FÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

Átírás

1 FÜGGEÉK - MAEMAIKAI ÖSSZEFOGAÓ E a fejeet rövien össefoglalja aokat a matematikai ismereteket ameleket a Végeselem analíis tantárg fel fog hasnálni A össefoglalás nem teljes résletességgel mutatja be a sükséges ismereteket a alapfogalmak és a alapvető össefüggések felsorolásának tekinthető csak Elsősorban arra kívánja felhívni a figelmet hog melek aok a témakörök ameleket célserű a korábbi tanulmánokból átismételni F1 Mátrialgebra Mátri: Skaláris menniségeknek sámoknak megaott sabál serint tábláatba reneett halmaa a11 a 1 a1 n a1 a a n A = ( m n) a a a m1 m Et a tábláatot m n típusú (méretű) mátrinak neveük A mátriokat a követkeőkben kétser aláhúott betűvel jelöljük Mátriok össege: mn Aonos típusú (méretű) mátriok össegén olan mátriot értünk amelnek elemei egenlők a eges mátriok megfelelő (aonos ineű aonos helen álló) elemeinek össegével: A+ B= C a a b b ( a + b ) ( a + b ) + = ( ) ( ) a1 a b1 b a1 b1 a b + + ( ) ( ) ( ) Mátriok sorata: A m p méretű A mátri és a p n méretű B mátri soratán at a Ha a A mátri elemeit mátri c ij m n méretű mátriot értjük amelnek ij ineű elemét a A mátri i -eik sorának és a B mátri j -eik oslopának kombinációja 1 aja aij -vel és a B mátri elemeit b ij elemei a alábbiak serint sámíthatók ki: c p = ab ij ik kj k = 1 Péla: ()-es mátriok sorata: AB= C -vel jelöljük akkor a AB = C 1 A a1 a an és b1 b bn sám n -esek kombinációján a ab ab + + ab n n soratösseget értjük 1

2 a a b b ( ab + ab) ( ab + ab ) = ( ) ( ) a1 a b1 b a1b11 ab1 a1b1 ab + + ( ) ( ) ( ) Péla: ()-es mátri és oslopmátri sorata: Ab= c a a b ab+ ab = a1 a b ab 1 1+ ab ( ) ( 1) ( 1) A mátriok sorása nem kommutatív művelet: AB BA Oslopmátri: olan mátri amelnek csak eg oslopa van b b = b 1 Mátri transponáltja: olan művelet amel a mátri elemeit tükröi a főátlóra vag felcseréli a sorokat és a oslopokat a a a a A = = A a1 a a1 a Sormátri: olan mátri amelnek csak eg sora van a = a a 1 A sormátriot minig eg oslopmátri transponáltjának tekintjük Péla: sormátri és ()-es mátri sorata: a B = c b b 11 1 a1 a ab 1 11 ab 1 ab 1 1 ab (1 ) b1 b (1 ) ( ) [( ) ( )] = + + Simmetrikus mátri: A = A Ferén simmetrikus mátri: Egségmátri: AE= E A= A Mátri eterminánsa: A = A a11 a1 a13 a a a a et a = et a a a = a A + a A + a A = a + a + ij a a a a3 a 33 a3 a 33 + a a a = a a a a a a a a a a + a a a a a ( ) ( ) ( ) a31 a3 Mátri ajungáltja: a ajungált mátri ij ineű eleme a ereeti mátri ij eleméhe tartoó előjeles aletermináns Főátló: ahol a mátriban a aonos ineű elemek állnak

3 Jelölés: ( ij ) aj a = A ( i = 1 n; j = 1 n) ij Inver mátri: 1 1 A A = A A= E 1 1 aj( a ji ) A = aij = et a ij a b Péla: a A = c mátri invere: A ineáris algebrai egenletrenser: A Résletesen kiírva: A mátri sorást elvégeve: 1 b a bc a bc = c a a bc a bc = b a a a b a1 a a 3 b a31 a3 a 33 3 b 3 = a111 + a1 + a133 = b1 a11 + a + a33 = b a + a + a = b A egenletrenser megolása: A A= A b = A b Singuláris mátri: et a ij = 0 = E λma Rossul konicionált mátri: κ ( A) = 1 ahol λ ma és λ min a mátri legnagobb és a λmin legkisebb sajátértékét jelentik A κ a mátri koníció sáma Rossul konicionált mátriok lineáris egenletrenserek megolása során okonak problémát ekkor uganis a b (oslop)mátriban bekövetkeett kis váltoás nag váltoást oko a ismeretleneket tartalmaó (oslop)mátriban F Vektoralgebra Skaláris menniség: olan fiikai menniség amelet nagsága előjele és mértékegsége jelleme Vektormenniség: iránított fiikai menniség amelet nagsága irána és mértékegsége jelleme Vektor megaására annak koorinátáit hasnáljuk A a síkbeli vektor koorinátái: a a A a -t koorinátái és a e e egségvektorok ( = 1 e = 1 e e ) segítségével egértelműen meghatárohatjuk: e 3

4 a = a e + a e = a cosα e + a sin α e = a (cosα e + sin α e ) = a e a a = a + a e = cos α + sin α = 1 a e a a a e α e a Vektorok össeaása: a+ b = c ( ae + ae ) + ( be + be ) = ( a + b ) e + a + b e c c Vektorok kivonása: a b = a = b + ( ae + ae ) ( be + be ) = ( a b ) e + a b e Vektormenniségek köött többféle sorási művelet is efiniálható: Vektorok skaláris sorása (a eremén skaláris menniség): Értelmeés: a b = a b cosα Kisámítás: a b= ab + ab + ab A egségvektorok skaláris sorata: e e = 1 e e = 1 e e = 1 e e = 0 e e = 0 e e = 0 Követkemén: a a = a a b = 0 a b Vektorok vektoriális sorata (a eremén vektor): Értelmeés: a b = a b sinα e e e Kisámítás: a b = a a a = e ab ba e ab ba + e ab ba b b b ( ) 4

5 A ereménvektor iránát a ún jobbké sabállal kapjuk meg: ha jobb kéel a a vektort a b vektorba forgatjuk akkor a jobb ké hüvelkujja aja meg a ereménvektor iránát A egségvektorok vektoriális sorata: e e = 0 e e = 0 e e = 0 e e = e e e = e e e = e e e = e e e = e e e = e Követkemén: Ha a 0 és b 0 akkor a b = 0 a b Vektorok veges sorata (a eremén skalár menniség): abc = a b c= a b c Értelmeés: ( ) ( ) ( ) a a a a b c abc = b b b = a b c c c c a b c ulajonság: ( abc) = ( cab) = ( bca) = ( cba) = ( acb) = ( bac) Követkemén: Ha a 0 b 0 és c 0 és ( abc ) = 0 Kisámítás: ( ) A három vektor eg síkban van Vektorok kétseres vektoriális sorata (a eremén vektor menniség): a b c a b c Értelmeés: ( ) vag ( ) Kisámítás: a értelmeés alapján kifejtési tétellel Kifejtési tétel: ( a b) c = b( a c) a( b c) a b c = b a c c a b ( ) ( ) ( ) ulajonság: A vektoriális sorások sorrenje nem cserélhető fel A vektorok sorrenje nem cserélhető fel Reciprok vektorhármas: egen a 1 a a 3 három tetsőleges nem eg síkba eső vektor: aaa = v ( )

6 A a 1 a a 3 vektorhármasho tartoó reciprok vektorhármas: a a 3 a 3 a 1 a 1 a a1 = a = a3 = ( aaa 1 3) ( aaa 1 3) ( aaa 1 3) A íg efiniált vektorok sorra merőlegesek a aa 3 a aa 3 1 és a aa 1 vektorok által kifesített síkokra 1 a a3 a3 a1 a1 a Iga a is hog ( aaa 1 3) = valamint a1 = a = a 3 = v aaa aaa aaa ( 1 3) ( 1 3) ( 1 3) A előbbi össefüggések simmetriája valamint 1 v reciprok vektorhármasának neveük megjelenése miatt a két rensert egmás F3 enoralgebra F31 enor értelmeése és előállítása enor értelmeése: homogén lineáris vektor-vektor függvén által megvalósított leképeés (hoárenelés) w = f( v ) = v A tenor a tetsőleges v vektorho eg w vektort renel hoá ulajonság: - f ( λv) = λf ( v) ahol λ eg skaláris egüttható f v + v = f v + f v - ( ) ( ) ( ) 1 1 Eel a két tulajonsággal ekvivalens: - w = f ( λ ) ( ) ( ) 1v 1 + λv = λ1 f v 1 + λ f v = λ1w 1 + λw w w 1 ahol λ 1 λ skaláris egütthatók Követkemén: 0 = f (0) (ha v = 0 akkor w = 0 ) étel: a tenort három értékpárja egértelműen meghatároa feltéve hog v 1 v v 3 vekto- 6

7 vvv rok nem esnek köös síkba: ( ) v1 w1 = f( v1) v w = f( v) ahol w1 w w3képvektorok v3 w3 = f( v3) A tétel at jelenti hog ha ismerem a v 1 v v 3 -ho tartoó w 1 w w 3 képvektorokat akkor tetsőleges v vektorho meg tuom határoni a w képvektort Diá vektorok iaikus sorata: Két vektor iaikus soratának ereméne eg speciális tenor amit iának neveünk Jelölés: = a b Értelmeés: olan sorás amelre fennállnak a alábbi össefüggések: ( a b) c = a( b c) c ab = c a b ab c ( ) ( ) ( ) Diá (speciális tenor) kisámítása mátrisorással: enor megaása: enor elemeinek formális jelölése: a ab ab ab (1 3) a ab ab ab (3 1) (3 3) = = a b= a b b b = ab ab ab tenor mátria (sámkilences) és koorináta renser = = étel: minen tenor előállítható három iá össegeként: w = f( v ) = v egen ismert három értékpár: v 1 w 1 v w 7

8 v w 3 3 A tenor iaikus előállítása: = w1v1 + w v + w3 v3 A tenor transponáltjának iaikus előállítása: = v1 w1 + v w + v3 w3 Simmetrikus tenor: = Ferén simmetrikus (antisimmetrikus) tenor: = Egségtenor: v = E v = I v E = I = v v + v v + v v = v v + v v + v v E I = = étel: minen tenor felbontható eg simmetrikus és eg ferén simmetrikus tenor össegére 1 1 = ( + ) + ( ) F3 enor előállítása eréksögű escartesi koorináta-renserben eképeés: e a = f ( e ) e b = f ( e) e c = f e s ( ) Kapcsolat a előő jelölésekkel: v 1 = e v = e v 3 = e w1 = a w = b w3 = c v = e v = e v = e fs 1 3 enor iaikus előállítása Descartes-féle eréksögű koorinátarenserben (DDKR): = ae + be + c e Ov e A tenor mátriát résletesen kiírva: v e e Ow c b a w 8

9 a b c a b c [ 1 0 0] [ 0 1 0] [ 0 0 1] = a + b + c = a b c a b c = a b c a b c + + = a b c a b c A tenor mátria eréksögű escartesi koorináta-renserben a oslopaiban tartalmaa a e e e -he tartoó a b c képvektorok koorinátáit F33 tenorok kétseres skaláris sorata A kétseres skaláris sorás értelmeését a egserűség kevéért két iáal (speciális tenor) mutatjuk be Általános nem simmetrikus esetben a kétseres skaláris sorás elvégése több váltoatban lehetséges: 1 váltoat: ( ab) ( c ) = ( a c)( b ) ab c = a b c váltoat: ( ) ( ) ( )( ) A kétseres skaláris sorás ereméne skaláris menniség A eges váltoatok ereméne nem aonos érték Ha a soró téneők simmetrikus tenorok akkor minen váltoatnál uganat a eremént kapjuk Pl: a fajlagos alakváltoási energia előállítása: 1 1 u = F A= ( ρ e + ρ e + ρ e) ( α e + α e + α e) = 1 = ( ρ α + ρ α + ρ α) F4 Koorináta-renserek Mechanikai mogásokról minig valamihe képest valamire vonatkotatva besélhetünk A mogás leírásánál a vonatkotatási alapot a koorináta-renser (KR) képei F41 Deréksögű escartesi koorináta-renser (DDKR) e O e e e e P( ) e 9

10 Független váltoó (helkoorináta): Koorináta vonalak: P P =állanó egenes P P = állanó egenes P P = állanó egenes Báisvektorok: a koorináta vonalak érintő egségvektorai e = áll e = áll e = áll e = e = e = 1 e e = e e = e e = 0 Descartes 3 -féle báisvektorok nem függenek a heltől és minen pontban merőlegesek egmásra A DDKR egenesvonalú egségbáisú eréksögű koorináta-renser F4 Henger koorináta-renser (HKR) R PR ( ϕ ) e e ϕ ϕ e R Független váltoó (helkoorináta): R ϕ Koorináta vonalak: ϕ P P = állanó egenes RP P = állanó kör RP ϕp = állanó egenes Báisvektorok: a koorináta vonalak érintő egségvektorai e ( ) R = er ϕ eϕ = eϕ( ϕ) e = áll er = eϕ = e = 1 er eϕ = eϕ e = e er = 0 A e R és e ϕ báisvektorok nem függetlenek a heltől (függenek a ϕ helkoorinátától) aonban minen pontban merőlegesek egmásra A HKR görbevonalú egségbáisú eréksögű koorináta-renser e A báisvektorok hel serinti eriváltja: R eϕ = e ϕ er ϕ ϕ = A báisvektorok hel serinti váltoását a ábra semlélteti 3 René Descartes ( ) francia matematikus és filoófus 10

11 F5 Koorináta transformáció egen ( ) és ( ) két egmásho képest elforgatott aonos keőpontú eréksögű escartesi koorináta-renser ζ e ζ e η e η O e ξ e ξ Koorináta transformáció: uganat a menniséget (vektort tenort) különböő koorinátarenserekben akarjuk felírni Vektorok transformációja: Jelölés: [ v ] [ v ] tetsőleges vektor a koorináta-renserben felírva ugana a vektor a koorináta-renserben felírva [ v] = K [ v] (3 1) (3 3) (3 1) ( eξ e) ( eξ e) ( eξ e) K ( eη e) ( eη e) ( eη e) = ( eζ e) ( eζ e) ( eζ e) A K transformációs mátriban a egségvektorok köötti skaláris sorásokat elvégeve: cos( ξ ) cos( ξ ) cos( ξ ) K= cos( η ) cos( η ) cos( η ) cos( ζ ) cos( ζ ) cos( ζ ) 1 A transformációs mátri tulajonsága: [ v] = K [ v] = K [ v] e 1 K = K ortogonális mátri 1 1 K K = K K = K K = K K = E w = v w = v enorok transformációja: [ ] [ ] [ ] [ ] A első (bal olali) egenlet vektorait transformálva: 11

12 K K [ w ] = K [ v ] A egenlet minkét olalát besorova a transformációs mátrisal: [ w] = K K [ v] = K K étel: Csak olan sámkilences (pl 3 3-as mátri) alkothat valamel koorinátarenserben tenort amel eg másik koorináta-renserbe való áttérésnél a fenti sabál serint transformálóik F6 Hel serinti ifferenciálás F61 Vektor hel serinti eriváltja DDKR-ben a = ae + ae + ae a a a a A vektor helkoorináták serinti eriváltja: = e + e + e a a a a = e + e + e a a a a = e + e + e Csak a koorinátákat kell eriválni a báisvektorok nem függenek a heltől F6 Vektor hel serinti eriváltja HKR-ben a= ae R R+ ae ϕ ϕ+ ae a ar aϕ a A vektor helkoorináták serinti eriváltja: = er + eϕ + e R R R R a ar e a e R ϕ ϕ a = er + ar + eϕ + aϕ + e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ( ae R R) ( ae ϕ ϕ) ϕ ϕ a a a R ϕ a = er + eϕ + e A e R és e ϕ báisvektorok is függenek a ϕ helkoorinátától 1

13 F7 A Hamilton-féle ifferenciál operátor (nabla) A Hamilton 4 -féle vag (nabla 5 ) ifferenciál operátor: DDKR-ben: = e + e + e 1 HKR-ben: = er + eϕ + e R R ϕ F71 Divergencia (skaláris sorás) a) Vektor ivergenciája: a a a a ( ae ae ae) e e e = = a = ( ae R R+ ae ϕ ϕ+ ae ) er+ eϕ+ e = R R ϕ ar 1 e a R ϕ a = + ar eϕ + + R R ϕ ϕ er Felhasnálva hog = e ϕ és e ϕ e ϕ = 1 végül at kapjuk hog ϕ ar 1 aϕ a a = + ar + + R R ϕ a = a A vektor jobb olali ivergenciája megegeik vektor bal olali ivergenciájával b) enor jobb olali ivergenciája: A = ( a1e + a e + a3 e) e + e + e = a a a a a a 1 e e e e = + + e e = + + = 1 = 1 = 1 A tenor jobb olali ivergenciája általában nem egenlő a tenor bal olali ivergenciájával: A A 4 William Rowan Hamilton ( ) ír matematikus fiikus és csillagás 5 Hárfáho hasonló sió hangser görög nevéből sármaó elneveés 13

14 Menniségek renje (ineeinek sáma): skalár 0 ( a ) vektor 1 ( a i ) másorenű tenor harmarenű tenor 3 a ij a ijk ulajonság: A nablával történő skaláris sorás a menniség renjét eggel csökkenti Pélául a vektor ivergenciája skaláris a tenor ivergenciája vektor menniség F7 Rotáció (vektoriális sorás) a) Vektor jobbolali rotációja: a = ( ae + ae + ae ) e + e + e = a a a a a a = e e + e e + e e + e e + e e + e e = e e e e e e a a a a a a = e e + e A vektor jobb olali rotációja általában nem egenlő a vektor bal olali rotációjával: a a b) enor jobb olali rotációja: A = ( a1e + a e + a3 e) e + e + e = a a3 a1 a3 a1 a = e e + e e + e e + e e + e e + e e = e e e e e e a a3 a3 a1 a1 a = e + e + e A tenor jobb olali rotációja általában nem egenlő a tenor bal olali rotációjával: A A ulajonság: a nablával történő vektoriális sorás a menniség renjét nem váltotatja meg Pélául a vektor rotációja vektor a tenor rotációja tenor menniség F73 Graiens (iaikus sorás) a a a a) Skalár graiense: a = a= e + e + e b) Vektor graiense: 14

15 a = ( ae + ae + ae ) e + e + e = a a a = e e + e e + e e + a a a e e + e e + e e + a a a + e e + e e + e e A vektor jobb olali graiense egenlő a vektor bal olali graiensének transponáltjával: a a a = ( a) a a a a a a A graiens tenor mátria: [ a ] = a a a ulajonság: A nablával történő iaikus sorás a menniség renjét eggel megnöveli pélául vektor nablával történő iaikus sorásának ereméne tenor F8 A variációsámítás alapgonolata A δ f( ) a f( ) függvén variációja δ f( ) eltérés a f( ) függvéntől A variáció jelentése: eltérés megváltoás Feltételeük hog a = a és a = b helen nincs eltérés: δ f( ) = δ f( ) = 0 = a = b Funkcionál: olan leképeés amelnél a J[ f ] értelmeési tartomána a f( ) függvének halmaa A funkcionál jele: J[ f ] a J[ f ] értékkéslete a valós sámok halmaa J[ f] F f f A funkcionál: = ( ) b = a ahol F( f f ) aott (ismert) kifejeés 15

16 A funkcionál variációja: A J[ f ] funkcionálban lévő f( ) függvén helére helettesítsünk be a f( ) + αδ f( ) függvént ahol α eg valós paraméter Íg a α különböő értékeire különböő a J funkcionálba helettesített függvéneket kapunk Fejtsük alor-sorba a J[ f( ) + αδ f( )] funkcionált a f( ) körül úg mintha a ( ) f( ) eg kis megváltoása ahol δ f ( ) konstans: f eg váltoó lenne a f ( ) J f f J f f J f f J f f [ ] [ ] [ ] [ ] αδ peig a + αδ = + αδ + + αδ α + + αδ α + α α A sorfejtésben sereplő eriváltakat sokás n -e renű Gâteau-féle 6 (gátó) vag iránmenti eriváltnak is neveni n = + n Jele: D J[ f δ f ] J[ f αδ f ] α n δ f serinti első variá- A J[ f ] funkcionál első renű Gâteau-féle eriváltját a funkcionál ciójának is neveük J[ f + αδf] J[ f] DJ[ f δf] = J[ f + αδf] = lim α α 0 α A másoik variáció Gâteau serinti értelmeése: = + D J[ f δf] J[ f f] α αδ Cél: funkcionálok sélső értékének megkeresése Peremfeltétel: f( = a) = fa f( = b) = fb aott Felaat: a f( ) függvénhalmaból annak a f 0 ( ) függvénnek a kikeresése amelre a J[ f ] funkcionál sélsőértéket solgáltat A variációsámítás serint funkcionálok sélsőértékének feltétele: minimum esetén δ J > 0 δ J = 0 és maimum esetén δ J < 0 A variációt (variálási műveletet) formálisan a eriválásho hasonlóan kell képeni e a variáció nem a hel hanem különböő paraméterek serinti ifferenciál a variáció (váltotatás) során a peremfeltételt minig ki kell elégíteni Pélául a elmoulásmeő u u u ifferenciálja: u = René Gâteau ( ) francia matematikus 16

17 variációja: δ u u u c1 c c δ = + c δ + + A f( ) függvén ifferenciálja: f 1 f = variációja: δ f f f c1 c c δ = + c δ Péla funkcionál első és másoik variációjának előállítására: u ( ) p AE Aott: a ábrán látható p = állanó megosló erőrenserrel húott befalaott tartó hossa A kerestmetsete és E rugalmassági moulusa Felaat: a tartó Π teljes potenciális energiájának (mint a Π [ u] funkcionálnak) a első és másoik variációjának előállítása A teljes pontenciális energia értelmeése a 43 pontban megtalálható A u ( ) függvén a rú pontjainak aiális iránú elmoulása 1 A húott rú teljes potenciális energiája: Π [ u] = ( ) AE u p u = 0 = 0 A teljes potenciális energia első variációja: δπ [ u δu] = Π [ u αδu] = α 1 AE( u αδu ) p ( u αδu) α = 0 = = = AE( u + αδu ) δu p δu = = 0 = 0 AEu δu p δu = 0 = 0 A teljes potenciális energia másoik variációja: Π = Π = δ [ u δu] [ u u] α αδ = AE ( δu ) = AE ( δu ) = 0 = = 1 ( ) ( ) AE u αδu p u αδu α = 0 = 0 17

18 SZAKIRODAOM [1] Pácelt I: Végeselem-móser a mérnöki gakorlatban Miskolci Egetemi Kiaó 1999 [] Bojtár I Gáspár Zs: Végeselem-móser építőmérnököknek erc Kft Buapest 003 [3] Bathe K J: Finite element proceures Prentice Hall Inc 1996 [4] Sabó B Babuška I: Finite element analsis John Wile & Sons Inc 1991 [5] Altenbach J Fischer U: Finite-element Prais Fachbuchverlag eipig 1991 [6] Matthews F Davies G A O Hitchings D Soutis C: Finite Element moelling of composite materials an structures Woohea t 000 [7] Bunas R G: Avance Strength an Applie Stress Analsis Mc Graww-Hill 1999 [8] M Csimaia B Nánori E: Mechanika Mérnököknek Silárságtan Nemeti ankönvkiaó 1999 [9] Kleiber M: Hanbook of Computational Soli Mechanics Springer Verlag 1998 [10] Argiris J Mleinek H P: Computernamik er ragwerke Die Methoe er Finiten Elemente Ban III Vieweg Verlag 1997 [11] Krätig W B Basar Y: ragwerke 3 heorie un Anwenung er Methoe er Finiten Elemente Springer Verlag 1997 [1] Béa G Koák I Verhás J: Kontinuummechnika Műsaki Könvkiaó 1986 [13] Béa G Koák I: Rugalmas testek mechanikája Műsaki Könvkiaó 1987 [14] Richter W: Numerische ösung partieller Differentialgleichungen mit er Finite- Elemente-Methoe Vieweg Verlag 1986 [15] Simmons J G: enoranalíis ióhéjban Műsaki Könvkiaó 1985 [16] Papastavriis J G: ensor calculus an analtical namics CRC Press 1999 [17] imoshenko S Woinowsk-Krieger S: emeek és héjak elmélete Műsaki Könvkiaó Buapest 1999 [18] Re J N : Mechanics of laminate composite plates an shells heor an Analsis CRC Press 004 [19] Barbero EJ: Finite Element Analsis of Composite Materials CRC Press 008 [0] Berlio A rompette Ph: Soli Mechanics using the Finite Element Metho John Wile & Sons Inc 010 [1] Smith I M Griffiths D V: Programming the Finite Element Metho John Wile & Sons Inc 004 [] Zienkiewic O C alor R: he Finite Element Metho Vol 1: he Basis Butterworth Heinemann 000 [3] Zienkiewic O C alor R: he Finite Element Metho Vol : Soli Mechanics Butterworth Heinemann

19 [4] Beltschko iu W K Moran B: Nonlinear Finite Elements for Continua an Structures John Wile & Sons t 001 [5] ewis R W - Morgan K homas H R Seetharamu K N: he Finite Element Metho in Heat ransfer Analsis John Wile & Sons t 1996 [6] Re J N Gatrling D K: he Finite Element Metho in Heat ransfer an Flui Dnamics CRC Press