A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát.

Átírás

1 Oros Gyula, 00. november Emelt sintű érettségi feladatsor Össeállította: Oros Gyula; dátum: 00. október A feladatsorok össeállításánál felhasnáltuk a Nemeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkésítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. I. rés. feladat Egy ostályban -en írtak matematika dolgoatot. Feleannyi -ös dolgoat volt, mint - es. A dolgoatok köül 0%-kal több volt a -as, mint a -es. A -es és -ös dolgoatok együttes sáma megegyeett a -es, -es és -as dolgoatok együttes sámával. Mennyi volt a dolgoatok a) átlaga; b) módusa; c) mediánja? ( pont). feladat Adott a valós sámok halmaán értelmeett két függvény: f() g() 0,. a) Mely pontban metsi a f függvény a deréksögű koordináta-rendser y tengelyét? b) Mely pontban metsi a g függvény a deréksögű koordináta-rendser tengelyét? c) Oldja meg a f() g() egyenlőtlenséget! ( pont). feladat A H, H, H, halmaokból álló soroat képési sabálya a követkeő: H {}, H {, }, H {,, 6} stb. (Mindig a soron követkeő termésetes sámok kerülnek be a új halmaba, és a n. halmaban n darab sám van (n N + )). 6, a) Mely elemekből áll H 0? b) Mennyi H 0 elemeinek össege?. feladat Egy templom építésekor a ábra serinti félkör alakú ablakkeretbe három kör alakú dísítőelemet tervetek. A simmetrikusan elhelyekedő dísítő körablakok egymást és a keretet is érintik. Sámítsuk ki a két kisebb kör alakú ablak sugarát! () () 60 cm

2 Oros Gyula, 00. november II. rés A feladatok köül tetsés serint válastott négyet kell megoldania, a ötödik sorsámát írja be a. oldalon a üres négyetbe!. feladat A deréksögű koordináta-rendserben adott a k: ( ) + (y ) egyenletű kör. a) Határoa meg, mely pontokban metsi a kör a koordináta-rendser tengelyeit! b) Mekkora sögben metsi a kör a tengelyeket? (Egyenes és kör sögén a egyenesnek és a köös pontban a körhö húott érintőnek a sögét értjük.) (6 pont) 6. feladat Hány olyan ötjegyű poitív egés sám van, amelyben van 8-as és 9-es sámjegy is? (6 pont) 7. feladat Egy acélból késült sabályos ötsög alapú gúlát levélneheéknek hasnálunk. Mekkora a tömege, ha a alapéle a,6 cm és a oldaléle 7 -os söget ár be a alaplappal? (A acél sűrűsége 7, g/cm.) (6 pont) 8. feladat A a, b, c poitív egés sámok össege 00. Mennyi a K kifejeés minimuma, s et a értéket milyen a, b, c esetén vesi fel? a b b c c a bc ac ab (6 pont) 9. feladat 0 Hány rácsponton megy át a f : függvény görbéje, ha a függvény értelmeési tartománya D f [ ; 0]? (A deréksögű koordináta-rendser P(; y) pontját akkor neveük rácspontnak, ha és y egés sám.) (6 pont)

3 Oros Gyula, 00. november Oros Gyula 00. novemberi emelt sintű feladatsorának pontoási útmutatója. feladat a) Jelöljük a -es, -es, -as, -es, -ös dolgoatok sámát d, d, d, d, d -tel, ekkor: () d + d + d + d + d ; () d d. (),d d. () d + d + d d + d ( ), d d d d d és keressük értékét. pont ()-ből és ()-ből d, d 8. ()-ból d -nek többsöröse. pont 6 8 Ha d, akkor d 6, d, a átlag, 7. pont 0 vagy több -es nem lehetséges, pont visont a 0 darab -esnek matematikailag van értelme. Ekkor a átlag 0 0 8,67. pont b) Ha a -es, -es, -as, -es, -ös dolgoatok sáma rendre,, 6, 8,, akkor a módus ; ha pedig a sámuk rendre, 0, 0, 8,, akkor a módus. pont c) A első esetben a medián,, a második esetben. pont Össesen: pont. feladat a) f(0), így a y tengelymetset 0 ;. pont b) A g() 0 egyenletből 0, 0, ha 0,7,. Tehát a tengelymetsetek ( 0,7; 0), illetve (; 0). pont c) A 6 0, egyenlőtlenségből átalakításokkal 6 0, innen + 0 adódik. pont A + 0 egyenlet megoldásai,. pont 0, ha a sorat tényeői aonos előjelűek. pont

4 Oros Gyula, 00. november Így a megoldás vagy. Össesen: pont Megjegyés: A utolsó öt pont akkor is jár, ha a megfelelő intervallumokat a másodfokú függvény grafikus ábráolása segítségével olvassuk le.. feladat a) A H, H, H 9 halmaokban össesen elem van, eek sáma , így H 0 {78, 78,, 80}. b) A elemek össege a sámtani soroat össegképlete alapján (78 80) Össesen:. feladat Felhasnáljuk a alábbi, körök érintkeésével kapcsolatos két tételt:. A érintkeési pontba húott sugár merőleges a érintőre; pont valamint. a érintkeő körök köéppontjait össekötő centrális áthalad a körök érintési pontján. pont Jelöljük a keresett kör sugarát r-rel (ábra). A fenti tételek miatt a ábra serinti ABC C r felírhatjuk Pitagoras tételét. háromsög oldalai (cm-ben mérve) AB 0, BC 0 + r, AC 60 r. Ha a C pont merőleges vetületét AB-n T jelöli, akkor AT r, BT 0 r, és a CTB és CTA deréksögű háromsögekre CT mindkét deréksögű háromsögben köös befogó, így BC BT AC AT, (0 + r) (0 r) (60 r) r, ahonnan rendeés után r cm. B T A pont pont Össesen:

5 Oros Gyula, 00. november. feladat I. megoldása C a) A K(; ) köéppontú kör a y 0 egyenletű tengelyt a A(0; 0), illetve B(6; 0) pontokban metsi; a 0 egyenletű y tengelyt pedig (a origón kívül) a C(0; 8) pontban. b) A AK (; ), BK ( ; ) és CK K (; ) vektorok rendre a A, B, C pontokban húott a, b, c érintők normálvektorai, így a érintők egyenlete: a: a b + y 0; b: + y 8 és c: y (ábra). A B megegyeik a érintők és a tengelyek hajlássögével. pont 6 pont A kör és a tengelyek hajlássöge A érintők iránytangense rendre tg, tg, tg, innen a tengelyt A-ban és B-ben 6,9 -os sögben metsi a kör; míg a y tengelyt A-ban és C-ben, -os sögben (ábra). Össesen: 6 pont Megjegyések: Sámolás nélkül ésrevehetjük, hogy pl. a és b tükrös helyetűek a egyenletű egyenesre; valamint hogy b és c párhuamosak. Eekkel a ésrevételekkel kissé kényelmesebb a sámolás. A kör és a tengelyek hajlássögének meghatároásáho nincs sükség a érintők egyenletére. A megoldás tovább rövidíthető, ha a AK, BK, CK normálvektorok segítségével követlenül sámolunk hajlássögeket.. feladat II. megoldása (útmutatás): A kör alsó félkörének egyenlete y ( ) 6 6. Ennek 0 és 6 helyen vett deriváltjai a kör és a tengely hajlássögeinek tangenseit adják a A és B pontokban. y y (0), y (6) ; a első megoldással egyeő eredményt kaptunk. A y ( ) felső félkör 0 helyen vett deriváltjából hasonlóan követketethetünk a C pontbeli hajlássögre. c

6 Oros Gyula, 00. november 6. feladat Jelöljük A-val és B-vel aon ötjegyű poitív egés sámok halmaát, amelyekben nincs 8- as, ill. 9-es sámjegy! A feladat A B elemsámának meghatároása. (A H alaphalma a ötjegyű poitív egés sámok halmaa.) A B 8 9, A B 7 8, H 9 0. Innen A B H ( A + B A B ) pont (A össes ötjegyű poitív egés sámból kivontuk aokat, amelyek nem tartalmanak 8- as, ill. 9-es sámjegyet; de így a sem 8-ast, sem 9-est nem tartalmaó sámokat kétser vontuk le, tehát egyser hoá kell adni a össeghe.) Össesen: 6 pont 7. feladat Jelölje a ABCDE alapú gúla alaplapon kívüli csúcsát S, ennek vetületét a alaplapon T, T vetületét a AB oldalon U (ábra). pont A adatok alapján TBS és UB a 0,78 cm. pont A ATB egyenlő sárú háromsög sárai által beárt sög B a teljes kör ötöde: ATB 7. Így UTB 6, BT T UB a U, (cm). A gúla ST magassága a sin 6 sin 6 A BTS deréksögű háromsögből sámolható: ST BT tg a tg7,7,7 (cm). sin 6 6 pont A ABCDE lap öt egybevágó, egyenlő sárú háromsögre bontható fel, területe T ABCDE BT AT sin 7,9 (cm ). A gúla térfogata V 8. feladat S T ABCDE Köös neveőre hoás után K ST a,96 (cm ), tömege m V,9 (g). ab b bc abc A sámtani és mértani köép köötti egyenlőtlenség miatt abc c ac ( a Össesen: 6 pont b c) abc abc a b abc 00, innen c 6

7 Oros Gyula, 00. november A sámtani és mértani köép köötti egyenlőtlenségben akkor állhat egyenlőség, ha a tagok megegyenek. Innen abc maimális, ha a b c Ekkor K minimális, a felvett minimum K Össesen: 6 pont 9. feladat Átalakításokkal y. Ha termésetes sám, akkor is termésetes sám, s ha y is egés, akkor ostója -nek. pont A lehetséges eseteket tábláatba foglalhatjuk (a eponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű): y Három esetben kapunk egés értéket -re, a rácspontok: (; 0), (; 0), (; 8). 0 0 Ha negatív egés sám, akkor helyettesítéssel 0. poitív egés sám, s ha y egés, akkor ostója -nek. A lehetséges eseteket tábláatba foglalhatjuk. 0 pont y 9 Három esetben kapunk egés sámot -re, a utolsó érték visont nincs benne a [ ; 0] alaphalmaban. A megfelelő rácspontok: ( ; ), ( ; 9). A függvény tehát össesen öt rácsponton megy át. Össesen: 6 pont 7