balról differeciálható. 6

9 +Az iverz függvéy deriválási szabálya:! f: I R R fv. szig. mo. és folytoos az x 0 pot egy köryezetébe; f (x 0 ) 0. Ekkor az f fv. iverze is differeciálható a b f(x 0 ) potba és (f 1 (b)) 1 = f (x 0 ) 6. Lokális szélsőérték defiíciója és feltétele Defiíció: Legye f: I R R, a I. Azt modjuk, hogy f-ek a-ba lokális maximuma va, ha va olya δ > 0, hogy f(a) f(x) mide olya x- re, ami bee va a-ak a δ sugarú köryezetébe. f-ek a-ba lokális miimuma va, ha va olya δ > 0, hogy f(a) f(x) mide olya x- re, ami bee va a-ak a δ sugarú köryezetébe. Szükséges feltétel: ha f: I R R függvéy differeciálható és f-ek α it I-be szélsőértéke va, akkor f (α) = 0. // α it I: olya α, ami I egy belső potja Elégséges feltétel: ha f: I R R függvéy differeciálható ÉS α it I, továbbá va ekük egy r > 0 számuk, amire az teljesül, hogy f (x) 0, ha x ]α r; α] VAGY f (x) 0, ha x [α; α + r[ akkor f-ek α-ba lokális maximuma va. f (x) 0, ha x ]α r; α] VAGY f (x) 0, ha x [α; α + r[ akkor f-ek α-ba lokális miimuma va. Egyszerűbbe: az f függvéyek az x 0 -ba lokális szélsőértéke va, ha f (x 0 ) = 0 DE f (x 0 ) 0. - ha a 2. derivált pozitív, akkor lokális miimuma (kovex!) - ha a 2. derivált egatív, akkor lokális maximuma va (kokáv!) - Általáosabba: f (α) = 0 = f (α) = 0 = f (α) = 0 f ( 1) (α) = 0, de f () (α) 0 (f -edik deriváltja MÁR NEM NULLA) - Ekkor f () deriváltját vizsgáljuk: ha páros, akkor va csak szélsőértéke (ugyaúgy, vagyis ha pozitív, akkor lokális miimum; ha egatív, akkor lokális maximum.) 7. L Hospital szabály TÉTEL: Legye f és g differeciálható függvéyek az α pot egy köryezetébe (α-ba em szükségképpe). Továbbá, lim f(x) = lim g(x) = 0 x α x α vagy lim x α f(x) = lim x α g(x) = Ahol α {a; a + 0; a 0; ± } lim x α f (x) lim f(x) Ekkor: = x α lim g (x) lim x α x α g(x) Fotos, hogy akkor lehet csak haszáli, ha a háyados határértéke 0 0 vagy alakú! 7

10 Középérték tételek és itegrálás Függvéyek és deriváltjaik kapcsolatáak vizsgálatakor haszálhatjuk fel a középértéktételeket 1. Rolle középértéktétel Legye f folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, továbbá f(a) = f(b) = 0. Ekkor létezik ξ ]a; b[, melyre f (ξ) = 0 (vízszites éritő!) Ha f(x) 0 (azoosa, mide potba ulla) ekkor yilvá f(ξ) = f (ξ) = 0. Érdekesebb: ha f(x) 0 α) eset: Weierstrass tétele miatt (folytoos függvéy zárt itervallumo felveszi a szélsőértékét függvéyértékkét) létezik a függvéyek maximuma! Azaz va olya ξ, amire igaz, hogy f(ξ) f(x) mide x [a; b] eseté. Ekkor f(x) f(ξ) törtet vizsgálva: x ξ az f(x) f(ξ) számláló midig 0, mert f(ξ) f(x) a evező pedig pozitív, ha x > ξ, így az egész tört egatív, tehát f (ξ) 0 a evező pedig egatív, ha x < ξ, így az egész tört pozitív, tehát f (ξ) 0 De ha lim ξ x f(x) f(ξ) x ξ = f (ξ) = 0 (csak az egyelőség a jó ekük) β) eset: α-val aalóg módo bizoyítható. γ) eset: α és β esetekből összerakható. 2. Lagrage középértéktétel (a Rolle középértéktétel általáosítása) Legye f folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, ekkor létezik ξ ]a; b[, hogy f(b) f(a) = f (ξ) b a Ez körülbelül azt jeleti: ha húzuk egy voalat (húrt) a két végpot között, akkor lesz legalább egy pot a függvéye, amiek a deriváltja (vagyis az adott potbeli éritő meredeksége!) megegyezik a húr meredekségével! Vagyis az ábrá a piros húr párhuzamos lesz a zöld éritővel! 8

11 Tekitjük az (a, f(a)) és a (b, f(b)) potokat összekötő húrt, amiek az egyelete: h(x) = f(a) + f(b) f(a) (x a) b a //ez az m(x x 0 ) = y y 0 képletből jö ki g(x) f(x) h(x), így g(a) = f(a) h(a) = f(a) f(a) = 0 és g(b) = f(b) h(b) = f(b) f(b) = 0 g folytoos az [a; b]-o, mert f és h is az g differeciálható ]a; b[-o, mert g (x) = f (x) h (x) = f (x) f(b) f(a) b a A Rolle-tételt alkalmazva a g függvéyre: létezik ξ ]a; b[, melyre g (ξ) = 0 (vízszites éritő) Így g (ξ) = f (ξ) f(b) f(a) b a = 0 = f (ξ) = f(b) f(a) b a 3. Cauchy középértéktétel Legye f és g folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, ekkor létezik ξ ]a; b[, hogy f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ) Bizoyítás Alkalmas segédfüggvéy bevezetésével: h(x) f(x) + λg(x) ahol λ-t úgy választjuk meg, hogy h(a) = h(b) teljesüljö. h(a) = h(b) f(a) + λg(a) = f(b) + λg(b) átredezve f(a) f(b) = λ[g(b) g(a)] leosztva, (-1)-et kiemelve f(b) f(a) g(b) g(a) = λ h(x) f(x) + λg(x) volt, tehát h (x) f (x) + λg (x) = f (x) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x) Most még alkalmazzuk a Rolle tételt a segédfüggvéyre: ξ ]a; b[, melyre h (ξ) = 0, ebből h (ξ): = f (ξ) f(b) f(a) g(b) g(a) g (ξ) = 0, ezt átredezve adódik, hogy f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a) Megjegyzés: a Cauchy-féle középértéktételből g(x) = x választással adódik a Lagrage középértéktétel: f(b) f(a) b a hisze így g(b) = b és g(a) = a g (x) = x = 1 9 = f (ξ) 1

12 4. Riema-itegrálhatóság Defiíció: f: [a, b] R korlátos függvéy. (Nem kell folytoosak, ill. deriválhatóak leie!) I = sup{s(f, d) d [a, b]-ek egy beosztása} Darboux-féle alsó itegrál I = if{s(f, d) d [a, b]-ek egy beosztása} Darboux-féle felső itegrál Az f függvéy Riema-itegrálható [a; b]-o, ha a Darboux-féle alsó- és felső itegráljai megegyezek. E közös értéket az f függvéy Riema-itegráljáak evezzük és f(x)dx-szel jelöljük. Darboux tétele: 0 I s(f, d) < ε valamit 0 S(f, d) I < ε teljesül. Vagyis: a felső/alsó it. közelítő összeg tetszőlegese kicsivé tehető. A Riema-itegrálhatóság kritériumai: Korábba: a S(f, d) felső itegrálközelítő összeg mooto csökke, a s(f, d) alsó itegrálközelítő összeg mooto ő! A kettő itegrálközelítő összeg határértéke pedig -be a Riema-itegrál. b a m i if{f(x) x [x i 1 ; x i ] } M i sup{f(x) x [x i 1 ; x i ] } a beírt téglalapok közül a legagyobb magassága a köré írt téglalapok közül a legkisebb magassága s(f, d) i=1 m i (x i x i 1 ) S(f, d) i=1 M i (x i x i 1 ) O(f, d) Oszcillációs összeg: S(f, d) s(f, d) TÉTEL: első kritérium, oszcillációs összeggel Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f R[a; b] (az [a, b]-o értelmezett Riema-itegrálható függvéyek halmazáak eleme az f függvéy) potosa akkor, ha mide ε > 0 eseté létezik olya d beosztás, hogy O(f, d) < ε; vagyis hogy az oszcillációs összeg tetszőlegese kicsivé tehető! Bizoyítása: f Riema-itegrálható [a, b]-o, tehát I = I = I. A Darboux-tételt összeadva így kijö, hogy S(f, d) s(f, d) < 2 ε = ε, azaz O(f, d) < ε 2 TÉTEL: második kritérium, itegrálközelítő összeggel (ezt akartuk bizoyítai) Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f Riema-itegrálható ε > 0 eseté δ(ε) > 0, hogy σ(f, d, t) I < ε ha d < δ(ε) (d beosztásáak fiomsága kisebb) és t egy tetszőleges közbeeső érték-vektor. A σ(f, d, t) f(t i) (x i x i 1 ) i=1 összeget az f függvéy d beosztásához, t közbeeső érték vektorhoz tartozó itegrálközelítő összegéek hívjuk. 10

13 Bizoyítása: Darboux-tételből! s(f, d) > I ε ill. S(f, d) < I + ε TÉTEL: harmadik kritérium, ormális beosztással I ε < s(f, d) σ(f, d, t) S(f, d) < I + ε ε < σ(f, d, t) I < ε így σ(f, d, t) I < ε Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f Riema-itegrálható [a;b]-o ha bármely (d k ) ormális beosztássorozat és t (k) közbeeső értékvektor-sorozat eseté σ(f, d k, t (k) ) koverges. Ekkor lim σ(f, d k, t (k) ) = f. k a 5. Newto-Leibiz-formula az itegrálszámítás alaptétele b Legye f R[a, b]-o és F: [a, b] R olya, hogy F folytoos [a, b]-o, deriválható az ]a, b[-o és F (x) = f(x) mide x ]a, b[-ra (azaz F deriváltja mide potba f-et adja!). Jelölése: F(b) F(a) [F(x)] a b b Ekkor f(x)dx = F(b) F(a) a Bizoyítása: természetese egy mide határo túl fiomodó, ormális beosztássorozattal. 6. Improprius itegrál Eddig, a Riema-itegrálál: legye f korlátos Defiíció:! a, b R b, a < b A bővített valós számok halmaza: R b R { ; + }, továbbá teljesüljö a következő két feltétel is: 1. Mide [x, y] ]a, b[ eseté f legye Riema-itegrálható [x, y]-o. (x, y R) 2. Létezze olya c R, a < c < b, hogy lim f(t)dt x a x c és y lim f(t)dt y b c határértékek létezzeek és végesek legyeek. Ekkor az I lim f(t)dt x a x c + lim y b y c f(t)dt összeget az f függvéy improprius itegráljáak b a evezzük az ]a, b[-o és f(t)dt-vel jelöljük. - Azt is modjuk, hogy az f függvéy improprius Riema-itegrálja az ]a; b[ itervallumo koverges. - Ha az 1. feltétel teljesük, DE a 2. feltétel NEM, akkor az f függvéy improprius Riemaitegrálja ]a,b[-o diverges! (Ez fotos, mert ekkor em létezik az improprius itegrál.) - I értéke függetle c-től - Ha f em korlátos az itervallum egy γ belső potjáak köryezetébe, akkor az itervallumot kettévághatjuk; az improprius itegrál additív 11

14 Numerikus sorok Defiíció: Az a umerikus sorozat tagjaiból képzett végtele összeget umerikus sorak evezzük. a =1 1. Numerikus sor fogalma a = a 1 + a 2 + a 3 + =1 Az (a ) umerikus sorozatból képezzük az alábbi sorozatot: s 1 a 1 s 2 a 1 + a 2 s 3 a 1 + a 2 + a 3 2. Numerikus sor kovergeciája s = a j j=1 Azt modjuk, hogy a a sor koverges, ha (s ) koverges. - a a sor. tagja vagy általáos tagja - s a sor. részletösszege Az (s ) sorozat határértékét a a sor összegéek modjuk, azaz s = lim s = lim a j = a j A umerikus sorok kovergeciájáak szükséges feltétele: Ha a umerikus sor koverges (a ) umerikus sorozat ullsorozat, azaz lim a = 0. Állítás: A aq 0 végtele geometriai sor koverges q < 1, ekkor a sorösszeg a j=1 A umerikus sorok kovergeciájáak elégséges feltétele: TÉTEL: A a umerikus sor koverges ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε) ε-tól függő szám, hogy: a +1 + a a m < ε ha, m > N(ε) és m > Cauchy-féle kovergecia kritérium: a a m < ε, ha, m > N(ε) Vagyis: a umerikus sor koverges ha (s ) Cauchy-sorozat! TÉTEL: Ha a koverges, akkor bármely csoportosított sora is koverges és a két sor összege megegyezik! (Megfordítva is igaz.) Defiíció: a a sort abszolút kovergesek evezzük, ha a koverges. Ha a sor koverges, DE NEM abszolút koverges, akkor feltételes kovergeciáról beszélük. j=1 1 1 q 12

15 TÉTEL: Abszolút koverges sor feltételese is koverges. (Visszafelé em igaz!) (Ott érdekes ez, ahol poz. és eg. számok váltogatják egymást.) TÉTEL: Abszolút koverges sor bármely átredezett sora is koverges. 3. Numerikus sor divergeciája Például, ha a szükséges feltétel (ullsorozat) em teljesül, akkor diverges. Jellegzetes diverges sor: 4. Kovergecia tesztek 1 =1 Majorálás/miorálás: Legye a és b emegatív tagú sorok, melyekre a < b mide természetes számra vagy egy bizoyos -től, ekkor: Miorás kritérium: HA a diverges, akkor b is az. Majorás kritérium: HA b koverges, akkor a is az. D Alambert-féle háyadosteszt Legye a egy pozitív tagú sor (hogy e osszuk 0-val). Ha létezik 0 < q < 1 valós szám, hogy a lim +1 < q ( N vagy > a 0 ), akkor a koverges. a Ha lim +1 a > 1, akkor diverges; ha lim +1 a a kovergeciájáról! = 1, akkor em tuduk semmit a Cauchy-féle gyökteszt Legye a egy emegatív tagú (a gyökvoás miatt) umerikus sor. Ha létezik 0 < q < 1 valós szám, hogy lim a < q ( N vagy > 0 ), akkor a koverges. 13

16 + TÉTEL: itegrál kritérium Ha x 1 eseté az f folytoos, emegatív és csökkeő, akkor f() umerikus sor koverges vagy diverges aszerit, hogy az f(x)dx 1 improprius itegrál koverges vagy diverges-e. DEFINÍCIÓ: A ( 1) +1 b umerikus sort alteráló umerikus sorak hívjuk. TÉTEL: Leibiz típusú sorok A ( 1) +1 b alteráló umerikus sor koverges ha (b ) mooto csökkeő ullsorozat. Továbbá, s s < b +1, ahol s a ( 1) +1 b alteráló sor sorösszege, s pedig az. részletösszege. 14

17 Matematika A2 szóbeli beugró kérdések 2015 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test 2. Euklideszi tér 3. Vektortér 4. Vektorok lieáris függősége és függetlesége 5. Lieáris egyeletredszer 6. Lieáris egyeletredszer megoldhatóságáak szükséges és elégséges feltétele 7. Mátrix determiás 8. Mátrix iverz 9. Mátrix rag Lieáris algebra II. 1. Lieáris leképezés fogalma 2. Ragullitás tétele 3. Magtér, képtér 4. Sajátvektor, sajátérték 5. Bázis traszformáció 6. Hasoló mátrixok 7. Ortogoális mátrix Függvéysorozatok, függvéysorok 1. Függvéysorozat 2. Függvéysor 3. Függvéysorozat, függvéysor kovergeciája, egyeletes kovergeciája 4. Weierstrass-tétel 5. Cauchy-Hadamard-tétel 6. Hatváysor 7. Taylor-poliom, Taylor-sor 8. Kovergecia sugár, kovergecia tartomáy 9. Fourier-sor Többváltozós függvéyek 1. Primitív függvéy 2. R R leképezés differeciálhatósága 3. Iráymeti derivált 4. Parciális derivált 5. Gradies 6. Jakobi mátrix 7. Szélsőérték 8. Kvadratikus formák defiitsége 9. Riema-itegrálhatóság (alsó-felső Darboux-itegrál)

18 A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 2015 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás) csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak, és létezik zérus (vagy egység-) elem, ill. iverz elem (összeadásak a kivoás, szorzásak az osztás az ivertálása) (pl. egész számok halmaza eseté az összeadás) Abel-csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak, és kommutatívak is, ill. létezik a zérus elem és az iverz elem gyűrű: olya Abel-csoport, amelybe a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra ézve (pl. az egész számok eseté az összeadásra ézve a szorzás) A gyűrűbe már két műveletet defiiáluk! Az új, második művelet is asszociatív (azaz tetszőlegese zárójelezhető). test: olya Abel-csoport, amelybe a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra ézve (pl. racioális számokál az összeadásra ézve a szorzás disztributív) A testbe szité két műveletet defiiáluk! Az új, második művelet itt is asszociatív. Továbbá, létezik a második műveletre is az egység (e) és az iverz (a*) elem. 2. Euklideszi tér Valós euklideszi térbe értelmezhetőek: skaláris szorzat: < x, y >: = x 1 y 1 + x 2 y x y Tulajdoságai: szimmetrikus, homogé, additív, emegatív (vektorterek axiómái) vektor hossza: x < x, x > vektorok közbezárt szöge: cos (x, y) <x,y> x y Def.: Az olya lieáris teret (vektorteret), amelybe skaláris szorzat va értelmezve, euklideszi térek evezzük. Pl. a geometriai vektortér euklideszi tér. Cauchy-Buyakovszkij-Schwarz-egyelőtleség : < x, y > 2 < x, x > < y, y > Ahol < x, x > = x 2 2 illetve < y, y > = y (ld. vektor hossza) Következméye: valós euklideszi terekbe igaz a háromszög-egyelőtleség: x + y x + y Tétel: mide dimeziós euklideszi térbe létezik ortoormált (egységyi hosszúak az ortogoális, azaz egymásra merőleges bázisvektorok) bázis. 1

19 3. Vektortér Def.: Az elemek egy V halmazát a γ számtest (valós, egész, komplex számok stb.) felett vektortérek evezzük, ha értelmezve va 2 művelet: egy összeadás (+) a vektortér elemei között és egy szorzás ( ) a számtest és a vektortér elemei között, és érvéyesek az alábbiak: 1) ha a, b V, akkor a + b V 2) a + b = b + a a, b V kommutativitás (+) 3) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c V asszociativitás (+) 4) létezik zéruselem, ahol a + 0 = 0 + a = a a V 5) létezik az iverz elem, amelyre a + ( a) = 0 6) ha a V, α γ, akkor α a V 7) α(a + b) = αa + αb disztributivitás (+) a ( )-ra 8) (α + β)a = αa + βa a V 9) α(βa) = (αβ)a asszociativitás ( ) a ( )-ra Általáosa: a, b V és α, β γ 1)-5) állítások az összeadásra, 6)-9) állítások a szorzásra voatkozak 4. Vektorok lieáris függősége és függetlesége Az {a 1, a 2,, a } vektorok lieárisa függetleek, ha csak a triviális, α i = 0 megoldása va az α 1 a 1 + α 2 a α a = 0 egyeletek. Ellekező esetbe bármely α em ulla lieárisa összefüggőek (azaz em függetleek) ezek a vektorok. Az α 1 a 1 + α 2 a α a vektor az a 1, a 2,, a vektorok lieáris kombiációja. 5. Lieáris egyeletredszer Def.: A véges sok elsőfokú egyeletet és véges sok ismeretlet tartalmazó egyeletredszert lieáris egyeletredszerek evezzük. Az egyeletredszer felírható az A x = b ú. mátrix alakba, ahol A az együttható mátrix, x az ismeretleek vektora és b az eredméyvektor. - homogé: ha az eredméyvektor ullvektor - ihomogé: ha az eredméyvektorba va akár csak egy darab 0-tól külöböző szám 6. Lieáris egyeletredszer megoldhatóságáak szükséges és elégséges feltétele A lieáris egyeletredszer akkor, és csak akkor oldható meg, ha együttható mátrixáak ragja megegyezik (az eredméyvektorral) bővített mátrixáak ragjával. Másképpe: az együttható mátrix ragja em ő, ha hozzávesszük a b-t. Tehát: rg (A) = rg(a b) - ics megoldás, ha rg (A) rg (A b) - 1 db megoldás va, ha rg (A) = rg (A b) = - végtele sok megoldás va, ha rg (A) = rg (A b) < ( az ismeretleek száma) Megoldási módszerek: A iverzével, Cramer-szabállyal, Gauss(-Jorda) elimiációval. 2

20 7. Mátrix determiás Az R tér a 1,, a vektoraihoz (vagyis az dimeziós tér db vektorához) hozzáredelük egy valós számot, amit determiásak evezük és det(a 1, a 2, a )-el jelölük. Axiomatikus felépítés a hozzáredeléshez szükséges axiómák: 1) Additív tulajdoság: ha az i-edik oszlopba vagy sorba csupa kéttagú összeg szerepel, akkor a determiás előállítható két olya determiás összegekét, melyekek az i-edik sorába vagy oszlopába csak a kéttagú összegek első, ill. második tagja szerepel. 2) Homogé tulajdoság: determiást számmal úgy szorzuk, hogy csupá egyik soráak vagy oszlopáak elemeit szorozzuk a számmal. Hasolóa, csak a determiás egyetle oszlopából vagy sorából kell kiemeli a λ számot a determiás elé, hogy e változzo az értéke. 3) Ha a determiás 2 oszlopát felcseréljük, akkor értéke ( 1)-szeresére változik. 4) Az egységmátrix determiása 1. Fotos, hogy csak kvadratikus, azaz égyzetes mátrixokak va determiása. 8. Mátrix iverz A égyzetes A mátrix iverzé olya A 1 -gyel jelölt x-es mátrixot értük, melyre A A 1 = A 1 A = E Csak akkor létezik, ha az A mátrix determiása em ulla, vagyis az A mátrix reguláris. (Vagyis em sziguláris.) Kiszámítási módszerek: adjugálttal vagy Gauss-elimiációval. 9. Mátrix rag Def.: A mátrix ragja egyelő a mátrix lieárisa függetle sorvektoraiak vagy oszlopvektoraiak számával. Másképpe: megegyezik a maximális, el em tűő aldetermiásáak redjével. (aldetermiás redje v. redszáma: háyszor háyas) Avagy: lieárisa függetle oszlopvektorok maximális száma = rag Egy mátrix ragja em változik meg, ha - tetszőleges sorát vagy oszlopát egy 0-tól külöböző számmal szorozzuk - tetszőleges sorát vagy oszlopát felcseréljük - tetszőleges sorához vagy oszlopához egy másik tetszőleges sorát vagy oszlopát adjuk Lieáris algebra II. 1. Lieáris leképezés fogalma Legye V 1 és V 2 ugyaazo test (R,C) feletti vektortér. A φ: V 1 V 2 lieáris leképezés, ha teljesül, hogy φ(λu 1 + v 1 ) = λφ(u 1 ) + φ(v 1 ) A liearitás tehát azt jeleti, hogy a leképezés az összegre tagokét hat, a skalár kiemelhető. Úgy is modhatjuk, hogy ez a lieáris leképezések additív és homogé tulajdosága. Megjegyzés: φ(0) = 0 Fogalmak: lieáris traszformáció: ha V 1 = V 2 (pl. R 3 R 3 ) ijektív traszformáció: ha φ(u 1 ) = φ(v 1 ), akkor u 1 = v 1 Tehát két külöböző elemhez em redelhetjük ugyaazt, az ősképekek meg kell egyeziük! (kölcsööse egyértelmű, de V 2 em mide eleme képelem) szürjektív traszformáció: v 2 V 2 eseté v 1, hogy φ(v 1 ) = v 2 (V 2 mide eleme képelem, de em kölcsööse egyértelmű!) bijektív (kölcsööse egyértelmű) traszformáció: ha ijektív és szürjektív is 3

21 2. Ragullitás tétele Más éve: dimeziótétel dim Kerφ + dimimφ = dim V 1 azaz def φ + rgφ = dimv 1 ahol Kerφ a leképezés magtere, Imφ a képtere (V 2 részhalmaza), V 1 pedig a tárgytér. 3. Magtér, képtér - magtér: Kerφ = {v 1 V 1 φ(v 1 ) = 0} Megjegyzés: Kerφ altér V 1 -be. A magtér dimeziója a leképezés ú. defektusa. - képtér: Imφ = {v 2 V 2 v 1 V 1, φ(v 1 ) = v 2 } Megjegyzés: Imφ dimeziója a leképezés ragjával egyelő. 4. Sajátvektor, sajátérték Számos műszaki-gazdasági probléma az A x = λx alakú egyeletredszer megoldását igéyli, ahol λ valós vagy komplex paraméter. Akkor va az (A λe) x = 0 homogé egyeletredszerek triviálistól külöböző megoldása (x 0), ha a det (A λe) = 0 ú. karakterisztikus egyelet ulla. Ha létezik zérustól külöböző megoldásvektora az első kettő egyeletek, akkor a λ számokat az A mátrix sajátértékeiek, a sajátértékekhez tartozó x megoldásvektorokat pedig sajátvektorokak evezzük. Def.: Legye v 0. Ekkor v-t a φ: V V lieáris leképezés sajátvektoráak hívjuk, ha φ(v) = λv. λ T, tehát azo T testbeli elem, amely felett V vektortér. λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértékek modjuk. Megjegyzések: - valós, szimmetrikus mátrix mide sajátértéke és sajátvektora valós és a sajátvektorok ortogoálisak (egymásra párokét merőlegesek) - külöböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lieárisa függetleek - az A mátrixra alkalmazott tetszőleges S 1 A S hasolósági traszformáció változatlaul hagyja az A mátrix sajátértékeit. - mide valós szimmetrikus mátrixhoz megadható egy olya ortogoális S mátrix (azaz olya, amiek a traszpoáltja megegyezik az iverzével), amelyre S 1 A S = A d Ekkor az A d diagoális mátrix főátlójába az A mátrix sajátértékei vaak. A diagoizálás is bázis traszformáció, azo alapul! - az A mátrix k-adik hatváyáak sajátértékei egyelők az A sajátértékeiek k-adik hatváyával - ha v sajátvektora φ-ek, akkor μv is sajátvektor, hisze a sajátvektor sosem egyértelmű; végtele sajátvektora va egy vektorak, miket csak az iráya érdekel, így a hossza em is számít (általába ezért adjuk meg egységhosszúra). 5. Bázis traszformáció Egy dimeziós vektorokból álló dimeziós lieáris térek végtele sok bázisa va. Az egyik bázisból át lehet téri a másikba. Amikor a bázisak csak az egyik vektorát cseréljük ki, akkor elemi bázistraszformációt hajtuk végre. Egy adott bázisból egy másik bázisba való áttérést bázistraszformációak evezzük. Az új bázist a bázistraszformáció mátrixáak iverzével kaphatjuk meg: A = S 1 A S 4

22 ahol A az új bázis, A az eredeti bázis, S pedig a bázis traszformáció mátrixa. Legye {b 1,, b } és {b 1,, b } bázisok V-be, ekkor az egyikről a másikra való áttérés S mátrixa: b 1 = s i1 b i ; b j = s ij b i ; b = s i b i i=1 i=1 i=1 6. Hasoló mátrixok Az A = S 1 A S s 11 s 1 S = [ ] s 1 s hasolósági traszformáció. - Az A és A mátrixokat hasoló mátrixokak evezzük, ha létezik olya S reguláris mátrix, amely kielégíti a feti egyeletet - Hasoló mátrixok determiása és ragja is megegyezik (az első állítás a determiások szorzattétele alapjá köye belátható.) 7. Ortogoális mátrix Egy mátrix ortogoális, ameyibe iverze megegyezik a traszpoáltjával, azaz A 1 = A T Ez azért előyös, mert ekkor A T A = A 1 A = E Megjegyzés: ortoormált egy bázis, ha az ortogoális bázis vektorai egységyi hosszúak. Függvéysorozatok, függvéysorok 1. Függvéysorozat A számsorozathoz úgy jutottuk, hogy a természetes számokhoz számokat redeltük. Redeljük most ezekhez függvéyeket. Def.: Ha a természetes számok midegyikéhez egy-egy függvéyt redelük, akkor függvéysorozatot kapuk. Legyeek e függvéysorozat elemei az f 1, f 2,, f, függvéyek, amelyek az I itervallumo értelmezettek. Rögzítsük egy x I helyet. Ekkor az f 1 (x), f 2 (x),, f (x), számsorozat lehet koverges vagy lehet diverges. Ha koverges, akkor létezik a lim f (x) = f(x) határérték. Ez azt jeleti, hogy akármilye kicsi ε > 0-hoz va olya ε tól és x-től függő N természetes szám, hogy > N eseté f (x) f(x) < ε. Az N szám a küszöbszám. - f az (f ) függvéysorozat határfüggvéye. - azok az x számok, melyekél a sorozat koverges: a függvéysorozat kovergeciatartomáyát alkotják. - Az így értelmezett kovergeciát potokéti kovergeciáak evezzük. Def.: Az f I R R, N sorozatot függvéysorozatak evezzük. 5

23 2. Függvéysor Def.: Legye f I R R függvéysorozat. Képezzük a következő részletösszegfüggvéyeket: s 1 (x) f 1 (x) s 2 (x) f 1 (x) + f 2 (x) Cauchy-féle kovergeciakritérium s (x) f i (x) i=1 Az így előálló (s ) függvéysorozatot az (f ) függvéysorozatból képzett függvéysorak evezzük és f -el jelöljük. - Az olya végtele sort, amelyek tagjai függvéyek, függvéysorak evezzük. - Itt em határfüggvéy va, haem összegfüggvéy: s(x) lim s (x) 3. Függvéysorozat, függvéysor kovergeciája, egyeletes kovergeciája - A függvéysorozat kovergeciáját a határfüggvéytől függetleül is értelmezhetjük: a) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges egy x 0 H potba, ha mide ε > 0 eseté N(ε) olya csak ε-tól függő N természetes szám, hogy, m > N(ε) eseté f (x 0 ) f m (x 0 ) < ε b) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges potokét a H I halmazo, ha mide ε > 0 eseté N(ε, x) olya ε-tól és x-től függő N természetes szám, hogy, m > N(ε, x) eseté x H-ra f (x) f m (x) < ε c) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges egyeletese az E H halmazo, ha mide ε > 0 eseté N(ε) olya csak ε-tól függő N természetes szám, hogy, m > N(ε) eseté x E-re f (x) f m (x) < ε Eze esetek közül a legléyegesebb az az eset, amikor N függetleíthető x-től, vagyis N mide x I eseté küszöbszám. Ilyekor a függvéysorozat egyeletese koverges, más szóval egyeletese tart a határfüggvéyéhez. Ez azért fotos, mert az egyeletese koverges függvéysorozatokál az elemek éháy jeletős tulajdosága öröklődik a határfüggvéyre (pl. differeciálhatóság, itegrálhatóság). - Függvéysorok kovergeciája: a) A f függvéysor koverges az x 0 potba, ha az (s ) függvéysorozat koverges x 0 -ba. b) A f függvéysor koverges a H I halmazo, ha az (s ) függvéysorozat koverges H -. c) A f függvéysor egyeletese koverges E H halmazo, ha az (s ) függvéysorozat egyeletese koverges E H halmazo. A f függvéysor egyeletese koverges az E H halmazo akkor, és csak akkor, ha bármely ε > 0 hoz létezik csak ε-tól függő N szám, hogy s (x) s m (x) < ε, ha, m > N(ε), x E-re. 6

24 4. Weierstrass-tétel Az előbb leírt Cauchy-féle kovergecia kritériummal elég ehézkes vizsgáli az egyeletes kovergeciát, de erre való a Weierstrass-tétel is, ami a függvéysorok egyeletes kovergeciájáak elégséges feltétele: Legye f I R R a függvéysorozat és f a belőle képzett függvéysor; a pedig egy koverges umerikus sor. Ha bármely x J eseté teljesül, hogy f (x) a mide N-re, akkor a f függvéysor egyeletese koverges J-. Értelmezés: ha felülről tudjuk becsüli (majoráli) a függvéysorozatukat egy koverges umerikus sorozattal, akkor a függvéysorozatból képzett függvéysor is koverges, mégpedig egyeletese koverges lesz. (majorás kritérium). Megjegyzés: a Weierstrass-tételbeli kovergecia abszolút kovergecia is, azaz a f függvéysor is koverges. A függvéysorokál is az egyeletese kovergesek a külöleges jeletőségűek, mert például a sor tagjaiak folytoossága, differeciálhatósága, itegrálhatósága öröklődik az összegfüggvéyre. 5. Cauchy-Hadamard-tétel Legye r a a x hatváysor (ld. következő pot) kovergeciasugara a) ha r = 0, akkor a hatváysor csak az x 0 = 0 potba koverges (legrosszabb eset) b) ha r =, akkor a hatváysor bármely x 0 R eseté koverges c) ha 0 < r <, akkor a hatváysor i. abszolút koverges, ha x < r, vagyis r < x < r ii. diverges, ha x > r, vagyis x > r vagy x < r - r -be és r -be külö-külö ki kell értékeli, hogy koverges-e A c) eset a legfotosabb, eek a bizoyítása a következő: i. x 0 < r feltétel eseté a gyöktesztet alkalmazva ii. limsup a x 0 a gyökvoás azoossága miatt x 0 limsup a = x 0 1 r ami a feltétel miatt kisebb, mit 1. Tehát létezik olya q < 1, hogy a x 0 a gyökteszt miatt koverges (x 0 tetszőleges volt, bármely x-re igaz ez, ha x < r). Ugyacsak a gyökteszt miatt, ha x > r, akkor a x hatváysor diverges, hisze q = x 0 r > 1 ekkor. Megjegyzés: azt, hogy a függvéysor hol állítja elő az összegfüggvéyét, csak a hatváysorokál ilye egyszerű meghatározi: 1 r = limsup a = lim a (egyelők, ha a határérték létezik és felveszi függvéyértékkét). 7

25 6. Hatváysor Az alkalmazásokba legtöbbször a függvéysorok speciális osztályával, a hatváysorokkal találkozuk. Előyük, hogy e sorok tagjai egyszerű függvéyek, köye lehet őket deriváli, illetve itegráli. Def.: f (x) a (x a) kitütetett, speciális függvéysorozatból képezzük a hatváysort: a (x a) =0 a : a hatváysor. együtthatója a: a sorfejtés cetruma Defiíció szerit a hatváysor kovergeciasugaráak reciproka: 1 r = limsup a, r R b Tétel. Ha a a x 0 (a = 0 a cetrum és 0-tól összegzük) hatváysor koverges az x 0 potba, akkor az x < x 0 helyeke abszolút és egyeletese is koverges. 7. Taylor-poliom, Taylor-sor Def.: Ha az egyváltozós valós f függvéy az értelmezési tartomáyáak egy belső x 0 potjába legalább -szer differeciálható, akkor a T f, (x) f(k) (x 0 ) k (x x k! 0) poliomot a függvéy x 0 helyhez tartozó -edfokú Taylor-poliomjáak, az R (x) f(x) T (x) külöbséget pedig Lagrage-féle maradéktagak evezzük, ami k=0 R (x) = f(+1) (ξ) ( + 1)! x+1 Valamely akárháyszor differeciálható f függvéyek a Taylor-poliommal való közelítése akkor haszos, ha (a szumma felső határa) övelésével a közelítés hibája tetszőlegese kicsivé tehető, azaz a maradéktag a végtelebe 0-hoz tart. Tehát ha, akkor a Taylorpoliomból egy végtele sor, a Taylor-sor lesz: f(x) = f(k) (x 0 ) k (x x k! 0) k=0 Def.: Ha f akárháyszor differeciálható az x 0 D f helye, akkor a feti végtele sort az f függvéy x 0 helyhez tartozó Taylor-soráak, a sor előállítását pedig a függvéy sorbafejtéséek evezzük. Feltétel, hogy a maradéktag 0-hoz tartso, csak akkor állítja elő a függvéyt a Taylor-sor! Az x 0 = 0 helyhez tartozó Taylor-sort Maclauri-sorak evezzük. Ekkor f(x) = f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x 2 + = f(k) (0) k! k=0 x k, x < r Megjegyzés: Hasolóképpe, az x 0 = 0 esetre felírt Taylor-formulát Maclauri-formuláak is evezzük. a = f() (0), ha a hatváysor a! x alakú. (Vagyis a = 0 a cetrum). 8

26 8. Kovergeciasugár, kovergeciatartomáy Mivel mid a Taylor-sor, mid a Maclauri-sor hatváysor, ezért e sorok kovergeciatartomáyát a kovergeciasugár kiszámításával határozzuk meg, a szokásos módo, legikább háyadosteszttel vagy gyökteszttel: 1 r = lim a k+1 k a k 9. Fourier-sor Trigoometrikus poliomak evezzük a következő alakú függvéyt: t k (x) a 0 + a 1 cosx + b 1 six + a 2 cos2x + b 2 si2x + + a k coskx + b k sikx A Fourier-sor léyegébe a trigoometrikus poliomból képzett trigoometrikus sor. Így a Fourier-sor általáos képlete: f(x) = a 0 + (a k coskx + b k sikx) k=1 A Fourier-sorfejtés csak (általába 2π szerit) periodikus függvéyekre alkalmazható. Ehhez az f függvéyek, amiek a Fourier-sorát akarjuk megállapítai, korlátosak és Riema szerit itegrálhatóak is kell leie. A feti képletbeli ú. Fourier-együtthatók a következők: Egyszerűsítések: 2π a 0 = 1 2π f(x)dx ; b 0 = 0 0 2π a k = 1 f(x) coskxdx π 0 2π b k = 1 f(x) sikxdx π 0 - Ha a periodikus, korlátos, Riema-itegrálható függvéyük páratla, akkor csak sziuszos tagok szerepelek a Fourier-sorába, így a 0 = a k = 0 - Ha a periodikus, korlátos, Riema-itegrálható függvéyük páros, akkor csak kosziuszos tagok szerepelek a Fourier-sorába, így b k = 0 Általáosa, 2l szerit periodikus függvéyek Fourier-sora: 2l a 0 = 1 2l f(x)dx 0 2l a k = 1 kπx f(x) cos dx l l 0 2l b k = 1 kπx f(x) si dx l l 0 9

27 Többváltozós függvéyek 1. Primitív függvéy Def.: Legye D R yílt halmaz, f: D R. Ekkor az F: R R függvéyt az f függvéy primitív függvéyéek evezzük, ha F (x) = f(x) x D eseté. A primitív függvéy R R típusú, ezért a deriváltja egy vektor, ami éppe a parciális deriváltakból áll össze, s ez egyelő f(x) kompoes függvéyeivel: ( F(x) x 1, F(x) x 2,, F(x) ) = (f x 1 (x), f 2 (x),, f (x)) j {1,2,, } Vagyis pl. j F = f j (A primitív függvéy j-edik változó szeriti parciális deriváltja a j-edik kompoes függvéyt adja eredméyül; j megy 1-től -ig.) Tétel. Szükséges feltétel a primitív függvéy létezéséhez: Ha D R yílt halmaz, és F: R R az f primitív függvéye, akkor i f j = j f i Azaz f j-edik kompoes függvéyéek az i-edik változó szeriti parciális deriváltja megegyezik az i-edik kompoes függvéy j-edik változó szeriti parciális deriváltjával. Tétel. Elégséges feltétel a primitív függvéy létezéséhez: Legye D R kovex, yílt halmaz. Ha f: D R folytoosa differeciálható és i f j = j f i i, j {1,2,, } eseté, akkor az f-ek létezik primitív függvéye. 2. R R k leképezés differeciálhatósága Def.: Legye U R yílt halmaz, f: U R k leképezés. Azt modjuk, hogy f differeciálható az a D f potba, ha létezik A: R R k lieáris leképezés és ω: R R k leképezés, melyre ω(0) = 0, valamit létezik ω(h) lim h 0 h = 0, hogy f(x) f(a) = A(x a) + ω(x a) Az A leképezések egy kx-es mátrix felel meg, hisze a deriválás egy (lieáris) leképezés! x a = h helyettesítéssel: f(a + h) f(a) = A(h) + ω(h) 3. Iráymeti derivált Egyváltozóba az adott potbeli derivált egyértelmű, de többváltozós függvéyek eseté az adott potba végtele sok éritője va a felületek, ezért kiválasztuk egy síkot, amivel elmetsszük ezt a felületet. Ez a görbe kimetsz a felületből egy egyeest, eek pedig már kokrét éritője va. Az iráymeti derivált az adott iráy által kimetszett függvéy deriváltja: f e = lim f(a + λe) f(a) =< e, gradf >, ahol e = 1 λ 0+0 λ Ha a feti határérték létezik és az egy valós szám, akkor ezt az f a potbeli, e iráyú iráymeti deriváltjáak evezzük. Jele: e f(a). Az a vektor által mutatott pothoz tehát em midegy, hogya, melyik iráyból közelítük. 10

28 4. Parciális derivált A koordiátategelyek iráyába eső iráymeti deriváltak kitütetett szerepe va, ez a parciális derivált. Ekkor az egyik koordiátategely iráyából tartuk az adott potba, a másik változót rögzítjük, kostasak tekitjük, és úgy deriváluk. A többváltozós függvéy valamely változója szeriti deriváltját parciális deriváltak evezzük: Jele: f x = f x vagy f y = f y 5. Gradies Def.: Legye f: R R típusú függvéy, ekkor f gradiesvektora az egyes változók szeriti parciális deriváltakból áll: f x 1 f grad f = f = x 2 f [ x ] - mide potba merőleges a poto áthaladó szimmetriavoalra - a függvéy legagyobb övekedéséek iráyába mutat 6. Jakobi mátrix Def.: Legye f: R R k típusú függvéy. Tudjuk, hogy a deriválás is egy lieáris leképezés, így megfeleltethető eki egy kx-es mátrix: f (a) A M kx A deriválás mátrix reprezetációja a legegyszerűbb esetbe: [ 2 0 0] Jelölés: f (a) = Jf(a)= f 1 f 1 x 1 x gradf 1 (a) = gradf 2 (a) f k f k [ x 1 x ] kx [ gradf k (a)] Léyege: azoos oszlopba a külöböző függvéyekek ugyaazo változó szeriti parciális deriváltja kerül; azoos sorba pedig az adott függvéy egyes parciális deriváltjai, vagyis a gradiesek. 7. Szélsőérték Az f(x, y) kétváltozós függvéy lokális szélsőértéke létezéséek szükséges, de em elégséges feltétele: az első parciális deriváltak ullák legyeek az (x 0, y 0 ) potba, azaz f x (x 0, y 0 ) = 0 f y (x 0, y 0 ) = 0 Az f(x, y) kétváltozós függvéy lokális szélsőértéke létezéséek elégséges feltétele: az ú. Hesse-mátrix determiása agyobb legye, mit 0, azaz f xx f xy = f f yx f xx f yy f 2 xy = D(x, y) > 0 yy (A második parciális deriváltak folytoosak, így f xy = f yx ) 11

29 Tehát va lokális szélsőérték, ha D > 0. Eze belül: a függvéyek lokális miimuma va, ha S(x 0 ) = f xx + f yy > 0 lokális maximuma va, ha S(x 0 ) = f xx + f yy < 0 S(x 0 ) a főátlóba lévő elemek összege, vagyis a Hesse-mátrix yoma (Spur, Trace). Nem döthető el, hogy va-e szélsőérték, ha D = 0. Nics szélsőérték, ha D < Kvadratikus formák defiitsége Def.: ψ: V V R szimmetrikus bilieáris forma és η(x) = ψ(x, x) kvadratikus forma. Az η: V R kvadratikus formát i. pozitív defiitek modjuk, ha η(x) > 0 ii. egatív defiitek modjuk, ha η(x) < 0 iii. pozitív szemi-defiitek modjuk, ha η(x) 0 iv. egatív szemi-defiitek modjuk, ha η(x) 0 x 0 V eseté. Ha ezek egyike sem teljesül, akkor idefiit kvadratikus formáról beszélük. A kvadratikus formák defiitsége kapcsolatba hozható a lokális szélsőértékek létezésével: 1) Ha Q pozitív defiit, akkor f-ek az x 0 potba lokális miimuma va. 2) Ha Q egatív defiit, akkor f-ek az x 0 potba lokális maximuma va. 3) Ha Q idefiit, akkor f-ek az x 0 potba ics szélsőértéke. 4) Ha Q szemi-defiit: em tudjuk megmodai, hogy va-e szélsőértéke. 9. Riema-itegrálhatóság (alsó-felső Darboux-itegrál) Legye f: I R R típusú korlátos függvéy. Ekkor az f függvéyt Riemaitegrálhatóak modjuk, ha S(f) = S(f) (alsó és felső Darboux-itegrál megegyezik). S(f): = su p{s(f, d) d beosztása I ek} alsó Darboux-itegrál S(f): = if{s(f, d) d beosztása I ek} ahol A d beosztáshoz tartozó alsó itegrálközelítő összeg: k S(f, d) if(f(i i )) Vol(I i ) i=1 A d beosztáshoz tartozó felső itegrálközelítő összeg: S(f, d) sup(f(i i )) Vol(I i ) ahol k i=1 felső Darboux-itegrál Vol(I i ) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b k a k ) szorzat az i. itervallum térfogata. Ameyibe az alsó- és felső Darboux-itegrál megegyezik, akkor ezt a közös értéket f(x)dx -szel jelöljük és Riema-itegrálak evezzük. I 12

30 Matematika A3 szóbeli beugró kérdések 2015 Vektoraalízis Duális tér 2. Leképezés adjugáltja, szimmetrikus és atiszimmetrikus leképezés 3. Mátrix vektorivariása és yoma (trace, spur) 4. Gradies, divergecia és rotáció 5. Nabla vektor 6. Laplace operátor, harmoikus függvéy Vektoraalízis Skalárpoteciálos vektormező 2. Vektorpoteciálos vektormező 3. Görbe 4. Görbe ívhossza 5. Felület 6. Felszíszámítás 7. Stokes-tétel 8. Gauss-Osztrogradszkij-tétel 9. Gree-tételek Differeciálegyeletek Közöséges -edredű differeciálegyelet 2. Differeciálegyelet megoldásáak típusai (általáos, partikuláris, sziguláris) 3. Cauchy-feladat 4. Lipschitz-feltétel 5. Picard-Lidelöf tétel 6. Iráymező Differeciálegyeletek Szeparábilis és arra visszavezethető DE 2. Beroulli-féle DE 3. Riccati-féle DE 4. Egzakt DE 5. Lieáris álladó együtthatós DE 6. Lieárisa függetle függvéyredszer 7. Wroski-determiás 8. Differeciálegyelet-redszer

31 A3 miimumkérdések szóbelire 2016 Vektoraalízis Duális tér V Hom(V, R), ahol (V, +, λ) vektortér, V elemei pedig ú. lieáris formák, azaz és v φ(v) φ(αv + βw) = αφ(v) + βφ(w) Megjegyzés: homomorfizmus alatt két algebrai struktúra közötti művelettartó leképezést értük. Pl. ha az egyik struktúrába valamely elemek közt valamilye reláció áll fe, akkor eze elemeikek képei a másik struktúrába is ebbe a relációba állak. (Edomorfizmus: ha a képhalmaz részhalmaza az alaphalmazak, pl. Z N) V halmazt természetes módo vektortérré tehetjük a következőképpe: (α + β)v = αv + βv, α, β V (ρ φ)v = ρ φ(v) ρ R, φ V Így (V, +, λ) már vektortér, amit V duális teréek is evezük. Vektortér és duális teréek dimeziója megegyezik. 2. Leképezés adjugáltja, szimmetrikus és atiszimmetrikus leképezés Legye E = (V, < ; >) adott euklideszi tér (tehát egy olya vektortér, amibe értelmezve va a skaláris szorzás), és φ: V V egy lieáris leképezés. Ekkor a φ : V V leképezést a φ leképezés adjugáltjáak modjuk, ha v 1, v 2 V eseté < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ (v 1 ) ; v 2 > Idempotes tulajdoság: adjugált adjugáltja az eredeti leképezés, azaz (φ ) = φ. Szimmetrikus leképezés: φ szimmetrikus leképezés, ha adjugáltja ömaga, azaz φ = φ, ekkor < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ(v 1 ) ; v 2 > v 1, v 2 V Atiszimmetrikus leképezés: φ atiszimmetrikus leképezés, ha φ = φ, ekkor < v 1 ; φ(v 2 ) > = < φ(v 1 ) ; v 2 > v 1, v 2 V 3. Mátrix vektorivariása és yoma (trace, spur) Tekitsük a következő, 3x3-as atiszimmetrikus mátrixak és a w vektorak a szorzatát: 0 a 12 a 13 w 1 a 12 w 2 + a 13 w 3 [ a 12 0 a 23 ] [ w 2 ] = [ a 12 w 1 + a 23 w 3 ] a 13 a 23 0 w 3 a 13 w 1 a 23 w 2 Egy atiszimmetrikus lieáris traszformáció midig leírható egy rögzített vektorral való vektoriális szorzatkét. Ezt a vektort evezzük a mátrix vektorivariásáak. v 1 w 1 v 2 w 3 v 3 w 2 [ v 2 ] [ w 2 ] = [ v 3 w 1 v 1 w 3 ] v 3 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 A w = v w 1

32 w együtthatóiak meg kell egyezie, tehát a vektorivariás: v 1 v 2 a 23 a 13 v [ ] = [ ] v 3 a 12 A vektorivariás csak ortogoális traszformációkkal szembe ivariás. Egy lieáris traszformáció mátrixáak főátlójába lévő elemek összege mide KR-be ugyaayi, tehát a koordiáta-traszformációkkal szembe ivariás. Ezt az összeget a lieáris traszformáció (V 1 = V 2 ) első skalárivariásáak / yomáak / spurjáak / tracejéek evezzük. (És ez a sajátértékek összege.) 4. Gradies, divergecia, rotáció A gradies csak skalármező (azaz skalár-vektor függvéy) esetébe értelmezhető. u: R 3 R grad u = u u u i + j + x y z k A gradiest tehát úgy kapjuk, hogy a skalármezőt az összes változója szerit, külö-külö (parciálisa) lederiváljuk, és egy oszlopvektorba redezzük. u x u grad u = y u ( z) A gradies tehát vektormeyiség. Ha bevezetjük az ú. abla vektort: x = y ( z) Akkor grad u formálisa a abla vektorak és az u skalármezőek a szorzatakét írható fel: grad u = u Megjegyzés: Skalármező gradiese, illetve vektormező divergeciája és rotációja függetle a koordiátaredszertől. A divergecia csak vektormező (azaz vektor-vektor függvéy) esetébe értelmezhető. Eredméye skalármeyiség. v: R 3 R 3 Defiíció szerit div v = sp(j v ), tehát v Jakobi-mártixáak a yoma: div v = f 1 x + f 2 y + f 3 z Ahol f i a v vektormező i-edik kompoesfüggvéye. Formálisa div v a abla vektorak és a v vektormezőek a (skaláris) szorzatakét írható fel: div v = v(r) Ha div v = 0, akkor a vektormező forrásmetes. 2

33 A rotáció szité csak vektormező (azaz vektor-vektor függvéy) esetébe értelmezhető. Eredméye viszot vektormeyiség. Defiíció szerit 1 2 rotf = 1 2 (Df Df ), ahol Df a derivált mátrix (Jakobi-mátrix), amiek a soraiba az egyes kompoesfüggvéyek gradiesei vaak. Df pedig Df traszpoáltja. Formálisa rot v a abla vektorak és a v vektormezőek a vektoriális szorzatakét írható fel: rot v = v(r) v: R 3 R 3 eseté rot v = f z y f y z f x z f z x f y ( x f x y ) Fotosabb azoosságok, ha x r = ( y) z div r = 3 rot r = 0 Illetve a zérus azoosságok: rotgrad u = 0 divrot v = 0 5. Nabla vektor x = y ( z) Igazából em vektor, haem operátor, de vektorkét kezelve a legtöbb művelet köyebbe elvégezhető a segítségével. 6. Laplace operátor, harmoikus függvéy A Laplace-operátor defiíció szerit: = = 2 x y z 2 Akkor harmoikus például az u skalár-vektor (R 3 R) függvéy, ha u = 0 = u = grad u = divgrad u = 0 Tehát kielégíti az ú. Laplace-egyeletet. (Feltétel: legye kétszerese differeciálható az u függvéy.) 3

34 Vektoraalízis Skalárpoteciálos vektormező Egy v: V V vektormező skalárpoteciálos, ha u: V R skalármező, hogy v = grad u. (Fizikai) erőtér eseté a vektortér más éve kozervatív, ha ez teljesül. Ekkor u-t v poteciálfüggvéyéek evezzük. Feltétel: rot v = 0. (örvéymeteség) Megjegyzés: Ha egy vektormező előáll egy skalármező gradiesekét, akkor a vektormező bármely görbe meti skalárértékű voalitegrálja csak a kezdő- és a végpottól függ, tehát függetle az úttól. Egy vektortérek végtele sok skalárpoteciálja va (a kostas miatt). A skalárértékű voalitegrál értéke (a muka) a poteciálkülöbséggel egyelő: B < v(r(t)), r (t) > = u(b) u(a) A A poteciálfüggvéyek a voalitegrállal kapcsolatba az a szerepe, mit egy egyváltozós függvéy határozott itegráljával kapcsolatba a primitív függvéyek. 2. Vektorpoteciálos vektormező Egy v: V V vektormező vektorpoteciálos, ha w: V V vektormező, hogy v = rot w, azaz előáll egy másikmező rotációjakét. (w vektor tetszőleges koordiátáját ulláak választjuk a megoldás sorá.) Feltétele: div v = 0. (forrásmeteség) 3. Görbe Legye I R egy em feltétleül korlátos itervallum. Ekkor az r: I R 3 leképezést reguláris görbéek hívjuk, ha r immerzió, azaz a derivált leképezése ijektív (a képek egyelőségéből következik az ősképek egyelősége: φ(a) = φ(b) a = b). 4. Görbe ívhossza A pályasebesség I fölötti itegrálját a térgörbe ívhosszáak evezzük: (avagy a sebesség idő szeriti voalitegrálját) L(r) = r (τ) dτ I Más defiíció szerit, amikor egy tetszőleges síkgörbe ívhosszát olya húrok összegével közelítjük, amik 0-hoz tartaak: Egy y = f(x) egyelettel adott, szakaszokét sima görbe a x b határok közötti ívhossza: b s = ds = x=a 1 + y 2 A töröttvoalak hosszáak az összege is az ívhossz, mide határo túli fiomítás eseté: b x=a r(t i ) r(t i 1 ) i 5. Felület Legye S R 3, ekkor S-t reguláris (szabályos) felületek modjuk, ha p S pothoz létezik p-ek olya V R 3 köryezete, hogy a φ: U R 2 V S leképezés - differeciálható homeomorfizmus (diffeomorfizmus, azaz differeciálható bijekció) - és φ immerzió, azaz a φ q : R 2 R 3 (q potba) ijektív lieáris leképezés φ eve: parametrizáció dx p V S eve: p koordiátaköryezete 4

35 6. Felszíszámítás Triagularizáció (felszí lefedése háromszögekkel) helyett kicsi, elemi, éritő paralelogrammákkal közelítjük a felszít, amik már em tudak elváli a felülettől (ez az alapelve). Az ú. skaláris felületelem: ds = r u r v u v Ahol r r és a paramétervoalak P potbeli éritővektorai. (A felülete a P potot az u és v u v ú. paramétervoalak metszésekét vettük fel; r a P potba mutató vektor) A skaláris felületelem a két differeciálvektor által kifeszített elemi paralelogramma területe. Amit, ha mide határo túl fiomítuk, akkor a következő itegrál megadja a teljes felszít: S = ds = r u r v dudv T T 7. Stokes-tétel A görbe meti és a felületi itegrálok közötti kapcsolatot írja le. Kétdimeziós Newto-Leibizformuláak is szokták evezi. Legye F: [a, b] [a, b] R 3 jobbkéz-szabály szerit iráyított, parametrizált peremes felület. Továbbá, legye v: R 3 R 3 legalább egyszer folytoosa differeciálható vektormező, ekkor: < v(r), ds > < rot v, df > G Tehát a G görbe meti voalitegrál megegyezik az F felülete vett felületi itegrállal. df = Ezáltal is belátható, hogy ha a vektormező örvéymetes, akkor bármely zárt görbe meti itegrálja zérus, hisze, ha rot v = 0, akkor a skalárszorzat ulla a kettős itegrálba. Megjegyzések: - kétoldalú, zárt felület legye adott, amit egy zárt görbe határol - azoos peremmel redelkező S 1 és S 2 felületek eseté az itegrálok megegyezek - perem élküli felület eseté ulla a kettős itegrál értéke - ha em iráyítható a felület, akkor felbotjuk iráyítható részekre - fizikai alkalmazás pl. gerjesztési törvéy 8. Gauss-Osztrogradszkij-tétel A felületi itegrál és a térfogati itegrál között teremt kapcsolatot. Szükséges egy korlátos, zárt felület és egy kifelé mutató ormálvektor. Legye V: [a, b] 3 R 3 iráyított, paraméterezett elemi tértartomáy és v: R 3 R 3 V- legalább egyszer differeciálható vektormező, ekkor: F < v(r), df >= div (v(r)) dv F Ahol F a határfelülete V-ek. A tételből látható, hogy forrásmetes (div v = 0) vektortér zárt felületre vett itegrálja (avagy átáramlási feleslege) ulla. 9. Gree-tételek Legyeek φ, ψ: R 3 R kétszerese folytoosa differeciálható skalármezők. A Gauss- Osztrogradszkij-tételbe vegyük fel a v vektorteret v = φ gradψ alakba. Ekkor div v = v = (φ ψ) = φ ψ + φ ψ = gradφgradψ + φ ψ V 5

36 Ezt felhaszálva kapjuk az első, ú. aszimmetrikus Gree-tételt: < φ gradψ, df >= (gradφgradψ + φ ψ) dv F V Az első Gree-tételbe φ és ψ szerepét felcserélve, és az így kapott egyeletet kivova az első tétel egyeletéből, a második, ú. szimmetrikus Gree-tételt kapjuk: Differeciálegyeletek 1. < φ gradψ ψ gradφ, df > = (φ ψ ψ φ) dv F A differeciálegyeletek a természetbe lejátszódó folyamatok, műszaki, fizika és kémiai problémák matematikai leírásáak élkülözhetetle elemei. 1. Közöséges -edredű differeciálegyelet Differeciálegyeletek az olya egyeletet evezzük, melybe ismeretle függvéyek, ezek deriváltjai, valamit függetle változó(k) fordul(ak) elő. Közöséges: csak egyetle függetle (x) változó va bee (em parciális, ahol több) Red: az ismeretle (y, y" ) legmagasabb fokszámú deriváltja V Defiíció szerit Legye y: R R -szer folytoosa differeciálható függvéy, y = y (0), y = y (1),, y () deriváltfüggvéyek szité folytoosak és jelölje x a függetle változót! Ekkor az F(x, y, y, y",, y () ) = 0 egyelet az y-ra voatkozó, -edredű, közöséges differeciálegyelet. (A feti megadást implicit megadásak is hívjuk, mivel a legmagasabb fokszámú derivált em fejezhető ki egyértelműe, explicite.) 2. Differeciálegyelet megoldásáak típusai (általáos, partikuláris, sziguláris) Általáos: amely kielégíti a differeciálegyeletet (DE-t) és potosa ayi, egymástól függetle, tetszőleges kostast tartalmaz, aháyad redű a DE. Az általáos megoldás a homogé és az ihomogé rész összege: y á = y H + y IH Partikuláris: amely az általáos megoldásból úgy származtatható, hogy az abba szereplő kostasokak meghatározott értéket aduk. (pl. Cauchy kezdetiérték-feladat) Általáosabba: partikuláris megoldás, ha a megoldásfüggvéy legalább 1-gyel kevesebb egymástól függetle álladót tartalmaz, mit aháyad redű a DE. Sziguláris: olya megoldás, amely NEM kapható meg az általáos megoldásból az álladók megfelelő választásával. (pl. szeparábilis DE eseté) 3. Cauchy-feladat Más éve kezdetiérték-feladat. Az -edredű DE olya megoldását keressük, amely kielégíti az y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,, y ( 1) (x 0 ) = y 0 ( 1) kezdeti feltételt, ahol x 0, y 0, y 0,, y 0 ( 1) adott számok. Egy DE megoldása sorá meg va adva megfelelő számú peremfeltétel (PF), amikkel az itegrálás sorá feltűő álladók értéke meghatározható. Ayi PF kell, aháyad redű a DE. 6

37 4. Lipschitz-feltétel Ha az f függvéy teljesíti a Lipschitz-feltételt az adott tértartomáyo, akkor a megoldásgörbék em metszik egymást (azaz létezik egyértelmű megoldás, egy poto csak egy darab itegrálgörbe halad át). Defiíció: Az f függvéy a D tartomáyo az y változóra ézve kielégíti a Lipschitz-feltételt, ha létezik M pozitív valós szám, hogy f(x, y 2 ) f(x, y 1 ) M y 2 y 1 (x, y 1 ), (x, y 2 ) D 5. Picard-Lidelöf tétel Ez egybe egzisztecia- és uicitástétel is. Legye y = f(x, y) egy explicit alakba adott DE, és D = I 1 I 2 yílt téglalap tartomáy, ahol I 1, I 2 yílt itervallumok és legye (x 0, y 0 ) D, továbbá I. f folytoos midkét változójába D- II. f elégítse ki a Lipschitz-feltételt y változóra D-. Ekkor: egyértelműe létezik φ: (x 0 ε, x 0 + ε) R függvéy, melyre φ (x) = f(x, φ(x)) φ (x 0 ) = y 0 egyarát teljesül, azaz a φ megoldás egyértelmű. Megjegyzések: - ha f függvéyről csak a folytoosságot feltételezzük: Peao-feltétel - hasolóa a Cauchy-feltételhez (ott I. feltétel ugyaaz, II. feltétel, hogy az f függvéy y szeriti parciális deriváltja korlátos D-beli potba), a Picard-Lidelöf tétel is erősebb, szigorúbb tétel. Hisze, a tételbe elegedő, de em szükséges feltételek vaak, ezáltal lehet, hogy em teljesül midkét feltétel, mégis va egyértelmű megoldás! 6. Iráymező Az iráymező a differeciálegyelet megoldásairól ad szemléletes képet. Az y = f(x, y) DE megoldása geometriailag a következőképpe szemléltethető. Az f függvéy értelmezési tartomáyáak mide egyes (x, y) potjához redeljük hozzá a rajta átmeő, y = f(x, y) iráytagesű (meredekségű) egyeesek (megoldásgörbéek) a potot tartalmazó kicsiy szakaszát. E szakaszok összessége alkotja a differeciálegyelet iráymezőjét; a szakaszokból elég sokat ábrázolva kapjuk a DE megoldásáak geometriai képét. Tehát sok-sok potba berajzoljuk az éritők egy kicsiy darabját, ezek leszek a képe is látható voalelemek, amik összessége az iráymező. Izoklia: az a görbe, amelyek potjaihoz azoos iráyú, vagyis párhuzamos voalelemek tartozak. 7