Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz

Átírás

1 Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: ) pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen, adja meg a megfelelő komplex függvényt! ux, y) lehet egy regulárs komplex függvény valós része, ux, y) u xxx, y) + u yyx, y). u xx, y) 3 e 3x cos3y) u xxx, y) 9 e 3x cos3y) u yx, y) 3) e 3x sn3y) u yyx, y) 9) e 3x cos3y) ux, y) Tehát lehet, ekkor a Cauchy-Remann egyenletekből megkeressük a v képzetes részt: u xx, y) v yx, y) 3e 3x cos3y) vx, y) 3e 3x cos3y) dy e 3x sn3y) + c x) u yx, y) v xx, y) 3e 3x sn3y) vx, y) 3e 3x sn3y) dx e 3x sn3y) + c y) c x) c y) c R; vx, y) e 3x sn3y) + c Ekkor a keresett regulárs komplex függvény fx, y) ux, y) + vx, y) e 3x cos3y) + e 3x sn3y) + c e 3x cos3y) + sn3y)) + c e 3z + c, ahol c R és z x + y. pont. Készítsen ábrát a görbékről és számítsa k az alább vonalntegrálokat! a) z z dz, γ a z 3, z 3 pontokat összekötő felső félkörív z z rányítással; γ 4 γ 3 A γ görbe egy paraméterezése : gt) 3e t, g : [, π] C ekkor g t) 3e t Az ntegrál értéke nnen γ fz) dz π 3e t 3e t ) 3e t dt π 3e t 3 3e t dt π [ e 7e t t dt 7 ] π.

2 b) z z dz, γ a z, z + pontokat összekötő egyenes szakasz z z rányítással; γ γ A γ görbe egy paraméterezése : gt) + )t, g : [, ] C ekkor g t) +. Az ntegrál értéke nnen γ fz) dz + )t + )t ) + ) dt + )t t + ) dt + ). 3 + ) t dt + ) [ t 3 3 ] c) z cosz) + z cosz) dz, γ 3 : z poztív rányítással π π γ 3 A z cosz) függvény analtkus az egész síkon, így zárt görbén az ntegrálja a Cauchy-alaptétel szernt, így elég az összeg első tagját ntegráln. A γ 3 görbe a középpontú, sugarú kör. Ezen belül a nevező a π és a π pontokban. Mnden más pontban az ntegrálandó függvény analtkus. Az fz) z cosz) függvény ntegráljának értéke ekkor a rezduumtétellel z cosz) dz pont π π Res f, π ) + Res f, π )) ) π sn ) π + π ) sn ) π ) ) π π 4 π Határozza meg az függvény rezduumát a z π pontban! chz) shz) fz) z π 4 A gz) chz) shz), hz) z π 4 szereposztással f g h pont, g és h analtkusak z -ban, hz ), h z ) pont, így Res f, π ) gπ) chπ/) shπ/) h. pont π) π

3 3. Írja föl az fz) z z z függvény Taylor vagy Laurent sorfejtését a z pont körül a lehetséges tartományok fgyelembevételével! A körül sorfejtésben c n z + ) n alakú tagokat keresünk. z z + ) z z + ) z zz ) zz ) Parcáls törtekre bontással zz ) z z z + ) z + ). Ekkor az z sorfejtése z körül z z + ) z + z + z z + ) z+ ) ) n z + ) n <, azaz z + <, pont és ) n+ z + ) n, z + z + ) n z + ) n ) n z + ) n z+ z + z + <, azaz z + > pont. Hasonlóan z sorfejtése z körül z z + ) z + z+ ) <, azaz z + <, pont és z z + ) z + z+ z + z + z + ) n z + ) n <, azaz z + > pont. Tehát a z körül a z + < körgyűrűn ) n+ fz) z + ) z + ) n a < z + < körgyűrűn ) n+ fz) z+) z + ) n a z + > körgyűrűn pedg fz) z + ) pont n ) n+ z + ) n ) n+ z + ) n, n z + ) n n z + ) n n n ) ) n+ z + ) n ) ) n+ z + ) n ) ) n+ z + ) n n n n n n ) n+ z + ) n, ) n ) n ) z + ) n, ) n z+) n + ) n ) n+ z + ) n, n ) n ) z + ) n. Megjegyzés : Teljes megoldás adtó úgy s, nem szorzatra bontunk az elején, nem összeadandókra. ) n z+) n,

4 Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz B csoport Pontozás: ) pont.. Lehet-e az ux, y) x 3 y + xy xy 3 kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen, adja meg a megfelelő komplex függvényt! ux, y) lehet egy regulárs komplex függvény valós része, ux, y) u xxx, y) + u yyx, y). u xx, y) 3x y + y y 3 u xxx, y) 6xy u yx, y) x 3 + x 3xy u yyx, y) 6xy ux, y) Tehát lehet, ekkor a Cauchy-Remann egyenletekből megkeressük a v képzetes részt: u xx, y) v yx, y) 3x y + y y 3 vx, y) 3x y + y y 3 dy 3 x y + y 4 y4 + c x) u yx, y) v xx, y) x 3 + x 3xy vx, y) x 3 x + 3xy dx 4 x4 x + 3 x y + c y) vx, y) 4 x4 4 y4 x + y + 3 x y + c Ekkor a keresett regulárs komplex függvény fx, y) ux, y) + vx, y) x 3 y + xy xy x4 4 y4 x + y + 3 ) x y + c, ahol c R. pont. Készítsen ábrát a görbékről és számítsa k az alább vonalntegrálokat! a) z z dz, γ a z, z pontokat összekötő egyenes szakasz z z rányítással; γ γ Az ntegrál értéke nnen γ fz) dz ) A γ görbe egy paraméterezése : gt) + t ) t) + t, g : [, ] C ekkor g t). t + t) t + t) ) dt t + t) t t) ) dt [ 4t 4t t3 ] ) t + 5t ) ) dt

5 b) z z dz, γ a z, z pontokat összekötő negyedkörív z z rányítással; γ γ A γ görbe egy paraméterezése : gt) e t, g : [, π ] C ekkor g t) e t. Az ntegrál értéke nnen γ fz) dz π e t e t ) e t dt π e t e t e t dt π e t dt [ e t] π. c) + e z z + ) + z + ) + e z) dz, γ 3 : z poztív rányítással γ 3 A z +) + e z) függvény analtkus az egész síkon, így zárt görbén az ntegrálja a Cauchy-alaptétel szernt, így elég az összeg első tagját ntegráln. A γ 3 görbe a középpontú, sugarú kör. Ezen belül a nevező a z pontban, és z kétszeres gyöke a nevezőnek. Mnden más pontban az ntegrálandó függvény analtkus. Az fz) +ez z +) függvény ntegráljának értéke ekkor általánosított Cauchy-ntegrálformulával + e z z + ) dz pont π! + e z) z pont π e 4. Határozza meg az függvény rezduumát a z π pontban! fz) chz) + shz) z π A gz) chz) + shz), hz) z π szereposztással f g h pont, g és h analtkusak z -ban, hz ), h z ) pont, így Resf, π) gπ) chπ) + shπ) h eπ π) π π π. pont

6 3. Írja föl az fz) z z + z függvény Taylor vagy Laurent sorfejtését a z pont körül a lehetséges tartományok fgyelembevételével! A körül sorfejtésben c n z ) n alakú tagokat keresünk. z z + z z ) zz + ) z ) zz + ) Parcáls törtekre bontással zz + ) z + z z ) + z ) +. Ekkor az z+ sorfejtése z körül z + z ) + ) z ) n ) n+ z ) n ) n z ) n, z z <, azaz z <, pont és z + z ) + z ) z ) n z ) n ) n z ) n z ) n+ z ) n, n z z <, azaz z > pont. Hasonlóan z sorfejtése z körül z z ) + z z z ) + z z ) <, azaz z <, pont és ) n z ) n ) n+ z ) n, ) z ) n z ) n ) n z ) n z z z <, azaz z > pont. Tehát a z körül a z < körgyűrűn ) n+ ) ) n+ fz) z ) ) n z ) n + z ) n a < z < körgyűrűn fz) z ) ) n n ) ) n z ) n n a z > körgyűrűn pedg pont fz) z ) n ) n+ z ) n n ) n+ z ) n ) n ) n ) z ) n. n n ) n z ) n n n ) n n ) n ) ) n+ z ) n ) ) n+ z ) n Megjegyzés : Teljes megoldás adtó úgy s, nem szorzatra bontunk az elején, nem összeadandókra. ) n+ z ) n, ) n ) z ) n,

7 Szorgalm feladat max. pont, amt skeres, azaz legalább pontos zárthelyhez adunk hozzá) Igaz-e, hogy S {f C R : x R f x) xfx) ; f ) f)} altere C R -nek? Válaszát ndokolja! C R C R, ezért S C R. Ha f, g S, akkor f x) xfx), g x) xgx), f ) f) és g ) g), ekkor f + g) x) xf + g)x) f x) xfx) + g x) xgx) +, c f) x) xc f)x) c f x) xfx)) c, f + g) ) f ) + g ) f) + g) f + g)), c f) ) c f ) c f) c f)), azaz a lmaz összeadásra és skalárral szorzásra nézve zárt. A konstans függvény megoldása az egyenletnek és szmmetrkus, tehát eleme S-nek. a művelet tulajdonságok s teljesülnek, tehát S vektortér, és altere C R -nek. Megjegyzés : S defnícójában szereplő dfferencálegyenlet megoldása a c e x alakú függvények, tehát az f ) f) feltétel mndegykre teljesül.