Matematika A2 tételek

Átírás

1 Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív - ( A)( a A) *a = a* = a - ( A)( a A) a*a = a *a = pl. a térbeli vektorok csoportot alkotak az összeadásra ézve Defiíció: Legye R egy olya halmaz, amelybe két művelet va értelmezve. Legyeek ezek: +, x Akkor modjuk, hogy R gyűrű az + és x műveleteire ézve, ha az összeadás: - asszociatív - kommutatív - ( R)( a R) + r = r + = r - ( r R)( r R) r + ( r) = r + r = R az összeadásra ézve kommutatív csoportot alkot. A szorzás: - asszociatív A szorzás midkét oldalról disztributív az összeadásra ézve. Test: - a(b + c) = ab + ac - (b + c)a = ba + ca Defiíció: Legye F egy olya halmaz, amely két műveletre (+ és x) ézve gyűrűt alkot! Akkor modjuk, hogy F testet akkor a két műveletre ézve, ha teljesülek még az alábbiak: - a szorzás művelet kommutatív - ( ef ), hogy ( a F) e a = a e = a - ( a F)( a 1 F) a a 1 = a 1 a = e 1

2 1. Tétel Vektortér lieáris tér: Defiíció: Legye (v, +) egy kommutatív csoport, (F+) pedig egy test. Akkor modjuk, hogy (v+) vektorteret akkor (F+) test felett, ha (α, a) F v elempárhoz hozzá va redelve egyértelműe egy αa-val jelölt (v, +)-beli elem úgy hogy az alábbiak teljesülek: Lieárisa függetle vektorredszer: - α(a + b) = αa + αb - (α + β)a = αa + βa - (αβ)a = α(βa) - ea = a e az F test egységeleme. Defiíció: Akkor modjuk, hogy az a 1; a 2; ; a vektorredszer lieárisa függetle, ha Geerátorredszer: - α 1a 1; α 2a 2; ; α a = ból - α 1 = ; α 2 = α = következik. Defiíció: Az {a 1; a 2 ; ; a } vektorredszert a vektortér geerátorredszeréek, ha a vektorrét mide vektora előállítható az a 1; a 2 ; ; a vektorok lieáris kombiációjakét. Kicserélési tétel: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha f 1 ; f 2 ; ; f egy lieárisa függetle vektorredszere, g 1 ; g 2 ; ; g pedig egy geerátorredszere egy F test feletti vektortérek, akkor tetszőleges f i vektorhoz létezik olya g j vektor, hogy: f 1 ; f 2 ; ; f i 1, g j, f i+1 ; ; f lieárisa függetle. Bizoyítás: Va olya f i vektor (pl i = 1) hogy Ekkor: g 1 ; f 2 ; ; f lieárisa függők { g 2 ; f 2 ; ; f g m ; f 2 ; ; f β 1 g 1 + α 2 f α f és β 1 + g 1 = α 2 β 1 f α f β így 1 f 1 = γ 1 g γ m g m = γ 1 ( α 2 β 1 f α f β ) + γ 2 ( ) + γ m ( ) = ξ 1 f 1 ξ f 1 2

3 Bázis: Defiíció: Egy F test feletti V vektortér {a 1,..., a } vektorredszerét a V vektortér egy bázisáak evezzük, ha V mide vektora előáll egyértelműe az a 1,..., a vektorok lieáris kombiációjakét. Dimezió: Defiíció: Valamely pozitív egész szám eseté, egy F test feletti vektorteret dimeziós vektortérek evezük, ha V-be va -elemű bázis. Az egyetle vektorból (csak a ullvektorból) álló vektortér dimeziójá -át érük. Legalább két vektorból álló vektortérről azt modjuk, hogy végtele dimeziós, ha ics véges bázisa. Lieárisa függetle vektorredszer és bázis kapcsolata: Tétel: Egy F test feletti V vektortér valamely em üres vektorredszere akkor és csak akkor bázis, ha függetle geerátorredszer. A valós illetve komplex redezett szám -esek vektortere: C /R Descartes-szorzat defiíciója alapjá az C/R elemeiből képzett redezett szám -esek halmazát jelöli. Ugya ezt a jelölést haszáljuk az -dimeziós vektorok halmazára is. Ha a vektorok halmazát ellátjuk az összeadás és a valós skalárral való szorzás műveletével is, akkor C /R -ről, mit vektortérről beszélük. 3

4 Altér: 2. tétel Defiíció: Egy V vektortér W részhalmazát a V vektortér egy alteréek evezzük, ha W a V- értelmezett összeadásra és skalárral való szorzásra ézve is vektorteret alkot. Vektorredszer ragja: Defiíció: Egy F feletti test V vektortér a 1,..., a vektoraiból álló vektorredszer ragjá az általuk geerált <a 1,..., a > altér dimezióját értjük. Egy {a 1,..., a }=A vektorredszer ragját raga-val jelöljök. Tétel: [Az (x,y,z) egyeletredszer megoldhatósága] Gauss-módszer: [Kötelező bizoyítás] a 11 feltehetjük 1) lépés: az i-edik (i 2) egyeletből kivojuk az első egyeletet a i1 -szeresét. Így a következő a11 egyeletet kapjuk. 2) lépés: i-dik (1=1,3, m) egyeletből kivojuk a második egyelet a i2 a 22 -szeresét 1) Gauss módszer befejeződik, ha elfogyak az egyeletek. 2) Ha vaak egyeletek, de a jobb oldalo midehol -va. Ha a Gauss-módszer r lépés utá befejeződik, akkor a következő alakú egyeletredszert kapjuk: a 11 x 1 a r+1 x r+1 + a 1 x = b 1 a 22 x 2 a 2r+1 x r+1 + a 2 x = b 2 } a rr x r a rr+1 x r+1 + a m x = b r 1 eset: = b r + 1 = b m I. } II. elfogytak az egyeletek a) b r+1 b valamelyike, ekkor a lieáris egyeletredszer em oldható meg. b) b r+1 b = ekkor az r+1-dik,, -dik egyelet elhagyható mert midegyik = alakú. 2 eset: (elfogyott egyeletek) a) r= az egyeletredszer egyértelműe oldható meg: x r = b r a rr x r 1 = b r 1 a r 1 r 1 x 1 = b 1 a 11 } x j = b j a jj j = 1,2,, r = b) r< több megoldás létezik: b j 1 (b a j a jr+1 x r+1 a j x j = 1,2 jj értékét tetszőlegese választhatjuk, így végtele sok megoldást kapuk. x r+1 x 4

5 3. tétel A mátrix fogalma: Defiíció: Egy R gyűrű elemeiből képezett, m sorba és oszlopba elredezett m elemű sorozatokat az R gyűrű feletti m -típusú mátrixokak evezzük. Egy -típusú mátrixot égyzetes mátrixak is evezzük. Műveletek gyűrű elemeiből képzett mátrixokkal: Defiíció: (Összeadás): Azo típusú (mx-es típusú) A és B mátrixok összegé azt az A-val ( és B-vel) azoos típusú A+B-vel jelölt mátrixot értjük, melyek i-edik sorába és j-edik oszlopába lévő elem megegyezik az a ij+b ij-vel. Defiíció: (Szorzás): Egy R gyűrű elemeiből A mátrixak R valamely r elemével képzett szorzatá azt az ra módo jelölt, A-val azoos típusú mátrixot értük, melyek elemei redre egyelőek A elemeiek r-szeresével. Egységmátrix: Defiíció: Az -es 1 I := diag(1,1,...,1) =[ ] 1 mátrixot egységmátrixak evezzük. Mátrix iverzéek fogalma: Defiíció: Egy egységelemes R gyűrű feletti A M (R) égyzetes mátrix iverzé azt az A 1 M (R) mátrixot értjük, amelyre AA 1 = A 1 A = E teljesül. Ekkor azt is modjuk, hogy A ivertálható mátrix. Négyzetes mátrix lehetséges iverzeiek száma: Tétel: Az M (R) tetszőleges mátrixak legfeljebb egy iverze va. Test feletti lieáris egyeletredszer mátrixszorzatos alakja és megoldhatóságáak, valamit egyértelmű megoldásáak mátrixragos feltétele: a 11 a 1 x 1 b A: [ ] x: = [ x1 1 ] b [ ] mx1 xm a m1 a m x b m a 11 x 1 + +a 1 x b 1 Ax [ ] = [ ] = b a m1 x 1 a m x b m Tehát lieáris szorzat átírható az Ax=b mátrixszorzatos alakba. A-t a lieáris egyeletredszer mátrixáak az a 11 a 1 b 1 (A; b) [ ] a m1 a m b m mátrixot pedig a lieáris egyeletredszer kibővített mátrixáak evezzük. 5

6 Mátrix ragja: Defiíció: Mátrix ragjá az oszlopvektorai között lévő lieárisa függetle oszlopok számát értjük. Jelölése: r(a); rag(a) Tétel: Egy Ax=b lieáris egyeletredszer akkor és csak akkor oldható meg ha raga= rag(a;b). Egy Ax=b lieáris egyeletredszerek akkor és csak akkor va egyértelmű megoldása, ha rag(a)=rag(a;b)=. ( az ismeretleek száma) A mátrix szorzás asszociativitása: [Kötelező bizoyítás] Tétel: - Tetszőleges A, B, és C mátrixok eseté az (AB)C szorzat akkor és csak akkor létezik, ha létezik az A(BC) szorzat. Ekkor: (AB)C A(BC) -> (asszociatív, ha létezik) Bizoyítás: - Tegyük fel hogy létezik (AB)C szorzat. Akkor A mx, B xk -> C (kxl) -> létezik A(BC) Hasolóa adódik, hogy létezik A(BC) -> létezik (AB)C k t 1 k [(AB)C] = [AB] t [c] j = ( [A] s [B] t ) [C] j = {([A] s [B] t )[C] j } k t=1 s=1 t k t=1 s=1 k = {[A]([B] t [C] j )} = [A] s ([B] t [C] j )} = ( i [A] ss [BC] j ) = [A(BC)] j t=1 s=1 s=1 t 1 s=1 6

7 4. tétel Kommutatív gyűrű elemeiből képzett égyzetes mátrix determiásáak fogalma: Defiíció: Legye egy kommutatív R gyűrű feletti mátrix. a 11 a 1 A: [ ] a m1 a m Az [a ] mátrix (=1) eset determiásá az R gyűrű a 11 elemét értjük. Az [ a 11 a 12 a 21 a ] mátrix (=2) eset 22 determiásá az R gyűrű (a 11a 22-a 12a 21) elemét értjük. Általába az ( 2) az a 11 a 1 A: [ ] a m1 a m mátrix determiásá az R gyűrű deta:=a 11A 11+a 12A 12+.+a 1A 1; ahol A 1k=(-1) 1+k D 1k (k=1,2,,) amely kifejezésbe D 1k jelöli az A mátrixból az első sor és a k-adik oszlop elhagyásával keletkezett (-1)x(-1) típusú mátrix determiását. Mátrix és traszpoáltja determiásáak kapcsolata: Tétel: Tetszőleges égyzetes A mátrix eseté deta=deta T, ahol A T az A mátrix traszpoáltja. Kifejtési tétel és ferde kifejtési tétel: Tétel: (Kifejtési): Tetszőleges kommutatív gyűrű feletti, legalább két sort tartalmazó égyzetes mátrix bármely sora, illetve bármely oszlopa szeriti kifejtése megegyezik a mátrix determiásával (azaz az első sor szeriti kifejtésével). Tétel: (Ferde kifejtési) Tetszőleges kommutatív gyűrű feletti, legalább két sort tartalmazó égyzetes mátrix eseté, egymástól külöböző i, j és k idexekre a i1a k1 + a i2a k2 + + a ia k =, és a 1jA 1k + a 2jA 2k + + a ja k = teljesül. Determiás egy illetve két sorával kapcsolatos alaptulajdoságai: Tétel: (egy sorral kapcsolatos): Ha egy A mátrix valamelyik sorába vagy oszlopába mide elem, akkor a deta=. Ha egy mátrix valamelyik sorába álló elemek midegyikét szorozzuk egy r elemmel, akkor az így kapott mátrix determiása egyelő r*deta-val. Tétel: (két sorral kapcsolatos): Egy A mátrix két külöböző sorába (vagy oszlopába) elemek redre megegyezek, akkor deta=. Ha egy mátrixba két külöböző sort egymással felcserélük, akkor a determiás előjelet vált. Ha egy mátrix valamelyik sorához hozzáaduk egy tőle külöböző sort, vagy valamilye r-szeresét, akkor a determiás értéke em változik. 7

8 Determiások szorzástétele: Tétel: Tetszőleges azoos típusú égyzetes A és B mátrixok eseté deta*detb=det(a*b) Reguláris mátrix iverze: [Kötelező bizoyítás] Tehát AA =E Tétel: - Reguláris A mátrixak létezik egy és csak egy iverze. Sziguláris mátrixakics iverze Bizoyítás: - Legye A reguláris mátrix. Legye A 1 1 ( 1) i+j D ij DefA [A 11 A 1 A 1 A ] T ahol A ij = - AA 1 = [ A 11 A 1 A 1 A ] 1 DefA [ A ii A ji A i A i A j A ] = 1 DefA [a i1a j1 + a i2 A j2 + + defa a ij A j ] = 1 ( deta ) = 1 (a DefA defa i1a j1 + a i2 A j2 + + a i A j ) = deta 1 ha i = j { ha i j Hasolóa igazolható, hogy A -1 A=E így A -1 az A reguláris mátrix iverze. 8

9 5. tétel Kommutatív gyűrű elemeiből képzett mátrix ragja: Defiíció: Egy kommutatív gyűrű elemeiből képzett mátrix ragjá, a mátrix em zérus értékű determiásaihoz tartozó redszámok maximumát értjük. A kétféle mátrixrag fogalmáak kapcsolata test elemeiből képzett mátrixok eseté: Ragszámtétel: Tétel: Test elemeiből képzett mátrix eseté a rag kétféle defiíciója egymással ekvivales. Tétel: Test elemeiből képzett mátrix oszlopvektoraiból álló vektorredszer ragja megegyezik a sorvektoraiból álló vektorredszer ragjával. Cramer-szabály [Kötelező bizoyítás]: Tétel: - Ha az egyeletből álló, ismeretlet tartalmazó Ax=b lieáris egyeletredszer A mátrixa reguláris akkor Ax=b lieáris egyeletredszer egyértelműe megoldható, úgy hogy x k = deta k deta (k=1, 2,, ) ahol Ak azt a mátrixot jelöli, amelyek az A mátrixból úgy is megkaphatuk, ha az A k-adik oszlopa helyére a b oszlopvektort írjuk. Bizoyítás: (a betűk alá vaak húzva) x 1 - A x = b létezik A 1 A 1 (A x ) = A 1 b (A 1 A)x = A 1 b x = [ x 2 ] = x A 1 A 11 A 1 b = 1 [ A deta 1k A k A 1 A ]x adik koordiáta. - x k = 1 (A deta 1kb 1 + A 2k b A k b ) b 1 [ b k = b ]x1 1 [A deta ikb i + + A k b ] k - deta k = [ a 11a 1k 1 b 1 a 1 a 1 a 2k 1 b a ] b 1 A 1k + b 2 A 2k + + b A k - így x k = detak deta 9

10 6. tétel Mátrixok sajátértékei, sajátvektorai: Defiíció: Egy F test valamely λ elemét az F test feletti -típusú A mátrix sajátértékéek evezzük, ha megadható olya x F vektor, amelyre teljesül az Ax = λx egyelőség. A feltételek eleget tevő x vektorokat az A mátrix sajátvektoraiak (potosabba, a λ sajátértékhez tartozó sajátvektorokak) evezzük. Szimmetrikus és ferdé szimmetrikus mátrixok: Defiíció: Egy valós számokból álló A égyzetes mátrixot szimmetrikus mátrixak evezük, ha A = A T. Az A mátrixot ferdé szimmetrikus mátrixak evezzük, ha A = A T. A főtegelytétel: Tétel: Tetszőleges A M (R) szimmetrikus mátrix eseté az R vektortérek midig va olya bázisa, amelyhez tartozó vektorok az A mátrix sajátvektorai. A mátrix karakterisztikus egyelete: [Kötelező bizoyítás] Tétel: - Egy F test valamely x eleme akkor és csak akkor sajátértéke egy F test feletti A mátrixak, ha x egyike az A mátrix karakterisztikus egyeletéek, azaz teljesül rá az A xe = egyelőség. Bizoyítás: - x F akkor és csak akkor sajátértéke egy A M (F) mátrixak, ha va olya x F vektor, hogy Ax = λx = λex azaz [A λe]x = - Eze utóbbi egy homogé lieáris egyeletredszer mátrixszorzatos alakja λ tehát akkor és csak akkor sajátértéke A-ak, ha eek az egyeletredszerek va emtriviális megoldása. Ilye megoldás akkor és csak akkor létezik, ha A λe =. 1

11 7. tétel Lieáris leképzések: Defiíció: Legyeek V 1 és V 2 ugyaazo F test feletti vektorterek. V 1-ek V 2-be való ϕ leképezését a V 1 vektortérek a V 2-vektortérbe való lieáris leképezéséek evezzük, ha tetszőleges a, b V1 és tetszőleges α F eseté teljesülek az alábbi egyelőségek: ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(αa) = αϕ(a). A V 1-ből V 2-be törtéő összes lieáris leképezés halmazát Hom(V 1, V 2)-vel fogjuk jelöli. Lieáris traszformációk, tezorok: Defiíció: Az R vektortér lieáris traszformációit -dimeziós tezorokak evezzük. Bázistraszformáció: Defiíció: Egy V vektortér ömagába való ϕ lieáris leképezéseit lieáris traszformációkak evezzük. Ha B a V egy bázisa, akkor ϕ eze bázis szeriti mátrixát [ϕ]b módo fogjuk jelöli. Vektor és lieáris traszformáció mátrixa új bázisba: Tétel: Legye V egy F test feletti -dimeziós vektortér, és legye B = {e 1,..., e }, illetve B = {e 1,..., e } a V két bázisa. Legye τ a V vektortér azo bázistraszformációja, amelyre teljesül. Akkor tetszőleges a V vektor eseté e i = τ (e i), i = 1,..., [a] B = [τ ] B 1 [a] B. 11

12 Lieáris leképezések és mátrixok kapcsolata: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Legyeek v 1, illetve v 2 ugyaazo F test feletti illetve m dimeziós vektorterek. Akkor v 1-ek v 2-be való tetszőleges p lieáris leképzésekhez és v 1, v 2 egy-egy rögzített β 1 illetve β 2 bázishoz va egy és csak egy olya mx típusú F feletti [ϕ] β 1/β 2 mátrix, hogy v 1 tetszőleges a vektora eseté: [φ(a)] β2 = [φ] β 2 β 1 [a] β1 teljesül. Bizoyítás: Legye β 1 = {b 1, b 2 b } jelölje [ϕ]β 2/β 1 azt az mx típusú mátrixot melyek j- dik oszlopvektora egyelő a φ(b j ) v 2 akkor β 2 bázis szerit koordiátás alakjával. Legye a = j=1 a j b j a v 1 vektortér tetszőlege vektora. Akkor [φ(a)] β2 = [p( j=1 a j b j )] = [( a β2 j=1 j δ(b j ))] = a β2 j=1 j (δb j ) β2 = [δ]β2[a] β1 β1 Ha egy mx típusú C=[c ij] mátrixa is teljesül, hogy v 1 tetszőleges a vektora eseté [ϕ(a)] β1 akkor mide b j β 1 vektorra is teljesül, és ezért mide j=1, 2,, idexre 1 c ij [φ(b j )] β2 = C[b j ] β1 = c [ ] = [ ] c mj azaz a [φ] β 2 β 1 mátrix j-dik oszlopba mide j idexre megegyezik a C mátrix j-dik oszlopával, amiből következik, hogy C = [φ] β 2 β 1 Tehát csak egy olya mátrix létezik, amelyik teljesíti a feltételeket; ez a mátrix a [φ] β 2 β 1 mátrix. 12

13 8. tétel Mátrixok hasolóságáak fogalma: Defiíció: Legyeek A ás B egy F test elemiből képezett, azoos típusú égyzetes mátrixok! Akkor modjuk, hogy A hasoló B-hez, ha megadható olya F elemeiből képezett reguláris C mátrix, hogy A = C 1 BC teljesül. Hasoló mátrixok karakterisztikus egyeletek kapcsolata: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Hasoló mátrixok sajátértékei megegyezek. Bizoyítás: Legyeek A és B egy F test elemeiből képzett hasoló mátrixok. Akkor va olya F feletti reguláris C mátrix, hogy A=C -1 BC. Ezért az F tetszőleges λ elemére. A λe = C 1 BC λe = C 1 BC C 1 (λe)c = C 1 (B λe)c = C 1 B λe C = C 1 C B λe = C 1 C B λe = E B λe = B λe Így k A (x) = k B (x) azaz az A és B mátrixok karakterisztikus poliomja megegyezek. Ebből már következik, hogy az A és B mátrixok spektruma közös. Lieáris traszformációk (tezorok) sajátértékei, sajátvektorai: Defiíció: Legye V egy F egy test feletti vektortér, és ϕ a V egy lieáris traszformációja. Az F valamely λ elemét a ϕ egy sajátértékéek evezzük, ha megadható olya x V vektor, hogy ϕ(x) = λx. A feti egyelőségbe szereplő x vektorokat a ϕ lieáris traszformáció λ sajátértékéhez tartozó sajátvektoráak evezzük. Szimmetrikus lieáris traszformációk (tezorok) sajátértékei, sajátvektorai: Defiíció: Egy A tezort szimmetrikusak evezük akkor, ha A=A. Egy A tezor eseté A=-A teljesül, ferdé szimmetrikus tezorról beszélük. Tétel: Szimmetrikus tezor sajátértékei valós számok, ferdé szimmetrikus tezorak csak lehet a sajátértéke. 13

14 9. tétel Sor és sor összege: Defiíció: Egy a 1,a 2,.,a számsorból képzett a 1+a 2+.+a + ( számsorak evezzük. =1 a Egy =1 a számsor k-dik részletösszegé az s k=a 1+a 2+.+a k számot értjük. (k=1,2,.) Sorok általáos kovergeciatételei: ) formális összeget Defiíció: Egy =1 a számsort kovergesek evezük, ha a k-dik részletösszegéből álló [s k] sorozat koverges, lim s k határérték a =1 a számsor összege. Ha, lim s k em létezik, akkor k k a =1 a számsort divergesek evezzük. Tétel: Ha a =1 a koverges, akkor a lim a =. Nem egatív tagú sorok: Defiíció: Egy =1 a valós számsort em egatív tagú sorak evezük, ha a teljesül mide idex eseté. Tétel: Egy em egatív tagú sor akkor és csak akkor koverges, ha a k-dik részletösszegből álló s k sorozat felülről korlátos. Kovergecia kritériumok: Majorás kritérium: Legyeek =1 a és =1 b olya valós számsorok, hogy létezik olya idex, hogy bármely > eseté a b teljesül. Ha a =1 b sor koverges, akkor a =1 a sor is koverge. Háyados kritérium: Ha a =1 a számsorhoz megadható egy olya < q < 1 valós szám és egy idex, hogy bármely > eseté a > és a +1 q teljesül., akkor a a =1 számsor koverges. =1 a Gyökkritérium: Ha va olya idex, hogy mide > eseté a =1 sor abszolút koverges. q<1, akkor a Ha va olya idex, hogy mide > eseté a q>1, akkor a =1 a =1 sor diverges. Itegrál kritérium: Tegyük fel va egy olya f függvéy, amely egy adott 1-től kezdve +ig szigorúa mooto csökkeőleg tart ullához, és f()=a. Ha az f(x)dx improprius itegrál koverges, akkor a sor koverges, ha ez az itegrál diverges, akkor a sor is diverges, valamit. f(x)dx a = a + f(x)dx Gyökkritérium: [Kötelező bizoyítás] Ha a =1 a valós számsor eseté létezik idex, hogy bármely > -ra a >, tövábbá létezik <q<1 valós szám, hogy a q, akkor a =1 a számsor koverges. Bizoyítás: Legye >. Akkor a q, amiből a q következik. Így =1 a -reés q koverges mértai sorokra alkalmazva a majorás kritériumot azt kapjuk, hogy =1 a sor koverges. =1 14

15 1. tétel Leibiz-sorok Defiíció: Egy valós számokból álló =1 a m sort Leibiz sorak evezzük, ha váltakozó előjelű, és a tagok abszolút értékéből álló sorozat mooto csökkeő és -hoz kovergál. A Leibiz-sor kovergeciájára voatkozó tétel: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Mide Leibiz-sor koverges Bizoyítás: Legye a 1 a 2 + a 3 a 4 egy Leibiz-sor a 1 ; a 2 S 1 = a 1 S 2 = a 1 a 2 S 3 = a 1 a 2 + a 3 S 4 = a 1 a 2 + a 3 a 4 S 1 S 3 S 5 mooto csökkeő sorozat S 2 S 4 S 6 mooto övekvő sorozat S 2k+1 = S 2k + a 2k+1 S 2k+1 S k S 2 S 2 alsó korlátja az S 1 S 3 S 5 sorozatak. Mivel a mooto csökkeő S 1 S 3 S 5 sorozat alulról korlátos (S 2 egy ilye alsó korlát) ezért [S 2k+1 ] sorozat koverges. Hasolóa igazolható, hogy az [S 2k ] sorozat koverges. Legye a = lim k S 2k b = lim k S 2k+1 a b = lim k S 2k lim k S 2k+1 = lim k (S 2k S 2k+1 ) lim k ( a 2k+1 ) = a = b lim S k létezik, a Leibiz-sor koverges. k Abszolút és feltételes kovergecia: Defiició: - Egy számsort abszolút kovergesek evezük, ha a tagok abszolút értékéből álló sor koverges. - Egy számsort feltételese kovergesek evezük, ha koverges, de em abszolút koverges. 15

16 Defiíció: - Műveletek sorokkal: - A =1 a és =1 b sorok összegé a =1(a + b ) sort értjük. - A =1 a sorak egy α számmal vett szorzatá a =1 (αa ) sort értjük. - A =1 a és =1 b sorok szorzatá azt a sort értjük, melyek -dik tagja egyelő az a 1 b + a 2 b a 2 b 2 + a b 1 sorozat összeggel azaz ( a ) ( b ) = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + =1 =1 Tétel: - Koverges sorok összege és külöbsége is koverges, összegük pedig egyelő a tagok összegéek összegével, illetve külöbségével. - Abszolút koverges sorok külöbsége és összege is abszolút koverges. - Abszolút koverges számsorok, sorok, szorzata is abszolút koverges. 16

17 11. tétel Taylor-sorok: Defiíció: Legye f(x) olya egyváltozós valós értékű függvéy, amely egy x potba akárháyszor differeciálható. f(x ) + f (x ) (x x ) + f (x ) (x x ) f (x ) (x x ) + = f(i) (x ) (x x ) i 1! 2! függvéysor az f(x) függvéyt x pothoz tartozó Taylor-soráak evezzük. Hatváysorok: A =1 a! Defiíció: Legye a, a 1, a 2 valamit z tetszőleges rögzített komplex számok. (z z ) függvéysort egy z pot körüli hatváysorak evezzük. Ábel-tétele: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha a =1 a (z z ) hatváysor koverges egy z 1 z potba, akkor abszolút koverges mide olya z potba, amelyre z z < z 1 z teljesül. =1 a Bizoyítás: Mivel z 1-be a hatváyok koverges, ezért a behelyettesítésével keletkezett (z z ) számsor koverges így lim a (z 1 z ) =, ez a sorozat koverges. S ezért az a (z 1 z ) sorozat korlátos v- tehát egy olya k emegatív valós szám, amelyre a (z 1 z ) k teljesül mide idex eseté. Legye z olya pot, amelyre z z < z 1 z teljesül. Akkor z z z 1 z < 1 =1 a (z z ) = a (z z ) ( z z ) = a z 1 z (z z ) z z z 1 z =1 =1 a (z 1 z ) z z < k z z z z z 1 z z 1 z z 1 z A koverges mértai sor majorálja a =1 a (z z ) sort így a majorás. =1 i= i! q = z z z 1 z koverges. Kritérium miatt a =1 a (z z ) sor koverges. Tehát =1 a (z z ) sor abszolút koverges. 17

18 12. tétel Fourier-sorok: Defiíció: A 2π szerit periodikus egyváltozós valós f(x) függvéy Fourer-sorá azt az a + =1 (a cos x + b si x) végtele sort értjük, amelybe szereplő együtthatók a következők: a = 1 2π 2π f(x)dx a = 1 π 2π f(x) cos x dx b = 1 π 2π f(x) si dx = 1, 2.. Bármely f:r->rp szerit periodikus függvéy itegrálja a-tól a+p-ig egyelő -tól p-ig vett itegráljával: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha az egyváltozós valós értékű f(x) függvéy p szerit periodikus, akkor tetszőleges a R eseté: Bizoyítás: p a+p f(x)dx = f(x)dx p a p a+p p a+p a f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx a f(x)dx a+p = f(t p)1dt p a+p = f(t)dt p p a a+p = f(x)dx p Megmutatható, hogy 2π 2π cos x dx cos x dx = 2π 2π si xdx si x dx = 2π f(x)dx π 2π = a 1 dx = a [x] 2π = a 2π a = 1 2π 2π f(x) dx a = 1 π 2π f(x) cos x dx; b = 1 π 2π f(x) si x dx; = 1,2, 18

19 13. tétel Többváltozós valós függvéyek határértéke, folytoossága, parciális differeciálhatósága Defiíció: [Határérték] - Akkor modjuk, hogy egy f(x,y) kétváltozós valós függvéyek valamely p =(x, y ) potjába va határértéke, és az l szám, ha P potak va olya E köryezetbe, amelybe az f(x,y) függvéy értelmezve va, és mide E-beli p kovergáló p (x, y ) potsorozat eseté az [f(p )] = [(x, y )] függvéyértékek sorozata r-hez tart. Defiíció: [Folytoosság] - Akkor modjuk, hogy egy f: R R m függvéy az R m tér valamely p potjába folytoos, ha 1) az f függvéy P -ba értelmezve va (P Domf) 2) az f függvéyek P -ba va határértéke 3) az f függvéy P potbeli határértéke egyelő a P potbeli helyettesítési értékével ( lim P P f(p) = f( P )) Defiíció: [Parciális differeciálhatóság] - Legye P (x 1, x 2 x ) az R tér egy rögzített potja. Az f: R R -változós valós függvéy 1-dik változója szerit P potbeli parciális differeciálháyadosá az f f(x 1, f i + h, x ) f(x 1, x i, x ) (xi)(p ) = lim h h határértéket értjük ha létezik. Magasabb redű parciális deriváltak: Defiíció: - Egy többváltozós valós függvéyek -eredetű ( 1) parciális deriváltja az (-1)- edredű parciális deriváltak perciális deriváltjait értjük, azzal a megjegyzéssel, hogy egy f függvéy -adredű parciális deriváltjai magát az f függvéyt értjük. Skalár vektor függvéyek és a többváltozás valós függvéyek differeciálhatósága: Defiíció: - Egy a(r) skalár-vektor függvéyről akkor modjuk, hogy egy r helye differeciálható, ha megadható egy olya d vektor és r -ak olya teljes köryezete, hogy az eze teljes köryezethez tartozó tetszőleges r vektor u(r) = u(r ) = d(r r ) + ε(r)(r r ) teljesül, ahol ε(r) olya vektor-vektor függvéy, hogy lim r r ε(r) =. Kapcsolat a parciális differeciálhatósággal: Tétel: Ha egy többváltozós valós f függvéy differeciálható egy P potba, akkor P -ba létezik tetszőlege e egységvektor szerit iráymeti differeciálháyadosa, és f e(p )=e gradf(p ). 19

20 A skalár-vektorfüggvéy gradieséek egyértelműsége: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha egy u(r) skalár-vektor függvéy differeciálható egy r helye, akkor egy és csak egy olya d vektor va amelybe a defiicióbeli feltétel teljesül. Bizoyítás: Tegyük fel hogy, u(r):r ->R skalár vektor függvéy eseté egy d 1 és egy d 2 (R vektortérbeli) vektorra teljesül a differeciálhatóság defiíciójába szereplő feltétel. Ekkor r -ak létezik olya teljes köryezete, hogy a bee lévő v vektor midegyikére u(r) u(r ) = d 1 (r r ) + ε 1 (r)(r r ) u(r) u(r ) = d 2 (r r ) + ε 2 (r)(r r ) lim ε 1 (r) = ; r r lim ε 2 (r) = r r (d 1 d 2 )(r r ) = (ε 2 (r) ε 1 (r))(r r ) Legye e R tetszőleges egységvektor. A továbbiakba r a teljes köryezethez tartozó olya vektor legye, hogy (r r ) e és (r r ) (d 1 d 2 ) r r r r = ε 2(r) r r r r (d 1 d 2 )e = (ε 2 (r) ε 1 (r))e lim (d 1 d 2 )e r r = lim (ε 2 (r) ε 1 (r))e = e d 1 d 2 e (d 1 d 2 )e r r d 1 d 2 mide egységvektorra merőleges d 1 d 2 = d 1 = d 2 2

21 14. tétel Iráymeti differeciálháyados: Defiíció: Legye f egy egyváltozós függvéy, e pedig az R vektortérbeli egységvektor. A f(p) f(p lim ) (PP II e) határértéket, ha létezik az f függvéy P potbeli e szeriti iráymeti P P e PP differeciálháyadosak evezzük, és f e (P ) módo jelöljük. Összetett függvéy és parciális differeciálhatósága: Defiíció: Az változós f valós külső függvéyből és az változós valós u 1, u 2,, u belső függvéyekből összetett függvéyekek evezzük azt a függvéyt: 1. melyek értelmezési tartomáya azokból (és csak azokból) a P =(x 1, x 2,, x ) potokból áll melyekbe az u 11, u 21,, u 1 függvéyek valameyie értelmezve vaak, és ugyaakkor a P -ak megfelelő u =[u 1(P ), u 2(P ),., u (P )] potba f is értelmezve va. 2. és melyek értéke mide ilye P -ba f(u ). Jelölése: f(u 1, u 2,, u ) Tétel: Ha f függvéy differeciálható az u potba, u és v függvéyek pedig midkét változójuk szerit parciálisa differeciálhatók a P potba, akkor a z=f (u,v) függvéy is parciális differeciálható a P potba. Teljes differeciál: Defiíció: Egy változós f függvéy P beli teljes differeciáljá a df(p,h 1,h 2,.,h ) := h 1f x 1(P )+ h 2f x 2(P )+..+ h f x (P ) -változós valós függvéyt értük. Lieáris közelítés: Defiíció: f: R R P -ba differeciálható, ha P -ak va olya k teljes köryezete, hogy ha P k akkor, f(p)-f(p ) = gradf(p )* P P + E(P) * P P, ahol lim P P E(P) = Ha P -ak,,elég kis teljes köryezetébe f(p) - f(p ) gradf(p ) * P P, akkor f(p) f(p ) + gradf(p ) * P P. Az éritősík: Defiíció: Tegyük fel, hogy az F felülete va olya P -o átmeő két görbe, melyekek P - ba va éritője és ezek külöböző állásúak. Eze éritők által kifeszített síkot az F felület P potbeli éritősíkjáak evezzük. 21

22 Az iráymeti differeciálháyados kiszámítására voatkozó tétel: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha egy f R R függvéy differeciálható egy P potba, akkor tetszőleges e R egységvektor eseté létezik az f e(p ) iráymeti differeciálháyados, és f e(p ) = e gradf(p ) Bizoyítás: Tegyük fel hogy, f differeciálható P -ba. Létezik gradf(p ) = [f x, (P ) f x, (P )]. Létezik P -ak E teljes köryezete, hogy mide P Ere. Tegyük fel hogy P P e Ekkor P P = e (e P P) Így f(p) f(p ) e P P f(p) f(p ) = P P gradf(p ) + P P ε(p) lim ε(p) = p P = e gradf(p ) + e(ε(p), ezért f f(p) f(p ) e(p ) = lim = e gradf(p p P e P ) P 22

23 15. tétel A kétváltozós Taylor-formula: Legye f(x, y) R λ R kétváltozós valós függvéy. P (x, y ); P(x, y); P(x + k, y + k); Q(x + tk, y + tk) t 1 F(t) = f(q) = f(x + tk, y + tk) t 1 F (t) = f(x)( x + tk, y + tk)k + f y(x + tk, y + tk)k F"(t) = k 2 f " xx (x + tk, y + tk) + kk f " xy (x + tk, y + tk) + kkf " yx (x + tk, y + tk) + k 2 f " yy (x + tk, y + tk) = k 2 f " xx (x + tk, y + tk) + 2kkf " xy (x + tk, y + tk) + k 2 f " yy (x + tk, y + tk) Két és többváltozós függvéyek szélsőértékei: Defiíció: Akkor modjuk, hogy egy f: R R változós valós függvéyek az R halmaz egy P potjába miimuma va, ha a P potak megoldató olya E köryezete, hogy mide E-beli potra f(p) > f(p ) teljesül. Ha mide P E f(p) < f(p ) teljesül, akkor P -ba a függvéyek maximuma va. Feltételes szélsőérték: Defiíció: Azt modjuk, hogy az f függvéyek a g 1 =, g 2 = g q = feltétel mellett feltételes szélsőértéke va az a H potba, ha az a potba az f 1H függvéyke lokális szélsőértéke va. Feltételes szélsőérték egy szükséges feltételét adja a következő tétel. Kötelező bizoyítás A Lagrage-féle multiplikátoros módszer: Tétel: Tegyük fel, hogy f(x, y, z)és g(x, y, z) differeciálható függvéyek. Az f függvéy a g(x, y, z) = feltételek eleget tevő potokba akkor vehet fel lokális maximumot vagy miimumot, ha x, y, z és λ kielégíti a f = λ g és g(x, y, z) = egyeleteket. Kétváltozós függvéy a feltétel hasoló, csupá a harmadik koordiátától kell eltekitei. 23

24 16. tétel A kettős és hármas itegrál fogalma és alaptulajdoságai: Defiíció: [kettős itegrál] - Az itegrálközelítő összegek közös határértékét az F függvéy v tartomáyához tartozó itegráljáak (kettős itegráljáak evezzük, és f dv vagy v (x, y) dx dy v módo jelöljük. Defiíció: [Hármas itegrál] Alaptulajdoságok: - Legye F a térbeli v tartomáyo legfeljebb ullmértékű halmaz potjaiból eltekitve mideütt értelmezett háromváltozós korlátos függvéy. Akkor modjuk, hogy az f függvéy itegrálható v-, ha az f függvéyhez és a v bármely mide határo túl fiomodó beosztássorozatához tartozó l itegrálközelítő összegek sörözata koverges. - (f g) v - αf v dv = f v dv dv = α f v - f v 1 v 2 dv = f - f(x, y) v dv + v g dv dv + v f dv 1 b a v 2 d c Folytoos függvéyek kettős és hármas itegrálja: Tétel: (α valós kostas) dx dy = ( f(x, y) dy) dx = ( f(x, y) dx) dy - Ha a két vagy háromváltozós valós f függvéy folyamatos a síkbeli vagy térbeli v tartomáyba, akkor f függvéy itegrálható v-. d c b a 24

25 Kötelező bizoyítás: Az itegrálközépérték-tétel: Tétel: - Ha egy kétváltozós (vagy háromváltozós) valós f függvéy folytoos agy v síkbeli (vagy térbeli) tartomáyo, és m=if(f), M=sup(f), akkor va olya C v, hogy f (c) = I v v f dv ( v + ). Bizoyítás: Az itegrál korlátja tétel miatt m v d dv M v v m 1 v v f dv M 1 v v f dv az fe függvéy v-hez tartozó ifimuma és suprémuma közötti valós szám, így a Weierstrass-tétel miatt va olya c v hogy f(c) = 1 v v f dv. Tétel: [Az itegrál korlátja] - Ha a két vagy háromváltozós valós f függvéy itegrálható egy v síkbeli vagy térbeli tartomáyo és m valamit M at f egy alsó valamit felső korlátja v-, akkor m v d dv M v. v 25

26 17. tétel Sík és térbeli polárkoordiáta-redszer, hegerkoordiátaredszer: - Síkbeli polárkoordiáták: Síkbeli polárkoordiátaredszer: rögzített félegyees v OP φ e, OP P(r, p) p pot síkbéli polárkoordiátái x = r cos φ r y = r si φ φ π - Térbeli koordiáták: r OP θ = opf} a P pot térbeli polárkoordiátái φ = opf x = r si θ cos φ y = r si θ si φ z = r cos θ - Hegerkoordiáták: m: pp előjeles hossza = pp ha p p vektor egyállású a ormálvektorral m: pp előjeles hossza = pp ha pp elletétes iráyú a ormálvektorral r, φ a P síkbéli polárkoordiátái m, r, φ: a P pot hegerkoordiátái z = m P(x, y, z) P(r, δ, m) x = r cos δ} átfedés a hegerkoordiátára y = r si δ A kettős és hármas itegrál traszformációja: Tétel: Legye v az xy síkbeli derékszögű koordiátaredszerbe megadott tartomáy, f a V tartomáyo itegrálható függvéy az x = x(u, v) y = y(u, v) } pedig a v tartomáy és az (u, v) számpárok bizoyos w halmaza közötti olya leképezés, amely a vv külöböző belső potjához redeli. H az x és y az u-ak és v-ek a vv halmaza folytoos parciális deriváltakkal redelkező függvéyei, akkor az f függvéy v tartomáyo vett kettős itegrálja kifejezhető a következőképpe: (Jacobi determiás vagy traszformációs függvéydetermiás) f(x, y) v (x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v) = (u, v) vv dvv ahol x (x, y) (u, v) = u y u x v y v 26