1. gyakorlat - Végtelen sorok

Átírás

1 . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = = 6 ) ) = lim N ) 5 = = 7 6 N ) + = lim N ) = N + Az a) és b) feladatba a geometriai sor összegképletét kellett haszáli, míg a c) részbe előbb parciális törtekre botottuk, majd kihaszáltuk az így kapott összeg teleszkópikus voltát.. Állapítsuk meg a gyök és háyadoskritériumot haszálva, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek és melyek divergesek! a) b) 3 A kovergecia eldötésére háyadoskritériumot haszáluk. a + a = + ) A kapott háyados értéke -től kisebb, tehát a végtele soruk koverges

2 c) d) e) A kovergecia eldötésére gyökkritériumot haszáluk a = = A kapott -dik gyök értéke -től agyobb, tehát a végtele soruk diverges. 3 ) A kovergecia eldötésére gyökkritériumot haszáluk. a = 3 ) = 3 ) e 3 A kapott -dik gyök értéke -től kisebb, tehát a végtele soruk koverges. = A kovergecia eldötésére gyökkritériumot haszáluk, de előbb egy becslést hajtuk végre a köyebb számoláshoz. b = ) 6 6 = A kapott -dik gyök értéke -től kisebb, tehát sorukat sikerült felülről becsüli egy koverges sorral, tehát a majorás kritérium alapjá az eredeti soruk is koverges. =3! A kovergecia eldötésére háyadoskritériumot haszáluk. a + a = +! + )! = + 0 A kapott háyados gyök értéke -től kisebb, tehát a végtele soruk koverges.

3 f)! A kovergecia eldötésére háyadoskritériumot haszáluk. a + a = + )! + ) +! = ) e + A kapott háyados gyök értéke -től kisebb, tehát a végtele soruk koverges. 3. Mely "a" eseté koverges a következő sor? a + ) + 4 Megoldás: Csak az a = eseté koverges. 4. Az alább megadott végtele sorok közül melyek kovergesek, és melyek divergesek? a) = + A kovergecia eldötésére majorás kritériumot haszáluk. + b) Azt pedig tudjuk, hogy a sor koverges, így a majoráskritérium alapjá az eredeti sor is koverges. = l A kovergecia eldötésére itegrálkritériumot haszáluk. Mide x eseté az f x) = x l x függvéy pozitív és szigorúa mooto csökkeő. x l x dx = [l l x] = c) A sor tehát az itegrálkritérium alapjá diverges. = l ) 3

4 d) e) f) g) A kovergecia eldötésére itegrálkritériumot haszáluk. Mide x eseté az f x) = függvéy pozitív és szigorúa mooto csökkeő xl x) ez egyszerű deriválással látható). xl x) dx = [ l x) ] = l A sor tehát az itegrálkritérium alapjá koverges. A kovergecia eldötésére miorás kritériumot haszáluk. Azt pedig tudjuk, hogy a sor diverges, így a miorás kritérium alapjá az eredeti sor is diverges A kovergecia eldötésére majorás kritériumot haszáluk Azt pedig tudjuk, hogy a sor koverges, így a majoráskritérium alapjá az eredeti sor is koverges. 3 4 A kovergecia eldötésére majorás kritériumot haszáluk. eseté = 3 Azt pedig tudjuk, hogy a sor koverges, így a majoráskritérium 3 alapjá az eredeti sor is koverges. A kovergecia eldötésére gyökkritériumot haszáluk. a = 4

5 h) i) j) k) A kapott -dik gyök értéke -től kisebb, tehát a gyökkritérium alapjá az eredeti sor koverges. A feladat megoldása kétféle módo törtéhet. A kovergecia eldötésére miorás kritériumot haszáluk. 3 eseté l l Azt pedig tudjuk, hogy a sor diverges, így a mioráskritérium alapjá az eredeti sor is diverges. VAGY A kovergecia eldötésére itegrálkritériumot haszáluk. x e eseté az f x) = lx x függvéy pozitív és szigorúa mooto csökkeő ez egyszerű deriválással látható). e l x x dx = [ l x ] = A sor tehát az itegrálkritérium alapjá diverges. = l A kovergecia eldötésére miorás kritériumot haszáluk. eseté l l Azt pedig tudjuk, hogy a sor diverges, így a mioráskritérium alapjá az eredeti sor is diverges. ) Ez a sor Leibiz típusú, hisz az általáos tag abszolút értékbe mooto csökkeőleg tart a 0-hoz. Így a megfelelő tétel alapjá a feti sor koverges. ) + + A sor em Leibiz típusú, ugyais az általáos tag abszolút értékbe em tart mooto csökkeőleg a 0-hoz. a 5

6 l) Azaz em teljesül a kovergecia szükséges feltétele, így az eredeti sor diverges. ) + ) Gyökteleítéssel a sor a következő alakra hozható: ) + ) = ) + + Ez pedig már egy Leibiz típusú sor, ugyais az általáos tag abszolút értékbe moto csökkeőleg tart a -hoz. Így a megfelelő tétel alapjá a sor koverges. 5. Az alábbi sorok közül melyek az abszolút kovergesek, feltételese kovergesek, illetve divergesek? a) b) c) ) + 0. Ez a sor Leibiz típusú, ugyais az általáos tag abszolút értékbe mooto csökkeőleg tart a 0-hoz. Így a megfelelő tétel alapjá a feti sor koverges. Ha abszolút kovergeciát vizsgáluk, akkor egy -től kisebb háyadosú geometriai sort kapuk, ami szité kovergees. Így a feladatbeli sor abszolút koverges. ) Ez a sor is Leibiz típusú, hisz az általáos tag abszolút értékbe mooto csökkeőleg tart a 0-hoz. Így a megfelelő tétel alapjá a feti sor koverges. Ha abszolút kovergeciát vizsgáluk, akkor a 6 sorral miorálható a soruk, ami diverges. Így a feladatbeli sor em abszolút, csak feltételese koverges. ) + 4 Ez a sor is Leibiz típusú, hisz az általáos tag abszolút értékbe mooto csökkeőleg tart a 0-hoz. Így a megfelelő tétel alapjá a feti sor koverges. Ha abszolút kovergeciát vizsgáluk, akkor a sorral majorálható a soruk. Így a feladatbeli sor abszolút koverges. 6