26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007

Átírás

1 6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével kódoljuk és továbbítjuk. Egy üeet formája a a és b alapjelekből álló valamely véges hossúságú soroat. Például: abaabbb. Ilye redserekre példa lehet a telegráf vagy a biárisa kódolt adatátviteli redserek fax, iteret, stb.). A redserbe a a alapjel átviteléhe k, míg a b alapjel átviteléhe k időegységre va sükség k és k poitív egés). Tegyük fel a meghatároottság kedvéért, hogy k k. Kérdés: Háy olya egymástól külöböő üeet jelsoroat) va amelyek átviteléhe potosa időegység kell? Jelölje s ao a egymástól külöböő üeetekek a sámát, amelyek potosa időegység alatt vihetők át. Ekkor s teljesíti a s = s k + s k, k.) rekurív össefüggést, mivel két eset va: ha a utolsó átvitt alapjel k hossú volt, akkor előtte össese s k db külöböő k hossú jelsoroat lehet, ill. ha a utolsó átvitt alapjel k hossú volt, akkor előtte össese s k féle k hossú jelsoroat lehetett. Termésetese a rekurív képletük akkor határoa meg egyértelműe a s ) soroatot, ha megadjuk a soroat első k db kedeti értékét: s 0 = u 0, s = u,..., s k = u k. Speciális eset: Legye a a = átviteléhe sükséges idő egy egység, k = és a b = átviteléhe sükséges idő egység, aa k =. Ekkor Látható, hogy ebbe a esetbe a rekurió adja a probléma megoldását. s lehetséges soroatok ; 3 3 ; ; 4 ; ; ; ;. s = s + s,, s 0 =, s = A iformációelméletbe a áterestő csatora kapacitását C-vel jelölik, ahol a C értéket a követkeő formulával defiiálják: log C = lim s. + Kérdések: Mi a explicit képlete s -ek? Hogya sámolható ki a áterestő csatora C kapacitása? Hogya váltoik a C, ha k és k váltoik? A kérdések megválasolásáho yújt segítséget a úgyeveett -trasformált alkalmaása.

2 . A -trasformált 7.. A -trasformált Tekitsük egy x ) valós vagy komplex sámokból álló soroatot. Ebbe a fejeetbe mide soroatról feltessük, hogy a idexe 0-val idul, = 0,,,... E a alkalmaásokba em megsorítás, hise midig át tudjuk úgy alakítai a soroat képletét, hogy a idexe 0-val kedődjö.).. Defiíció. At modjuk, hogy a x ) soroatak léteik a -trasformáltja a C helye, ha a x X) = sor koverges. A x = x ) soroat C helye vett -trasformáltját a simbólumokkal sokás jelöli. X), Z{x }), Z{x}) Valós vagy komplex sámsorok kovergeciájáak elleőrésére hasálhatjuk például a gyökkritériumot. Et alkalmava a feti sorra kapjuk, hogy X) léteik, aa a sor koverges, ha lim x = lim x <, és X) em léteik, aa a végtele sor em koverges, ha lim x = lim x >. Jelölje eért R = lim x, feltéve, hogy a határérték léteik. Ekkor a feti sámolás at adja, hogy X) koverges, ha > R, és X) diverges, ha < R. A R sámot a -trasformált kovergeciasugárak eveük. Ha R = 0, akkor X) léteik mide 0-ra. Megjegyeük, hogy ha > R, akkor a -trasformált sora em csak koverges, haem absolút koverges is. Ha a kovergeciasugár feti defiíciójába sereplő határérték em léteik, akkor a gyökkritérium általáosabb alakját hasálva kapjuk a feti sámolásho hasolóa, hogy ha akkor X) léteik, ha pedig > R def = lim sup x, + < lim if + x, akkor X) em léteik. Ha tehát R véges, akkor a -trasformált defiiált a komplex sámsík origó koéppotú, R-sugarú köré kívül. Megjegyeük, hogy ha a -trasformált váltoóját helyettesítjük a w = / új váltoóval, akkor a X/w) = x w hatváysort kapjuk, amit a soroat geerátorfüggvéyéek hívuk. Látható, hogy a geerátorfüggvéy és a -trasformált köött ige soros a kapcsolat. Kombiatorikába például gyakra

3 8 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007 hasálják a geerárotfüggvéyt külöböő feladatokba, de a differeciaegyeletek megoldására a -trasformált módsert ige kéyelmes hasáli, hise eek a Laplace-trasformáltho hasoló tulajdoságai vaak, ahogy et majd láthatjuk a fejeet sorá... Példa. Sámítsuk ki a x = a, a 0) soroat -trasformáltját! A -trasformált defiícióját és a geometriai sor össegképletét alkalmava kapjuk > a ra, hogy Z{a }) = a = a ) = a = a. Valóba, a kovergeciasugár ebbe a esetbe R = lim + a = a..3. Példa. Tekitsük a x = kostas soroatot. E a előbbi soroat speciális esete a = ), eért Z{}) =, >..4. Példa. A egység impulus soroat vagy más éve a Kroecker-delta soroat defiíciója: adott k emegatív egésre δ k) legye a követkeő { δ k), ha = k = 0, ha k. Defiíció alapjá Speciálisa, ha k = 0, akkor Z{δ k) }) = δ k) = k, 0. Z{δ 0) }) =, 0... Példa. Tekitsük a Heaviside-soroatot vagy egységugrás soroatot, aa valamely k poitív egésre { u k) 0, ha < k =, ha k. Ekkor mide > -re Z{u k) }) = u k) = = k = =k k k =..6. Tétel. Tegyük fel, hogy léteek olya M 0 és a > 0 kostasok, hogy a x ) soroatra x Ma, mide = 0,,... -re. Ekkor a x ) soroatak léteik a -tasformáltja mide > a-ra.

4 . A -trasformált 9 Bioyítás: Mivel a feltétel serit ) x a M, és M ) a koverges, ha > a, eért a majorás kritérium alapjá a x sor is absolút koverges, aa a -trasformált léteik. Adott k > 0 egés, a,...,a k valós kostasok, b ) valós soroat. A x = a x + a x + + a k x k + b, = k,k +,....) egyeletet k-adredű kostas együtthatós lieáris rekurív differeciaegyeletek hívjuk. A egyelet egyértelműe defiiál egy x ) soroatot, ha megadjuk a soroat első k darab tagját: x 0 = u 0,...,x k = u k,.3) ahol u 0,...,u k adott sámok. A követkeő állítás értelmébe a.).3) rekurív soroat midig expoeciálisa korlátos, feltéve, hogy a b ) soroat is a. Ebből követkeik, hogy a.) egyelet megoldásáak midig léteik a -trasformáltja elég agy -re..7. Tétel. Tegyük fel, hogy a b ) soroat expoeciálisa korlátos, aa léteek olya B 0 és b sámok, hogy b Bb mide = k,k +,... egés sámra. Ekkor a.).3) rekurív soroat is expoeciálisa korlátos, aa léteek olya M 0 és a sámok, hogy x Ma, = 0,,,... Bioyítás: Legye a = max{b,k a,...,k a k } és M = max{b, u 0,..., u k }. Ekkor M defiíciója alapjá x j M Ma j, j = 0,,...,k. Tegyük fel, hogy x j M Ma j, hogy ekkor x Ma is teljesül: j = 0,,..., teljesül valamely k-ra. Megmutatjuk, x = a x + a x + + a k x k + b a x + a x + + a k x k + b a Ma + a Ma + + a k Ma k + Bb Ma a a + a a + + a k a k + B ) M Ma k + k + + k + ) = Ma, amiből követkeik a tétel állítása.

5 30 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/ A -trasformált tulajdoságai.8. Tétel Liearitás). Legye X) a x ) soroat -trasformáltja, amely kovergecia sugara R és legye Y ) a y ) soroat -trasformáltja, amely kovergecia sugara R. Ekkor bármely a és b komplex sámokra Z{ax + by }) = ax) + by ), > max{r,r }. Bioyítás: Legye > max {R,R }. Ekkor ax + by ) a x + b y <, tehát a bal oldalo álló -trasformált is léteik, és a értéke Z{ax + by }) = ax + by ) = a x + b y = ax) + by )..9. Példa. Sámítsuk ki a x = sia soroat -trasformáltját! A Euler-formula serit si a = eia e ia, i így a -trasformált liearitását hasálva Z{si a} = i Hasolóa megmutatható, hogy Z{e ia } Z{e ia } ) = i e ia = e ia + e ia i e ia + e ia ) + = si a cos a +. ) e ia Z{cos a} = cos a cos a +. Bioyítás élkül tekitsük a követkeő állítást:.0. Tétel Uicitás tétel). Legye a x ) és y ) két soroat, amelyek X = Z{x } és Y = Z{y } -trasformáltjai kovergesek a > R, illetve > R tartomáyokba. Ha X) = Y ), > max{r,r }, akkor x = y, mide = 0,,,...-re. A.0. Tétel serit tehát a -trasformáltak egyértelmű iver művelete léteik, amelyet iver -traformáltak hívuk, és Z -gyel jelölük. Aa ha Z{x }) = X), akkor Z X) = x. A -trasformált liearitásából köye igaolható a alábbi tulajdoság... Tétel. A iver -trasformált lieáris, aa mide a és b kostasra Z {ax) + by )} = az {X)} + bz {Y )}.

6 . A -trasformált 3.. Példa. Sámítsuk ki a X) = + 0 függvéy iver -trasformáltját! A eveő sorattá alakítható, így parciális törtekre alakítjuk a kifejeést, de egy sorótéyeőt elősör kiemelük: eért + 0 = ) = , Z {X)} = 3 ) Példa. Sámítsuk ki a X) = függvéy iver -trasformáltját! A eveő em alakítható sorattá, így a sius és kosius aoosságokra veetjük vissa a sámolást: = = 4 + cos π 3 + = 4 ) + 3 cos π 3 + eért cos π 3 = 4 cos π si π 3 3 cos π 3 +, π ) Z {X)} = 4cos 3 + π ) 3si Tétel Eltolás). Legye x ) olya soroat, amelyet tesőleges módo) kiterjestük egatív idexekre is, legye u k) a egységugrás soroat. Legye továbbá a X = Z{x } - trasformált kovergecia sugara R, és legye k > 0 rögített egés. Ekkor a) Z{u k) x k } = k X), > R, eltolás jobbra) b) Z{x +k } = k X) k Bioyítás: A a) rés követkeik a u k) x k = x k = x k, > R, eltolás balra). =k x j j+k) = k x j j össefüggésekből, ahol a j = k helyettesítést hasáltuk. A b) állítás hasolóa adódik a j = + k helyettesítéssel: k x +k = x j k j = k x j j x j j. j=k

7 3 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007.. Tétel. Legye a 0 komplex sám. Ha a x ) soroat X = Z{x } -trasformáltjáak kovergecia sugara R, akkor Z{a x }) = X, > R a. a) Bioyítás: Egyserű sámolással kapjuk Z{a x }) = a x = x a ) = X a), ha a > R. A eltolási tétel lehetőséget ad differeciaegyeletek megoldására..6. Példa. Oldjuk meg a x + = 3x, x 0 = differeciaegyeletet! Vegyük a egyelet midkét oldaláak -trasformáltját és hasáljuk a kedeti feltételt: aa X) x 0 = 3X), 3)X) =, X) = 3 ) 3). Iver -trasformáltat sámolva { } { x = Z 3 = Z ) 3) 3 + )} 3 { = Z 3 + } = Tétel. Ha a x ) soroat X = Z{x } -trasformáltjáak kovergecia sugara R, akkor X ) = Z{x }), > R, általába, ) k k X k) ) = Z{ + ) + k )x }), > R. Bioyítás: A -trasformált kovergeciasugara defiíciójából követkeik, hogy a gw) = x w hatváysor kovergál a w < /R tartomáyo. Tudjuk, hogy egy hatváyor tagokét differeciálható a kovergeciatartomáyá belül, aa g w) = x w, = w < /R.

8 . A -trasformált 33 Mivel gw) = X/w), eért ) w X = g w) = w aa ) w X = w A = /w helyettesítéssel kapjuk x w, = x w. X ) = x = Z{x }), > R. A második állítás teljes idukcióval köye igaolható..8. Példa. Sámítsuk ki a x = soroat -trasformáltját! A.7. Tételt alkalmava Z{} = Z{ } = d ) ) = d ) = )..9. Példa. Sámítsuk ki a x = soroat -trasformáltját! A.7. Tételt alkalmava újra Z{ } = Z{ } = d ) d ) = ) ) + ) ) 4 = ) Példa. Oldjuk meg a kedeti érték feladatot! -trasformáltat sámolva x + 4x + + 4x = u ), x 0 = 0, x = 0 X) x 0 x 4X) + 4x 0 + 4X) = amiből a kedeti feltételeket is hasálva követkeik X) = Sámítsuk ki elősör { } Z ) ) ), 4 + 4) ) = ) ). = Z { = { Z ) / / ) = + = +. + )} } { Z } { } + Z

9 34 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007 Eért a jobbra eltolási tételt hasálva x = u ) 3 ) + ). A Z {X)} iver -tasformáltat kisámolhatjuk úgy is, hogy kiiduluk a X) = ) ) = ) + ) = ) + alakból. Eért x = 4 δ) δ0) Elleőrihető, hogy a feti két képlet ugyaat a soroatot geerálja. Bioyítás élkül tekitsük a alábbi eredméyt... Tétel Kedeti- és végérték tétel). Legye X = Z{x }. Ekkor a) Kedeti érték állítás: lim X) = x 0, + b) Végérték állítás: feltéve, hogy e a határérték léteik). lim x = lim )X) +.. Defiíció. A x = x ) és y = y ) soroatok kovolúciója alatt at a x y-al jelölt soroatot értjük, amely általáos tagja a követkeő össefüggéssel defiiált: x y) = x j y j, = 0,,,.... Egyserű sámolás mutatja, hogy x y) = x j y j, = 0,,,.... Sokás egyserűe a x y jelölést is hasáli a kovolúciós soroat -edik tagjára. Köye elleőrihetők a kovolúció alábbi tulajdoságai:.3. Állítás. Mide x, y, w soroatra teljesül a) kommutativitás: x y = y x, b) associativitás: x y) w = x y w), c) distributivitás: x + y) w = x w + y w, d) x O = O, ahol O 0 a aoosa ulla soroat.

10 . A -trasformált 3.4. Tétel Kovolúciós tétel). Ha x = x ) és y = y ) két soroat, amelyek X = Z{x } és Y = Z{y } -trasformáltjaiak a kovergecia sugara R, illetve R, akkor aok kovolúciójáak -trasformáltja is léteik, és Z{x y}) = X)Y ), > max{r,r }. Bioyítás: A kovolúció defiícióját alkalmava kapjuk x y) = x j y j = x j j) y j j. Mivel > max {R,R }, eért a x és y sorok absolút kovergesek, eért eek Cauchy-sorata is a, és ) ) X)Y ) = x y = x j j) y j j, amiből követkeik a állítás..4. Alkalmaás Térjük vissa a.. sakasba defiiált iformációátviteli probléma speciális esetéhe:.. Példa. Sámoljuk ki a s = s + s,, s 0 =, s = rekurív össefüggéssel defiiált s ) soroat képletét! A -trasformált kéyelmes alkalmaásáho írjuk át a rekurív egyeletet a s + = s + + s, 0 alakba. Legye S = Z{s }. Ekkor midkét oldal -trasformáltját véve és alkalmava a eltolási tételt kapjuk, hogy ahova a kedeti értékeket behelyettesítve aa S) s 0 s = S) s 0 + S), )S) =, S) =. S) iver -trasformáltjáak meghatároásáho parciális törtekre botuk, de úgy, hogy egy sorótéyeőt meghagyuk a sámlálóba: = A ) ) = + B ), ahol = +, =.

11 36 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007 Et végigsámolva kapjuk és így Eek iver -trasformáltját véve s = = A = = és B = =, S) =. + ) + ) +, = 0,,,.... A.. sakasba defiiált csatora áterestő képességét kisámítva erre a soroatra, kapjuk aa C = log lim s + [ log = lim + log lim + = lim + log = lim + = 0 + log + ) ) + log + log + ) + ] = ) )) + + ) + + log + + )log + lim + + 0, C = log + ) ) + + log + lim + 0,7. ) ) + + Feladat: Visgáljuk meg a.) rekurió többi esetét is, pl. ha, k =, k = 3 vagy k =, k = 4, stb. Két érdekes eset:. Legye k és k = k. Mutassuk meg, hogy ekkor C = k log +. k = k = k, aa s = s k. Igaoljuk, hogy C = log /k = k. ) k 0,7.6. Példa. Oldjuk meg a x + 4y =, y + x = 0, x 0 =, y 0 =

12 x = 4 3 ) 3, y = 3 ) 3.. A -trasformált 37 differeciaegyelet-redsert! A egyeletek midkét oldaláak -trasformáltját véve így a kedeti feltételeket hasálva X) x 0 4Y ) = Y ) y 0 X) = 0, X) 4Y ) = + Y ) X) =. A algebrai egyeletredsert megoldva kapjuk ) 4 X) = ) + ) = 3 + ) 3 Y ) = ) + ) = 3 + ). 3 Eért a megoldás