Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø

Átírás

1 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. Pldatár megoldások. feladat megoldása Mivel s B típusa megegeik, a sseadás elvgehető s Z is es mátri les: Z. feladat megoldása B kpehető, uganis oslopainak sáma megegeik B sorainak sámával; a soratmátri típusa les, uganis nak sora, Bnek oslopa van. segítsgkppen van kiemelve a soratmátri,) elemnek kisámítása) B. feladat megoldása. feladat megoldása Z mátri ngetes típus), íg determinánsa kpehető. első sora serint kifejtve: ) ) ) Z ) ) ) ) ). feladat megoldása egütthatómátriot soroni kell a ismeretlenek oslopvektorával, ami egenlő kell legen a jobb oldali konstansokból alkotott oslopvektorral.

2 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.. feladat megoldása Ekvivalens átalakításokat kell vgeni eg felsőháromsg, majd a egsgmátri elrse cljából a jelkpes mátriforma során. Jellje kvr kiemels a főelemet s a általa kinulláandókat eg felső vessős megkülnbtets! Ekvivalens átalakításokkal a mátriból E mátriot hotunk ltre, kben a jelkpes mátriforma utolsó oslopában ahová a b vektort írtuk) megkaptuk a megoldásvektort.. feladat megoldása mátriforma függőleges vonal előtt a egütthatók mátria, utána pedig a jobb oldali konstansok) ekvivalens átalakításoknak alávetve: kvr a es elemmel főelem) kinullátuk a alatta lvő vessővel jelett elemeket a s a ), majd a. egenletben egserűsítettünk. Eek után a a es főelem kvetkeik a főátlóból, hog alatta nulla álljon: Elrketünk a felsőháromsgformáho, aa: Ugancsak a egenlő egütthatók módservel küsbljük ki a. egenlet segítsgvel a ket a. s a. egenletből, majd a egenlettel a okat a. egenletből: Már csak a főátlóban állnak nem nulla elemek, ráadásul csupa, ert már elostani sem kell velük saját egenletüket. Elrtük a vonaltól balra a egsgmátriot, aa a,, ) vektor a megoldás.

3 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.. feladat megoldása Váltoatlanul kvr a főelem s vessősek a kinulláandók: ehát,,,.. feladat megoldása egenletrendser es, ert a megoldás bitosan nem egrtelmű. aa t/, t/, t/ s tetsőleges t valós sám. ehát t tetsőleges megválastása mellett /)t, /)t, /)t.

4 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.. feladat megoldása Keressük at a X mátriot, amelre iga, hog XE. Ha van ilen, a a invere, aa a inver a egenletrendser megoldása. Ha t X. oslopvektorával sorouk, a egsgmátri. oslopát kapjuk, ami eg egenletrendser a. oslopbeli ismeretlenekre.. osloppal uganíg eg egenletrendsert kapunk a. oslopbeli ismeretlenekre, de uganaokkal a egütthatókkal a jobb oldali állandók termsetesen külnbőek), tehát a alábbi kt egenletrendsert kapjuk: Oldjuk meg egserre a kt egenletrendsert, hisen ugana a egütthatók mátria: Gaussmódsert alkalmatunk a egenletrendser egüttes megoldására kt jobb oldallal). ehát, aa. feladat megoldása det ahol ij a a ij elemhe tartoó algebrai aldetermináns. Mivel det, a inver lteik. ) ui. a a es elemhe h) tartoó aldetermináns a, vagis.. sor s. oslop letakarása után megmaradó mátri determinánsa.) algebrai aldetermináns esetn et a sámot sorouk )gel vag )gel, hog a elem indessege páros vag páratlan. Hasonlóan: ) ), ), invermátri sseállításakor a algebrai aldeterminánsokat nem a indeükben jelett helre írjuk, hanem ahho kpest transponáljuk. ehát:

5 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.. feladat megoldása determináns kisámítását a. sor kifejtsvel vgeük: det B ) ) ) inver lteik, uganis a determináns nem nulla. B B det. feladat megoldása ) det, aa nullától külnbő. et g kapjuk meg, hog a egütthatók mátriában a. oslopot a jobb oldali oslopvektorral kicserljük, ennek vessük a determinánsát s ostjuk a eredeti determinánssal. Hasonlóan a t a. oslopban a csere):.. feladat megoldása det ) ) determinánst a kiemelt sor kifejtsvel sámítjuk ki mindig a legtbb nullát, egest tartalmaó sort vag oslopot válastjuk):

6 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. ). feladat megoldása C XE mátriegenlet darab as egenletrendsert takar uganaal a C mátrisal s egserű jobb oldalakkal: serint megoldandók: Sámítsuk ki a determinánst! ) ) ) det C. egenletrendser ismeretlenje a inver. oslopbeli elemei) Cramersabál serint a kvetkeő:

7 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.. egenletrendser megoldásai: inver. oslopának elemei: ehát a invermátri: C Ha et a mátriot balról vag jobbról a eredeti mátrisal ssesorouk, akkor egsgmátriot kapunk.. feladat megoldása b egenletrendser mindkt oldalát balról megsorouk invervel: b, aa b E, vagis b :

8 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. nlkül, hog a egütthatók mátriát ismertük volna, meghatárotuk a ismeretleneket:,,.. feladat megoldása Mivel a B mátrinak anni oslopa van, mint ahán sora a mátrinak, ert a sorás elvgehető. Z. feladat megoldása B lteik, uganis a oslopból s a B sorból álló mátri. soratmátri típus les, mert a sorból s a B oslopból áll. Kiemelve látjuk a. sor. oslop kombinációjával előállt elemet.) Megjegs: B sorat nem kpehető, uganis B oslopainak sáma nem egeik meg sorainak sámával.. feladat megoldása mátri típus, tehát a transponáltja típus les. Minden elem a iedik sorból s jedik oslopból a jedik sorba s iedik oslopba kerül. C. feladat megoldása soratmátri típus, aminek a transponáltja pedig es les. ) ) C

9 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár. feladat megoldása Eg as mátriho kell hoáadni eg soratmátriot, ami uganolan típus les, hisen eg es mátrinak eg as mátrisal vett sorata. ) ) ) ) ). feladat megoldása bal oldalon sorouk sse a kt tagot kt taggal, majd hasnáljuk ki, hog eg mátrinak a egsgmátrisal való sorása nem váltotatja meg a mátriot. egenlősg mindig iga.. feladat megoldása kifejtsi ttelt alkalmava eg es mátri determinánsa g sámolható, hog a főátlós elemek soratából kivonjuk a mellkátlós elemek soratát: ).. feladat megoldása lkalmauk a kifejtsi ttelt pl. a harmadik sorra ui. a legtbb, sámot tartalmaa).. feladat megoldása Sámítsuk ki a mátri sorosát, majd vegük a determinánst ugancsak a. sor serint kifejtve. ) )) t tapastaltuk, hog a eredeti mátri determinánsának sorosát kaptuk. ) Megjegs: Ha eg ngetes mátri egetlen sorát besorouk eg c sámmal, akkor a determináns a eredeti determináns cserese les.. feladat megoldása ransponáljuk a mátriot, majd fejtsük ki a. oslopa serint: det det ) ) ) t tapastaltuk, hog a eredeti mátri determinánsát kaptuk eredmnül. Megjegs: Ha eg ngetes mátriot transponálunk, akkor a determináns rtke nem váltoik. Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.

10 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.. feladat megoldása Elősr sseadjuk a kt es mátriot. eredmn is ngetes mátri, tehát a determináns kpehető: det det. feladat megoldása Sorouk sse a kt mátriot, majd alkalmauk a kifejtsi ttelt: det det Ha a kt ssesorandó mátri determinánsát kisámítjuk, majd a kt sámot ssesorouk, at látjuk, hog a is kettő. Megjegs: soratmátri determinánsa megegeik a determinánsok soratával amenniben a kt mátri uganolan típus).. feladat megoldása egütthatók mátria as típus) meg van sorova a ismeretlenek oslopvektorával es típus), s a eredmn a jobb oldali oslopvektor es típus):. feladat megoldása egenletrendser mátrialakja: mátriformában ekvivalens átalakítások segítsgvel egsgmátrisá váltotatjuk a egütthatómátriot: egenletrendser megoldása: /, /.. feladat megoldása egenletrendser egenletből áll, de ismeretlenes. mátriformában vag semmitmondó, vag ellentmondásos sort találunk. első esetben elhagjuk at a sort s megoldjuk a es egenletrendsert. második esetben egetlen megoldás sincs a egenletrendsernek. alakított mátriforma. sora ellentmondásos:, tehát nincs megoldás. )

11 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.. feladat megoldása as egenletrendser homogn jobb oldala csupa nulla), mátrialakja: krds a, hog a egütthatómátri oslopvektorainak mel lineáris kombinációja egenlő a nullvektorral. Ha a oslopok lineárisan függetlenek, akkor csak a csupa nullával vett lineáris kombináció lehet a megoldás a triviális megoldás). Ebben a esetben a. sor elhagható semmitmondó ), tehát megoldandó eg es egenletrendser, mert a. ismeretlent ) paramternek válastjuk átkerül a jobb oldalra): egenletrendser vgtelen sok megoldása paramteres alakban:, ahol tetsőleges valós sám.. feladat megoldása Invertáljunk a aldeterminánsok segítsgvel: adj det Megjegs: a egüttható mgtti es mátri nagon egserűen sármatatható a eredeti mátriból: a főátlóban lvő elemeket megcserljük, a mellkátlóban lvőket pedig besorouk )gel.. feladat megoldása Vgeük el a invertálást a egenletrendser megoldása tján: három egenletrendser egütthatómátria ugana, a ismeretlenek rendre a invermátri oslopvektorai, a jobb oldalak pedig a egsgmátri oslopai. lkalmauk e esetben a Cramersabált. egütthatómátri determinánsa ld.. feladat), ami at jelenti, hog a invermátri lteik hisen a determináns nem nulla). ismeretlen invermátri első oslopbeli.,.,. elemt g kapjuk meg, hog a egsgmátri első oslopvektorát helettesítjük a egütthatómátri.,.,.

12 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. oslopának helbe, s a íg kapott mátriok determinánsait ostjuk a eredeti determinánssal. determinánst a. oslop serint fejtettük ki.) determinánst a. oslop serint fejtettük ki.) determinánst a. oslop serint fejtettük ki.). oslopbeli ismeretlenek esetn uganíg járunk el, csak a egsgmátri. oslopát vissük be a megfelelő oslop helre:,, kisámításánál a egütthatómátri oslopait rendre kicserljük a,, ) oslopvektorral: ehát a invermátri a kvetkeő:.. feladat megoldása Vgeük el a invertálást a egenletrendser megoldása tján. három egenletrendser egütthatómátria ugana, a ismeretlenek rendre a invermátri oslopvektorai, a jobb oldalak pedig a egsgmátri oslopai. E esetben alkalmauk a Gaussmódsert, s oldjuk meg egserre a egenletrendsert a alábbi átalakítások tján:

13 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. ehát a invermátri:. feladat megoldása egenletrendser mátrialakja: egütthatómátri determinánsa:, vagis nullától külnbő, ert a egenletrendsernek egetlen megoldása van. Mivel a egenletrendser homogn a jobb oldali oslopvektor minden eleme nulla), ert csak a triviális, csupa nulla megoldás jhet sóba. Uganis lineárisan független vektoroknak csak a csupa nullával vett lineáris kombinációja adhat nullvektort. Ellenőrskppen: illetve. feladat megoldása egenletrendser as, de a konstansokat át kell vinni a jobb oldalra: s det egütthatómátri determinánsa nullától külnbő, tehát van egrtelmű megoldás:

14 Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft.. feladat megoldása egenletrendser mátrialakja: egütthatómátri determinánsa: det ¹ megoldás: ) ; ) ; ).