Feladatok Oktatási segédanyag

Átírás

1 VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit Jósefné Kónya Ilona 00. április Serkestette: Győri Sándor

2 .) Visgálja meg a derivált definíciója alapján, hogy differenciálhatók-e a alábbi függvények! a.) w = 3 b.) w =.) A Cauchy Riemann féle parciális differenciálegyenletekkel visgálja meg a követkeő függvények differenciálhatóságát! a.) w = 3 c.) w = b.) w = d.) w = Im 3.) Határoa meg a w = j + függvény által létesített leképeésnél a nyújtási együtthatót ill. a elforgatási söget a 0 = pontban! éteik-e olyan 0 hely, ahol a elforgatási sög 0 és a nyújtási együttható? 4.) Hol differenciálható, illetve hol reguláris a függvény? 5.) Hol differenciálható, illetve hol reguláris a függvény? 6.) Válassa meg a c sámot úgy, hogy a w = w = (x y ) + j(y + x ) cx + xy y függvény egy, a egés komplex sámsíkon reguláris w = f() függvény képetes rése df legyen! d =? = j 7.) a.) Határoa meg M értékét úgy, hogy a v(x, y) = M(x y + xy) 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex váltoós függvény képetes rése legyen! b.) Határoa meg a komplex váltoós függvény deriváltját a 0 = + j helyen! c Kónya I. Frit Jné Győri S. v.

3 8.) Van-e olyan reguláris w = f() függvény, amelynek valós rése: e x y cos xy Ha igen, akkor sámítsa ki f (j) értékét, lehetőleg w képetes résének meghatároása nélkül! 9.) Igaolja, hogy a alábbi függvények harmonikusak, aa sóba jöhetnek reguláris komplex váltoós függvény valós ill. képetes réseként! Határoa meg een függvények harmonikus társát és írja fel a w = u + jv módon képett reguláris függvényt! a.) u(x, y) = ch x sin y c.) u(x, y) = x 3 3xy + 3x 3y + b.) u(x, y) = 3x y y 3 d.) v(x, y) = x y + y 0.) Mutassa meg, hogy a w = a + b leképeés egy nyújtás sugorítás, egy forgatás és egy eltolás superpoíciója! Sámítsa ki a leképeés helyben maradó pontját!.) Mutassa meg, hogy a w = j + j függvény által létesített leképeés a Im > 0 félsíknak a Re w < 0 félsíkot felelteti meg!.) Határoa meg a w síknak at a tartományát, amelyet a követkeő függvények által létesített leképeés feleltet meg a sík adott tartományának! a.) w = ( + j) Im > 0 b.) w = + j Re > 0 és 0 < Im < c.) w = j < 3.) Adjon meg egy olyan w = a + b alakú lineáris függvényt, amely a sík adott tartományának a w sík adott tartományát felelteti meg! a.) j w b.) 45 w j c Kónya I. Frit Jné Győri S. v.

4 c.) < 3 w + j < d.) + j > w + j > 4 4.) Mutassa meg, hogy a egyeneseibe visi át! leképeés a sík köreit ill. egyeneseit a w sík köreibe vagy 5.) A w = leképeés mibe visi át a követkeő görbéket? a.) r = r b.) A origón átmenő köröket ( 0 0 = 0). c.) A y = mx egyeneseket. d.) A y = mx + b egyeneseket. 6.) Mibe visi át a w = a.) x + y 4y = 0 b.) x + 6x + y = 4 leképeés a követkeő görbéket? c.) y = 6x d.) y = x + 7.) Mutassa meg, hogy a w = a + b c + d (ad bc 0) körtartó leképeés! 8.) Mibe visi át a w = j + j leképeés a y = x, y = x egyeneseket ill. a x + y = kört? 9.) Mibe visi át a w = j + leképeés a x = 0, y = 0 egyeneseket és a x + y = kört? c Kónya I. Frit Jné Győri S. 3 v.

5 0.) Mibe visi át a függvény a Re > 0, Im > 0 tartományt?.) Határoa meg a w = 4 w = + a függvényben a a konstans értékét úgy, hogy a függvény a kört egyenesbe képee le! j =.) Mibe visi át a adott w = f() függvény a adott tartományt? a.) w = j + < b.) w = + j + Re > Im c.) w = ( + j) + > 3 d.) w = j j < e.) w = Im > 0 f.) w = + < 3.) Felhasnálva a g.) w = + j h.) w = + i.) w = + j j.) w = j + j k.) w = j + j Re + < Im Im > 0 ill. < + Re > Im és Im 0 e = e x (cos y + j sin y) sin = ej e j j cos = ej + e j sh = e e definíciókat, bionyítsa be a követkeő aonosságokat! a.) e e = e + b.) e +πj = e ch = e + e c Kónya I. Frit Jné Győri S. 4 v.

6 c.) sin + cos = d.) sin ( ± ) = sin cos ± cos sin e.) cos ( ± ) = cos cos sin sin f.) sh ( ± ) = sh ch ± ch sh g.) ch ( ± ) = ch ch ± sh sh 4.) Mutassa meg, hogy a.) sin j = j sh b.) cos j = ch c.) sh j = j sin d.) ch j = cos 5.) Írja fel w = u(x, y) + jv(x, y) alakban a alábbi függvényeket! a.) w = sin b.) w = cos c.) w = sh d.) w = ch 6.) A Cauchy Riemann féle parciális differenciálegyenletek segítségével visgálja meg a követkeő függvényeket differenciálhatóság és regularitás sempontjából! a.) w = e b.) w = sin c.) w = cos d.) w = sh e.) w = ch 7.) Oldja meg a alábbi egyenleteket! a.) sin = 0 b.) cos = 0 c.) sh = 0 d.) ch = 0 8.) Sámolja ki a követkeő függvényértékeket! a.) e j π, e jπ, e jπ, e j b.) cos ( jπ), sin πj c.) n 4, ln ( 6), n ( 6), ln 3j, n 3j d.) j, j, j j, ( + j) j 9.) Mutassa meg, hogy lim e nem léteik! 30.) Visgálja a alábbi függvényt a megadott sempontok serint! c Kónya I. Frit Jné Győri S. 5 v.

7 a.) w = e b.) w = sin Mutassa meg, hogy periodikus! Határoa meg a periodust! Jelöljön ki a síkon olyan legbővebb halmaokat, amelyeken a leképeés kölcsönösen egyértelmű! Milyen görbéket feleltet meg a leképeés a sík x =konst., y =konst. egyeneseinek? 3.) Hol létesít konform leképeést a függvény? f() = ( ) 3 sin ( ) cos 3.) Mibe visi át a w = e leképeés a sík A(0, 0), B(, 0), C(, ), D(0, ) négysögtartományát? 33.) Hol differenciálható és hol reguláris a 34.) 35.) komplex váltoós függvény? w = sh 3 f() = ch a.) Milyen alakatra képei le a függvény a Im = π egyenest? b.) Hol differenciálható és hol reguláris a függvény? f() = sin 3 a.) Hol differenciálható és hol reguláris a függvény? b.) Milyen alakatra képei le a alábbi egyeneseket? α.) Re = π 3 β.) Im = 36.) Milyen alakatra képei le a sík képetes tengelyét a w = j cos függvény? Kölcsönösen egyértelmű-e a leképeés? 37.) Oldja meg a alábbi egyenleteket -re! c Kónya I. Frit Jné Győri S. 6 v.

8 a.) cos j = j sin j b.) sin j = jcos j c.) sin 3 + = 0 d.) sin + 3j = 0 e.) sin = j cos (tg = j) 38.) Határoa meg a követkeő komplex váltoós függvények kijelölt vonalintegráljait! (Zárt görbe esetén poitív irányítást vegyen fel!) a.) d 0 : = r b.) c.) ( 0 ) n d n Z, n : 3 + j e d : = r d.) e j d : + j e.) f.) d : d y = x : a P (0, 4) és P (5, ) pontok köötti egyenes sakas, P -ből P -be irányítva g.) ( + sh + cos ) d : j c Kónya I. Frit Jné Győri S. 7 v.

9 h.) (sin ) d : j i.) + e d : j j.) k.) l.) = ( e ) d : 3 ( ) + cos d (e + ) d : = j 39.) Felhasnálva a f( 0 ) = πj f() 0 d és f (n) ( 0 ) = n! πj f() d ( 0 ) n+ Cauchy-féle integrálformulákat, határoa meg a követkeő integrálok értékét! a.) e α.) 5 = d : β.) = 6 b.) sh 3 j d : 3j 3j c Kónya I. Frit Jné Győri S. 8 v.

10 sin 8 c.) π d : = e d.) d : = α.) = 4 e π e.) + 4 d : β.) + j = γ.) = 4 sin f.) d : = 6 ( + 4) g.) e d ( 3) 5 : = 4 h.) sin d ( + 9) : = 4 ( ) sh i.) + j + d ( ) : = 3 j.) I = ln d 3j Re I =? Im I =? k.) I = l.) m.) n.) 3j = +j = sin j + ch j ch ( + ) + d Re I =? Im I =? d : α.) = β.) = d : + j = ( + ) sin d : = ( j) 40.) Állítsa elő a f() = ( )( 3) függvénynek a alábbi tartományokon konvergens aurent sorfejtését! c Kónya I. Frit Jné Győri S. 9 v.

11 4.) a.) < b.) < < 3 c.) 3 < Írja fel a f() = ( 4) ( + ) függvény 0 = 4 környeetében konvergens aurent sorát, és állapítsa meg a sor konvergencia tartományát! 4.) Határoa meg a f() = függvény 0 = 0 pont körül vett aon sorfejtését, amely konvergens a = 3j pontban! 43.) Határoa meg a komplex sámsík aon legbővebb tartományait, melyeken a f() = + függvény hatványai serint haladó hatványsorba fejthető! végee el a sorfejtést! Valamelyik tartományon 44.) Adja meg a w = f() függvénynek a megadott 0 hely környeetében konvergens aurent sorfejtését! Mi a sor konvergencia tartománya? a.) f() = sin 0 = 0 b.) f() = e 3 0 = 0 c.) f() = ( )( 5) 0 = d.) f() = sh 0 = 0 e.) f() = 0 = j + f.) f() = ( )( + ) 0 = 45.) Állapítsa meg, milyen termésetűek a alábbi függvények megjelölt singularitásai! a.) f() = e α 0 = 0 és α = ill. α = b.) f() = ch 4 0 = 0 c.) f() = ch 5 0 = 0 sin ( ) d.) f() = ( ) ( + ) 0 = ill. 0 = c Kónya I. Frit Jné Győri S. 0 v.

12 sin e.) f() = = 0 f.) f() = e / 0 = 0 46.) Sámítsa ki a alábbi függvények megjelölt iolált singuláris pontjára vonatkoó residuumát! a.) f() = e 3 0 = 0 b.) f() = sh α 0 = 0; α = 5 ill. α = 6 c.) f() = e / 0 = 0 d.) f() = cos sin 0 = π sin e.) f() = + f.) f() = ln + 9 g.) f() = sh 0 = 0 0 = 3j 0 = 0 h.) f() = cos 7 0 = 0 47.) Sámítsa ki a alábbi árt görbékre a megadott integrálokat a residuum tétel felhasnálásával! e e π a.) d : j = 3 e.) d : j = 4 + b.) c.) d.) = e 5 d : + = 4 sh d α = ill. α = α sh 6 d : + j = 5 f.) g.) sin d : = 4 3 3j ( + j)( + j) d : + j = 48.) f() = e ( ) 3 a.) Írja fel a függvény 0 = körüli aurent sorát! Visgálja meg a singularitás jellegét, és adja meg a függvény residuumát a singuláris pontban! b.) f() d =? = 49.) f() = ( ) 4 c Kónya I. Frit Jné Győri S. v.

13 a.) Írja fel a f függvény 0 = báispontú aon aurent sorfejtését, mely a báispont követlen környeetében konvergens! Adja meg a sor konvergencia tartományát! b.) res f() =? res f() =? = =0 c Kónya I. Frit Jné Győri S. v.