Az F er A pontra számított nyomatéka: M A = r AP F, ahol

Átírás

1 Sécheni István Egetem M saki Tudománi Kar lkalmaott Mechanika Tansék LKLMZTT MECHNIK () Mi a mechanika tárga? Elméleti kérdések és válasok MSc képésben réstvev mérnök hallgatók sámára nagi rendserek (testek) heletváltotatással járó mogásainak és a eeket létrehoó hatásoknak (er knek) a visgálata. heletváltoást általánosan értelmeük: magában foglalja testek nugalmi állapotát és alakváltoását is. (2) dja meg általánosan a mechanikai test modell denícióját! lan idealiált test, vag testekb l álló rendser, amelnek a visgálat sempontjából léneges tulajdonságait megtartjuk, a többi tulajdonságát pedig elhanagoljuk. (3) Deniálja a merev test és a silárd test fogalmát! Merev test: lan test modell, amelben bármel két pont távolsága állandó. test pontjainak távolsága terhelés hatására sem váltoik meg. Silárd test: lan test-modell, amel alakváltoásra képes. test pontjainak távolsága terhelés hatására megváltoik. (4) Deniálja anagi pont és anagi pontrendser fogalmát! nagi pont:. def.: nagi tulajdonságokkal rendelke geometriai pont. 2. def.: lan test modell (merev test), amelnek helete egetlen pontjának heletével egértelm en megadható. nagi pontrendser: nagi pontok halmaa (össessége). (5) Mi a er (koncentrált er ) és a er rendser? er eg testnek eg másik testre gakorolt hatása. koncentrált er testek pontser érintkeése esetén jön létre. er rendser valamel sempontból kapcsolatban álló pl. uganarra a testre ható er k halmaa (össessége). (6) Mi a pontra sámított nomaték? Deniálja koncentrált er adott pontra sámított nomatékát! denícióho késítsen magaráó ábrát! r P P r P F pontra sámított nomaték a er nek a adott pont körüli forgató hatása. pontra sámított nomaték vektor menniség. F er pontra sámított nomatéka: r M M = r P F, ahol M a F er pontra sámított nomatéka, r P a pontból a P pontba mutató helvektor és P a koncentrált er támadáspontja.

2 (7) Mi a tengelre sámított nomaték? Értelmee koncentrált er tengelre sámított nomatékát! értelmeéshe késítsen magaráó ábrát! a P r P F M M a a tengelre sámított nomaték a er nek a adott tengel körüli forgató hatása. tengelre sámított nomaték skalár menniség. F er a tengelre sámított nomatéka: M a = M e a, ahol M a a F er a tengelre sámított nomatéka, e a = a/ a a a tengel irán egségvektora és M a er nek a a tengel pontjára sámított nomatéka: M = r P F. (8) dja meg a össefüggést eg er két pontra sámított nomatéka köött! értelmeéshe késítsen magaráó ábrát! M P F B MB = M + r B F, 2 B r BP r B r P M vag M B = M + F r B, ahol és B a tér két tets leges pontja. (9) Mel geometriai alakatokra nem ad a F er nomatékot? Állításait igaolja! bionításokho késítsen magaráó ábrát! r P P r BP F e a b er hatásvonalán lev pontokra. Bionítás: M = r P F = 0, mert r P F. er hatásvonalát mets a tengelre. Bionítás: M a = M e a = 0, mert M = 0. B er hatásvonalával párhuamos b tengelre. Bionítás: M b = M B e b = 0, mert M B mer leges e b = b/ b -re, a b tengel irán egségvektorára és e b párhuamos e -vel, a F er irán egségvektorával. (0) Magaráó ábrával veesse le a tengel egenletének Plücker-vektoros alakját! dja meg a egenletben serepl menniségek jelentését!

3 3 ( r - r ) P P r a a ( r r ), eért a ( r r ) = 0, a r a r = 0. Jelölés: b = a r = r a. r tengel egenlete: a r + b = 0, ahol a a tengel iránvektora és b a a iránvektor pontra sámított nomatéka. () Értelmee általános (sétsórt) er rendser redukált (ered ) vektorkett sét! n Ered er vektor: F () = F i Ered nomatékvektor: M = i= n ( M i + r Pi F i ) i= ahol: n F i M i r Pi a er rendser alkotó koncentrált er k / koncentrált nomatékok sáma, a tér adott pontja, a er rendser i jel koncentrált er vektora, a er rendser i jel koncentrált nomatékvektora, a pontból a er támadáspontjába mutató helvektor. redukált vektorkett s nomatéki tér vonatkoásában egértelm en jellemi a er rendsert. (2) dja meg er pár (koncentrált nomaték) értelmeését, kisámítását és legfontosabb tulajdonságát! Késítsen magaráó ábrát! r P P F - F (3) Értelmee két er rendser egenérték ségét! r r 2 P 2 P 2 Értelmeés: lan speciális er rendser, amel két, aonos nagságú, ellentétes iránú és párhuamos hatásvonalú er b l áll. Kisámítás: M = r P F r P2 F = ( r P r P2 ) F, M = r 2 F = M B. Tulajdonság: Er pár nomatéka a tér bármel pontjára ugananni. Er pár homogén nomatéki vektorteret ho létre. Két er rendser egmással egenértékû, ha aonos nomatéki vektorteret honak létre. Jelölés: (E ) M = (E ) M = jel arra utal, hog a egenl ség a nomatéki tér vonatkoásában áll fenn. (4) dja meg két er rendser egenérték ségének kritériumait!

4 . kritérium: 2. kritérium: 3. kritérium: F = F, M = M, i = M i, M = M, M B = M B, M C = M C, ahol ahol ahol a tér tets leges,, B, C három, nem eg i =, 2,..., 6 egmástól rögített pontja. egenesre es pont. lineárisan független tengel. 4 (5) dja meg a egensúli er rendser értelmeését! Eg er rendser akkor egensúli, ha érus nomatéki vektorteret ho létre. Jelölés: (E) = M (0) = M jel arra utal, hog a egenl ség a nomatéki tér vonatkoásában áll fenn. (6) dja meg eg er rendser egensúlának kritériumait!. kritérium: 2. kritérium: 3. kritérium: F = 0, M = 0, M i = 0, M = 0, MB = 0, M C = 0, ahol ahol ahol a tér tets leges,, B, C három, nem eg i =, 2,..., 6 egmástól rögített pontja. egenesre es pont. lineárisan független tengel. (7) dja meg tengelek lineáris függetlenségének feltételét! a i r + b i = 0, i =, 2,..., 6 tengelek lineárisan függetlenek, ha a a i és b i Plücker vektoraik koordinátáiból felírt determináns nem nulla: det a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 0. (8) Ismertesse a statika f tételét (merev testekb l álló rendser tartós nugalomban maradásának sükséges feltételét)! Eg merev testekb l álló rendser csak akkor lehet tartós nugalomban, ha a rá ható küls er rendser egensúli. (9) Ismertesse a merev testekb l álló rendser tartós nugalomban maradásának elégséges feltételét! Eg merev testekb l álló rendser tartós nugalomban maradásának a a elégséges feltétele, hog a rendser megtámastása ne teg lehet vé a rendser merevtestser mogását.

5 (20) Mi a statika feladata? statika feladata merev testekb l álló rendserek esetén a támastóer k és a bels er k meghatároása statikai egensúli egenletek felhasnálásával. 5 (2) mechanikában milen testeket tekintünk rúdnak? Mi a rúd mechanikai modellje? mechanikában rúdnak olan testet tekintünk, amelnek egik mérete lénegesen nagobb, mint a másik kett. rúd mechanikai modellje a rúd köépvonala (súlponti sála), amelhe a rúd mechanikai viselkedésére jellem menniségeket kötünk. (22) dja meg a rúd kerestmetsetének és köépvonalának denícióját! Milen feltételek teljesülése esetén besélünk primatikus rúdról? kerestmetset a rúd legnagobb méretére mer leges metset. rúd köépvonala a kerestmetsetek súlpontjai által meghatároott vonal. Eg rúd akkor primatikus, ha kerestmetsetei aonos alakúak és aonos térbeli elhelekedés ek. (23) Értelmee rúd igénbevételét! dja meg a rúd + normálisú kerestmetsetében a F S és M S ered vektorkett st! igénbevételek a rúd kerestmetsetén megosló bels er rendser súlpontba redukált ered vektorkett sének skaláris koordinátái. F s = T e T e + N e, M s = M h e M h e + M c e. (24) Semléltesse síkbeli ábrákon a igénbevételek el jelének értelmeését! N >0 >0 M c T, T >0 M h, M h > 0 (25) Semléltesse térbeli ábrákon a igénbevételek el jelének értelmeését! > 0 M h S S > 0 T N > 0 >0 M c > 0 T >0 M h

6 6 (26) Írja fel a síkban terhelt egenes rúd egensúli egenleteit dierenciális alakban! dt d = f (), ahol f () a megosló terhelés s r sége, T () a níróer és M h () a hajlítónomaték. dm h d = T (), (27) Írja fel a síkban terhelt egenes rúd egensúli egenleteit integrál alakban! T () T 0 = 0 f (ζ) dζ, M h () M h0 = 0 T (ζ) dζ, ahol f () a megosló terhelés s r sége, T () és T 0 a níróer a, illetve a 0 pontban, M h () és M h0 a hajlítónomaték a, illetve a 0 pontban. (28) dja meg a tenor értelmeését és tulajdonságait! Értelmeés: tenor homogén, lineáris, vektor-vektor függvén által megvalósított leképeés (hoárendelés): w = f( v) = T v. Tulajdonságok: a) f(λ v) = λf( v), ahol λ tets leges skaláris egüttható, b) f( v + v 2 ) = f( v ) + f( v 2 ). fentiekkel ekvivalens: w = f(λ v + λ 2 v 2 ) = λ f( v ) + λ 2 f( v 2 ) = λ w + λ 2 w 2, ahol λ és λ 2 tets leges skaláris egütthatók. Követkemén: 0 = f( 0), aa, ha v = 0, akkor w = 0. (29) dja meg a T tenor és a T T transponált tenor diadikus értelmeését deréksög descartesi koordináta-rendserben! Tenor: T = ( a e + b e + c e ), Transponált tenor: T T = ( e a + e b + e c), ahol a a e, b a e és c a e vektorok képvektorai. (30) dja meg a simmetrikus és a ferdesimmetrikus tenor értelmeését! Simmetrikus a tenor, ha egenl a transponáltjával: T = T T. Ferdesimmetrikus a tenor, ha egenl a transponáltja mínus egseresével T = T T. (3) Ismertesse a tenorok felbontásának tételét!

7 7 Minden tenor felbontható eg simmetrikus és eg ferdesimmetrikus rés össegére: T = T s + T fs = 2 (T + T T ) + 2 (T T T ). (32) dja meg a mechanikai test modell értelmeését! lan, idealiált tulajdonságokkal rendelke test, amel a valóságos testnek a visgálat sempontjából leglénegesebb tulajdonságait tükröi. test lénegesnek tartott tulajdonságait megtartjuk, a lénegtelennek ítélt tulajdonságokat pedig elhanagoljuk. (33) Mi a silárdságtan? terhelés el tt és terhelés után is tartós nugalomban lev, alakváltoásra képes testek kinematikája, dinamikája és anagserkeeti viselkedése. (34) Deniálja a alakváltoás fogalmát! lakváltoásról besélünk, ha terhelés hatására a test pontjai egmásho képest elmodulnak és anagi geometriai alakatai (pl. hoss, sög, felület, térfogat) megváltonak. (35) Milen esetben besélünk rugalmas, illetve képléken alakváltoásról? Rugalmas a alakváltoás, ha a terhelés hatására alakváltoott test a terhelés megsüntetése (a tehermentesítés) után vissaneri eredeti alakját. Képléken a alakváltoás, ha a terhelés hatására alakváltoott test a tehermentesítés után nem neri vissa eredeti alakját. (36) dja meg a kis elmodulások és a kis alakváltoások értelmeését! Kis elmodulás esetén a test pontjainak elmodulása nagságrendekkel kisebb a test jellem geometriai méreteinél. Kis alakváltoások esetén a test alakváltoását jellem menniségek lénegesen kisebbek, mint eg: ε, γ. (37) dja meg a alakváltoási jellem k értelmeését! a) ε, ε, ε - fajlagos núlások. Pl. a ε a egségni, iránú hossnak a terhelés hatására bekövetke megváltoása. ε akkor poitív, ha a egségni hoss a terhelés hatására megnöveksik. b) γ = γ, γ = γ, γ = γ - fajlagos sögtorulások. Pl. a γ a egmással 90 o -os söget beáró és iránok sögének a terhelés hatására bekövetke megváltoása. γ akkor poitív, ha a 90 o -os sög a terhelés hatására csökken.

8 (38) dja meg a alakváltoási tenor denícióját diadikus alakban és írja fel a alakváltoási tenor mátriát deréksög descartesi koordináta-rendserben! a) alakváltoási tenor diadikus alakban: = ( α e + α e + α e ), ahol a alakváltoási vektorok a alábbi alakúak: és a diadikus sorás jele. b) alakváltoási tenor mátria: [ ] = α = ε e + 2 γ e + 2 γ e, α = 2 γ e + ε e + 2 γ e, α = 2 γ e + 2 γ e + ε e ε 2 γ 2 γ ε 2 γ 2 γ 2 γ 2 γ ε (39) Semléltesse a alakváltoási tenort a elemi triéderen!. 8 e e γ 2 P γ 2 γ γ 2 2 ε ε γ γ 2 e 2 (40) Hogan sámíthatók a alakváltoási tenorból a adott n és m ( n m = 0) egségvektorokkal megadott iránokho tartoó fajlagos núlások és sögtorulások? fajlagos núlások sámítása: ε n = n n, ε m = m m. fajlagos sögtorulások sámítása: 2 γ nm = 2 γ mn = n m = m n. össefüggésekben a skaláris sorás jele. ε (4) dja meg a alakváltoási f tengelek és f núlások értelmeését! Ha α e = ε e e és minden m e-re fennáll, hog γ me = 2 m α e = 0, akkor e alakváltoási f tengel (alakváltoási f irán) és ε e f núlás. Megjegések: - ε e is lehet érus ( α e = 0), - Minden P pontban léteik legalább három f irán, amelek kölcsönösen mer legesek egmásra. (42) Mi a fesültség? fesültségvektor a testben terhelés hatására fellép, felület mentén megosló bels er rendser s r ségvektora. (43) Hogan sámíthatók ki a fesültségvektor össetev i? össetev kre bontást ábrán is semléltesse!

9 9 n σ n ρ n l normál fesültségi össetev : σ n = σ n n = ( n ϱ n ) n. P τ n csústató fesültségi össetev : τ n = ϱ n σ n n = ( n ϱ n ) n. m (44) Hogan sámíthatók ki a fesültségvektor koordinátái? koordinátákra bontást ábrán is semléltesse! n σ n ρ n l normálfesültség koordináta: σ n = n σ n = ( n ϱ n ). τ mn τ ln m csústató fesültségi koordináták: τ mn = m ϱ n = m τ n, τ ln = l ϱ n = l τ n. (45) dja meg a fesültségi tenor denícióját diadikus alakban és írja fel a fesültségi tenor mátriát deréksög descartesi koordináta-rendserben! a) fesültségi tenor diadikus alakban: F = ( ϱ e + ϱ e + ϱ e ), ahol a fesültségi vektorok a alábbi alakúak: b) fesültségi tenor mátria: [ F ] = ϱ = σ e + τ e + τ e, ϱ = τ e + σ e + τ e, ϱ = τ e + τ e + σ e. σ τ τ τ σ τ τ τ σ (46) Semléltesse a fesültségi tenort a elemi kockán! σ. τ σ τ τ τ τ τ σ

10 0 (47) Hogan sámíthatók a fesültségi tenorból a adott n normálisú síkon fellép σ n és τ mn fesültség koordináták? normál fesültségi koordináta: σ n = n ϱ n = n T n. csústató fesültségi koordináta: τ mn = τ nm = m ϱ n = n T m = m T n. össefüggésekben a skaláris sorás jele. (48) dja meg a fesültségi f iránok és f fesültségek értelmeését! Ha a e egségvektorra elemi felületen τ e = 0 és ebb l követke en ϱ e = σ e e, akkor a e fesültségi f tengel (fesültségi f irán) és σ e f fesültség, valamint a e-re elemi felület síkja f fesültségi sík. Megjegések: - σ e is lehet érus ( ϱ e = 0). - Minden P pontban léteik legalább három f irán, amelek kölcsönösen mer legesek egmásra. (49) Milen esetben besélünk primatikus rúdról?. deníció: Primatikus rúdról abban a esetben besélünk, ha a rúd kerestmetseteinek a alakja és térbeli elhelekedése a rúd hossa mentén nem váltoik. 2. deníció: Primatikus a a egenes köépvonalú rúd, amelnek kerestmetsetei állandó alakúak és a köépvonal mentén párhuamos eltolással egmásba tolhatók. (50) dja meg a homogén, iotróp, lineárisan rugalmas test (anag) denícióját! Homogén: anagi tulajdonságok a test minden pontjában aonosak. Iotróp: anagi tulajdonságok nem függnek a irántól. Lineárisan rugalmas: Ha a fesültségek és a alakváltoási jellem k köött lineáris függvénkapcsolat áll fenn. (5) Írja fel a egser Hooke törvént húás-nomásra! σ = Eε és ε = ε = ε k = νε. ahol: - σ a köépvonal iránú normálfesültség, - ε a köépvonal iránú fajlagos núlás, - ε = ε = ε k a kerestiránú fajlagos núlás, - E a (Young-féle) rugalmassági modulus, - ν a Poisson téne. (52) Fogalmaa meg általánosan a silárdságtani méreteés feladatát rúdserkeetek esetén! dott: rúd anaga és terhelése (igénbevételei). Feladat: rúd kerestmetseti méreteinek meghatároása úg, hog a rúd a adott terhelést kell (megfelel ) bitonsággal elviselje. (53) Fogalmaa meg általánosan a silárdságtani ellen rés feladatát rúdserkeetek esetén!

11 dott: a rúd anaga, kerestmetsetének méretei és terhelése (igénbevételei). Feladat: nnak eldöntése, hog a rúd a adott terhelést kell (megfelel ) bitonsággal elviseli-e. (54) Írja fel a P ponti fesültségi tenort és adja meg a benne serepl fesültség koordináták, valamint a l hossúságú rúd rugalmas alakváltoási energiájának kisámítási módját primatikus rúd húás-nomása esetén! fesültségi tenor mátria: [ F ] = σ. normálfesültség kisámítása: σ = N, ahol: N a rúder és a kerestmetset területe. N 2 rugalmas alakváltoási energia: U = 2 E l, ahol: E a rugalmassági modulus. (55) Írja fel a P ponti fesültségi tenort és adja meg a benne serepl fesültség koordináták, valamint a l hossúságú rúd rugalmas alakváltoási energiájának kisámítási módját primatikus, kör- és körg r kerestmetset rúd csavarása esetén! fesültségi tenor mátria Rϕ henger koordináta-rendserben: [ ] F = τ ϕ. Rϕ 0 τ ϕ 0 csústató fesültség kisámítása: τ ϕ = τ ϕ = M c R, I p ahol: M c a csavaró nomaték, I p a kerestmetset poláris másodrend nomatéka és R a P pont súlponttól mért távolsága. M 2 c rugalmas alakváltoási energia: U = 2 I p G l, ahol: G a csústató rugalmassági modulus. (56) dja meg a I p poláris másodrend nomaték értelmeését és kisámítását kör- és körg r kerestmetsetre! Értelmeés: I p = R 2 d. () Kisámítás: kör kerestmetsetre: I p = d4 π 32, körg r kerestmetsetre I p = (D4 d 4 )π 32 (57) dja meg primatikus rúd tista hajlításának a értelmeését és ismertesse a Bernoulli hipotéist! Tista hajlítás: ha a visgált rúdsakason a igénbevétel kiárólag hajlítónomaték..

12 Bernoulli hipotéis: Tista hajlítás esetén a rúd deformált kerestmetsetei síkok maradnak, a kerestmetsetek síkjában nem lép fel sögtorulás és a kerestmetsetek a alakváltoás után is mer legesek maradnak a rúd alakváltoott S ponti sálára. 2 (58) Milen esetben besélünk egenes hajlításról és ferde hajlításról? Egenes hajlítás: Ha a M S hajlító nomaték párhuamos a kerestmetset valamelik S ponti tehetetlenségi f tengelével. Ferde hajlítás: Ha a M S hajlító nomaték nem párhuamos a kerestmetset egik S ponti tehetetlenségi f tengelével sem. (59) Írja fel a P ponti fesültségi tenort és adja meg a benne serepl fesültség koordináták, valamint a l hossúságú rúd rugalmas alakváltoási energiájának kisámítási módját primatikus rúd tista, egenes hajlítása esetén! fesültségi tenor mátria: [ F ] = σ. normálfesültség kisámítása: σ = M h I, ahol: - M h a hajlító nomaték iránú koordinátája, - I a kerestmetset tengelre sámított másodrend nomatéka és - a P pont tengelt l mért el jeles távolsága. ( tengel a kerestmetset S ponti tehetetlenségi f tengele.) M 2 h rugalmas alakváltoási energia: U = 2 I E l, ahol: E a rugalmassági modulus. (60) Értelmee kerestmetset tengelre, tengelpárra és pontra sámított másodrend (tehetetlenségi) nomatékát! d és tengelekre sámított másodrend nomatékok: I = 2 d > 0, I = 2 d > 0. () () r, tengelpárra sámított másodrend nomaték: I = I = d = d. () () pontra sámított másodrend nomaték: I 0 = ( r) 2 d = ( ) d = I + I > 0 () () (6) Írja fel a kerestmetset S ponti tehetetlenségi tenorának mátriát és adja meg a mátri elemeinek értelmeését!

13 3 tehetetlenségi tenor a kerestmetset S súlpontjáho kötött ξ, η koordinátarendserben: [ ] [ ] Iξ I I S = ξη I ηξ I η tenor elemeinek értelmeése: I ξ = η 2 d, I η = ξ 2 d, I ξη = ξηd. () () () (62) S ponti ξ, η koordináta-rendserbeli I S tehetetlenségi tenor ismeretében hogan sámíthatók ki a S ponti n és m tengelekre és a n, m tengelpárra sámított I n, I m, I nm tehetetlenségi nomatékok? m e m η α S. α e n ξ n n és m tengelekre sámított másodrend nomatékok: I n = e n I S e n, I m = e m I S e m. n, m tengelpárra sámított másodrend nomaték: I nm = I mn = e n I S e m = e m I S e n. össefüggésekben e n és e m a n és m iránú egségvektorok: e n = cos α e ξ + sin α e η, e m = sin α e ξ + cos α e η. (63) Írja fel a kerestmetset tehetetlenségi nomatékaira vonatkoó Steiner-tételt tenoriális és skaláris alakban! η ξ d { } η S } { ξ tenoriális alak: I = I S + I S, [ ] [ ahol: I S = skaláris alak: I = I ξ + S 2, I = I η + S 2, I = I ξη + S S. ] 2 S S S 2. S S S (64) dja meg kerestmetset tehetetlenségi f tengeleinek és f tehetetlenségi nomatékainak a értelmeését! Tehetetlenségi f tengel a n és m tengel (n m), ha a n, m tengelpárra sámított nomatékok eltünnek: I nm = I mn = 0. F tehetetlenségi nomatékok a n és m tehetetlenségi f tengelekre sámított I n és I m másodrend nomatékok.

14 (65) Írja fel a silárd testre vonatkoó egensúli egenletet koordináta rendsert l független vektoriális alakban és adja meg a skaláris egenleteket,, deréksög descartesi koordináta-rendserben! Vektoriális alak: F + q = 0, ahol: F a fesültségi tenor, a Hamilton-féle dierenciál operátor és q a térfogati terhelés s r ségvektora. Skaláris egenletek,, koordináta-rendserben: 4 σ + τ + τ + q = 0, τ + σ + τ + q = 0, τ + τ + σ + q = 0. (66) dja meg a derivált tenorme és a elmodulásme, a alakváltoási tenorme és a elmodulásme, valamint a forgató tenorme és a elmodulásme kapcsolatát koordináta rendsert l független alakban! derivált tenor: D = u, alakváltoási tenor: = ( u + u), 2 forgató tenor: Ψ = ( u u), 2 ahol: u a elmodulási vektorme, a Hamilton-féle dierenciál operátor és a diadikus sorás jele. (67) Írja fel a alakváltoási jellem k és a elmodulás-koordináták köötti kapcsolatot skaláris alakban! ε = u, ε = v, ε = w, γ = u + v, γ = w + v, γ = u + w. (68) Írja fel a általános Hooke törvén iotróp anagra vonatkoó mindkét tenoriális alakját és adja meg a egenletekben serepl menniségek jelentését! = 2G (F νf I + ν E), F = 2G( + ν I 2ν E), ahol: a alakváltoási tenor,

15 5 F a fesültségi tenor, E a egség tenor, G a csústató rugalmassági modulus, ν a Poisson téne, F I a fesültségi tenor els skalár invariánsa és I a alakváltoási tenor els skalár invariánsa. (69) Veesse le a E rugalmassági modulus és a G csústató rugalmassági modulus köötti kapcsolatot! Egtengel fesültségi állapot esetén: ε = ε = νε. egser Hooke törvén: σ = Eε. általános Hooke törvén: σ = 2G[ε + ν 2ν (ε + ε + ε )] = = 2G[ε + ν 2ν ( νε νε + ε )] =. = 2G[ε + νε )] = 2G( + ν)ε. egser és a általános Hooke törvént össevetve: E = 2G( + ν). (70) dja meg a redukált (egenérték ) fesültség denícióját! lan fesültség, amel a pontbeli fesültségi állapotot tönkremenetel sempontjából egértelm en jellemi. redukált fesültség beveetésével a tets leges térbeli fesültségi állapotot egtengel fesültségi állapotra veetjük vissa. (7) Hogan értelmeük a Coulomb-féle redukált fesültséget? σ red (Coulomb) = σ ma = ma( σ, σ 3 ), ahol: σ a legnagobb, σ 3 pedig a legkisebb fesültség. Coulomb serint a pontbeli fesültségi állapotot károsodás sempontjából a legnagobb absolút érték normál fesültség jellemi. (72) Hogan értelmeük a Mohr-féle redukált fesültséget? σ red (Mohr) = σ σ 3, ahol: σ a legnagobb, σ 3 pedig a legkisebb f fesültség. Mohr serint a pontbeli fesültségi állapotot károsodás sempontjából a legnagobb Mohr kör átmér je jellemi. (73) Hogan értelmeük a Huber-Mises-Henck-féle redukált fesültséget? vag σ red (HMH) = 2 [(σ σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ ) 2 ],

16 σ red (HMH) = 2 [(σ σ ) 2 + (σ σ ) 2 + (σ σ ) 2 + 6(τ 2 + τ 2 + τ 2 )], ahol: σ, σ 2, σ 3 f fesültségek, σ, σ, σ normál fesültségek, τ, τ, τ csústató fesültségek. Huber-Mises-Henck-féle redukált fesültség négete arános a u T fajlagos torulási energiával. 6 (74) dja meg a redukált fesültség sámításának módját abban a esetben, amikor eg pontbeli fesültségi állapotot eg normál fesültség és eg (vele aonos síkon fellép ) csústató fesültség jellemi! ahol: Mohr esetében β = 4 és σ red = σ 2 + βτ 2, Huber-Mises-Henck esetében β = 3. (75) dja meg ferde hajlítás esetén a érusvonal értelmeését és írja fel a érusvonal egenletét! Zérusvonal: kerestmetset aon pontjai, ahol σ = 0. érusvonal egenlete: σ = 0 = M h + M h, vag = M h I, I I M h I ahol: M h, M h a, tehetetlenségi f tengel iránú hajlítónomatéki koordináták, I, I a, tehetetlenségi f tengelekre sámított másodrend nomatékok. (76) Írja fel a P ponti fesültségi tenort és adja meg a benne serepl fesültség koordináták kisámítási módját primatikus rúd ferde hajlítása esetén! fesültségi tenor mátria: [ F ] = σ. normál fesültség kisámítása: σ = M h + M h, I I ahol: M h, M h a, tehetetlenségi f tengel iránú hajlítónomatéki koordináták és I, I a, tehetetlenségi f tengelekre sámított másodrend nomatékok. (77) dja meg a ferde hajlítás mindkét értelmeését! Ha a M S nomatékvektor nem párhuamos a egik S ponti tehetetlenségi f tengellel sem. Ha a M S nomatékvektor nem párhuamos a érusvonallal.

17 7 (78) Írja le primatikus rúd hajlítás-nírásánál alkalmaott feltételeéseket! - σ úg sámítható, mint tista hajlítás esetén. - τ egensúli feltételb l határoható meg. - és tengelek a kerestmetset S ponti tehetetlenségi f tengelei. - tengelen fellépõ τ fesültségek a tengelen eg pontban mets dnek. - Minden tengellel párhuamos egenes mentén a τ állandó. (79) Írja fel a P ponti fesültségi tenort és adja meg a benne serepl fesültség koordináták kisámítási módját primatikus rúd hajlítás-nírása esetén! fesültségi tenor mátria: [ F ] = 0 0 τ 0 0 τ τ τ σ. normál fesültség kisámítása: σ = M h I, ahol: M h a tehetetlenségi f tengel iránába mutató hajlítónomaték, I a tehetetlenségi f tengelre sámított másodrend nomaték. τ csústató fesültség kisámítása: τ = T S () I a(), ahol: T a tengel iránú níróer, S () a kerestmetset = áll. egenes fölé (alá) es résének a tengelre sámított statikai nomatéka, a() a kerestmetsetbe mets = áll. egenes hossa. τ csústató fesültség kisámítása abból a feltételb l történik, hog a τ fesültségek a tengelen eg pontban mets dnek. (80) Hogan sámítható ki rúdserkeetek alakváltoási energiája általános esetben? U = u dv = U }{{} N + U }{{} Mh + U }{{} C + U }{{} T. (V ) Ha U T 0, akkor U = 2 húás-nomási hajlítási csavarási nírási alakváltoási alakváltoási alakváltoási alakváltoási energia energia energia energia (l) (8) Ismertesse a Castigliano tételt! ( N 2 E + M h 2 I E + M h 2 I E + M ) c 2 I p G. alak: u i = U F i. serkeetet terhel F i er támadáspontjának a F i er iránába es u i elmodulása egenl a serkeet U alakváltoási energiájának a F i er serint vett deriváltjával. 2. alak: ψ i = U M i. serkeetet terhel M i nomaték kerestmetsetének a M i nomaték irána körüli ψ i sögelfordulása egenl a serkeet U alakváltoási energiájának a M i nomaték serint vett deriváltjával. ds.

18 8 (82) Mikor statikailag határoott eg serkeet? Ha a ismeretlen támastó és bels er koordináták sáma egenl a serkeetre felírható, egmástól független skaláris statikai egensúli egenletek sámával. Ha a serkeet támastó és bels er rendserének skaláris koordinátái statikai egensúli (vetületi és nomatéki) egenletekb l meghatárohatók. (83) Mikor statikailag határoatlan eg serkeet? Ha a ismeretlen támastó és bels er koordináták sáma nagobb, mint a serkeetre felírható, egmástól független skaláris statikai egensúli egenletek sáma. Ha a serkeet támastó és bels er rendserének skaláris koordinátái statikai egensúli (vetületi és nomatéki) egenletekb l nem határohatók meg. (84) Írja le a statikailag határoatlan tartóserkeetek támastóer i meghatároásának gondolatmenetét! - serkeet statikailag határoottá tétele (törstartó). - alakváltoási (geometriai) korlátoási egenlet felírása. - alakváltoási korlátoásból a Castigliano tétellel a plus támastóer koordináta meghatároása. - Statikai egensúli egenletekb l a többi támastóer koordináta meghatároása. (85) dja meg a sík-alakváltoási állapot denícióját! Ha a testnek van eg olan kitüntetett síkja, amellel párhuamos valamenni sík alakváltoása aonos és alakváltoás köben a síkok távolsága nem váltoik. (86) Írja fel fesültségi és a alakváltoási tenort sík-alakváltoási állapot esetén! [ fesültségi tenor: F (, ) ] = σ τ 0 τ σ σ [ alakváltoási tenor: (, ) ] ε 2 γ 0 = 2 γ ε (87) dja meg a általánosított sík-fesültségi állapot denícióját! Általánosított sík-fesültségi állapotban a saját síkjukban terhelt lemeek vannak. leme olan test, amelnek egik mérete a másik két kiterjedéséhe képest kicsi és értelmehet köépsík. terhelés vastagság menti ered je a leme köépsíkjában m ködik. (88) Írja fel fesültségi és a alakváltoási tenort általánosított sík-fesültségi állapot esetén! [ fesültségi tenor: F (, ) ] = σ τ 0 τ σ

19 alakváltoási tenor: [ (, ) ] = ε 2 γ 0 2 γ ε ε. 9 (89) Írja fel általánosított sík-fesültségi állapot esetén a átlagos fesültségek értelmeését! σ (, ) = σ (,, ) d, σ (, ) = σ (,, ) d, b (b) b (b) τ (, ) = τ (,, ) d. b (b) (90) Hogan kell felvenni sík alakváltoásnál és általánosított sík fesültségi állapotnál a fesültségfüggvént és hogan sármatathatók a fesültségek a fesültségfüggvénb l? fesültségfüggvént úg kell felvenni, hog a bel le sámított fesültségek kielégítsék a egensúli egenleteket. σ (, ) = 2 χ(, ), σ 2 (, ) = 2 χ(, ), τ 2 (, ) = 2 χ(, ). (9) dja meg anagi pont mogástörvénének (mogásfüggvénének) és pálájának denícióját! pálagörbe P P(t) mogástörvén a a r = r(t) helvektor - id (vektor - skalár) függvén, amel a anagi pont pillanatni heletét meghatároa. P 0 r ( t 0 ) r ( t ) r (t) nagi pont pálája a a térgörbe, amelen a pont a mogás során végig halad. (92) dja meg a s=s(t) ívkoordináta értelmeését! s ívkoordináta eg adott ked ponttól, a pálagörbe mentén mért el jeles távolság (el jeles ívhoss), amel a tömegpont helét a pálagörbén egértelm en megadja. (93) Értelmee anagi pont pálagörbéjének eg tets leges pontjában a t, n, b kísér triédert!

20 20 pálagörbe s P b t n - érint iránú egségvektor: t = d r ds, t =. - f normális egségvektor: d t ds = κ n = n, n =. ϱ - binormális egségvektor: b = t n, b =. s - ívkoordináta (el jeles ívhoss), κ - a pálagörbe görbülete, ϱ - a pálagörbe görbületi sugara. (94) dja meg anagi pont v (t) sebességfüggvénének, valamint pillanatni sebességvektorának értelmeését és írja le a pillanatni sebességvektor tulajdonságait! sebességfüggvén a mogástörvén (mogásfüggvén) id serint vett els deriváltja: v(t) = r(t) = d r(t). dt pillanatni sebességvektor a sebesség-függvén eg adott id pillanatban felvett értéke: v = v(t ). pillanatni sebességvektor tulajdonságai: - vektor menniség, - irána megegeik a pálagörbe érint jének iránával. (95) Bionítsa be, hog anagi pont sebességvektorának irána megegeik a pálagörbe érint jének iránával! Bionítás: v(t) = d r dt = d r ds }{{} ds dt = v(t) t. t s - a pálagörbe mentén mért ívkoordináta, t - a pálagörbe érint egségvektora, v(t) - a pálasebesség. (96) Értelmee anagi pont elmodulásvektorát és köepes sebességét! pálagörbe t r r r 2 t 2 v k - elmodulás-vektor: r = r 2 r. - elmodulásvektor a anagi pont t id pillanatban elfoglalt heléb l a t 2 id pillanatbeli heletébe mutató helvektor. - köepes sebesség: v k = r t = r 2 r. t 2 t - elmodulásvektor és a köepes sebességvektor is eg adott id -intervallumra vonatkoik.

21 (97) Értelmee anagi pont pála menti sebességét (pálasebességét) és írja le a tulajdonságait! pála menti sebesség a pálagörbe mentén mért ívkoordináta id serint vett els deriváltja: v(t) = ds(t). dt Tulajdonságai: - (el jeles) skalár menniség, - el jelét a s ívkoordináta iránítása dönti el, el jele a t iránára vonatkoik (a pálasebesség akkor poitív, ha a ívkoordináta n ). (98) dja meg anagi pont gorsulásfüggvénének, valamint pillanatni gorsulásvektorának értelmeését és írja le a pillanatni gorsulásvektor tulajdonságait! gorsulásfüggvén a sebességfüggvén id serint vett els deriváltja, illetve a mogásfüggvén (mogástörvén) id serint vett második deriváltja: a(t) = v(t) = d2 r(t) dt 2. pillanatni gorsulásvektor a gorsulásfüggvén eg adott id pillanatban felvett értéke: a = a(t ). pillanatni gorsulásvektor tulajdonságai: - vektormenniség, - a pálagörbe simulósíkjába esik és a pálagörbe t érint je és n f normálisa iránába es össetev kb l áll. (99) Bionítsa be, hog anagi pont gorsulásvektora a pálagörbe t, n simulósíkjába esik! a = a(t) = d dt [v(t) t(t)] = dv(t) dt t + v(t) d t ds = dv }{{} ds }{{} dt dt t + v2 ϱ n. n v(t) ϱ (00) dja meg a anagi pont gorsulásvektora koordinátáinak elneveését, kisámítási módját és ikai tartalmát a pálagörbe t, n, b termésetes koordináta-rendserében! Elneveés: Kisámítási mód: Fiikai tartalom: Pála menti gorsulás a t (t) = dv(t) sebességvektor nagságának dt (Pálagorsulás) váltoását jellemi. 2 Normális gorsulás a n (t) = v2 ϱ sebességvektor iránának váltoását jellemi. (0) dja meg a merev test sebességállapotának értelmeését! Milen menniségekkel adható meg egértelm en merev test sebességállapota? Merev test sebességállapota eg adott id pillanatban a merev test össes pontjáho tartoó sebességvektorok halmaa. Megadás: - a test pillanatni ω sögsebességével, - a test eg adott pontjának pillanatni v sebességével.

22 22 (02) dja meg eg adott id pillanatban a merev test két pontjának sebességvektora köötti össefüggést! v ω B r B v B v B = v + ω r B, ω - a test pillanatni sögsebessége, v, v B - a és B pontok pillanatni sebessége, r B - a pontból a B pontba mutató helvektor. (03) dja meg eg adott id pillanatban a merev test két pontjának gorsulásvektora köötti össefüggést térbeli mogás és síkmogás esetén! a ε ω B r B a B Térbeli mogás: a B = a + ε r B + ω ( ω r B ), ε - a test pillanatni söggorsulása, ω - a test pillanatni sögsebessége, a, a B - a és B pontok pillanatni gorsulása, r B - a pontból a B pontba mutató helvektor. Síkmogás: a B = a + ε n R B ω 2 RB, n - a sík normális egségvektora, R B - a r B helvektor síkba es össetev je. (04) dja meg a merev test gorsulásállapotának értelmeését! Milen menniségekkel adható meg egértelm en merev test gorsulásállapota? Merev test gorsulásállapota eg adott id pillanatban a merev test össes pontjáho tartoó gorsulásvektorok halmaa. Megadás: - a test ε pillanatni söggorsulásával, - a test ω pillanatni sögsebességével, - a test eg adott pontjának a pillanatni gorsulásával. (05) Értelmee a test tömegét és a test pontra sámított statikai nomatékát! Késítsen magaráó ábrát! V dv ρdv = dm test tömege a test tehetetlenségének mér sáma: m = dm = ρ dv. (V ) r test pontra sámított statikai nomatéka: S = r dm = r ρ dv. (V )

23 23 (06) Értelmee a test koordináta síkokra sámított statikai nomatékát! Késítsen magaráó ábrát! V dv ρdv = dm r koordináta síkokra sámított statikai nomatékok: S = dm = ρ dv = S e, (V ) S = dm = ρ dv = S e, (V ) S = dm = ρ dv = S e, (V ) ahol: S a test pontra sámított statikai nomatéka, e, e, e a síkok normális egségvektorai. (07) dja meg a össefüggést eg merev test két pontra sámított statikai nomatéka köött! S B = S m r B, vag SB = S + m r B ahol és B a tér két tets leges pontja, merev test esetén: m = dm = (V ) ρ dv. (08) Deniálja merev test T tömegköéppontját és adja meg a tömegköéppont helvektorának kisámítási módját! Milen esetben esik egbe a tömegköéppont a súlponttal? - tömegköéppont a a pont, amelre sámított statikai nomaték érus. - tömegköéppont helvektora: r T = r T = S m, ahol a koordináta-rendser ked pontja, m a rendser tömege és S a koordináta-rendser ked pontjára sámított statikai nomaték. - tömegköéppont akkor aonos a súlponttal, ha a gravitációs gorsulás állandó. (09) Értelmee merev test pontra és a koordináta-rendser tengeleire sámított tehetetlenségi nomatékát! dja meg a pontra és a tengelre sámított tehetetlenségi nomatékok legfontosabb tulajdonságát! m dm Pontra sámított: J = r 2 dm = ( )dm. r koordináta tengelekre sámított nomatékok: J = ( )dm - tengelre sámított, J = ( )dm - tengelre sámított, J = ( )dm - tengelre sámított. Tulajdonság: J 0, J a 0. (0) Értelmee merev test koordináta-síkpárokra sámított tehetetlenségi nomatékát!

24 24 m dm koordináta-síkpárokra sámított nomatékok: r J = J = J = ()dm - a []-[] síkpárra sámított, ()dm - a []-[] síkpárra sámított, ()dm - a []-[] síkpárra sámított. () dja meg a merev test S súlponti e tengelre sámított tehetetlenségi vektorának, valamint tehetetlenségi tenorának értelmeését és írja fel a tenor mátriát a S pontho kötött ξ, η, ζ koordináta-rendserben! m ξ e S η ζ dm ρ ζ ξ η Tehetetlenségi vektor értelmeése: J e = ϱ ( e ϱ)dm. Tenor értelmeése: J S = [ϱ 2 E ϱ ϱ]dm = ( J ξ e ξ + J η e η + J ζ e ζ ). tenor mátria: [ ] J S = J ξ J ξη J ξζ J ηξ J η J ηζ. J ζξ J ζη J ζ (2) Hogan sámíthatók ki a J S súlponti tehetetlenségi tenor, valamint a n és a m irán egségvektorok ismeretében a J n tengelre és a J nm síkpárra sámított tehetetlenségi nomaték? J n = n J S n, J nm = J mn = n J S m = m J S n (3) Írja fel merev test tehetetlenségi tenorára a Steiner tételt! Steiner tétel össefüggést ad meg a egmással párhuamos S súlponti és tets leges ponti tengelekre (és síkpárokra) sámított tehetetlemségi nomatékok köött. m ξ S r S ζ dm ρ r η Tenoriális alak: J = J S + J S. Skaláris alak: J = J ξ + m( 2 S + 2 S ) = J ξ + m(η 2 S + ζ2 S ), J = J η + m( 2 S + 2 S ) = J ξ + m(ξ 2 S + ζ2 S ), J = J ζ + m( 2 S + 2 S ) = J ζ + m(ξ 2 S + η2 S ), J = J ξη + m S S = J ξη + mξ S η S, J = J ηζ + m S S = J ηζ + mη S ζ S, J = J ξζ + m S S = J ξζ + mξ S ζ S.

25 (4) dja meg a impulus vektorrendser ered vektorkett sének értelmeését merev test esetén! 25 m I V dv v ρdv = dm r Merev test esetén: ered impulus vektor: I = vdm. Π ered impulus-nomaték (perdület) vektor: Π = r vdm. (5) Hogan sámítható ki a impulus vektorrendser S súlponti ered vektorkett se merev test esetén! ered impulus vektor kisámítása: I = m v S. ered impulus-nomaték (perdület) vektor kisámítása: ΠS = J S ω. m - a test tömege, v S - a test S súlpontjának sebességvektora, ω - a test sögsebességvektora, J S - a test S ponti tehetetlenségi tenora. (6) Hogan sámítható ki a impulus vektorrendsernek a test tets leges pontjára sámított ered vektorkett se! ered impulus vektor kisámítása: I = m v S. ered impulus-nomaték (perdület) vektor kisámítása: Π = J ω + r S m v. m - a test tömege, v S - a test S pontjának sebességvektora, v - a test pontjának sebességvektora, ω - a test sögsebességvektora, J - a test ponti tehetetlenségi tenora. (7) dja meg a kinetikai (mogási) energia értelmeését merev test esetén! m dm v Merev test esetén: E = v 2 dm > 0. mogási energia poitív skalár menniség. (8) Hogan sámítható ki merev test kinetikai (mogási) energiája a sögsebesség és a impulus vektorrendser ered vektorkett sének felhasnálásával? tets leges ponti vektorkett ssel: E = 2 ( v I + ω Π ), S súlponti vektorkett ssel:

26 26 E = 2 ( v S I + ω Π S ), E = 2 mv2 S + 2 J sω 2, vag ahol J s = ω ( ω J ω) 2 a test ω-val párhuamos S ponti S tengelére sámított tehetetlenségi nomaték. (9) Hogan sámítható ki merev testre ható er k teljesítméne? ω M i F i Merev testre ható er k teljesítméne: ( F i v i + M i ω), vag m Pi v i P = P K = i P = P K = F v + M ω, ahol F - a küls er rendser ered er je, v - a test pontjának sebessége, M - a küls er rendsernek a pontra sámított nomatéka, ω - a test sögsebessége. (20) Hogan sámítható ki tömegpontra, illetve merev testre ható er rendser munkája? tömegpontra ható er rendser munkája: t 2 t 2 r2 W 2 = P dt = F vdt = t t r F - a er rendser ered je, F d r, merev testre ható er rendser munkája: t 2 t 2 v - a tömegpont sebessége. W 2 = P dt = ( F v + M ω)dt, t t F - a küls er rendser ered er je, M - a küls er rendser pontra sámított nomatéka, ω - a test sögsebessége. v - a test pontjának sebessége, (2) Ismertesse a dinamika alaptörvénét, valamint a ebb l követke impulus- és perdülettétel dierenciális alakját merev test (vag tömegpont-rendser) S súlpontjára, illetve tets leges pontjára felírva! Merev test, (vag tömegpont-rendser) impulusának id serinti els deriváltja egenl a merev testre (vag tömegpont-rendserre) ható küls er rendser ered jével. Merev test S pontjára sámított perdületvektor id serinti els deriváltja egenl a testre ható er rendser S pontra sámított nomatékával. S pont: pont: Impulus tétel: I = m a S = F, I = m a S = F, Perdülettétel: Π S = J S ε + ω Π S = M S, Π = J ε + ω J ω + m r S a = M. (22) Ismertesse a mechanikai energia-tételt és a mechanikai munka-tételt!

27 27 Energia-tétel: rendser kinetikai energiájának id serinti deriváltja (id serinti megváltoása) egenl a rendserre ható küls és bels er k teljesítménével. Ė = P K + P B = P Munka-tétel: rendser kinetikai energiájának <t, t 2 > id intervallum alatti megváltoása egenl a rendserre ható küls és bels er knek a <t, t 2 > id intervallum alatt végett munkájával. E 2 E = W K2 + W B2 = W 2