Lineáris egyenlet. Lineáris egyenletrendszer. algebrai egyenlet konstansok és első fokú ismeretlenek pl.: egyenes egyenlete

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris egyenlet. Lineáris egyenletrendszer. algebrai egyenlet konstansok és első fokú ismeretlenek pl.: egyenes egyenlete"

Benjámin Jónás
5 évvel ezelőtt
Látták:

2 Lieáris egyelet algebrai egyelet kostasok és első fokú ismeretleek pl.: egyees egyelete Lieáris egyeletredser y a b lieáris egyeletek csoportja ugya ao a váltoó halmao

3 Lieáris egyeletredser B b B b B b A A b

4 Mikor oldható meg? A b Ha koverges A b lim * lim * * A * b Fi pot

5 Mikor koverges? Ha A kompatibilis valamely ormájával. Norma Egy vektortere értelmeett leképés, amely a ullvektor kivételével a tér mide vektoráho egy poitív sámot redel. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d d y d d y d d d a.cs.a., ha

6 Normák p-orma (Hölder-orma) -orma -orma Végtele orma p i p i p / : i i i i i i ma

7 Mátriormák A vektorormák mátriormákat idukálak. A M sup A Liearitás miatt elég a ormájú vektorokat tekitei. Kompakt halma, így a folytoos maimumát. A mátriormárakra teljesül v v sup A v A B A B v A v függvéy felvesi a A v A M v

8 Iterációs megoldás Bioyítás Redőr sabály! b A b A A A A A b b A Ab b,,,

9 Iterációs megoldás void jakobi(){... it iputbuffer = ; cost it iteratios = ; for(it i = ; i < iteratios; ++i){ mulmatrivector(,, [(iputbuffer + ) % ], A, [iputbuffer], b); iputbuffer = (iputbuffer + ) % ;...

10 Iterációs megoldás A. 5 I b Jakobi : [,,,,,,, ] Jakobi : [.5,.5,.5,.5,.5,.5,.5,.5] Jakobi : [.75,.75,.75,.75,.75,.75,.75,.75] Jakobi : [.875,.875,.875,.875,.875,.875,.875,.875] Jakobi : [.9375,.9375,.9375,.9375,.9375,.9375,.9375,.9375] Jakobi : [.96875,.96875,.96875,.96875,.96875,.96875,.96875,.96875] Jakobi : [.98438,.98438,.98438,.98438,.98438,.98438,.98438,.98438] Jakobi : [.999,.999,.999,.999,.999,.999,.999,.999] Jakobi : [.9969,.9969,.9969,.9969,.9969,.9969,.9969,.9969] Jakobi : [.9985,.9985,.9985,.9985,.9985,.9985,.9985,.9985] Jakobi : [.999,.999,.999,.999,.999,.999,.999,.999] Jakobi : [.9995,.9995,.9995,.9995,.9995,.9995,.9995,.9995] Jakobi : [.99976,.99976,.99976,.99976,.99976,.99976,.99976,.99976] Jakobi : [.99988,.99988,.99988,.99988,.99988,.99988,.99988,.99988] Jakobi : [.99994,.99994,.99994,.99994,.99994,.99994,.99994,.99994] Jakobi : [.99997,.99997,.99997,.99997,.99997,.99997,.99997,.99997] Jakobi : [.99998,.99998,.99998,.99998,.99998,.99998,.99998,.99998] Jakobi : [.99999,.99999,.99999,.99999,.99999,.99999,.99999,.99999] Jakobi : [,,,,,,, ] Jakobi : [,,,,,,, ]

11 CPU implemetáció void scalarmv(it, it m, float* y, cost float* A, cost float*, cost float* b){ for(it i=; i<; ++i){ float yi = b[i]; for(it j=; j<m; ++j){ yi += A[i * m + j] * [j]; y[i] = yi;

12 Hogya párhuamosítható? Eredméy sálakho redelése Gather típus: mide sál össegi a bemeet mide eleméek hoájárulását Bemeet sálakho redelése Scatter típus: mide sál kisámítja a bemet egy eleméek hoájárulását a kimeet mide eleméhe Sikroiáció sükséges!

13 Gather típusú megoldás A eredméy egy N elemű vektor A muka méret N Mide sál kisámítja a mátri egy sora és bemeeti vektor alapjá a eredméy vektor egy elemét. Elleőrii kell a túlcímést!

14 Host program void simplemv(it, it m, float* y, cost float* A, cost float*, cost float* b){ cl_kerel simplemvkerel = createkerel(program, "simplemv"); cl_mem ygpu = clcreatebuffer(cotet, CL_MEM_WRITE_ONLY, sieof(float)*m, NULL, NULL); cl_mem AGPU = clcreatebuffer(cotet, CL_MEM_READ_ONLY, sieof(float)*m*, NULL, NULL); clequeuewritebuffer(commads, AGPU, CL_FALSE,, sieof(float)*m*, A,, NULL, NULL); cl_mem GPU = clcreatebuffer(cotet, CL_MEM_READ_ONLY, sieof(float) *, NULL, NULL); clequeuewritebuffer(commads, GPU, CL_FALSE,, sieof(float)*,,, NULL, NULL); cl_mem bgpu = clcreatebuffer(cotet, CL_MEM_READ_ONLY, sieof(float) * m, NULL, NULL); clequeuewritebuffer(commads, bgpu, CL_FALSE,, sieof(float)*m, b,, NULL, NULL); clsetkerelarg(simplemvkerel,, sieof(it), &); clsetkerelarg(simplemvkerel,, sieof(it), &m); clsetkerelarg(simplemvkerel,, sieof(cl_mem), &ygpu); clsetkerelarg(simplemvkerel, 3, sieof(cl_mem), &AGPU); clsetkerelarg(simplemvkerel, 4, sieof(cl_mem), &GPU); clsetkerelarg(simplemvkerel, 5, sieof(cl_mem), &bgpu); clequeuebarrier(commads); //...

15 Host program //... sie_t worksie = m; clequeuendragekerel(commads, simplemvkerel,, NULL, &worksie, NULL,, NULL, NULL); clfiish(commads); clequeuereadbuffer(commads, ygpu, CL_TRUE,, sieof(float) * m, y,, NULL, NULL); clreleasememobject(ygpu); clreleasememobject(agpu); clreleasememobject(gpu); clreleasememobject(bgpu); clreleasekerel(simplemvkerel);

16 OpeCL kerel kerel void simplemv(cost it, cost it m, global float* y, global float* A, global float*, global float* b){ it i = get_global_id(); if(i < ){ float yi = b[i]; for(it j = ; j < m; ++j){ yi += A[j + i * m ] * [j]; y[i] = yi; Soros sámítás!

17 A skaláris sorás párhuamosítása boyolult A össegés triviálisa párhuamosítható! Klassikus redukciós megoldás Mukacsoportokét dolgouk fel egy-egy oslopot Mide sál elvégi a elemi sorást A eredméyt a lokális memóriába gyűjtjük Redukciós lépések Mide lépésbe feleük a sálak sámát A még futó sálak össegik a leállított sálak résössegeit A utolsó sál kiírja a eredméyt a globális memóriába

18 Feltételeések N*M-es mátri eseté M sál idítható mukacsoportokét N mukacsoport idítható A lokális memória legalább M méretű M= k a redukcióho

19 Host program #defie M 3 void reducemv(it, float* y, cost float* A, cost float*, cost float* b){ //... sie_t worksie = M * ; sie_t workgroupsie = M; CL_SAFE_CALL( clequeuendragekerel(commads, reducemvkerel,, NULL, &worksie, &workgroupsie,, NULL, NULL) ); //...

20 OpeCL kerel #defie M 3 kerel void reducemv(cost it, global float* y, global float* A, global float*, global float* b){ it i = get_group_id(); it j = get_local_id(); local float Q[M]; Q[j] = A[i * M + j] * [j]; for(it stride = M / ; stride > ; stride >>= ){ barrier(clk_local_mem_fence); if(j + stride < M){ Q[j] += Q[j + stride]; if(j == ){ y[i] = Q[] + b[i];

21 Megoldási lehetőség A egyserűség kedvéért csak egy mukacsoport Daraboljuk a kimeetet T hossú darabokra A mukacsoport egyserre egy segmese dolgoik Daraboljuk fel a bemeetet Z hossú darabokra A skaláris soratok össegét a résössegekből sámítjuk A lokális memóriába tároljuk résössegeket Q[T*Z] méretű lokális tömbbe A eredméy T hossú darabját redukcióval kapjuk

22 Host program #defie T 8 #defie Z void largemv(it, it m, float* y, cost float* A, cost float*, cost float* b){ //... sie_t worksie = T * Z; sie_t workgroupsie = T * Z; clequeuendragekerel(commads, largemvkerel,, NULL, &worksie, &workgroupsie,, NULL, NULL); //...

23 OpeCL kerel #defie T 8 #defie Z kerel void largemv(cost it, cost it m, global float* y, global float* A, global float*, global float* b){ local float Q[T * Z]; it t = get_local_id() / Z; it = get_local_id() % Z; for(it i = t; i < ; i += T){ //... ciklus mag a követkeő oldalo if( == ){ y[i] = Q[t * Z + ] + b[i];

24 OpeCL kerel // ciklus mag Q[t * Z + ] =.f; for(it j = ; j < m; j+=z){ Q[t * Z + ] += A[j + i * m] * [j]; for(it stride = Z / ; stride > ; stride >>= ){ barrier(clk_local_mem_fence); if( + stride < Z){ Q[t * Z + ] += Q[t * Z + + stride];

25 Ritka mátriok Sok ulla elem Tömörítés és a tömörített repreetáció sámítás Compressed Sparse Row y f e d c b a 5 f e d c b a Value: Colum: Row Ptr:

26 y f e d c b a 5 f e d c b a Value: Colum: Row Ptr: 3 O O O f e dy c b a y f e d c b a Value + Row Ptr: Vector + Colum: Elemekéti sorat: Iclusive segmetált sca:

27 Segmetált sca Feltételes sca A feltétel egy külö tömbbe Iclusive sca: Head tömb Iclusive segmeted sca:

28 Gauss elimiáció Vissaveetjük a egyeletredsert háromsög mátrira Vissahelyettesítéses megoldás Gauss-Jorda elimiáció Csak a főátlóba lehet emulla elem

29 Megegedett műveletek Két egyelet felcserélése Egyelet skalárral sorása Egy egyelethe egy másik skalársorosáak hoáadása

30 Példa y y y L L L L L L 5 8 y y y L L L 8 y y 5 8 y y y 3 y

31 Példa y y y

32 Mátri ivere A I AI A AI A A I A I

33 Algoritmus for k :=.. - do for i := k+.. do l := a ik /a kk b i := b i l * b k for j := k.. do a ij := a ij l * a kj ed for ed for ed for

34 Host program void gaussia(){ it = 6; it m = 3; float A[] = {, -,,,,, -,, -,,,,, -,,,, ; cl_kerel gaussiakerel = createkerel(program, "gaussia"); cl_mem AGPU = clcreatebuffer(cotet, CL_MEM_READ_WRITE, sieof(float)**m, NULL, NULL); clequeuewritebuffer(commads, AGPU, CL_TRUE,, sieof(float)**m, A,, NULL, NULL); clsetkerelarg(gaussiakerel,, sieof(it), &); clsetkerelarg(gaussiakerel,, sieof(it), &m); clsetkerelarg(gaussiakerel,, sieof(cl_mem), &AGPU); clequeuebarrier(commads); //...

35 Host program //... sie_t worksie = m; sie_t workgroupsie = m; clequeuendragekerel(commads, gaussiakerel,, NULL, &worksie, &workgroupsie,, NULL, NULL); clfiish(commads); clequeuereadbuffer(commads, AGPU, CL_TRUE,, sieof(float)**m, A,, NULL, NULL); clreleasememobject(agpu); clreleasekerel(gaussiakerel);

36 OpeCL kerel kerel void gaussia(cost it, cost it m, global float* A){ it id = get_local_id(); for(it ma = ; ma < m; ++ma){ float pp = A[ma + ma * ]; float coeff = A[ma + id * ] / pp; barrier(clk_global_mem_fence); if(id!= ma){ for(it a = ; a < ; ++a){ A[a+id*] = A[a+id*] - coeff * A[a+*ma]; barrier(clk_global_mem_fence); //...

37 OpeCL kerel //... float coeff = A[id + id * ]; for(it a = ; a < ; ++a){ A[a + id * ] = A[a + id * ] / coeff;

38 Példák,.3e-8, 9.93e-9,.75,.5,.5,,.3e-8,.5,,.5,.3e-8,,.5,.5,.75,,,,,, 3 -, -,,

Hasonló dokumentumok

Videókártya - CUDA kompatibilitás: CUDA weboldal: Példaterületek:

Hasznos weboldalak Videókártya - CUDA kompatibilitás: https://developer.nvidia.com/cuda-gpus CUDA weboldal: https://developer.nvidia.com/cuda-zone Példaterületek: http://www.nvidia.com/object/imaging_comp