- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.

Átírás

1 2 LPFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk: - slárd hlmállpotú testek mechnkájáról és - foldékok és gáok mechnkájáról tntárg slárd hlmállpotú testek mechnkájávl fogllkok lklmott (mérnök/műsk) mechnk tárg: mechnk áltlános törvénenek és eljárásnk lklmás slárd hlmállpotú testekből álló rendserek/serkeetek mérnök feldtnk megoldásár Test/serkeet: objektum mt vsgálunk lklmott mechnk résterülete: - Sttk: nuglombn levő ng pontok és merev testek mechnkáj - Slárdságtn: nuglombn levő slárd testek mechnkáj - Knemtk: feldt ng pontok és merev testek mogásánk leírás - Dnmk: feldt ng pontok és merev testek mogását létrehoó htások (erők / nomtékok) és mogás kpcsoltánk leírás - Regéstn: feldt ruglms elemeket ng pontokt és merev testeket trtlmó rendserek vlmnt slárd testek dőben perodkusn váltoó erők / nomtékok htásár létrejövő mogásnk leírás lpvető mérnök mechnk feldtok: - Trtós nuglom btosítás Pl: épületek hdk csőveetékek trtálok trtóserkeetek stb - Előírt mogások btosítás Pl járművek druk robotok lftek megmunkáló-gépek stb - Serkeetek ntegrtásánk btosítás ( gép serkeet btonságosn üemeljen) Pl híd ne omoljon össe gépkocs kereke menet köben ne skdjon le stb mérnök mechnkábn nem vlóságos testeket (ng rendsereket) hnem modelleket vsgálunk modelleés mndg vlóságos vsonok leegserűsítését jelent Test modellek: test modell oln delált test vg testekből álló rendser melnek vsgált sempontjából léneges tuljdonságt megtrtjuk vsgált sempontjából lénegtelennek ítélt tuljdonságt pedg elhngoljuk - erev test: oln test modell melben bármel két pont távolság állndó ( pontok távolság erő /nomték htásár sem váltok meg) 27

2 - Slárd test: oln test modell mel lkváltoásr képes ( test pontjnk távolság erő / nomték htásár megváltoht) - Rúd: oln test modell melnek egk mérete lénegesen ngobb mnt másk kettő; rúd mechnk modellje eg vonl rúd köépvonl (S pont sál) - ng pont: oln merev test melnek mogás egetlen pontjánk mogásávl jellemehető - ng pontrendser: ng pontok hlm / össessége 28

3 3 ERŐRENDSZEREK 3 Koncentrált erő megdás Erő: eg testnek eg másk testre gkorolt htás Koncentrált erő: h eg test pontserű érntkeéssel gkorol htást másk testre koncentrált erő vektor mennség: ngság rán (előjel és mértékegség) támdáspont htásvonl jellem 2 értékegsége: N=kgm/s - Newton N erő mel kg tömegű testre htv m/s 2 gorsulást ho létre Kötött erővektor: koncentrált erőt P pontho kötjük P r P e - koncentrált kötött erővektor P - erővektor támdáspontj - erővektor htásvonl e - htásvonl rán egségvektor kötött koncentrált erővektor megdás támdáspontjánk r P helvektorávl és erővektorrl történk Koncentrált erő megdás: ) megdás lehetőség: F = Fe e e - erő rán egségvektor F erő e ránú koordnátáj (előjeles sklár sám) α α α e = cosα e + cosαe + cosαe e = = cos α + cos α + cos α b) megdás lehetőség: F = Fe + Fe + Fe F F F F = F + F + F e e e koordnát-rendser ránú egségvektor F F F erő össetevő F F F erő sklárs koordnátá erő ngság (bsolút értéke): F = F + F + F 29

4 Egenes egenlete: P 0 - egenes eg rögített pontj P - egenes futópontj (tetsőleges pontj) P - egenes ránvektor ( ) P 0 r r egenes egenlete: ( r r 0) = 0 0 r r 0 = 0 b egenes egenletének Plücker vektoros lkj: r + b = 0 b Plücker vektorok és b b = 0 b ránvektor nomték koordnát-rendser kedőpontjár 32 Erő nomték Nomték: erő forgtó htás ) Erő pontr sámított nomték: pontr sámított nomték erő eg dott pont körül forgtó htás P = rp F - pontr sámított nomték vektor mennség r P nomték ngság: = rp F snϕ nomtékvektor merőleges r P és vektorok áltl meghtároott síkr úg hog r P és jobbsodrtú vektorhármst lkotnk (jobbké sbál) b) Erő tengelre sámított nomték: tengelre sámított nomték erő eg dott tengel körül forgtó htás Tengel: ránított egenes eg egenesen két tengel vehető fel Tengel egenlete: r + b = 0 hol tengel ránvektor és b ránvektor nomték koordnát-rendser pontjár P = e - tengelre sámított nomték (előjeles) sklár mennség r P e = - tengel rán egségvektor tengelre sámított nomték tengel bármel pontjár sámított nomtéknk tengelre eső (előjeles) vetülete 30

5 KR tengelere sámított nomtékok: = e = e = e c) Össefüggés két pontr sámított nomték köött: r P = r + r P P r nomték értelmeéséből: P r r P = rp F = ( r + rp) F = rp F + r F = + r F vg = + F r 33 Erő nomték vektortere Vektortér / vektormeő: geometr tér vg vsgált test mnden pontjáho hoárendelünk eg vektort Nomték vektortér: r P P r P r P - erő nomtékát ksámítjuk tér mnden eges pontjár - tér mnden eges pontjáho hoákötjük dott pontr sámított nomtékvektort - Eek nomtékvektorok lkotják erő nomték vektorterét 34 Koncentrált erőrendserek ) Erőpár / koncentrált nomték: Erőpár: két onos ngságú ellentétes ránú párhumos htásvonlú erő Specáls erőrendser: F = F F2 = F h ϕ = r F r F = r P P F r 2 P2 r P 2 P P2 r = r + r P P2 2 = r F = 2 ( rp r ) P F 2 = r 2 3

6 Erőpár nomték tér bármel pontjár ugnnn Erőpár homogén nomték vektorteret ho létre erőpár tér bármel pontjáho köthető erőpár vektor nem váltok b) Áltlános (sétsórt) erőrendser: erőrendser megdás: F ( = 2 n) ( = 2 n) r P erőrendser áltlános esetben erőkből és erőpárokból (koncentrált nomtékokból) állht erőrendser eredő erővektor: erőrendser eredő nomtékvektor: n F = F = n n = r F + P = = c) Erőrendser eredő / redukált vektorkettőse: eredő vektorkettős: - eredő erő - megdott pontr sámított eredő nomték eredő vektorkettős jelölése: F ( ) ( ) n n F F F = + r F ( ) ( P ) = = = egjegés: - eredő vektorkettős nomték tér vontkoásábn egértelműen jellem erőrendsert - redukált vektorkettős beveetésével áltlános erőrendser problémáját eg erő feldtár veettük vss - erőrendser eredő erővektor tér bármel pontjáb redukálv ugnnn: F ( ) = F( ) = F - erőrendser pontr sámított nomték: = + F r = pontbel redukált vektorkettős smeretében erőrendsernek tér bármel pontjáb sámított nomték meghtárohtó 35 Erőrendserek egenértékűsége ) egenértékűség értelmeése: Két erőrendser egmássl egenértékű h onos nomték vektorteret honk létre 32

7 Jelölés: ( E ) = ( E ) egk ER másk ER = - erőrendserek köött egenlőség nomték tér vontkoásábn áll fenn két erőrendsernek tér mnden eges pontjár sámított nomték ugn vektor b) egenértékűség feltétele (krtérum): Két erőrendser egenértékűsége három egmástól független feltétel (rendser) teljesülése esetén áll fenn Eek köül bármelk feltétel teljesülése elegendő egenértékűség fennállásáho = F pont tér eg tetsőleges rögített pontj = 2 = = tér három nem eg egenesre eső (nem = kolneárs) pontj 3 = (= 2 6) Ht tetsőleges de lneársn független tengelre sámított nomték egenlő lneárs függetlenség defnícóját később djuk meg Lneársn függetlenek például: - tetréder oldléle - háromsög lpú hsáb oldléle krtérumokt sokás sttk egenletenek s neven c) krtérumok bonítás: krtérum: F = F = Kérdés: ebből két vektoregenletből követkeően fennáll-e tér bármel pontjár =? onítás: = + F r = + F r = F krtérumból: F = F és = vel tér bármel pontj lehet eért krtérum egenletenek teljesülése elegendő egenértékűség btosításáho 2 krtérum: = r = = r Kérdés: ennek három vektoregenletnek teljesülése elegendő-e egenértékűséghe? 33

8 onítás: = + F r = + F r = + F r = + F r egenleteket egmásból kvonv és 2 krtérum egenletet fgelembe véve: 0= 0+ ( F F ) r 0= 0+ ( F F ) r ( F F ) r ( F F ) r vel r nem r F F csk kkor lehet párhumos mndkettővel h érus vektor F F = 0 F = F Eel problémát vssveettük krtérumr: F = F = krtérum elégséges voltát pedg előőekben bonítottuk (mert pontok nem esnek eg egenesre) eért ( ) 3 krtérum: = (=2 6) Kérdés: fent ht sklár egenlet teljesülése btosítj-e erőrendserek egenértékűségét onítás: Elősör átlkítjuk tengelre sámított nomték össefüggését jelű tengel egenlete: r + b = 0 tengelre sámított nomték: = e P r P = ( F r) = + sklárs sorást elvégeve: ( F r) = + = ( + F b) F ( r ) b Eután térünk rá 3 krtérum bonításár ht tengel egenlete: r + b = 0 0 b = 0 tengelre sámított nomtékok: = ( + b F ) = + b F ( = 23456) ( ) 34

9 3 krtérum: = tengelre sámított nomtékokt behelettesítve és eg oldlr rendeve: + b F F = ( ) ( ) 0 árójelben álló mennségek koordnátánk jelölése: = e + e + e = Fe + Fe + Fe jelölést behelettesítve krtérumb bf + bf + bf = b2f + b2f + b2f = b3f + b3f + b3f = b4f + b4f + b4f = b5f + b5f + b5f = b6 F + b6 F + b6 F = homogén lneárs lgebr egenletrendsert kpjuk F F F smeretlenekre Keressük = = = F = F = F = 0 megoldást ( trváls megoldást) trváls megoldás feltétele hog rendser determnánsánk érusnk kell lenne: b b b 2 2 2b2 b2 b b3 b3 b3 det b4 b4 b b5 b5 b5 b b b Eel feltétellel értelmeük ht tengel lneárs függetlenségét s Defnícó: Ht tengel lneársn független h Plücker vektornk koordnátát trtlmó determnáns nem érus homogén lneárs lgebr egenletrendser érus (trváls) megoldás esetén: = 0 = F F = 0 = F Eel 3 krtérumot s vssveettük krtérumr mt már bonítottunk d) sttk egenletek jellege: krtérum: F = F = 6 db független sklár egenlet F F = = 35

10 2 krtérum: 3 krtérum: F = F vetület egenletek = = = = nomték egenletek = ( ) 9 db sklár egenlet de ebből csk 6 db lneársn független = 6 db független sklár egenlet 36 Erőrendser egensúl ) egensúl értelmeése: Eg erőrendser egensúl h érus nomték vektorteret ho létre ( E ) = ( 0) erőrendsernek tér mnden eges pontjár sámított nomtékvektor érus b) egensúl feltétele (krtérum): Erőrendser egensúl három egmástól független feltétel (rendser) teljesülése esetén áll fenn Eek köül bármelk feltétel teljesülése elegendő egenértékűség fennállásáho = 0 = 0 pont tér eg tetsőleges rögített pontj 2 = 0 tér három nem eg egenesre eső (nem = 0 kolneárs) pontj = 0 3 = 0 (=2 6) Ht tetsőleges de lneársn független tengelre sámított nomték egenlő 37 Gkorló feldtok erőrendserekre 37 feldt: Erőrendserek egenértékűsége ( ER ) P 3 3 ( ER ) r 3 4 r r 2 P 2 P 2 5 r 5 r 4 P 4 P 5 36

11 dott: r = ( e + 2e e ) m r 4 = ( 2e + e ) m r 4 = ( 2e + e ) m r 5 = ( 3e + 2e e ) m r 3 = 5e 3e e m ( ) F4 = (3e 2e + 4 e) N F = ( 2e 2e + e) N 5 = ( 3e 4e 4e) Nm F2 = ( e + 3e ) N 3 = 2e + e + 4e Nm ( ) Feldt: nnk eldöntése hog egenértékű-e ( ER ) és ( ER ) erőrendser Kdolgoás: eghtárouk mndkét erőrendser pontr sámított redukált vektorkettősét H megegenek kkor két erőrendser egenértékű ( ER ) : F = F+ F2 = ( 2e 2e + e) + ( e + 3e) = ( 3e 2e + 4e) N 2 = 3 + ( r0 ) = 3 + r + r2 F 2 = e e e r F = ( e + 2e e) ( 2e 2e + e) = 2 = ( 3e 6e) Nm 2 2 r2 F2 = ( 2e + e) ( e + 3e) = ( 3e + 6e e) Nm = 2e + e + 4e + 3e 6e + 3e + 6e e = e + 4e 3e Nm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ER ) : F = F4 = ( 3e 2e + 4e) N ( F = + r F megegek F -vel) e e e r4 F4 = ( 2e + e) ( 3e 2e + 4e) = 2 0 = ( 4e + 8e + e) Nm = 3e 4e 4e + 4e + 8e + e = e + 4e 3e Nm ( megegek ( ) ( ) ( ) ( ER ) és ( ER ) erőrendser egenértékű -vel) 37

12 372 feldt: Síkbel sétsórt erőrendser eredőjének és eredő htásvonlánk meghtároás dott: F = F2 = F3 = 0 kn 2 F 4 = 50 kn α = 60 = 0 4 m b = 03m c = 0 5 m c b α 4 3 β α Feldt: ) eredő vektorkettős meghtároás b) eredő erő htásvonlánk meghtároás Kdolgoás: ) eredő vektorkettős meghtároás: 4 F = F = Fe + Fe = 4 = = cosα 2+ 3cosα 4 08 = = 40 kn = 2 2 F F F F F F cos β = = 08 sn β = = F = F = F F + F = + = 4 snα 3 snα 4 sn β kn = 2 2 F = ( 40e + 30e) kn = e = ( Fsnα + cf+ Fsnα + 0) e = = e = ( ) e= (93 e) knm 2 2 b) eredő htásvonlánk meghtároás: Síkbel erőrendserek esetén: F eredő htásvonlánk pontjbn: P = 0 = + F rp htásvonl egenesének egenlete: r + b = 0 F r + = 0 egenes egenletének átlkítás egenes egenletének mtemtkábn sokásos lkjánk előállítás: 40e + 30e e + e + 93e = 0 ( ) ( ) 38

13 40e 30e + 93 e = 0 / e 3 40= = etséspontok kordnát-tengelekkel: 3 = 0298m 0 = = 0398m 4 D Ellenőrés: = DF = = 93 knm = F = 0 298( 40) = 93 knm 373 feldt: Erőrendser pontr és tengelre sámított nomték dott: 6 m F = ( 4e 4e) kn P F2 = ( 2 e )kn 2 4 m F3 = (2e + 3e + 4 e) kn 3 = ( 2e + 4e 4 e )m P 8 m 2 Feldt: ) és pontokr P 3 sámított és nomték meghtároás b) erőrendser és tengelekre sámított és nomtékánk meghtároás Kdolgoás: ) erőrendser és nomtékánk ksámítás: F = F = (4e + 3 e) kn = ( r F) = (24e 24e + 24 e) knm e e e r F = = e( 0 6 ) = ( 6e) knm e e e r2 F2 = = e( 0+ 8 ) + e( 0+ 2 ) = ( 8e + 2e) knm e e e r3 F3 = = e( 24 0) e( 32 0) + e ( 24 2 ) = = (24e 32e + 2 e ) knm D 39

14 = + F r = (24e 24 e) knm F r = (4e + 3 e ) 8e = 24e knm ( ) ( ) b) erőrendser és nomtékánk ksámíts: e = 24 knm = e = 24 knm ( 2e + 4e 4 e) 2 2 e = = = e + e e e = (24e 24 e) e + e + e = 8 6 = 24 knm feldt: Erőrendser pontr és tengelre sámított nomték dott: F = F2 = 5N 2 = 3 = 20 Nm r = (4e + 8e + 3 e ) m D = e 2 2 Feldt: ) erőrendser és E pontokr sámított és E b) erőrendser és tengelekre sámított és E G H 3 nomtékánk meghtároás nomtékánk meghtároás Kdolgoás: ) erőrendser és E pontokr sámított és E nomtékánk meghtároás: F = F + F2 = (4e 3 e ) + ( 5 e) = (4e 5e 3 e) N = rd F+ r F2 rd F = (3 e) (4e 3 e) = (2 e) Nm r F2 = (4e + 8e + 3 e) ( 5 e) = (5e 20 e) Nm = ( 20 e) + (20 e) + (2 e) + (5e 20 e) = (5e + 32e 40 e)nm E = + F re F re = (4e 5e 3 e ) (4 e ) = (20e 2 e ) E = (5e + 20e 20 e) Nm b) erőrendser és tengelekre sámított és nomtékánk meghtároás: = e = 5 Nm = e = 20 Nm E 40